בגרות בפיזיקה קרינה וחומר 36282 - קיץ 2026

גל עומד הוא תוצאה של התאבכות (סופרפוזיציה) של שני גלים מחזוריים זהים המתקדמים בכיוונים מנוגדים באותו תווך. לכן נדרשים התנאים האלה על שני המקורות:

1. אותה תדירות. שני הגלים מתקדמים באותו מיתר, ולכן באותה מהירות $v$. מתוך $v=\lambda f$, תדירות שווה פירושה גם אורך גל שווה. רק כך מיקומי הצמתים והטבורים קבועים בזמן.

2. אותה משרעת. כך בצמתים שני הגלים מבטלים זה את זה לחלוטין (תנודה אפס), ומתקבל גל עומד "נקי".

3. הפרש מופע קבוע בין המקורות (מקורות קוהרנטיים). אם הפרש המופע משתנה, הצמתים "נודדים" לאורך המיתר ואין תבנית עומדת.

4. כיווני התקדמות מנוגדים. כל מקור משגר מקצה אחר של המיתר, ולכן הגלים נעים זה לקראת זה לאורך אותו קו.

טעות נפוצה: להסתפק ב"אותו אורך גל" בלי לציין שהתדירות שווה והפרש המופע קבוע. התדירות היא תכונה של המקור, ואורך הגל נובע ממנה ומהתווך.

בתרשים ב רואים "בטן" אחת בין שני הקצוות הקבועים: צומת בכל קצה וטבור באמצע. זהו הגל העומד היסודי, $n=1$.

מדף הנוסחאות, גל עומד במיתר שקצותיו קשורים:

הצבה, $\ell=L=1\,\text{m}$, $n=1$:

מהירות גל מחזורי:

טעות נפוצה: לקבוע שאורך המיתר שווה לאורך גל שלם. בטן אחת היא רק חצי אורך גל.

קביעה: מהירות התפשטות הגל במיתר לא השתנתה.

נימוק: מהירות ההתפשטות של גל מכני נקבעת על ידי התווך בלבד. במיתר היא תלויה במתיחות המיתר ובמסה ליחידת אורך שלו. שינוי תדירות המחולל אינו משנה אף אחד מהם: זה אותו מיתר באותה מתיחות.

מה שהשתנה הוא אורך הגל: לפי $v=\lambda f$, כאשר $v$ קבוע והתדירות גדלה, אורך הגל קטן. לכן נכנסות למיתר יותר "בטנים" (שלוש במקום אחת).

טעות נפוצה: להסיק מ־$v=\lambda f$ שהמהירות גדלה כשהתדירות גדלה. הנוסחה מקשרת בין הגדלים, אבל $v$ נקבע על ידי התווך, ו־$\lambda$ הוא שמשתנה.

בתרשים ג רואים שלוש "בטנים", כלומר $n=3$.

מדף הנוסחאות:

המהירות לא השתנתה (סעיף ג), $v=25\,\text{m/s}$. מתוך $v=\lambda f$:

(בדיקה: $f_n=n\frac{v}{2\ell}=n\cdot 12.5\,\text{Hz}$, ולכן $f_3=3\cdot 12.5=37.5\,\text{Hz}$.)

קביעה: לא ייווצר גל עומד.

נימוק: במיתר שקצותיו קשורים חייב להיות צומת בכל קצה, ולכן לאורך המיתר נכנס מספר שלם של חצאי אורכי גל:

המהירות קבועה ($v=25\,\text{m/s}$, אותו מיתר ואותה מתיחות), ולכן התדירויות שבהן נוצר גל עומד הן:

כלומר $12.5,\ 25,\ 37.5,\ 50,\ 62.5,\dots\,\text{Hz}$.

עבור $60\,\text{Hz}$:

זה אינו מספר שלם. אורך הגל המתאים, $\lambda=\frac{v}{f}=\frac{25}{60}\approx 0.417\,\text{m}$, אינו מאפשר מספר שלם של חצאי גל לאורך $1\,\text{m}$ ($\frac{2\ell}{\lambda}=4.8$), ולכן לא ייווצר גל עומד.

קביעה: מיתר א קצר יותר ממיתר ב.

נימוק: שני המיתרים עשויים מאותו החומר ומתיחותם זהה, ולכן מהירות התפשטות הגל בשניהם שווה, $v_A=v_B=v$ (המהירות נקבעת על ידי התווך).

הצליל שמפיק מיתר נקבע לפי התדירות היסודית של הגל העומד בו ($n=1$):

כאשר $v$ שווה, התדירות הפוכה לאורך המיתר. מיתר א מפיק צליל גבוה יותר, כלומר $f_A>f_B$, ולכן:

כך גם בנבל שבאיור: המיתרים הקצרים מפיקים את הצלילים הגבוהים.

קביעה: היגד 4 אינו נכון.

נימוק: תדירות הגל נקבעת על ידי המקור שיצר אותו (קצב התנודות של המטענים שפולטים אותו). כשהגל עובר מתווך לתווך, מספר התנודות בשנייה אינו משתנה, ולכן התדירות זהה בכל התווכים.

שאר ההיגדים נכונים:

- היגד 1: בגל אלקטרומגנטי השדה החשמלי והשדה המגנטי מתנודדים בניצב לכיוון ההתפשטות, ולכן זהו גל רוחב.

- היגד 2: מהירות הגל בתווך היא $v=\frac{c}{n}$ (מקדם השבירה מדף הנוסחאות), ולכן היא תלויה בתווך: בריק היא $c$, ובחומר קטנה יותר.

- היגד 3: לפי $v=\lambda f$, כאשר $f$ קבועה ו־$v$ משתנה מתווך לתווך, גם $\lambda=\frac{v}{f}$ משתנה.

בריק כל הגלים האלקטרומגנטיים מתפשטים במהירות האור $c=3\cdot 10^8\,\text{m/s}$. לפי $v=\lambda f$:

אורך הגל הפוך לתדירות, ולכן אורך הגל המזערי מתאים לתדירות המרבית בתחום, $f_{\max}=300\cdot 10^9\,\text{Hz}$:

טעות נפוצה: להציב את התדירות המזערית ($300\cdot 10^6\,\text{Hz}$). היא נותנת את אורך הגל המרבי, $1\,\text{m}$.

1. הסדקים הם מקורות שווי־מופע. הקרינה פוגעת בלוח בניצב, ולכן חזית הגל מגיעה לשני הסדקים באותו רגע. לפי עקרון הויגנס כל סדק מתנהג כמקור גלים חדש, ושני המקורות מתנודדים באותה תדירות ובאותו מופע (מקורות קוהרנטיים שווי־מופע).

2. הפרש הדרכים ב־$C$ הוא אפס. הנקודה $C$ נמצאת מול אמצע המרחק בין הסדקים, ולכן היא במרחק שווה משני הסדקים: $\Delta r=r_1-r_2=0$.

3. התאבכות בונה. הגלים יוצאים מהסדקים באותו מופע ועוברים דרכים שוות, ולכן מגיעים ל־$C$ באותו מופע: "שיא" נפגש עם "שיא" ו"שפל" עם "שפל". המשרעות מתחברות, והעוצמה מרבית. זהו המקסימום המרכזי ($n=0$), כי $\Delta r=0\cdot\lambda$.

המקסימום הראשון שאחרי $C$ הוא קו המקסימום מסדר $n=1$. מדף הנוסחאות, קווי מקסימום בהתאבכות משני מקורות שווי־מופע:

$X_1=24.75\,\text{cm}$ הוא המרחק של הגלאי מ־$C$ לאורך המסילה, ו־$L_1$ הוא המרחק מאמצע הסדקים לגלאי (יתר במשולש ישר הזווית שניצביו $L=1\,\text{m}$ ו־$X_1$):

הצבה, $d=5\,\text{cm}=0.05\,\text{m}$, $n=1$:

אורך הגל נמצא בתחום גלי המיקרו (גדול מ־$1\,\text{mm}$, סעיף ב), כמצופה.

הערה: הזווית אינה קטנה (כ־$14^\circ$), ולכן אין להחליף את $L_1$ ב־$L$. הקירוב $\lambda\approx\frac{dX_1}{L}$ נותן $1.24\,\text{cm}$, כ־$3\%$ יותר.

טעות נפוצה: להשתמש בנוסחת יאנג $\frac{\Delta X}{L}=\frac{\lambda}{d}$ בלי לשים לב שהיא מבוססת על קירוב זוויות קטנות.

קווי המקסימום מקיימים (מדף הנוסחאות):

המסילה ארוכה מאוד, ולכן אפשר לקלוט מקסימום בכל זווית $\theta_n<90^\circ$. התנאי לקיום קו מקסימום: $\sin\theta_n<1$, כלומר

לכן הסדר המרבי הוא $n=4$. (בזווית $90^\circ$ הקו מקביל למסילה ואינו פוגש אותה, ולכן גם אילו היה $\frac{d}{\lambda}$ שלם, הסדר האחרון לא היה נקלט.)

קווי המקסימום מסודרים באופן סימטרי משני צדי $C$: $n=0$ (הנקודה $C$), ו־$n=1,2,3,4$ מכל צד:

טעות נפוצה: לשכוח את המקסימום המרכזי ב־$C$, או לספור רק צד אחד ולקבל $4$ או $5$.

מדף הנוסחאות, האפקט הפוטואלקטרי:

אנרגיית הפוטון: $E_{ph}=hf=\frac{hc}{\lambda}$ (כי $c=\lambda f$).

$E_k$ היא האנרגייה הקינטית המרבית של האלקטרונים הנפלטים. מתח העצירה $V$ הוא המתח שעוצר גם את האלקטרונים המהירים ביותר: העבודה של הכוח החשמלי על האלקטרון לאורך המתח הזה שווה לאנרגייה הקינטית שלו, ולכן

מציבים:

זהו קשר קווי בין $V$ ל־$\frac{1}{\lambda}$: השיפוע הוא $\frac{hc}{e}$, והחיתוך של המשך הקו עם ציר $V$ הוא $-\frac{B}{e}$. לכן הגרף בשאלה הוא קו ישר.

בנקודת החיתוך עם הציר האופקי $V=0$, כלומר האלקטרונים נפלטים בלי אנרגייה קינטית ($E_k=eV=0$). מהביטוי בסעיף א:

המשמעות: בנקודה זו אנרגיית הפוטון שווה בדיוק לפונקציית העבודה של הקתודה. ערכה, $\frac{1}{\lambda_0}\approx 1.7\cdot 10^{6}\,\frac{1}{\text{m}}$, הוא הערך ההופכי של אורך גל הסף:

זהו אורך הגל המרבי (התדירות המזערית) שעדיין גורם לפליטת אלקטרונים. לאור באורך גל ארוך יותר (משמאל לנקודה, $\frac{1}{\lambda}$ קטן יותר) אנרגיית הפוטון קטנה מ־$B$, ואין פליטה כלל, בכל עוצמת אור. לכן הגרף אינו ממשיך משמאל לנקודה זו.

לפי סעיף א, שיפוע הגרף $V\left(\frac{1}{\lambda}\right)$ הוא:

השיפוע – משתי נקודות על הקו, רחוקות זו מזו: $\left(1.7\cdot 10^6\,\frac{1}{\text{m}},\ 0\right)$ ו־$\left(2.5\cdot 10^6\,\frac{1}{\text{m}},\ 1.00\,\text{V}\right)$:

קבוע פלנק – הצבה, $e=1.6\cdot 10^{-19}\,\text{C}$, $c=3\cdot 10^8\,\text{m/s}$:

הערך קרוב מאוד לערך שבדף הנוסחאות ($6.63\cdot 10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s}$). בקריאה מהגרף מתקבלים ערכים מעט שונים, בסביבות $6.6\cdot 10^{-34}$–$6.7\cdot 10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s}$, וכולם סבירים.

טעות נפוצה: לשכוח את הגורם $10^6$ שביחידות הציר האופקי, או להשתמש בשיפוע ישירות כ־$h$ בלי לכפול ב־$\frac{e}{c}$.

בנקודת החיתוך עם הציר האופקי (סעיף ב):

הצבה, עם $h$ שהתקבל בניסוי (סעיף ג) ו־$\frac{1}{\lambda_0}=1.7\cdot 10^6\,\frac{1}{\text{m}}$ מהגרף:

ביחידות $\text{eV}$ ($1\,\text{eV}=1.6\cdot 10^{-19}\,\text{J}$):

(בדרך נוספת: מסעיף א, החיתוך של המשך הקו עם ציר $V$ הוא $-\frac{B}{e}$. המשך הקו בשיפוע $1.25\cdot 10^{-6}\,\text{V}\cdot\text{m}$ חוצה את ציר $V$ ב־$-1.25\cdot 1.7=-2.125\,\text{V}$, ולכן $B=2.125\,\text{eV}$.)

הערך ההופכי של אורך הגל:

על פי הגרף, בערך $\frac{1}{\lambda}=2.5\cdot 10^{6}\,\frac{1}{\text{m}}$ מתח העצירה הוא:

(בדיקה בעזרת הביטוי מסעיף א: $V=1.25\cdot 10^{-6}\cdot 2.5\cdot 10^{6}-2.125=3.125-2.125=1.00\,\text{V}$.)

במתח עצירה זה גם האלקטרונים המהירים ביותר נעצרים לפני שהם מגיעים לאנודה, והזרם מתאפס.

לפי המודל הגלי, אנרגיית הגל נקבעת לפי העוצמה (המשרעת) שלו ומגיעה לקתודה באופן רציף. מכאן נובעות תחזיות שהניסוי סותר:

1. תדירות סף. לפי המודל הגלי, אור בכל תדירות, אם הוא חזק דיו (או מאיר זמן ארוך מספיק), אמור למסור לאלקטרון אנרגייה מספקת כדי לצאת מהמתכת. בניסוי, מתחת לתדירות הסף (מעל אורך גל הסף, $\lambda_0\approx 588\,\text{nm}$ בניסוי זה) אין פליטה כלל, בכל עוצמה.

2. האנרגייה הקינטית אינה תלויה בעוצמה. לפי המודל הגלי, הגדלת העוצמה אמורה להגדיל את האנרגייה הקינטית של האלקטרונים, כלומר את מתח העצירה. בניסוי מתח העצירה תלוי רק בתדירות (כמו בגרף), והעוצמה משנה רק את מספר האלקטרונים הנפלטים (את הזרם).

3. אין השהיה. לפי המודל הגלי, באור חלש היה צריך לחלוף זמן עד שהאלקטרון יצבור מספיק אנרגייה. בניסוי הפליטה מתחילה מיד.

המודל החלקיקי (פוטונים) מסביר את כל אלה: כל פוטון מוסר את כל האנרגייה שלו, $hf$, לאלקטרון אחד, ולכן $E_k=hf-B$.

1. רמות אנרגייה בדידות. האלקטרון באטום יכול להימצא רק ברמות אנרגייה מסוימות (מוגדרות), כמו בתרשים: $-10.4,\ -5.5,\ -3.7,\ -1.6\,\text{eV}$. ערכי ביניים אינם אפשריים.

2. פליטת פוטון במעבר בין רמות. אטום מעורר חוזר לרמה נמוכה יותר ופולט פוטון. מדף הנוסחאות (הנחות בוהר):

3. מכאן אנרגיות בדידות. הפרשי האנרגייה בין הרמות הם קבוצה סופית של ערכים מסוימים, ולכן לפוטונים הנפלטים יש רק אנרגיות מסוימות. מ־$E_{ph}=hf=\frac{hc}{\lambda}$, לכל אנרגייה מתאים אורך גל אחד. לכן בספקטרום מופיעים קווים נפרדים בלבד ולא ספקטרום רציף.

אילו רמות מתעוררות? כל אלקטרון מואץ ב־$7\,\text{V}$ מקבל אנרגייה קינטית $E_k=eV=7\,\text{eV}$. בהתנגשות האלקטרון יכול למסור לאטום רק אנרגייה השווה להפרש בין רמת היסוד לרמה גבוהה יותר. את שאר האנרגייה הוא שומר כאנרגייה קינטית. האנרגיות הדרושות מרמת היסוד:

•ל־$n=2$: $-5.5-(-10.4)=4.9\,\text{eV}<7\,\text{eV}$, אפשרי.

•ל־$n=3$: $-3.7-(-10.4)=6.7\,\text{eV}<7\,\text{eV}$, אפשרי.

•ל־$n=4$: $-1.6-(-10.4)=8.8\,\text{eV}>7\,\text{eV}$, לא אפשרי.

לכן האטומים מתעוררים לרמות $n=2$ ו־$n=3$ בלבד.

המעברים בפליטה (כל החיצים כלפי מטה, מרמה גבוהה לנמוכה):

1. $n=3\to n=2$: $E_{ph}=-3.7-(-5.5)=1.8\,\text{eV}$

2. $n=3\to n=1$: $E_{ph}=-3.7-(-10.4)=6.7\,\text{eV}$

3. $n=2\to n=1$: $E_{ph}=-5.5-(-10.4)=4.9\,\text{eV}$

בתרשים מסמנים שלושה חיצים: מ־$n=3$ ל־$n=2$, מ־$n=3$ ל־$n=1$, ומ־$n=2$ ל־$n=1$. אין חיצים שיוצאים מ־$n=4$.

טעות נפוצה: לסמן גם מעברים מ־$n=4$. אנרגיית האלקטרונים ($7\,\text{eV}$) אינה מספיקה כדי לעורר את האטום לרמה זו.

אורך הגל הפוך לאנרגיית הפוטון, ולכן אורך הגל המרבי מתאים למעבר עם הפרש האנרגייה הקטן ביותר. מבין שלושת המעברים (סעיף ב), זהו המעבר $n=3\to n=2$:

מדף הנוסחאות:

(אור אדום, בתחום הנראה.)

אנרגיית הפוטון, מדף הנוסחאות:

אטום בולע פוטון רק אם אנרגיית הפוטון שווה בדיוק להפרש בין רמת היסוד לאחת הרמות המעוררות. לאחר הבליעה:

זו בדיוק רמה $n=3$. לכן הפוטונים ייבלעו, ויתקיים עירור מרמת היסוד לרמה $n=3$.

אנרגיית הפוטון:

אילו הפוטון נבלע, האטום היה מגיע לאנרגייה:

אין רמה כזאת: הערך נמצא בין $n=3$ ($-3.7\,\text{eV}$) ובין $n=4$ ($-1.6\,\text{eV}$). האנרגייה גם קטנה מאנרגיית היינון ($10.4\,\text{eV}$), כך שהאטום אינו יכול להתיינן. פוטון נבלע רק בשלמותו (אין בליעה חלקית של אנרגיית הפוטון), ולכן הפוטונים לא ייבלעו, ולא יתקיים עירור.

טעות נפוצה: לחשוב שהפוטון יעורר לרמה $n=3$ "וישאיר עודף", כמו אלקטרון בסעיף ב. אלקטרון יכול למסור חלק מהאנרגייה שלו, אבל פוטון נבלע רק אם האנרגייה שלו מתאימה בדיוק למעבר.

אנרגיית הפוטון:

האטומים נמצאים ברמת היסוד. אנרגיית היינון (המעבר מ־$n=1$ ל־$n=\infty$, שבו $E=0$) היא:

אנרגיית הפוטון גדולה מאנרגיית היינון. האנרגייה שנשארת לאחר ניתוק האלקטרון היא האנרגייה הקינטית שלו (בדומה ל־$E_{ph}=E_k+B$, כאשר במקום $B$ באה אנרגיית היינון):

ביחידות $\text{J}$:

קביעה: קרינת גמא ($\gamma$).

נימוק: על חלקיק טעון שנע בשדה מגנטי פועל כוח לורנץ. מדף הנוסחאות:

הקרינה נכנסת בניצב לשדה ($\alpha=90^\circ$), ולכן חלקיק טעון ($q\neq 0$) מרגיש כוח הניצב למהירותו ומסלולו מתעקם. כך קורה לקרינת אלפא (גרעיני הליום, מטען חיובי) ולקרינת בטא (אלקטרונים, מטען שלילי). הם מוסטים לכיוונים מנוגדים.

קרינת גמא היא קרינה אלקטרומגנטית (פוטונים בעלי אנרגייה גבוהה) ללא מטען, $q=0$. לכן $F=0$, והיא ממשיכה בקו ישר.

בפליטת גמא הגרעין עובר ממצב מעורר (מסומן $^{*}$) למצב אנרגייה נמוך יותר, ופולט את הפרש האנרגייה כפוטון:

לפוטון אין מטען ואין מספר מסה ($^{0}_{0}\gamma$). לכן מספר המסה $A$ ומספר האטום $Z$ של הגרעין אינם משתנים, ולא נוצר יסוד חדש. נשמרים גם המטען ($Z=Z+0$) וגם מספר הנוקלאונים ($A=A+0$).

טעות נפוצה: לשנות את $A$ או את $Z$ כמו בפליטת אלפא או בטא.

ציר אופקי: הזמן $t$ בימים (טווח $0$–$32$ ימים). ציר אנכי: מספר הגרעינים $N$ ביחידות של $10^{18}$ (טווח $0$–$8$).

הנקודות $(t\,[\text{ימים}],\,N\,[10^{18}])$ מהטבלה:

$(0,\,8)$, $(3.5,\,6)$, $(5.4,\,5)$, $(16,\,2)$, $(32,\,0.5)$.

מעבירים דרך הנקודות עקומה חלקה (לא קו ישר ולא קווים שבורים בין הנקודות). זו עקומה יורדת שקצב הירידה שלה הולך וקטן, בהתאם לחוק הדעיכה מדף הנוסחאות $N=N_0e^{-\lambda t}$:

טעות נפוצה: לחבר את הנקודות בקטעים ישרים או להעביר קו ישר. הדעיכה מעריכית, והעקומה מתעקלת ומתקרבת לציר הזמן.

זמן מחצית החיים הוא הזמן שבו מספר הגרעינים שלא התפרקו קטן לחצי.

בגרף: ב־$t=0$, $N_0=8\cdot 10^{18}$. מחצית מזה, $4\cdot 10^{18}$, מתקבלת בעקומה ב־$t\approx 8$ ימים (הקו המקווקו בגרף שבסעיף ג):

בדיקה בעזרת נקודות הטבלה: ב־$t=16$ ימים ($2T_{1/2}$) נשאר $2\cdot 10^{18}=\frac{N_0}{4}$, וב־$t=32$ ימים ($4T_{1/2}$) נשאר $0.5\cdot 10^{18}=\frac{N_0}{16}$, כמצופה.

קבוע הדעיכה – מדף הנוסחאות:

ביחידות SI ($8$ ימים $=8\cdot 86400=6.91\cdot 10^5\,\text{s}$):

מדף הנוסחאות, הפעילות של מקור רדיואקטיבי:

$\lambda$ קבוע, ולכן הפעילות יחסית למספר הגרעינים שלא התפרקו. ירידת הפעילות פי $10$ פירושה ירידה של $N$ פי $10$. לפי חוק הדעיכה:

הצבה, $\lambda=0.0866\,\frac{1}{\text{day}}$:

(בדיקת סבירות: $3T_{1/2}=24$ ימים נותנים ירידה פי $8$, ו־$4T_{1/2}=32$ ימים ירידה פי $16$. ירידה פי $10$ אכן נמצאת ביניהם.)

קביעה: זמן מחצית החיים שווה לזה של המדגם הראשון.

נימוק: מדף הנוסחאות:

קבוע הדעיכה $\lambda$ הוא ההסתברות ליחידת זמן שגרעין בודד יתפרק. זו תכונה של סוג הגרעין ($^{131}_{53}\text{I}$), והיא אינה תלויה בכמות הגרעינים. במדגם הכפול מתפרקים בכל רגע פי $2$ גרעינים ($R=\lambda N$ כפול), אבל גם יש פי $2$ גרעינים. לכן הזמן עד שמספרם קטן לחצי ($2N\to N$) זהה, $T_{1/2}=8$ ימים.

טעות נפוצה: להסיק שכמות גדולה יותר "לוקחת יותר זמן" להתפרק לחצי. הפעילות גדלה באותו יחס כמו מספר הגרעינים.