בגרות בפיזיקה קרינה וחומר 36282 - קיץ 2024

קביעה: התדירות $f_1$ גדולה מהתדירות $f_2$.

נימוק: שני הניסויים נערכים באותו אמבט גלים (אותו תווך), ולכן מהירות ההתפשטות $v$ של הגלים זהה בשניהם.

בתרשים א המעגלים סביב המקורות (חזיתות הגל) צפופים יותר – המרחק בין שני שיאים סמוכים קטן יותר מבתרשים ב. כלומר אורך הגל בתרשים א קטן יותר: $\lambda_1<\lambda_2$.

(אותה מסקנה מתקבלת מספירת הקווים: בתרשים א יש יותר קווי צומת וקווי מקסימום בין המקורות. מספר הקווים תלוי ביחס $\frac{d}{\lambda}$, ו־$d$ זהה בשני התרשימים – לכן ב־א אורך הגל קטן יותר.)

לפי הנוסחה מדף הנוסחאות:

כאשר $v$ קבוע, אורך גל קטן יותר פירושו תדירות גדולה יותר. לכן $f_1>f_2$.

טעות נפוצה: לקבוע שהתדירות תלויה במרחק בין המקורות – $d$ זהה בשני התרשימים, וההבדל בתבנית נובע רק מאורך הגל.

נקודה $A$ נמצאת על קו המקסימום מסדר ראשון ($n=1$). בנקודה על קו מקסימום של שני מקורות שווי מופע, הפרש הדרכים מן המקורות שווה למספר שלם של אורכי גל:

עם $n=1$:

הצבה:

טעות נפוצה: לחלק את הפרש הדרכים ב־$2$ או להשתמש בתנאי של קו מינימום $(n-\tfrac12)\lambda$ – $A$ נמצאת על קו מקסימום.

בתרשים, הקווים המלאים הם שיאים והקווים המקווקוים הם שפלים, וכל מעגל שייך לגל של אחד המקורות.

דרך נקודה $B$ עוברים שני קווים מקווקוים – שפל של הגל מ־$S_1$ ושפל של הגל מ־$S_2$. ברגע המתואר שני הגלים מגיעים לנקודה באותו מופע (שפל עם שפל), ולפי עקרון הסופרפוזיציה ההעתקים מתחברים: ההעתק בנקודה הוא שפל בעומק כפול ממשרעת גל בודד. מאחר ששני המקורות שווי מופע ושווי תדירות, ההתאמה במופע נשמרת בכל רגע (חצי מחזור אחר כך יגיעו לשם שני שיאים), ולכן $B$ היא נקודה של התאבכות בונה (נמצאת על קו מקסימום). הפרש הדרכים שלה מן המקורות הוא מספר שלם של אורכי גל.

דרך נקודה $C$ עוברים קו מלא וקו מקווקו – שיא של גל אחד ושפל של הגל השני. שני הגלים מגיעים לנקודה בהפרש מופע של חצי מחזור, ולכן ההעתקים (שווים בגודלם, כי המשרעות שוות) מבטלים זה את זה בכל רגע: ההעתק השקול אפס. $C$ היא נקודה של התאבכות הורסת (נמצאת על קו צומת). הפרש הדרכים שלה מן המקורות הוא $(n-\tfrac12)\lambda$.

טעות נפוצה: לחשוב שבנקודה $B$ ההתאבכות הורסת "כי יש בה שפלים" – שפל עם שפל הוא התאבכות בונה בדיוק כמו שיא עם שיא.

הגל נוצר על ידי תנודות הכדורים, ולכן תדירות הגל שווה לתדירות התנודות של הכדורים. מדף הנוסחאות:

עם $\lambda=1\,\text{cm}$ (סעיף ב) ו־$v=3\,\text{cm/s}$:

הצעה: להרחיק את שני הכדורים זה מזה – להגדיל את המרחק $d$ בין המקורות.

הסבר: לפי הנוסחה לקווי מקסימום מדף הנוסחאות:

קו המקסימום מסדר ראשון ($n=1$) נמצא בזווית $\sin\theta_1=\frac{\lambda}{d}$ מקו המקסימום המרכזי ($n=0$). בתדירות קבועה ובאותו תווך אורך הגל $\lambda=\frac{v}{f}$ לא משתנה; הגדלת $d$ מקטינה את $\sin\theta_1$, ולכן קו המקסימום מסדר ראשון מתקרב לקו המרכזי – רוחב הפס קטן (בהתאם לנוסחת יאנג $\frac{\Delta X}{L}=\frac{\lambda}{d}$).

(דרך נוספת: להקטין את עומק המים באמבט. במים רדודים יותר מהירות הגלים קטנה, ולכן בתדירות קבועה אורך הגל $\lambda=\frac{v}{f}$ קטן – וגם כך $\frac{\lambda}{d}$ קטן.)

טעות נפוצה: להציע להגדיל את התדירות – השאלה אוסרת זאת במפורש.

קביעה: תבנית ההתאבכות בצבע $A$ היא של האור האדום.

נימוק: לפי נוסחת יאנג מדף הנוסחאות:

בשני המקרים משתמשים באותה לוחית (אותו $d$) ובאותו מרקע (אותו $L$), ולכן המרחק $\Delta X$ בין פסים סמוכים יחסי לאורך הגל.

בתרשים ב, בתבנית $A$ הפסים רחבים יותר (המרחק בין קווים סמוכים גדול יותר) מבתבנית $B$. לכן אורך הגל של צבע $A$ גדול יותר – וזהו האור האדום. תבנית $B$, עם הפסים הצרים יותר, היא של האור הכחול.

קריאה מתרשים ב. שתי התבניות מסורטטות על אותה מערכת צירים, וקצותיהן (הקו הראשון והקו האחרון) נמצאים באותם מקומות על ציר $x$. באותו קטע:

•בתבנית $A$ (אדום) יש $6$ קווים, כלומר $5$ פסים: הקטע שווה ל־$5\Delta X_A$.

•בתבנית $B$ (כחול) יש $8$ קווים, כלומר $7$ פסים: הקטע שווה ל־$7\Delta X_B$.

לכן

יחס אורכי הגל. לפי נוסחת יאנג $\Delta X=\frac{\lambda L}{d}$, ו־$L$, $d$ זהים, ולכן

פתרון המשוואות. נתון $\lambda_A=\lambda_B+200\,\text{nm}$:

אורך הגל של האור האדום $700\,\text{nm}$ ושל האור הכחול $500\,\text{nm}$ – שניהם בתחום האור הנראה, כמצופה.

טעות נפוצה: לספור קווים במקום מרווחים – $6$ קווים תוחמים $5$ פסים בלבד (ובתבנית השנייה $8$ קווים תוחמים $7$ פסים).

רוחב פס אור הוא המרחק בין שני קווי מינימום סמוכים, והוא שווה ל־$\Delta X$ בנוסחת יאנג (המרחק בין שני פסים סמוכים מאותו סוג). מדף הנוסחאות:

נתונים לאור הכחול: $\lambda=500\,\text{nm}=5\cdot 10^{-7}\,\text{m}$ (סעיף ב), $L=1.5\,\text{m}$, $\Delta X=0.8\,\text{cm}=8\cdot 10^{-3}\,\text{m}$.

כלומר כ־$0.094\,\text{mm}$ – אכן $L\gg d$, כפי שנתון.

טעות נפוצה: לא להמיר $\text{nm}$ ו־$\text{cm}$ למטרים לפני ההצבה.

ההיגד הנכון: 3 – "כאשר המרחק $d$ בין החריצים גדֵל פי $2$, רוחב פס האור האדום ורוחב פס האור הכחול קטנים פי $2$."

נימוק: לפי נוסחת יאנג

לכל צבע (לכל $\lambda$) ובמרחק $L$ קבוע, רוחב הפס יחסי הפוך ל־$d$. שינוי ב־$d$ משפיע באותו אופן על שני הצבעים: הגדלת $d$ פי $2$ מקטינה את $\Delta X$ פי $2$, גם לאור האדום וגם לאור הכחול.

•היגד 1 שגוי: כש־$d$ גדל רוחב הפסים של שני הצבעים קטן.

•היגד 2 שגוי: כש־$d$ קטן רוחב הפסים של שני הצבעים גדל, ובכלל זה של האור הכחול.

•היגד 4 שגוי: היחס הפוך, לא ישר.

שני מקורות אור הם קוהרנטיים כאשר:

1. הם בעלי אותה תדירות (ולכן גם אותו אורך גל באותו תווך) – כלומר אור חד־צבעי (מונוכרומטי) זהה.

2. הפרש המופע ביניהם קבוע בזמן (למשל שווי מופע, הפרש מופע אפס).

רק כאשר הפרש המופע קבוע, בכל נקודה על המרקע ההתאבכות נשארת בונה או הורסת לאורך זמן, ונוצרת תבנית יציבה של פסים. בניסוי הזה הקוהרנטיות מושגת כי שני החריצים מוארים מאותו מקור, דרך אותו מסנן: כל אחד מהם הוא "עותק" של אותה חזית גל.

טעות נפוצה: לציין רק "אותה תדירות" – גם שתי נורות זהות פולטות באותה תדירות, אך הפרש המופע ביניהן משתנה באקראי ולכן אינן קוהרנטיות.

אנרגיית הפוטון. מדף הנוסחאות $E_{ph}=hf$, ובאור $c=\lambda f$, ולכן

האפקט הפוטואלקטרי. מדף הנוסחאות:

כאשר $E_k$ היא האנרגייה הקינטית המרבית של האלקטרונים הנפלטים מן הקתודה ו־$B$ פונקציית העבודה.

מתח העצירה. במעגל המתואר הקתודה מחוברת להדק החיובי של מקור המתח, כך שהשדה החשמלי בין הקתודה לאנודה מאט את האלקטרונים. הזרם מתאפס כאשר גם האלקטרונים המהירים ביותר נעצרים לפני האנודה. לפי משפט עבודה–אנרגייה, העבודה של הכוח החשמלי על אלקטרון (מטען $-e$) העובר הפרש פוטנציאלים $V$ היא $-eV$, והיא מאפסת את האנרגייה הקינטית המרבית:

מתח העצירה הוא פונקצייה קווית של $\frac{1}{\lambda}$ (לא של $\lambda$): שיפוע $\frac{hc}{e}$ וחותך $-\frac{B}{e}$.

ציר אופקי: $\frac{1}{\lambda}$ ביחידות $10^{6}\,\frac{1}{\text{m}}$; ציר אנכי: מתח העצירה $V$ בוולט.

הנקודות $\left(\frac{1}{\lambda}\,[10^6\,\tfrac{1}{\text{m}}],\;V\,[\text{V}]\right)$:

$(1.92,\,0.2)$, $(2.00,\,0.3)$, $(2.08,\,0.4)$, $(2.27,\,0.6)$, $(2.50,\,0.9)$.

מעבירים ישר אחד כך שהנקודות מפוזרות סביבו משני צדיו. כאן הנקודות כמעט בדיוק על קו ישר:

שיפוע קו המגמה – משתי נקודות על הקו, רחוקות זו מזו, למשל $(1.90\cdot 10^6,\,0.18)$ ו־$(2.60\cdot 10^6,\,1.02)$:

(התאמה בשיטת הריבועים הפחותים נותנת שיפוע $1.19\cdot 10^{-6}\,\text{V}\cdot\text{m}$ – בהתאמה טובה.)

טעות נפוצה: לסרטט את $V$ כפונקצייה של $\lambda$ – הקשר הקווי הוא עם $\frac{1}{\lambda}$, וזו בדיוק הסיבה שהוגדר המשתנה החדש.

לפי הביטוי שפיתחנו בסעיף א:

שיפוע הגרף של $V$ כפונקצייה של $\frac{1}{\lambda}$ הוא:

הצבה (שיפוע $1.2\cdot 10^{-6}\,\text{V}\cdot\text{m}$, $e=1.6\cdot 10^{-19}\,\text{C}$, $c=3\cdot 10^{8}\,\text{m/s}$):

הערך קרוב לערך שבדף הנוסחאות ($6.63\cdot 10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s}$), סטייה של כ־$3.5\%$.

טעות נפוצה: לשכוח לכפול ב־$e$ – השיפוע ביחידות $\text{V}\cdot\text{m}$, ורק אחרי כפל ב־$e$ מתקבלות יחידות אנרגייה כפול אורך.

נקודת החיתוך עם ציר $V$ מתקבלת כאשר $\frac{1}{\lambda}=0$. לפי הביטוי מסעיף א:

כלומר ערכה של נקודת החיתוך הוא פונקציית העבודה של חומר הקתודה מחולקת במטען היסודי, בסימן שלילי. בערכה המוחלט היא שווה מספרית לפונקציית העבודה $B$ ביחידות $\text{eV}$ – האנרגייה המזערית הדרושה כדי לשחרר אלקטרון מן הקתודה.

(זו נקודה שמתקבלת מהמשכת קו המגמה, ולא נקודה שאפשר למדוד – אין אור עם $\frac{1}{\lambda}=0$.)

ממשיכים את קו המגמה עד ציר המתח:

ממשוואת קו המגמה $V=1.2\cdot 10^{-6}\cdot\frac{1}{\lambda}-2.1$, בהצבת $\frac{1}{\lambda}=0$:

(בדיקה מנקודה על הקו: $0.9-1.2\cdot 10^{-6}\cdot 2.5\cdot 10^{6}=0.9-3.0=-2.1\,\text{V}$.)

לכן $-\frac{B}{e}=-2.1\,\text{V}$, ופונקציית העבודה:

בתדירות הסף לאלקטרונים הנפלטים אין אנרגייה קינטית ($E_k=0$). מדף הנוסחאות:

הצבה – פונקציית העבודה מסעיף ד ($B=2.1\,\text{eV}=3.36\cdot 10^{-19}\,\text{J}$) וקבוע פלאנק מהגרף (סעיף ג):

(בדרך שקולה: נקודת החיתוך של קו המגמה עם הציר האופקי ($V=0$) היא $\frac{1}{\lambda_0}=\frac{2.1}{1.2\cdot 10^{-6}}=1.75\cdot 10^{6}\,\frac{1}{\text{m}}$, ולכן $f_0=\frac{c}{\lambda_0}=3\cdot 10^{8}\cdot 1.75\cdot 10^{6}=5.25\cdot 10^{14}\,\text{Hz}$, כלומר אורך גל סף של כ־$571\,\text{nm}$.)

עם הערך של $h$ מדף הנוסחאות מתקבל $f_0=\frac{3.36\cdot 10^{-19}}{6.63\cdot 10^{-34}}\approx 5.1\cdot 10^{14}\,\text{Hz}$ – אותו סדר גודל.

טעות נפוצה: לחלק את $B$ ב־$h$ כשהיא עדיין ב־$\text{eV}$ ו־$h$ ב־$\text{J}\cdot\text{s}$ – היחידות חייבות להתאים.

קביעה: הפוטונים לא יעוררו את האטומים לרמה $n=2$.

נימוק: לפי הנחות בוהר, אטום יכול לבלוע פוטון רק אם אנרגיית הפוטון שווה בדיוק להפרש בין שתי רמות אנרגייה מותרות. מדף הנוסחאות:

למעבר מרמה $1$ לרמה $2$:

$5.5\,\text{eV}\neq 4.9\,\text{eV}$, ופוטון נבלע בשלמותו או לא נבלע כלל – אינו יכול למסור רק חלק מהאנרגייה שלו. לכן הפוטון לא יעורר את האטום לרמה $n=2$.

(גם לרמות האחרות אין התאמה: $1\to 3$ דורש $6.7\,\text{eV}$, ו־$5.5\,\text{eV}$ קטן מאנרגיית היינון $10.4\,\text{eV}$. לכן פוטונים אלה אינם נבלעים כלל ועוברים דרך הגז.)

טעות נפוצה: לבלבל עם הערך $-5.5\,\text{eV}$ של רמה $2$ – הנדרש הוא הפרש האנרגיות, לא ערך הרמה. טעות נוספת: לחשוב שפוטון "חזק מספיק" יעורר והעודף יישאר – זה נכון לפגיעת אלקטרון, לא לבליעת פוטון.

יינון פירושו העברת האלקטרון מרמת היסוד אל $n=\infty$, שבה האנרגייה $0$ (האלקטרון משתחרר מהאטום). האנרגייה המזערית מתאימה לאלקטרון שמשתחרר בלי אנרגייה קינטית:

(כ־$1.66\cdot 10^{-18}\,\text{J}$.) כל פוטון שהאנרגייה שלו גדולה מ־$10.4\,\text{eV}$ יכול גם הוא ליינן – העודף הופך לאנרגייה קינטית של האלקטרון המשתחרר.

בפליטה האלקטרון יורד מרמה גבוהה לרמה נמוכה יותר, ויכול לרדת ישירות או דרך רמות ביניים. מרמה $n=4$ ועד רמה $n=1$ האפשרויות הן כל הזוגות של רמות $1$–$4$:

מסרטטים את ארבע הרמות (כמו בתרשים) ומוסיפים שישה חיצים כלפי מטה:

1. מ־$n=4$ ל־$n=3$

2. מ־$n=4$ ל־$n=2$

3. מ־$n=4$ ל־$n=1$

4. מ־$n=3$ ל־$n=2$

5. מ־$n=3$ ל־$n=1$

6. מ־$n=2$ ל־$n=1$

אנרגיות הפוטונים הנפלטים ($E_{ph}=|E_f-E_i|$):

טעות נפוצה: לסמן רק את המעברים מרמה $4$ – אטום שירד לרמה $3$ או $2$ ממשיך לרדת ופולט פוטונים נוספים. טעות נוספת: לסמן חיצים כלפי מעלה – בפליטה החיצים מכוונים מטה.

תחום האנרגיות של האור הנראה. מדף הנוסחאות:

פוטון נראה הוא פוטון שהאנרגייה שלו בין $1.77\,\text{eV}$ ל־$3.1\,\text{eV}$.

בדיקת המעברים (מסעיף ג): $2.1$, $3.9$, $8.8$, $1.8$, $6.7$, $4.9\,\text{eV}$. בתחום נמצאים רק שניים:

•מעבר $4\to3$: $E_{ph}=|-3.7-(-1.6)|=2.1\,\text{eV}$, ואורך הגל $\lambda=\frac{1240}{2.1}\approx 590\,\text{nm}$ (צהוב־כתום).

•מעבר $3\to2$: $E_{ph}=|-5.5-(-3.7)|=1.8\,\text{eV}$, ואורך הגל $\lambda=\frac{1240}{1.8}\approx 689\,\text{nm}$ (אדום).

שאר המעברים הם בעלי אנרגייה גדולה מ־$3.1\,\text{eV}$ – בתחום העל־סגול (למשל $4\to2$: $3.9\,\text{eV}$, כ־$318\,\text{nm}$).

טעות נפוצה: לעצור אחרי מעבר אחד – השאלה אומרת "קו אחד לפחות", ויש כאן שני קווים נראים.

כל אטומי הכספית נמצאים ברמת היסוד ($n=1$), ולכן בבליעה המעברים מתחילים ברמה $1$ בלבד (אין כמעט אטומים מעוררים שיבלעו מרמה $2$ או $3$). המעברים עד לרמה $n=4$:

בספקטרום הבליעה יופיעו קווים כהים באנרגיות $4.9$, $6.7$ ו־$8.8\,\text{eV}$.

טעות נפוצה: לכלול גם את $1.8$, $2.1$ ו־$3.9\,\text{eV}$ – מעברים אלה מתחילים ברמות מעוררות, ואטומים במצב היסוד אינם בולעים אותם.

מספר המסה לא השתנה ($238$), ומספר האטום (מספר הפרוטונים) גדל ב־$1$ (מ־$93$ ל־$94$). זו התפרקות בטא מינוס: בגרעין נויטרון הופך לפרוטון, ונפלטים אלקטרון ואנטי־נייטרינו.

בדיקת שימור:

•מספר המסה: $238=238+0$ ✓

•מטען (מספר אטומי): $93=94+(-1)$ ✓

טעות נפוצה: לכתוב פליטת פוזיטרון ($^{0}_{+1}e$) – אז המספר האטומי היה קטן, לא גדל.

מדף הנוסחאות:

הפעילות בתחילת המשימה ($N_0=2\cdot 10^{25}$):

(ביחידות של שנים: $\lambda=\frac{0.693}{88}\approx 7.88\cdot 10^{-3}\,\frac{1}{\text{year}}$ ו־$R_0\approx 1.58\cdot 10^{23}$ התפרקויות בשנה – אותה פעילות ביחידות אחרות.)

טעות נפוצה: להשאיר את $T_{1/2}$ בשנים ולתת את התשובה בלי יחידות – $\text{Bq}$ פירושו התפרקויות בשנייה.

מדף הנוסחאות, חוק הדעיכה:

עם $\lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}=\frac{0.693}{88\,\text{year}}\approx 7.88\cdot 10^{-3}\,\frac{1}{\text{year}}$ ו־$t=10\,\text{year}$ (אפשר לעבוד בשנים, כי רק המכפלה $\lambda t$ חסרת היחידות משנה):

כלומר כעבור $10$ שנים נותרו כ־$92.4\%$ מגרעיני הפלוטוניום – זו הסיבה שזמן מחצית חיים ארוך מתאים למשימות ארוכות.

(בדרך שקולה: $N=N_0\left(\tfrac12\right)^{t/T_{1/2}}=2\cdot 10^{25}\cdot 2^{-10/88}\approx 1.85\cdot 10^{25}$.)

טעות נפוצה: לחשב את מספר הגרעינים שהתפרקו ($\approx 1.5\cdot 10^{24}$) במקום אלה שנותרו.

קביעה: גרף 3.

נימוק: לפי $N=N_0e^{-\lambda t}$, מספר הגרעינים שלא התפרקו קטן מעריכית: בכל פרק זמן של מחצית חיים הוא קטן פי $2$:

- גרף 1 – שגוי: הקו כמעט ישר, וב־$T_{1/2}$ נשארו $\frac{3N_0}{4}$ ולא $\frac{N_0}{2}$; ההגדרה של זמן מחצית חיים אינה מתקיימת.

- גרף 2 – שגוי: ב־$T_{1/2}$ נשארו $\frac{N_0}{3}$, וב־$2T_{1/2}$ – $\frac{N_0}{6}$; לפי הגדרת זמן מחצית החיים ב־$T_{1/2}$ צריך להישאר בדיוק $\frac{N_0}{2}$.

- גרף 3 – נכון: $\frac{N_0}{2}$, $\frac{N_0}{4}$, $\frac{N_0}{8}$ בזמנים $T_{1/2}$, $2T_{1/2}$, $3T_{1/2}$.

- גרף 4 – שגוי: ב־$T_{1/2}$ נשארו כבר $\frac{N_0}{4}$ ולא $\frac{N_0}{2}$ (וב־$3T_{1/2}$ – $\frac{N_0}{16}$ במקום $\frac{N_0}{8}$).

טעות נפוצה: לבחור בגרף 2 או 4 רק כי צורתם מעריכית – צריך לבדוק שב־$T_{1/2}$ הערך הוא בדיוק $\frac{N_0}{2}$.

- $\alpha$ – חדירות קצרה: חלקיק אלפא (גרעין הליום) הוא כבד ובעל מטען $+2e$; הוא מיינן חזק את האוויר ומאבד את האנרגייה שלו מהר. טווחו באוויר כמה סנטימטרים בלבד (נעצר גם בדף נייר).