מתכונת 1 בפיזיקה - קרינה וחומר 36282

הפולס נוצר כל זמן שהמחולל נע: מ־$t_0=0$ עד $t_1=0.3\,\text{s}$, כלומר במשך $\Delta t=0.3\,\text{s}$. ברגע $t_0$ יצאה חזית הפולס מהמחולל, וברגע $t_1$ נוצר הזנב שלו. בזמן הזה החזית התקדמה מרחק השווה לאורך הפולס.

מתרשים א: הפולס משתרע מ־$x=2.0\,\text{m}$ עד $x=3.8\,\text{m}$, ולכן אורכו $\Delta x=3.8-2.0=1.8\,\text{m}$.

מהירות הפולס בקפיץ קבועה, ולכן:

טעות נפוצה: לחלק את המרחק שעברה החזית ($8.0-2.0=6\,\text{m}$) ב־$0.3\,\text{s}$ – ברגע $t_2$ הפולס כבר אינו בתהליך היווצרות; את $0.3\,\text{s}$ יש להתאים לאורך הפולס.

הפולס מתקדם שמאלה, ולכן החזית שלו היא הקצה השמאלי, $x=2.0\,\text{m}$. החזית יצאה מהמחולל ($x=8.0\,\text{m}$) ברגע $t_0=0$ ונעה במהירות קבועה $v=6\,\text{m/s}$:

בדיקה בעזרת הזנב: הזנב ($x=3.8\,\text{m}$) יצא מהמחולל ברגע $t_1=0.3\,\text{s}$ ועבר $8.0-3.8=4.2\,\text{m}$:

טעות נפוצה: לחשב את המרחק מ־$x=0$ (מהעמוד) – הפולס יוצא מהמחולל שבקצה $x=8.0\,\text{m}$.

הפולס הוא פולס רוחב: נקודות הקפיץ נעות רק בניצב לקפיץ (מעלה או מטה), ולכן התשובות האפשריות הן רק כיוון $1$ או כיוון $5$.

דרך 1 – לפי סדר היווצרות הפולס. הפולס מתקדם שמאלה, ולכן החלק השמאלי שלו הוא החלק הקדמי – הוא נוצר ראשון, כשהמחולל נע כלפי מטה. החלק הימני (האחורי) נוצר אחר כך, כשהמחולל נע כלפי מעלה. כל נקודה בקפיץ חוזרת על תנועת המחולל, באיחור.

- $K$ נמצאת בחלק הקדמי (משמאל לשפל): הפולס רק התחיל להגיע אליה, והיא עדיין יורדת – כיוון 5.

- $L$ נמצאת בחלק האחורי (מימין לשפל): השפל כבר עבר בה, והיא עולה חזרה לקו שיווי המשקל – כיוון 1.

דרך 2 – הזזת הפולס. מזיזים את צורת הפולס מעט שמאלה (בכיוון ההתקדמות): בנקודה $K$ הצורה שמימינה נמוכה יותר – לכן $K$ תרד; בנקודה $L$ הצורה שמימינה גבוהה יותר (קרובה לקו הישר) – לכן $L$ תעלה.

טעות נפוצה: לבחור כיוון אופקי ($7$, "עם הפולס") או אלכסוני – נקודות הקפיץ אינן מתקדמות עם הפולס; רק ההפרעה מתקדמת.

מהירות ההתפשטות של גל בקפיץ תלויה רק בתכונות התווך – במתיחות ובמסה ליחידת אורך – ולא בתדירות או במשרעת. זה אותו קפיץ והמתיחות לא השתנתה, ולכן מהירות הגל זהה למהירות הפולס: $v=6\,\text{m/s}$ (סעיף א).

מדף הנוסחאות, מהירות גל מחזורי:

טעות נפוצה: להשתמש במשרעת $2\,\text{cm}$ בחישוב – המשרעת אינה משפיעה על אורך הגל.

נתונים: $T=\frac{1}{f}=\frac{1}{5}=0.2\,\text{s}$, ולכן $\frac{T}{2}=0.1\,\text{s}$.

עד היכן הגיע הגל? החזית יצאה מ־$x=8.0\,\text{m}$ ברגע $t=0$ ונעה שמאלה. ברגע $\frac{T}{2}$ היא עברה

כלומר היא נמצאת ב־$x=8.0-0.6=7.4\,\text{m}$. משמאל לנקודה זו הקפיץ עדיין במנוחה: $y=0$.

צורת החלק שכבר רוטט. כל נקודה חוזרת על תנועת המחולל באיחור $\frac{8.0-x}{v}$:

•החזית ($x=7.4\,\text{m}$): מתחילה לנוע ממש עכשיו – $y=0$.

- $x=7.7\,\text{m}$: התחילה לנוע ברגע $\frac{T}{4}$ וירדה במשך רבע מחזור – היא בשפל: $y=-2\,\text{cm}$.

- $x=8.0\,\text{m}$ (המחולל): אחרי חצי מחזור חזר לשיווי משקל, $y=0$ (ונע כלפי מעלה).

כלומר בין $x=7.4\,\text{m}$ ל־$x=8.0\,\text{m}$ יש חצי גל – "שקע" אחד:

ברגע $t=T=0.2\,\text{s}$ החזית עברה $v\cdot T=6\cdot 0.2=1.2\,\text{m}=\lambda$, כלומר היא ב־$x=8.0-1.2=6.8\,\text{m}$. משמאל לה הקפיץ במנוחה.

- $x=6.8\,\text{m}$ (החזית): $y=0$, מתחילה לרדת.

- $x=7.1\,\text{m}$: נעה כבר רבע מחזור (כלפי מטה) – בשפל, $y=-2\,\text{cm}$.

- $x=7.4\,\text{m}$: נעה חצי מחזור – חזרה ל־$y=0$.

- $x=7.7\,\text{m}$: נעה שלושה רבעי מחזור – בשיא, $y=+2\,\text{cm}$.

- $x=8.0\,\text{m}$ (המחולל): השלים מחזור – $y=0$, ומתחיל שוב לרדת.

כלומר בין $x=6.8\,\text{m}$ ל־$x=8.0\,\text{m}$ יש אורך גל שלם: שפל (החלק הקדמי, ה"שקע" מסעיף (1) שהתקדם $0.6\,\text{m}$ שמאלה) ואחריו שיא:

טעות נפוצה: לסרטט את הגל לכל אורך הקפיץ – הגל מגיע רק עד המרחק $vt$ מהמחולל. טעות נוספת: להפוך את הצורה – החלק הקדמי של הגל הוא תמיד מה שהמחולל עשה ראשון (כאן: תנועה כלפי מטה, כלומר שפל).

קביעה: תבנית $A$ התקבלה עם לוחית $M$ (המרחק הקטן בין החריצים).

נימוק: לפי נוסחת יאנג מדף הנוסחאות:

בשתי המדידות אותו לייזר (אותו $\lambda$) ואותו מרחק $L$, ולכן רוחב הפס $\Delta X$ יחסי הפוך למרחק $d$ בין החריצים.

בתרשים ב הפסים בתבנית $A$ רחבים יותר מבתבנית $B$. רוחב פס גדול מתאים ל־$d$ קטן – כלומר ללוחית $M$. תבנית $B$, עם הפסים הצרים, התקבלה עם לוחית $K$.

טעות נפוצה: לחשוב שחריצים רחוקים יותר זה מזה "מפזרים" את הפסים למרחק גדול יותר – הקשר הפוך.

קריאה מתרשים ב. שתי התבניות מסורטטות על אותה מערכת צירים, והקו הראשון והקו האחרון בשתיהן נמצאים באותם מקומות על ציר $x$. באותו קטע:

•בתבנית $A$ (לוחית $M$) יש $5$ קווים, כלומר $4$ פסים: הקטע שווה ל־$4\Delta X_A$.

•בתבנית $B$ (לוחית $K$) יש $7$ קווים, כלומר $6$ פסים: הקטע שווה ל־$6\Delta X_B$.

לכן

יחס המרחקים בין החריצים. לפי $\Delta X=\frac{\lambda L}{d}$, עם אותם $\lambda$ ו־$L$:

פתרון המשוואות. נתון $d_K=d_M+0.10\,\text{mm}$:

טעות נפוצה: לספור קווים במקום מרווחים – $5$ קווים תוחמים $4$ פסים בלבד (ו־$7$ קווים תוחמים $6$ פסים), ולקבל יחס שגוי $\frac{7}{5}$.

רוחב פס אור שווה ל־$\Delta X$ בנוסחת יאנג (המרחק בין שני פסים סמוכים מאותו סוג). מדף הנוסחאות:

נתונים ללוחית $K$: $\Delta X=4.22\,\text{mm}=4.22\cdot 10^{-3}\,\text{m}$, $d_K=0.30\,\text{mm}=3.0\cdot 10^{-4}\,\text{m}$ (סעיף ב), $L=2.0\,\text{m}$:

זהו אור אדום, בתחום הנראה. (בדיקה עם לוחית $M$: $\Delta X_M=1.5\cdot 4.22=6.33\,\text{mm}$, ו־$\frac{6.33\cdot 10^{-3}\cdot 2.0\cdot 10^{-4}}{2.0}=6.33\cdot 10^{-7}\,\text{m}$ – אותה תוצאה.)

טעות נפוצה: לא להמיר מילימטרים למטרים לפני ההצבה.

ההיגד הנכון: 4 – "כאשר מגדילים את המרחק $L$ פי $2$, רוחב הפס בשתי התבניות גדל פי $2$."

נימוק: לפי נוסחת יאנג

לכל לוחית (לכל $d$) ובאותו לייזר, רוחב הפס יחסי ישר ל־$L$. שינוי ב־$L$ משפיע באותו אופן על שתי התבניות: הגדלת $L$ פי $2$ מגדילה את $\Delta X$ פי $2$ גם בתבנית של $K$ וגם בתבנית של $M$.

•היגד 1 שגוי: גם רוחב הפס בתבנית של $M$ גדל פי $2$.

•היגד 2 שגוי: היחס ישר, לא הפוך.

•היגד 3 שגוי: הקטנת $L$ מקטינה את רוחב הפס בשתי התבניות.

קביעה: לא תתקבל תבנית התאבכות יציבה.

נימוק: כדי שתתקבל תבנית התאבכות יציבה, שני המקורות צריכים להיות קוהרנטיים:

1. בעלי אותה תדירות (אותו אורך גל).

2. בעלי הפרש מופע קבוע בזמן.

שני לייזרים נפרדים, גם מאותו דגם, פולטים אור באורך גל כמעט זהה, אבל המופע של כל אחד מהם משתנה באופן בלתי תלוי בשני, ולכן הפרש המופע ביניהם משתנה באקראי במהירות רבה. מקומות ההתאבכות הבונה וההורסת על המרקע זזים כל הזמן, והעין רואה הארה ממוצעת אחידה, בלי פסים.

כאשר שני חריצים מוארים מאותו לייזר, כל חריץ מעביר חלק מאותה חזית גל: שני "המקורות" הם עותקים של אותו גל, והפרש המופע ביניהם קבוע – ולכן מתקבלת תבנית יציבה.

טעות נפוצה: לחשוב ש"אותה תדירות" מספיקה – בלי הפרש מופע קבוע אין תבנית יציבה.

קביעה: באורכי גל ארוכים.

הסבר: לפי המודל החלקיקי, האור מורכב מפוטונים שהאנרגייה של כל אחד מהם (מדף הנוסחאות):

אלקטרון נפלט מהקתודה רק אם פוטון יחיד מוסר לו אנרגייה שגדולה מפונקציית העבודה $B$ של המתכת או שווה לה ($E_{ph}=E_k+B$, $E_k\ge0$). ככל שאורך הגל ארוך יותר, האנרגייה של כל פוטון קטנה יותר. כאשר $\lambda$ ארוך מאורך גל הסף $\lambda_0=\frac{hc}{B}$, מתקיים $E_{ph}<B$ ואף פוטון אינו יכול לשחרר אלקטרון.

הגדלת העוצמה מגדילה את מספר הפוטונים ביחידת זמן, אבל לא את האנרגייה של כל פוטון. כל אלקטרון בולע פוטון אחד, ולכן גם בעוצמה גדולה מאוד אין פליטה ואין זרם.

קביעה: עוצמת הזרם קטנה.

הסבר: המסנן בולע חלק מהאור אך אינו משנה את צבעו – אורך הגל, ולכן גם האנרגייה של כל פוטון, לא השתנו. מה שהשתנה הוא מספר הפוטונים שפוגעים בקתודה ביחידת זמן: הוא קטן לחצי.

כל פוטון יכול לשחרר אלקטרון אחד לכל היותר, ולכן מספר האלקטרונים הנפלטים ביחידת זמן קטן באותו יחס. במתח האצה האלקטרונים הנפלטים מגיעים לאנודה, ולכן הזרם $I=\frac{\Delta q}{\Delta t}$, היחסי למספר האלקטרונים המגיעים לאנודה ביחידת זמן, קטן (בערך לחצי).

טעות נפוצה: לחשוב שהזרם לא ישתנה כי "אורך הגל לא השתנה" – אורך הגל קובע את האנרגייה של כל אלקטרון, ואילו הזרם נקבע על ידי מספר האלקטרונים.

קביעה: היגד 3 נכון.

הסבר: האלקטרונים נפלטים מהקתודה עם אנרגייה קינטית (גדולה מאפס), ולכן גם בלי מתח חלקם מגיעים לאנודה וזורם זרם – היגד 1 שגוי.

עם זאת, האלקטרונים שנמצאים במרחב שבין הקתודה לאנודה יוצרים "ענן" של מטען שלילי, הדוחה את האלקטרונים הנפלטים אחריו. אלקטרונים איטיים, וגם כאלה שנפלטו בכיוונים שאינם לעבר האנודה, אינם מגיעים אליה וחוזרים לקתודה. לכן הזרם במתח אפס קטן מזרם הרוויה של השלב הראשון, שבו מתח ההאצה אוסף את כל האלקטרונים – היגד 2 שגוי.

במתח העצירה $V$ נעצרים גם האלקטרונים המהירים ביותר, ולכן $eV=E_{k,\max}$. בנקודת החיתוך עם הציר האופקי, $\lambda_0=539.1\,\text{nm}$, מתח העצירה הוא אפס – כלומר האנרגייה הקינטית המרבית של האלקטרונים הנפלטים היא אפס.

לכן $\lambda_0$ הוא אורך גל הסף של מתכת הקתודה: אורך הגל הארוך ביותר שבו עוד נפלטים אלקטרונים. באורך גל זה כל האנרגייה של הפוטון משמשת לשחרור האלקטרון:

באורכי גל ארוכים יותר אין פליטה, ולכן הגרף אינו ממשיך מימין לנקודה זו.

מדף הנוסחאות:

האנרגייה הקינטית המרבית שווה לעבודה של מתח העצירה: $E_{k,\max}=eV$. לכן

זו משוואת קו ישר ב־$\frac1\lambda$: השיפוע $\frac{hc}{e}$, והחיתוך עם הציר האנכי ($\frac1\lambda=0$):

המשמעות: הערך המוחלט של נקודת החיתוך, ביחידות eV, שווה לפונקציית העבודה של מתכת הקתודה – האנרגייה המינימלית הדרושה לשחרור אלקטרון מהמתכת.

הערך המספרי: מסעיף ד, $B\approx2.30\,\text{eV}$, ולכן

זורם זרם רק אם נפלטים אלקטרונים ויש ביניהם כאלה שהאנרגייה הקינטית שלהם גדולה מ־$eV_1=1.0\,\text{eV}$, כלומר רק אם $E_{k,\max}=\frac{1240}{\lambda}-B>1.0\,\text{eV}$.

$\lambda_1=620\,\text{nm}$ – אין זרם. $\lambda_1>\lambda_0=539.1\,\text{nm}$: אנרגיית הפוטון $\frac{1240}{620}=2.0\,\text{eV}$ קטנה מפונקציית העבודה ($2.30\,\text{eV}$), ואין פליטה של אלקטרונים כלל.

$\lambda_2=450\,\text{nm}$ – אין זרם. נפלטים אלקטרונים, אבל

גם האלקטרונים המהירים ביותר נעצרים לפני האנודה וחוזרים לקתודה (מתח העצירה $0.46\,\text{V}$ קטן מ־$V_1$).

לחלק מהאלקטרונים (אלה שהאנרגייה הקינטית שלהם גדולה מ־$1.0\,\text{eV}$) יש די אנרגייה כדי להגיע לאנודה, וזורם זרם (קטן מזרם הרוויה).

טעות נפוצה: לקבוע ש־$\lambda_2$ יוצר זרם רק משום שהוא קצר מאורך גל הסף – יש פליטה, אבל המתח המעכב עוצר את כל האלקטרונים.

1. רמות אנרגייה בדידות: לפי מודל בוהר, לאטום רק ערכי אנרגייה מסוימים. מעבר בין רמות מחייב בדיוק את הפרש האנרגיות:

2. בליעה בררנית: אטום ברמת היסוד בולע פוטון רק אם האנרגייה שלו, $E_{ph}=\frac{hc}{\lambda}$, שווה בדיוק להפרש בין רמת היסוד לאחת הרמות המעוררות. שלושת אורכי הגל הבדידים מתאימים לשלושה הפרשים כאלה; בשאר אורכי הגל (מעל $155\,\text{nm}$) הקרינה עוברת בלי להיבלע.

3. מדוע הפליטה מחדש לא "ממלאת" את החסר: האטום המעורר אכן חוזר לרמת היסוד ופולט פוטון באותה אנרגייה, אבל הפוטון נפלט בכיוון אקראי – לכל הכיוונים במרחב. הגלאי נמצא רק בכיוון האלומה ומקבל רק חלק זעיר מהפוטונים הנפלטים. לכן באורכי גל אלה העוצמה שמגיעה לגלאי נמוכה בהרבה מבשאר אורכי הגל.

(הבליעה הרציפה מתחת ל־$155\,\text{nm}$ נובעת מיינון – ראו סעיף ב.)

בכל התחום $120$–$155\,\text{nm}$ הקרינה נבלעת – ללא תלות באורך הגל המדויק. זו בליעה שמייננת את האטום: פוטון שאנרגייתו גדולה מאנרגיית היינון או שווה לה משחרר את האלקטרון, והעודף הופך לאנרגייה קינטית של האלקטרון החופשי, שאינה מוגבלת לערכים בדידים.

גבול התחום, $\lambda=155.0\,\text{nm}$, מתאים לפוטון בעל האנרגייה הקטנה ביותר שעדיין מייננת, כלומר לאנרגיית היינון. מדף הנוסחאות:

ביחידות SI: $8.00\cdot 1.6\cdot 10^{-19}=1.28\cdot 10^{-18}\,\text{J}$.

בחירת אפס: כמו באטום המימן, האנרגייה של אלקטרון חופשי במנוחה (אטום מיונן) היא אפס. רמת היסוד נמצאת באנרגיית היינון מתחת לאפס:

שלושת אורכי הגל הבדידים הם מעברים מרמת היסוד לשלוש הרמות המעוררות. האנרגיות לפי $E_{ph}=\frac{1240}{\lambda}$:

- $\lambda=326.3\,\text{nm}$: $E_{ph}=\frac{1240}{326.3}=3.80\,\text{eV}$ (הקטנה ביותר – הרמה הקרובה ביותר לרמת היסוד)

- $\lambda=210.2\,\text{nm}$: $E_{ph}=\frac{1240}{210.2}=5.90\,\text{eV}$

- $\lambda=182.4\,\text{nm}$: $E_{ph}=\frac{1240}{182.4}=6.80\,\text{eV}$

אנרגיות הרמות לפי $E_{ph}=E_f-E_i$, כלומר $E_f=E_1+E_{ph}$:

הדיאגרמה (מרווחים בקנה מידה בקירוב, וקו מקווקו ב־$E=0$):

האלקטרונים המהירים ביותר משתחררים על ידי הפוטונים בעלי האנרגייה הגבוהה ביותר בסריקה – אורך הגל הקצר ביותר, $\lambda=120\,\text{nm}$:

חלק מהאנרגייה מיינן את האטום (מרמת היסוד), והשאר הוא האנרגייה הקינטית של האלקטרון (בדומה ל־$E_{ph}=E_k+B$, כאן במקום $B$ – אנרגיית היינון):

מ־$E_k=\tfrac12 m_ev^2$:

טעות נפוצה: להשתמש בפוטון של $155\,\text{nm}$ – הוא משחרר אלקטרון בלי אנרגייה קינטית; המהירות המרבית מתקבלת בקצה הקצר של תחום הסריקה.

אטום מעורר יכול לרדת מכל רמה לכל רמה נמוכה ממנה, ובכל ירידה נפלט פוטון שאנרגייתו שווה להפרש הרמות. עם ארבע רמות יש

מעברים – שישה קווים. מסמנים שישה חיצים כלפי מטה:

טעות נפוצה: לסמן רק את שלושת המעברים לרמת היסוד (שנראו בבליעה) – בפליטה יש גם מעברים בין רמות מעוררות.

תחום האנרגיות של האור הנראה לפי $E=\frac{1240}{\lambda}$:

אנרגיות ששת הקווים ($E_{ph}=E_i-E_f$):

- $4\to1$: $6.80\,\text{eV}$, $3\to1$: $5.90\,\text{eV}$, $2\to1$: $3.80\,\text{eV}$ – על־סגול (קווי הבליעה).

- $4\to2$: $-1.20-(-4.20)=3.00\,\text{eV}$, $\lambda=\frac{1240}{3.00}\approx 413\,\text{nm}$ – נראה (סגול).

- $3\to2$: $-2.10-(-4.20)=2.10\,\text{eV}$, $\lambda=\frac{1240}{2.10}\approx 590\,\text{nm}$ – נראה (צהוב־כתום).

- $4\to3$: $-1.20-(-2.10)=0.90\,\text{eV}$, $\lambda\approx 1378\,\text{nm}$ – תת־אדום.

התפרקות $\alpha$ פולטת גרעין הליום ${}^4_2\text{He}$: מספר המסה קטן ב־$4$ והמספר האטומי קטן ב־$2$.

התפרקות $\beta^-$ פולטת אלקטרון ${}^{\ 0}_{-1}e$: מספר המסה לא משתנה והמספר האטומי גדל ב־$1$.

מספר התפרקויות $\alpha$: רק התפרקויות $\alpha$ משנות את מספר המסה:

מספר התפרקויות $\beta^-$: ארבע התפרקויות $\alpha$ מקטינות את המספר האטומי ב־$8$ (מ־$88$ ל־$80$), אבל בפועל הוא קטן רק ל־$82$:

בדיקה לפי התרשים: ${}^{228}\text{Ra}\xrightarrow{\beta^-}{}^{228}\text{Ac}\xrightarrow{\beta^-}{}^{228}\text{Th}\xrightarrow{\alpha}{}^{224}\text{Ra}\xrightarrow{\alpha}{}^{220}\text{Rn}\xrightarrow{\alpha}{}^{216}\text{Po}\xrightarrow{\alpha}{}^{212}\text{Pb}$.

טעות נפוצה: להסיק שאין התפרקויות $\beta$ כי "מתחילים ומסיימים ברדיום ובעופרת" – המספר האטומי קובע זאת, ושתי התפרקויות $\beta^-$ מתרחשות בתחילת השרשרת.

לפי התרשים, רדון $220$ מתפרק לפולוניום $216$: מספר המסה קטן ב־$4$, ולכן זו התפרקות $\alpha$. המספר האטומי של רדון ($86$) נתון.

משוואת ההתפרקות, עם שימור מספר המסה ושימור המטען:

לכן גרעין הבת הוא ${}^{216}_{\ 84}\text{Po}$ – פולוניום $216$.

מדף הנוסחאות: $N=N_0e^{-\lambda t}$ ו־$R=\lambda N$, ולכן גם הפעילות דועכת באותו אופן: $R=R_0e^{-\lambda t}$. בכל זמן מחצית חיים הפעילות קטנה פי $2$.

הפעילות פחתה פי $16=2^4$, כלומר עברו בדיוק ארבעה זמני מחצית חיים:

טעות נפוצה: לחלק ב־$16$ או ב־$8$ – ירידה פי $16$ היא ארבע הכפלות של $\frac12$.

מדף הנוסחאות:

הצבה: