דילוג לתוכן המרכזי

מתכונת 5 בפיזיקה - קרינה וחומר 36282

5 יח"ל · שאלון 036282 · 5 שאלות (עונים על 3) · פתרון מלא לכל סעיף

מבחן מתכונת בפיזיקה בנושא קרינה וחומר, במבנה של בחינת הבגרות ולפי מיקוד תשפ"ז. כל שאלה בה בנויה כמו שאלה מבגרות אחרת. לכל סעיף יש תשובה סופית ופתרון מלא - פתרו בזמן של הבחינה, ורק אחר כך פתחו את הפתרונות.

שאלה 1 · התאבכות גלי ים מאחורי שני פתחים בשובר גלים

נמל קטן מוגן מפני גלי הים על ידי שובר גלים ישר, ובו שני פתחים צרים S1S_1 ו־S2S_2. גלי ים ישרים מגיעים מן הים הפתוח בניצב לשובר הגלים ועוברים דרך שני הפתחים. בתוך הנמל כל פתח פועל כמקור נקודתי של גלים מעגליים, ושני המקורות הם שווי מופע ושווי משרעת. עומק המים בנמל אחיד, והמים רדודים: הניחו כי מהירות ההתפשטות של הגלים בנמל תלויה רק בעומק המים.

בתרשימים א, ב שלפניכם מתוארים במבט מלמעלה השיאים של הגלים בנמל בשני ימים שונים: ביום הראשון תדירות הגלים היא f1f_1 (תרשים א), וביום השני תדירות הגלים היא f2f_2 (תרשים ב). בשני התרשימים המרחק dd בין הפתחים זהה.

א.

קבעו על פי תרשים א ותרשים ב אם התדירות f1f_1 גדולה מן התדירות f2f_2, קטנה ממנה או שווה לה. נמקו את קביעתכם.

(7 נקודות)

תבנית ההתאבכות שנוצרת בנמל ביום השני מתוארת באופן סכמטי בתרשים ג. השיאים של כל אחד משני הגלים מסומנים בקווים מלאים, והשפלים מסומנים בקווים מקווקוים.

שימו לב: תרשים ג אינו בקנה מידה.

ענו על הסעיפים ב–ה לפי תרשים ג.

מצוף AA המסומן בתרשים ג נמצא על קו המקסימום מסדר שני (n=2n=2).

נתון: S2A=172 mS_2A=172\,\text{m}, S1A=132 mS_1A=132\,\text{m} .

ב.

חשבו את אורך הגל λ\lambda של הגלים שבתרשים ג. פרטו את חישוביכם.

(7 נקודות)
ג.

בנוגע לכל אחת מן הנקודות BB ו־CC שבתרשים ג, קבעו אם נוצרת בה התאבכות בונה, התאבכות הורסת או אם היא נקודת ביניים. נמקו את קביעותיכם.

(8 נקודות)
ד.

נתון: מהירות ההתפשטות של הגלים בנמל היא v=5 m/sv=5\,\text{m/s} .

חשבו את התדירות f2f_2 של הגלים ביום השני.

(7 נקודות)
ה.

מהנדסי הנמל רוצים שקווי המקסימום בנמל יהיו צפופים יותר: הציעו שינוי במבנה של שובר הגלים שיקטין את רוחב הפס (המרחק בין קו המקסימום מסדר אפס לבין קו המקסימום מסדר ראשון), כאשר תדירות הגלים אינה משתנה.

(4.33 נקודות)
◂ פתרון מלא לשאלה 1

סעיף א

תשובה:

f1<f2f_1<f_2

קביעה: התדירות f1f_1 קטנה מהתדירות f2f_2.

נימוק: בשני הימים הגלים מתפשטים באותם מים רדודים, בנמל שעומקו אחיד. לפי הנתון מהירות ההתפשטות תלויה רק בעומק המים, ולכן vv זהה בשני המקרים.

בתרשים א המרחק בין שני שיאים סמוכים (בין שני מעגלים סמוכים סביב אותו פתח) גדול יותר מאשר בתרשים ב, כלומר אורך הגל ביום הראשון גדול יותר: λ1>λ2\lambda_1>\lambda_2. המרחק dd בין הפתחים זהה, ובתרשים ב רואים יותר שיאים על אותו קטע.

לפי הנוסחה מדף הנוסחאות:

v=λf  ⇒  f=vλv=\lambda f\;\Rightarrow\;f=\frac{v}{\lambda}

כאשר vv קבוע, אורך גל גדול יותר פירושו תדירות קטנה יותר. לכן f1<f2f_1<f_2.

טעות נפוצה: לחשוב שגלים "גדולים" (אורך גל גדול) הם גלים בתדירות גבוהה – בתווך נתון התדירות ואורך הגל יחסיים הפוך.

סעיף ב

תשובה:

λ=20 m\lambda=20\,\text{m}

מצוף AA נמצא על קו המקסימום מסדר שני (n=2n=2). בנקודה על קו מקסימום של שני מקורות שווי מופע, הפרש הדרכים מן המקורות שווה למספר שלם של אורכי גל:

∣S2A−S1A∣=nλ|S_2A-S_1A|=n\lambda

עם n=2n=2:

λ=S2A−S1A2\lambda=\frac{S_2A-S_1A}{2}

הצבה:

λ=172 m−132 m2=40 m2=20 m\lambda=\frac{172\,\text{m}-132\,\text{m}}{2}=\frac{40\,\text{m}}{2}=20\,\text{m}

(אפשר לוודא בתרשים: דרך AA עוברים שיא של הגל מ־S1S_1 ושיא של הגל מ־S2S_2, והשיא מ־S2S_2 רחוק ממנו בשני מעגלים נוספים.)

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב־n=2n=2 ולקבל λ=40 m\lambda=40\,\text{m} – זו התשובה של קו מקסימום מסדר ראשון.

סעיף ג

תשובה:

BB – התאבכות בונה (שפל עם שפל). CC – התאבכות הורסת (שיא עם שפל).

בתרשים הקווים המלאים הם שיאים והקווים המקווקוים הם שפלים, וכל קשת שייכת לגל של אחד הפתחים.

נקודה BB – התאבכות בונה.

דרך BB עוברים שני קווים מקווקוים: שפל של הגל מ־S1S_1 ושפל של הגל מ־S2S_2. שני הגלים מגיעים לנקודה באותו מופע, ולפי עקרון הסופרפוזיציה ההעתקים מתחברים: ברגע המתואר המים ב־BB נמצאים בשפל שעומקו כפול ממשרעת של גל בודד. המקורות שווי מופע ושווי תדירות, ולכן ההתאמה נשמרת בכל רגע (חצי מחזור אחר כך יגיעו לשם שני שיאים). BB נמצאת על קו מקסימום – הפרש הדרכים שלה מן הפתחים הוא מספר שלם של אורכי גל (כאן λ\lambda אחד: היא רחוקה מ־S1S_1 בקשת אחת יותר מאשר מ־S2S_2).

נקודה CC – התאבכות הורסת.

דרך CC עוברים קו מלא (שיא של הגל מ־S2S_2) וקו מקווקו (שפל של הגל מ־S1S_1). שני הגלים מגיעים לנקודה בהפרש מופע של חצי מחזור, והמשרעות שוות – ולכן ההעתקים מבטלים זה את זה בכל רגע, והמים ב־CC כמעט אינם נעים. CC נמצאת על קו צומת, והפרש הדרכים שלה הוא (n−12)λ(n-\tfrac12)\lambda (כאן 1.5λ1.5\lambda).

טעות נפוצה: לקבוע שב־BB ההתאבכות הורסת "כי יש שם שפלים" – שפל עם שפל הוא התאבכות בונה בדיוק כמו שיא עם שיא.

סעיף ד

תשובה:

f2=0.25 Hzf_2=0.25\,\text{Hz}

תדירות הגלים בנמל שווה לתדירות גלי הים המגיעים לפתחים (מעבר דרך פתח אינו משנה את התדירות). מדף הנוסחאות:

v=λf  ⇒  f2=vλv=\lambda f\;\Rightarrow\;f_2=\frac{v}{\lambda}

עם λ=20 m\lambda=20\,\text{m} (סעיף ב) ו־v=5 m/sv=5\,\text{m/s}:

f2=5 m/s20 m=0.25 Hzf_2=\frac{5\,\text{m/s}}{20\,\text{m}}=0.25\,\text{Hz}

כלומר זמן מחזור של 4 s4\,\text{s} – ערך סביר לגלי ים.

סעיף ה

תשובה:

להרחיק את שני הפתחים זה מזה – להגדיל את dd.

הצעה: לפתוח את הפתחים רחוק יותר זה מזה – להגדיל את המרחק dd בין הפתחים.

הסבר: לפי הנוסחה לקווי מקסימום מדף הנוסחאות:

sin⁡θn=XnLn=nλd\sin\theta_n=\frac{X_n}{L_n}=n\frac{\lambda}{d}

קו המקסימום מסדר ראשון נמצא בזווית sin⁡θ1=λd\sin\theta_1=\frac{\lambda}{d} מקו המקסימום המרכזי. התדירות לא משתנה, והמים (עומקם) לא משתנים, ולכן אורך הגל λ=vf\lambda=\frac{v}{f} לא משתנה. הגדלת dd מקטינה את sin⁡θ1\sin\theta_1, וקו המקסימום מסדר ראשון מתקרב לקו המרכזי – רוחב הפס קטן (בהתאם ל־ΔXL=λd\frac{\Delta X}{L}=\frac{\lambda}{d}).

טעות נפוצה: להציע לקרב את הפתחים זה לזה – זה דווקא מגדיל את רוחב הפס.

שאלה 2 · עקיפה בסדק יחיד: מיקום הפס החשוך הראשון כפונקציה של רוחב הסדק

תלמידים ערכו ניסוי במעבדה באמצעות המערכת המתוארת בתרשים שלפניכם. אלומה של אור לייזר מונוכרומטי פוגעת בלוחית שבה סדק צר יחיד שאפשר לשנות את רוחבו, ww. כיוון האור הפוגע ניצב למישור הלוחית. במרחק LL מן הלוחית מוצב מסך במקביל ללוחית. על המסך מתקבלת תבנית עקיפה: פס מואר רחב במרכז, ומשני צדיו פסים חשוכים ופסים מוארים חלשים.

התלמידים שינו את רוחב הסדק ww, ובכל פעם מדדו את X1X_1 – המרחק על המסך בין מרכז הפס המואר המרכזי לבין מרכז הפס החשוך הראשון.

בטבלה שלפניכם מוצגות תוצאות הניסוי.

w [mm]w\,[\text{mm}]0.100.100.150.150.200.200.250.250.300.300.400.40
X1 [mm]X_1\,[\text{mm}]13.313.38.58.56.66.65.15.14.44.43.23.2
המשתנה החדש
א.
(1)

רשמו ביטוי של המרחק X1X_1 כפונקציה של רוחב הסדק, ww.

(2)

החליפו את המשתנה ww במשתנה חדש, שהקשר בינו לבין X1X_1 הוא קשר לינארי. מהו המשתנה החדש?

(4 נקודות)
ב.

העתיקו את הטבלה למחברתכם, והוסיפו בה את הערכים של המשתנה החדש ואת היחידות המתאימות.

(4 נקודות)
ג.

סרטטו גרף (דיאגרמת פיזור) של X1X_1 כפונקציה של המשתנה החדש, והוסיפו בו קו מגמה לינארי.

(10.33 נקודות)

נתון: L=2.00 mL=2.00\,\text{m}.

ד.

חשבו את אורך הגל של אור הלייזר באמצעות השיפוע של קו המגמה.

(7 נקודות)
ה.
(1)

העתיקו למחברתכם (בקירוב) את התרשים שבפתיח, וסמנו בו את המרחק בין מרכז הפס המואר המרכזי לבין הפס החשוך מִסדר 22 (n=2)(n=2).

(2)

חשבו את המרחק הזה עבור w=0.12 mmw=0.12\,\text{mm}, באמצעות נקודה מקו המגמה.

(8 נקודות)
◂ פתרון מלא לשאלה 2

סעיף א

(1)
תשובה:

X1=LλwX_1=\dfrac{L\lambda}{w}

מנוסחת קווי הצומת בעקיפה בסדק יחיד (דף הנוסחאות), עבור n=1n=1:

sin⁡θ1=X1L=λw\sin\theta_1=\frac{X_1}{L}=\frac{\lambda}{w}

(בזוויות קטנות sin⁡θ≈tan⁡θ=X1L\sin\theta\approx\tan\theta=\frac{X_1}{L}; כאן X1X_1 הוא מילימטרים ספורים ו־LL מטרים, ולכן הקירוב טוב מאוד.) מכאן:

X1=LλwX_1=\frac{L\lambda}{w}

LL ו־λ\lambda קבועים בניסוי, ולכן X1X_1 ביחס הפוך ל־ww: סדק צר יותר – תבנית רחבה יותר (ואכן בטבלה, הגדלת ww פי 22 מ־0.100.10 ל־0.20 mm0.20\,\text{mm} מקטינה את X1X_1 בערך פי 22, מ־13.313.3 ל־6.6 mm6.6\,\text{mm}).

(2)
תשובה:

1w\dfrac1w

נכתוב את הביטוי בצורה:

X1=Lλ⋅1wX_1=L\lambda\cdot\frac1w

זו משוואה של קו ישר העובר בראשית, y=kxy=kx, כאשר y=X1y=X_1, x=1wx=\frac1w והשיפוע k=Lλk=L\lambda.

לכן המשתנה החדש הוא 1w\dfrac1w (ההופכי של רוחב הסדק).

סעיף ב

תשובה:

1w [mm−1]\frac1w\,[\text{mm}^{-1}]: 1010, 6.676.67, 55, 44, 3.333.33, 2.52.5

מחשבים 1w\frac1w לכל עמודה. היחידות: 1mm\frac{1}{\text{mm}} (או mm−1\text{mm}^{-1}).

w [mm]w\,[\text{mm}]0.100.100.150.150.200.200.250.250.300.300.400.40
X1 [mm]X_1\,[\text{mm}]13.313.38.58.56.66.65.15.14.44.43.23.2
1w [mm−1]\frac1w\,[\text{mm}^{-1}]10106.676.6755443.333.332.52.5

(אפשר גם ביחידות SI: 1w [m−1]=104, 6.67⋅103, 5⋅103, 4⋅103, 3.33⋅103, 2.5⋅103\frac1w\,[\text{m}^{-1}]=10^4,\ 6.67\cdot10^3,\ 5\cdot10^3,\ 4\cdot10^3,\ 3.33\cdot10^3,\ 2.5\cdot10^3 – ואז גם X1X_1 צריך להיות במטרים.)

טעות נפוצה: לרשום את המשתנה החדש בלי יחידות, או לרשום יחידות של mm\text{mm} במקום 1mm\frac{1}{\text{mm}}.

סעיף ג

תשובה:

נקודות (1w,X1)(\frac1w,X_1) המסתדרות סביב ישר דרך הראשית; קו המגמה: X1≈1.31⋅1wX_1\approx 1.31\cdot\frac1w (שיפוע ≈1.31 mm2\approx 1.31\,\text{mm}^2).

הצירים: ציר אופקי – 1w [mm−1]\frac1w\,[\text{mm}^{-1}], מ־00 עד 1111. ציר אנכי – X1 [mm]X_1\,[\text{mm}], מ־00 עד 1515. בוחרים קנה מידה אחיד בכל ציר, שבו הנקודות תופסות את רוב שטח הגרף.

הנקודות (1w [mm−1], X1 [mm])\left(\frac1w\,[\text{mm}^{-1}],\ X_1\,[\text{mm}]\right):

(10, 13.3)(10,\,13.3), (6.67, 8.5)(6.67,\,8.5), (5, 6.6)(5,\,6.6), (4, 5.1)(4,\,5.1), (3.33, 4.4)(3.33,\,4.4), (2.5, 3.2)(2.5,\,3.2).

קו המגמה: מעבירים בסרגל קו ישר אחד שהנקודות מפוזרות סביבו משני צדיו. לפי הביטוי X1=Lλ⋅1wX_1=L\lambda\cdot\frac1w הקו צריך לעבור (בקירוב) דרך הראשית.

1/w (1/mm)X1 (mm)012345678910110123456789101112131415

שיפוע הקו – משתי נקודות על הקו, רחוקות זו מזו, למשל (2 mm−1, 2.62 mm)(2\,\text{mm}^{-1},\,2.62\,\text{mm}) ו־(10 mm−1, 13.1 mm)(10\,\text{mm}^{-1},\,13.1\,\text{mm}):

k=ΔX1Δ(1w)=13.1−2.6210−2=10.488≈1.31 mm2k=\frac{\Delta X_1}{\Delta\left(\frac1w\right)}=\frac{13.1-2.62}{10-2}=\frac{10.48}{8}\approx1.31\,\text{mm}^2

(התאמה בשיטת הריבועים הפחותים דרך הראשית נותנת 1.31 mm21.31\,\text{mm}^2; שיפוע בין 1.281.28 ל־1.34 mm21.34\,\text{mm}^2 מתאים לקו שסורטט ביד.)

טעות נפוצה: לחבר את הנקודות בקו שבור, או לחשב את השיפוע משתי נקודות של הטבלה במקום משתי נקודות על קו המגמה.

סעיף ד

תשובה:

λ≈6.6⋅10−7 m≈655 nm\lambda\approx 6.6\cdot10^{-7}\,\text{m}\approx 655\,\text{nm}

מהביטוי X1=Lλ⋅1wX_1=L\lambda\cdot\frac1w, השיפוע של קו המגמה הוא:

k=Lλ  ⇒  λ=kLk=L\lambda\;\Rightarrow\;\lambda=\frac{k}{L}

ביחידות SI: k=1.31 mm2=1.31⋅10−6 m2k=1.31\,\text{mm}^2=1.31\cdot10^{-6}\,\text{m}^2, L=2.00 mL=2.00\,\text{m}:

λ=1.31⋅10−62.00≈6.55⋅10−7 m≈655 nm\lambda=\frac{1.31\cdot10^{-6}}{2.00}\approx 6.55\cdot10^{-7}\,\text{m}\approx 655\,\text{nm}

זהו אור אדום, בתחום האור הנראה – תוצאה סבירה ללייזר.

טעות נפוצה: להמיר mm2\text{mm}^2 ל־m2\text{m}^2 בחלוקה ב־10001000 במקום ב־10610^6.

סעיף ה

(1)
תשובה:

על המסך: מרכז הפס המואר המרכזי מול הסדק (בהמשך הקו המקווקו), והפס החשוך מסדר 2 – הפס החשוך השני מעליו (או מתחתיו). המרחק ביניהם הוא X2=2X1X_2=2X_1.

מעתיקים את התרשים: הלייזר, הלוחית עם הסדק, המרחק LL והמסך עם תבנית העוצמה.

הסימון:

- מרכז הפס המואר המרכזי: על המסך, בדיוק מול הסדק – בנקודה שבה הקו המקווקו פוגע במסך (שיא העוצמה הגבוה).

- הפס החשוך מסדר 2 (n=2n=2): נקודת העוצמה האפס השנייה מעל המרכז (או מתחתיו) – אחרי הפס החשוך הראשון ואחרי הפס המואר הצדדי הראשון.

•מסמנים חץ דו־כיווני לאורך המסך בין שתי הנקודות. לפי הנוסחה sin⁡θn=XnL=nλw\sin\theta_n=\frac{X_n}{L}=\frac{n\lambda}{w}, המרחק הזה הוא X2=2X1X_2=2X_1.

(2)
תשובה:

X2=2X1≈22 mmX_2=2X_1\approx 22\,\text{mm} (X1≈10.9 mmX_1\approx10.9\,\text{mm})

עבור w=0.12 mmw=0.12\,\text{mm}:

1w=10.12≈8.33 mm−1\frac1w=\frac1{0.12}\approx 8.33\,\text{mm}^{-1}

קוראים מקו המגמה את X1X_1 בנקודה זו (או מציבים במשוואת הקו):

X1=k⋅1w=1.31⋅8.33≈10.9 mmX_1=k\cdot\frac1w=1.31\cdot 8.33\approx 10.9\,\text{mm}

המרחק בין מרכז הפס המואר המרכזי לפס החשוך מסדר 22 (n=2n=2):

X2=2X1=2⋅10.9≈21.8 mm≈2.2 cmX_2=2X_1=2\cdot10.9\approx 21.8\,\text{mm}\approx 2.2\,\text{cm}

טעות נפוצה: לענות X1≈10.9 mmX_1\approx10.9\,\text{mm} בלי להכפיל ב־22 – זה המרחק לפס החשוך מסדר 11 בלבד.

שאלה 3 · האפקט הפוטואלקטרי: עקומות זרם–מתח בשני אורכי גל אולטרה־סגול וסגול

א.

איזה מבין ההיגדים 1–4 שלפניכם מתאר נכון את מה שקורה באפקט הפוטואלקטרי?

1. האור מחמם את המתכת, ואלקטרונים "מתאדים" ממנה כאשר הטמפרטורה גבוהה מספיק.

2. כל פוטון יכול למסור את כל האנרגייה שלו לאלקטרון אחד, והאלקטרון נעקר מן המתכת אם אנרגיית הפוטון גדולה מפונקציית העבודה.

3. אור בכל תדירות עוקר אלקטרונים מן המתכת, בתנאי שעוצמתו גדולה מספיק.

4. המתכת בולעת את האור ופולטת אור בתדירות נמוכה יותר.

(4 נקודות)

תלמיד ערך את ניסוי "האפקט הפוטואלקטרי" בעזרת תא פוטואלקטרי מסוים ושני מקורות אור מונוכרומטי, שלכל אחד מהם עוצמת אור קבועה: נורית אולטרה־סגולה שאורך הגל שלה 365 nm365\,\text{nm}, ונורית סגולה שאורך הגל שלה 436 nm436\,\text{nm}.

העקומות א–ג בגרף שלפניכם מתארות את עוצמת הזרם II בתא כפונקצייה של המתח VV בין האנודה (קולט) לקתודה (פולט), עבור המדידות של התלמיד.

ב.

בנוגע לכל אחת משלוש העקומות א–ג, קבעו את אורך הגל המתאים לה. נמקו את קביעותיכם.

(6 נקודות)
ג.

חשבו בעזרת אחת מן העקומות את פונקציית העבודה של הקתודה (הפולט) בתא הפוטואלקטרי.

(6.33 נקודות)
ד.

בגרף אפשר לראות כי כאשר המתח הוא V=0V=0 עובר זרם בתא הפוטואלקטרי.

הסבירו כיצד עובר זרם גם בהיעדר מתח, ומדוע הוא קטן מזרם הרוויה של אותה עקומה.

(6 נקודות)
ה.

הסבירו מה עשה התלמיד כדי שיתקבלו שתי עקומות שונות עבור אותו אורך גל.

(5 נקודות)
ו.

תלמיד אחר טוען: "אם נמשיך להגדיל את המתח, האלקטרונים יגיעו לאנודה מהר יותר, ולכן עוצמת הזרם תמשיך לגדול". הסבירו מדוע הטענה שגויה, כלומר מדוע בכל שלוש העקומות עוצמת הזרם אינה גדלה מעבר למתח מסוים.

(6 נקודות)
◂ פתרון מלא לשאלה 3

סעיף א

תשובה:

היגד 2.

תשובה: היגד 2.

לפי המודל החלקיקי של האור, האור מורכב מפוטונים שהאנרגייה של כל אחד מהם Eph=hfE_{ph}=hf. באפקט הפוטואלקטרי פוטון אחד מוסר את כל האנרגייה שלו לאלקטרון אחד. אם hf>Bhf>B (פונקציית העבודה), האלקטרון נעקר, והעודף הופך לאנרגייה הקינטית שלו: Eph=B+EkE_{ph}=B+E_k.

•היגד 1 מתאר פליטה תרמית (חימום) – לא האפקט הפוטואלקטרי, שמתרחש מייד גם במתכת קרה.

•היגד 3 שגוי: מתחת לתדירות הסף לא נעקרים אלקטרונים בכלל, גם בעוצמה גדולה מאוד – וזו בדיוק העובדה שהמודל הגלי לא הסביר.

•היגד 4 מתאר פלואורסצנציה, ולא עקירת אלקטרונים.

סעיף ב

תשובה:

עקומות א ו־ג: 365 nm365\,\text{nm}. עקומה ב: 436 nm436\,\text{nm}.

קביעה: עקומות א ו־ג מתאימות לאור שאורך הגל שלו 365 nm365\,\text{nm}, ועקומה ב מתאימה לאור שאורך הגל שלו 436 nm436\,\text{nm}.

נימוק: כל עקומה חותכת את ציר המתח במתח שלילי – מתח העצירה V0V_0. במתח זה אפילו האלקטרונים המהירים ביותר אינם מגיעים לאנודה, ולכן eV0=Ek,max⁡eV_0=E_{k,\max}. לפי משוואת האפקט הפוטואלקטרי מדף הנוסחאות:

Eph=B+Ek  ⇒  Ek,max⁡=hcλ−BE_{ph}=B+E_k\;\Rightarrow\;E_{k,\max}=\frac{hc}{\lambda}-B

הקתודה זהה בכל המדידות (אותה BB), ולכן ככל שאורך הגל קצר יותר, אנרגיית הפוטון גדולה יותר, וגודל מתח העצירה גדול יותר.

•לעקומות א ו־ג אותו מתח עצירה, 1.10 V1.10\,\text{V} (הגדול יותר) – הן מתאימות לאורך הגל הקצר, 365 nm365\,\text{nm}.

•לעקומה ב מתח עצירה 0.54 V0.54\,\text{V} (הקטן יותר) – היא מתאימה ל־436 nm436\,\text{nm}.

בדיקה: 1240365−1240436≈3.40−2.84=0.56 eV\frac{1240}{365}-\frac{1240}{436}\approx 3.40-2.84=0.56\,\text{eV}, ואכן 1.10−0.54=0.56 V1.10-0.54=0.56\,\text{V}.

טעות נפוצה: לשייך את העקומה הגבוהה ביותר (ב) לאור "החזק" ביותר, האולטרה־סגול – גובה העקומה (זרם הרוויה) תלוי בעוצמת האור, ולא באנרגיית הפוטון. אורך הגל נקבע לפי מתח העצירה בלבד.

סעיף ג

תשובה:

B≈2.3 eV≈3.7⋅10−19 JB\approx 2.3\,\text{eV}\approx 3.7\cdot 10^{-19}\,\text{J}

נשתמש בעקומה ב (λ=436 nm\lambda=436\,\text{nm}, מתח עצירה V0=0.54 VV_0=0.54\,\text{V}).

מדף הנוסחאות:

Eph=B+Ek  ⇒  B=Eph−Ek,max⁡E_{ph}=B+E_k\;\Rightarrow\;B=E_{ph}-E_{k,\max}

אנרגיית הפוטון – מדף הנוסחאות E[eV]=1240λ[nm]E[\text{eV}]=\frac{1240}{\lambda[\text{nm}]}:

Eph=1240436≈2.84 eVE_{ph}=\frac{1240}{436}\approx 2.84\,\text{eV}

האנרגייה הקינטית המרבית – Ek,max⁡=eV0E_{k,\max}=eV_0:

Ek,max⁡=e⋅0.54 V=0.54 eVE_{k,\max}=e\cdot 0.54\,\text{V}=0.54\,\text{eV}

פונקציית העבודה:

B=2.84−0.54≈2.3 eVB=2.84-0.54\approx 2.3\,\text{eV}

ביחידות ג'אול: B=2.3⋅1.6⋅10−19≈3.7⋅10−19 JB=2.3\cdot 1.6\cdot 10^{-19}\approx 3.7\cdot 10^{-19}\,\text{J}.

בדיקה בעזרת עקומה א (או ג): B=1240365−1.10≈3.40−1.10=2.3 eVB=\frac{1240}{365}-1.10\approx 3.40-1.10=2.3\,\text{eV} – אותה תוצאה (אותה קתודה).

טעות נפוצה: להציב Ek=0.54 JE_k=0.54\,\text{J} – מתח עצירה של 0.54 V0.54\,\text{V} מתאים לאנרגייה של 0.54 eV0.54\,\text{eV}.

סעיף ד

תשובה:

האלקטרונים נעקרים מהקתודה עם אנרגייה קינטית ובכיוונים שונים; אלה שנעים לעבר האנודה מגיעים אליה גם בלי שדה מאיץ. רק חלק מהאלקטרונים פונים לכיוון האנודה, ולכן הזרם קטן מזרם הרוויה.

כאשר פוטון עוקר אלקטרון מהקתודה, האלקטרון יוצא ממנה עם אנרגייה קינטית – העודף של אנרגיית הפוטון מעל פונקציית העבודה (Ek=hf−BE_k=hf-B, עד הערך המרבי). האלקטרונים נפלטים בכיוונים שונים.

כאשר V=0V=0 אין שדה חשמלי בין הקתודה לאנודה – לא מאיץ ולא מעכב. האלקטרונים שנפלטו בכיוון האנודה ממשיכים לנוע במהירות שבה יצאו ומגיעים אליה, ומשם זורמים דרך המעגל החיצוני בחזרה לקתודה – זהו הזרם הנמדד.

הזרם ב־V=0V=0 קטן מזרם הרוויה, כי רק חלק מהאלקטרונים הנעקרים פונים לכיוון האנודה ומגיעים אליה. כדי שכולם יגיעו צריך מתח חיובי שימשוך אל האנודה גם את האלקטרונים שנפלטו בכיוונים אחרים.

סעיף ה

תשובה:

הוא שינה את עוצמת האור שמגיעה לקתודה (מספר הפוטונים ביחידת זמן) – למשל קירב את הנורית לתא. בעקומה ג העוצמה המגיעה לתא גדולה יותר.

לעקומות א ו־ג אותו מתח עצירה – אותו אורך גל (365 nm365\,\text{nm}), כלומר אותה אנרגיית פוטון. ההבדל הוא בזרם הרוויה: בעקומה ג הוא גדול יותר.

זרם הרוויה יחסי למספר האלקטרונים הנעקרים מהקתודה ביחידת זמן, ומספר זה יחסי למספר הפוטונים הפוגעים בקתודה ביחידת זמן – כלומר לעוצמת האור שמגיעה לקתודה.

עוצמת האור של הנורית עצמה קבועה, ולכן כדי לשנות את עוצמת האור שמגיעה לתא התלמיד שינה את המרחק בין הנורית לתא: בעקומה ג הנורית הייתה קרובה יותר לתא (יותר פוטונים בשנייה פוגעים בקתודה), ובעקומה א רחוקה יותר.

טעות נפוצה: לטעון שהגדלת העוצמה מגדילה את מהירות האלקטרונים – היא מגדילה רק את מספרם, ולכן מתח העצירה לא השתנה.

סעיף ו

תשובה:

הזרם הוא מספר האלקטרונים שמגיעים לאנודה בשנייה (כפול ee), לא מהירותם. מעבר למתח מסוים כל האלקטרונים הנעקרים כבר מגיעים לאנודה, ואת מספרם קובעת עוצמת האור – לכן הזרם נשאר קבוע (זרם רוויה).

עוצמת הזרם היא כמות המטען שמגיעה לאנודה ביחידת זמן – כלומר היא נקבעת לפי מספר האלקטרונים שמגיעים לאנודה בשנייה, ולא לפי המהירות שלהם.

•כשהמתח המאיץ קטן, רק חלק מהאלקטרונים הנעקרים מגיעים לאנודה. הגדלת המתח מושכת אל האנודה גם אלקטרונים שנפלטו בכיוונים אחרים, ולכן הזרם גדל.

•מעבר למתח מסוים כל האלקטרונים הנעקרים בכל שנייה כבר נאספים באנודה. מספר האלקטרונים הנעקרים בשנייה נקבע לפי מספר הפוטונים שפוגעים בקתודה בשנייה (עוצמת האור), ולא לפי המתח.

הגדלת המתח מעבר לכך אכן מגדילה את מהירות האלקטרונים, אבל באותה שנייה מגיעים לאנודה אותם אלקטרונים – והזרם נשאר קבוע. זהו זרם הרוויה, וערכו שונה לכל עקומה לפי עוצמת האור.

טעות נפוצה: לזהות זרם עם מהירות המטענים – אלקטרונים מהירים יותר מגיעים מוקדם יותר, אבל לא מתווספים אלקטרונים חדשים.

שאלה 4 · ספקטרום בליעה של אדי מתכת ורמות אנרגייה

חוקרים ערכו ניסוי למדידת רמות אנרגייה של אטום של יסוד מתכתי. לשם כך הם העבירו קרינה בעלת ספקטרום רציף דרך שפופרת שמכילה אדים דלילים של המתכת. כל האטומים היו ברמת היסוד.

אורכי הגל של הקרינה שהעבירו היו בתחום 200 nm−650 nm200\,\text{nm}-650\,\text{nm} .

באמצעות ספקטרומטר קיבלו החוקרים את ספקטרום הבליעה המוצג בתרשים שלפניכם.

ספקטרום הבליעה כולל רצף כהה בתחום 200 nm−229.6 nm200\,\text{nm}-229.6\,\text{nm} וכן שלושה קווים ספקטרליים כהים בדידים, המתאימים לאורכי הגל 272.5 nm272.5\,\text{nm} , 317.9 nm317.9\,\text{nm} , 574.1 nm574.1\,\text{nm} .

א.

הסבירו מדוע בתחום 229.6 nm−650 nm229.6\,\text{nm}-650\,\text{nm} האדים בולעים רק אורכי גל מסוימים, ולא את כל אורכי הגל.

(6 נקודות)
ב.

חשבו את אנרגיית היינון של האטומים.

(6 נקודות)
ג.

סרטטו במחברתכם דיאגרמה של ארבע רמות האנרגייה של האטום שהתקבלו בניסוי, וחשבו את האנרגייה של כל אחת מן הרמות. פרטו את חישוביכם.

(8 נקודות)
ד.

חשבו את המהירות המרבית של האלקטרונים שהשתחררו מן האטומים בניסוי זה.

(6 נקודות)

החוקרים חישבו גם את ספקטרום הפליטה של האטומים עבור רמות האנרגייה שהתקבלו בניסוי.

ה.
(1)

הוסיפו לדיאגרמה שסרטטתם בסעיף ג חיצים שמייצגים את כל הקווים הספקטרליים של ספקטרום הפליטה.

(2)

חשבו את האנרגייה של הפוטונים שנפלטו, שאורכי הגל שלהם בתחום האור הנראה (400 nm−700 nm400\,\text{nm}-700\,\text{nm}).

(7.33 נקודות)
◂ פתרון מלא לשאלה 4

סעיף א

תשובה:

לאטום יש רמות אנרגייה בדידות; הוא בולע רק פוטון שאנרגייתו שווה בדיוק להפרש בין רמת היסוד לרמה מעוררת. לפוטונים האחרים אין מעבר מתאים, והם עוברים.

לפי מודל בוהר, האנרגייה של אטום יכולה לקבל רק ערכים בדידים – רמות אנרגייה. כשאטום בולע פוטון, כל אנרגיית הפוטון עוברת לאטום, והאטום עובר לרמה גבוהה יותר. לכן הבליעה אפשרית רק אם (דף הנוסחאות)

Eph=Ef−EiE_{ph}=E_f-E_i

כלומר אנרגיית הפוטון שווה בדיוק להפרש בין רמת היסוד (שבה נמצאים כל האטומים) לבין אחת הרמות המעוררות.

•פוטונים שאנרגייתם מתאימה למעבר כזה נבלעים ונעלמים מן האלומה (האטומים פולטים אותם מחדש לכל הכיוונים, ולא דווקא בכיוון הספקטרומטר) – בספקטרום מופיע קו כהה.

•לכל שאר הפוטונים בתחום זה אין מעבר מתאים – האטום אינו יכול לבלוע "חלק" מפוטון, והם עוברים בלי שינוי.

לכן מתקבלים רק קווים בדידים כהים.

סעיף ב

תשובה:

Eיינון≈5.40 eVE_{\text{יינון}}\approx 5.40\,\text{eV}

הרצף הכהה בתחום 200 nm−229.6 nm200\,\text{nm}-229.6\,\text{nm} נובע מיינון: פוטון שאנרגייתו גדולה מאנרגיית היינון מנתק אלקטרון מן האטום, והעודף הופך לאנרגייה קינטית של האלקטרון החופשי – שאינה מוגבלת לערכים בדידים. לכן כל הפוטונים שאורך הגל שלהם קטן מ־229.6 nm229.6\,\text{nm} נבלעים.

גבול הרצף מתאים לפוטון שאנרגייתו שווה בדיוק לאנרגיית היינון מרמת היסוד:

Eיינון=1240229.6≈5.40 eV(≈8.64⋅10−19 J)E_{\text{יינון}}=\frac{1240}{229.6}\approx 5.40\,\text{eV}\quad(\approx 8.64\cdot 10^{-19}\,\text{J})

סעיף ג

תשובה:

E1≈−5.40 eVE_1\approx -5.40\,\text{eV}, E2≈−3.24 eVE_2\approx -3.24\,\text{eV}, E3≈−1.50 eVE_3\approx -1.50\,\text{eV}, E4≈−0.85 eVE_4\approx -0.85\,\text{eV} (כאשר E=0E=0 מתאים לאלקטרון משוחרר במנוחה).

בחירת אפס האנרגייה: E=0E=0 לאלקטרון שהשתחרר מן האטום. לכן רמת היסוד:

E1=−Eיינון=−5.40 eVE_1=-E_{\text{יינון}}=-5.40\,\text{eV}

הרמות המעוררות. כל האטומים ברמת היסוד, ולכן כל קו בליעה מתאים למעבר מ־E1E_1 לרמה מעוררת:

Eph=En−E1  ⇒  En=E1+1240λE_{ph}=E_n-E_1\;\Rightarrow\;E_n=E_1+\frac{1240}{\lambda}
קו בליעה λ (nm)\lambda\,(\text{nm})Eph=1240λ (eV)E_{ph}=\frac{1240}{\lambda}\,(\text{eV})רמת האנרגייה (eV)(\text{eV})
574.1574.12.162.16E2=−5.40+2.16=−3.24E_2=-5.40+2.16=-3.24
317.9317.93.903.90E3=−5.40+3.90=−1.50E_3=-5.40+3.90=-1.50
272.5272.54.554.55E4=−5.40+4.55=−0.85E_4=-5.40+4.55=-0.85

הדיאגרמה: ציר אנרגייה אנכי (eV\text{eV}) וארבעה קווים אופקיים: E4=−0.85E_4=-0.85 (העליון), E3=−1.50E_3=-1.50, E2=−3.24E_2=-3.24, E1=−5.40E_1=-5.40 (התחתון), ומעליהם קו מקווקו של גבול היינון E=0E=0. בבליעה מסמנים שלושה חיצים כלפי מעלה מ־E1E_1 אל E2E_2, E3E_3 ו־E4E_4. יש לשמור בקירוב על יחסי המרחקים בין הרמות.

טעות נפוצה: לשייך את הקו בעל אורך הגל הגדול ביותר (574.1 nm574.1\,\text{nm}) לרמה הגבוהה ביותר – אורך גל גדול פירושו אנרגייה קטנה, ולכן הוא מתאים לרמה המעוררת הנמוכה E2E_2.

סעיף ד

תשובה:

vmax⁡≈5.3⋅105 m/sv_{\max}\approx 5.3\cdot 10^{5}\,\text{m/s}

האלקטרונים המהירים ביותר משתחררים על ידי הפוטונים בעלי האנרגייה הגדולה ביותר בקרינה – אורך הגל הקצר ביותר, 200 nm200\,\text{nm}:

Eph=1240200=6.20 eVE_{ph}=\frac{1240}{200}=6.20\,\text{eV}

מתוכה 5.40 eV5.40\,\text{eV} מושקעים ביינון (מרמת היסוד), והיתר הוא אנרגייה קינטית:

Ek,max⁡=6.20−5.40=0.80 eV=0.80⋅1.6⋅10−19=1.28⋅10−19 JE_{k,\max}=6.20-5.40=0.80\,\text{eV}=0.80\cdot 1.6\cdot 10^{-19}=1.28\cdot 10^{-19}\,\text{J}

מ־Ek=12mv2E_k=\tfrac12mv^2, עם me=9.11⋅10−31 kgm_e=9.11\cdot 10^{-31}\,\text{kg}:

v=2Ekme=2⋅1.28⋅10−199.11⋅10−31≈5.3⋅105 m/sv=\sqrt{\frac{2E_k}{m_e}}=\sqrt{\frac{2\cdot 1.28\cdot 10^{-19}}{9.11\cdot 10^{-31}}}\approx 5.3\cdot 10^{5}\,\text{m/s}

טעות נפוצה: להשתמש בגבול הרצף (229.6 nm229.6\,\text{nm}) – שם האלקטרון משתחרר בלי אנרגייה קינטית.

סעיף ה

(1)
תשובה:

שישה חיצים כלפי מטה: 4→34\to3, 4→24\to2, 4→14\to1, 3→23\to2, 3→13\to1, 2→12\to1.

בפליטה האטום עובר מרמה גבוהה לרמה נמוכה ממנה ופולט פוטון שאנרגייתו שווה להפרש הרמות. בין ארבע רמות יש 4⋅32=6\frac{4\cdot 3}{2}=6 זוגות, ולכן מסרטטים שישה חיצים כלפי מטה:

מעברΔE (eV)\Delta E\,(\text{eV})λ=1240ΔE (nm)\lambda=\frac{1240}{\Delta E}\,(\text{nm})
E4→E3E_4\to E_30.650.65≈1910\approx 1910
E4→E2E_4\to E_22.392.39519519
E4→E1E_4\to E_14.554.55272.5272.5
E3→E2E_3\to E_21.741.74713713
E3→E1E_3\to E_13.903.90317.9317.9
E2→E1E_2\to E_12.162.16574.1574.1

שלושת המעברים לרמת היסוד נותנים את אורכי הגל של קווי הבליעה; שלושת המעברים בין רמות מעוררות הם קווים שאינם מופיעים בספקטרום הבליעה (כי בניסוי הבליעה כל האטומים היו ברמת היסוד).

(2)
תשובה:

2.16 eV2.16\,\text{eV} (מעבר E2→E1E_2\to E_1, 574 nm574\,\text{nm}) ו־2.39 eV2.39\,\text{eV} (מעבר E4→E2E_4\to E_2, 519 nm519\,\text{nm}).

תחום האור הנראה מתאים לאנרגיות פוטון

1240700≈1.77 eV  ≤E≤  1240400=3.10 eV\frac{1240}{700}\approx 1.77\,\text{eV}\;\le E\le\;\frac{1240}{400}=3.10\,\text{eV}

מבין ששת הקווים (טבלת סעיף (1)) רק שניים בתחום זה. לפי Eph=Ei−EfE_{ph}=E_i-E_f:

•מעבר E2→E1E_2\to E_1: Eph=−3.24−(−5.40)=2.16 eV  (≈3.46⋅10−19 J)E_{ph}=-3.24-(-5.40)=2.16\,\text{eV}\;(\approx 3.46\cdot 10^{-19}\,\text{J}), λ=574 nm\lambda=574\,\text{nm} (צהוב).

•מעבר E4→E2E_4\to E_2: Eph=−0.85−(−3.24)=2.39 eV  (≈3.82⋅10−19 J)E_{ph}=-0.85-(-3.24)=2.39\,\text{eV}\;(\approx 3.82\cdot 10^{-19}\,\text{J}), λ≈519 nm\lambda\approx 519\,\text{nm} (ירוק).

המעבר E3→E2E_3\to E_2 (1.74 eV1.74\,\text{eV}, 713 nm713\,\text{nm}) נמצא מעט מחוץ לתחום הנראה (תת־אדום), וכך גם E4→E3E_4\to E_3; שני המעברים האחרים לרמת היסוד הם על־סגולים.

טעות נפוצה: לבדוק רק את המעברים בין הרמות המעוררות – גם מעבר לרמת היסוד (574 nm574\,\text{nm}) יכול להיות בתחום הנראה.

שאלה 5 · התפרקות של יוד־131 לקסנון

האיזוטופ יוד־131 משמש לטיפול במחלות של בלוטת התריס. הוא מתפרק בהתפרקות β−\beta^-.

א.

בהתפרקות β−\beta^- המספר האטומי של הגרעין גדל ב־11, מספר המסה שלו אינו משתנה, ונפלט מן הגרעין אלקטרון – אף שאין בגרעין אלקטרונים. הסבירו מה מתרחש בגרעין, וכיצד נוצר האלקטרון.

(5 נקודות)

בהתפרקות β−\beta^- של   53131I^{131}_{\;53}\text{I} (יוד) נוצר איזוטופ של היסוד קסנון, Xe\text{Xe}.

ב.

כתבו את המשוואה של התפרקות היוד לקסנון.

(5 נקודות)

הגרפים שלפניכם מציגים, כפונקציה של הזמן, את מספר גרעיני היוד שטרם התפרקו ואת מספר גרעיני הקסנון שנוצרו. הציר האנכי מייצג את מספר הגרעינים, NN; הערכים המספריים שלו אינם נתונים. בזמן t=0t=0 היה בדגימה יוד בלבד.

נתון: בזמן t=0t=0 הייתה פעילות היוד R0=3.7⋅109 BqR_0=3.7\cdot 10^{9}\,\text{Bq}.

ג.

קבעו את זמן מחצית החיים של יוד־131. נמקו את קביעתכם.

(5 נקודות)
ד.

חשבו את מספר גרעיני היוד שטרם התפרקו כעבור 2020 ימים מתחילת המדידה.

(8 נקודות)
ה.

נתון: קסנון־131 הוא איזוטופ יציב.

חשבו את מספר גרעיני הקסנון בדגימה בזמן t=24t=24 ימים.

(6 נקודות)
ו.

לאחר ההתפרקות, גרעין הקסנון שנוצר פולט לעתים קרובות פוטון γ\gamma שאנרגייתו 0.364 MeV0.364\,\text{MeV}. הסבירו מהו מקור הפוטון, וקבעו אם פליטתו משנה את המספר האטומי או את מספר המסה של גרעין הקסנון.

(4.33 נקודות)
◂ פתרון מלא לשאלה 5

סעיף א

תשובה:

נויטרון בגרעין הופך לפרוטון, ובתהליך נוצרים אלקטרון ואנטי־נייטרינו (n→p+e−+νˉn\to p+e^-+\bar{\nu}) הנפלטים מן הגרעין; מספר הנוקלאונים לא השתנה, ומספר הפרוטונים גדל ב־11.

בגרעין יש רק פרוטונים ונויטרונים. האלקטרון נוצר ברגע ההתפרקות: אחד הנויטרונים בגרעין הופך לפרוטון, ובתהליך נוצרים אלקטרון ואנטי־נייטרינו:

01n  →  11p+ −1   0e+νˉ^{1}_{0}n\;\to\;^{1}_{1}p+\,^{\;\,0}_{-1}e+\bar{\nu}

•הפרוטון נשאר בגרעין – לכן המספר האטומי ZZ (מספר הפרוטונים) גדל ב־11.

•נויטרון "הוחלף" בפרוטון – מספר הנוקלאונים, כלומר מספר המסה AA, לא השתנה.

•האלקטרון והאנטי־נייטרינו נפלטים מן הגרעין. המטען נשמר: 0=+1+(−1)0=+1+(-1).

טעות נפוצה: לכתוב שהאלקטרון הוא אחד מאלקטרוני האטום שסביב הגרעין, או שהיה "כלוא" בגרעין.

סעיף ב

תשובה:

  53131I→   54131Xe+ −1   0e+νˉ^{131}_{\;53}\text{I}\to\,^{131}_{\;54}\text{Xe}+\,^{\;\,0}_{-1}e+\bar{\nu}

בהתפרקות β−\beta^- המספר האטומי גדל ב־11 (53→5453\to 54), ומספר המסה אינו משתנה:

  53131I  →    54131Xe+ −1   0e+νˉ^{131}_{\;53}\text{I}\;\to\;^{131}_{\;54}\text{Xe}+\,^{\;\,0}_{-1}e+\bar{\nu}

בדיקה:

•מספר המסה: 131=131+0131=131+0.

•המטען: 53=54+(−1)53=54+(-1).

סעיף ג

תשובה:

T1/2=8T_{1/2}=8 ימים

קביעה: T1/2=8T_{1/2}=8 ימים.

נימוק: הגרף היורד מתאר את מספר גרעיני היוד שטרם התפרקו, והגרף העולה – את מספר גרעיני הקסנון שנוצרו. כל גרעין יוד שמתפרק הופך לגרעין קסנון אחד, ובתחילה לא היה קסנון, ולכן בכל רגע:

NXe=N0−NIN_{\text{Xe}}=N_0-N_{\text{I}}

בנקודת החיתוך NI=NXeN_{\text{I}}=N_{\text{Xe}}, ולכן NI=N0−NIN_{\text{I}}=N_0-N_{\text{I}}, כלומר NI=N02N_{\text{I}}=\frac{N_0}{2} – בדיוק מחצית מן הגרעינים התפרקו. החיתוך מתרחש ב־t=8t=8 ימים, וזהו זמן מחצית החיים.

(בדיקה מן הגרף: הגרף היורד מתחיל ב־2020 משבצות, ב־t=8t=8 ימים הוא ב־1010 משבצות וב־t=16t=16 ימים ב־55 משבצות – מחצית בכל 88 ימים.)

סעיף ד

תשובה:

N≈6.5⋅1014N\approx 6.5\cdot 10^{14} גרעינים

קבוע הדעיכה (דף הנוסחאות):

T1/2=ln⁡2λ  ⇒  λ=ln⁡2T1/2=0.6938⋅24⋅3600 s≈1.003⋅10−6 s−1T_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda}\;\Rightarrow\;\lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}=\frac{0.693}{8\cdot 24\cdot 3600\,\text{s}}\approx 1.003\cdot 10^{-6}\,\text{s}^{-1}

מספר הגרעינים ההתחלתי מן הפעילות:

R=λN  ⇒  N0=R0λ=3.7⋅1091.003⋅10−6≈3.69⋅1015R=\lambda N\;\Rightarrow\;N_0=\frac{R_0}{\lambda}=\frac{3.7\cdot 10^{9}}{1.003\cdot 10^{-6}}\approx 3.69\cdot 10^{15}

חוק הדעיכה אחרי t=20t=20 ימים =20⋅24⋅3600 s=20\cdot 24\cdot 3600\,\text{s}:

N=N0e−λtN=N_0e^{-\lambda t}
λt=1.003⋅10−6⋅1.728⋅106≈1.733\lambda t=1.003\cdot 10^{-6}\cdot 1.728\cdot 10^{6}\approx 1.733
N=3.69⋅1015⋅e−1.733=3.69⋅1015⋅0.177≈6.5⋅1014N=3.69\cdot 10^{15}\cdot e^{-1.733}=3.69\cdot 10^{15}\cdot 0.177\approx 6.5\cdot 10^{14}

(בדיקה: 208=2.5\frac{20}{8}=2.5 זמני מחצית חיים, ו־2−2.5≈0.1772^{-2.5}\approx 0.177.)

טעות נפוצה: לחשב את λ\lambda בימים (0.0866 day−10.0866\,\text{day}^{-1}) ואז לחלק בו את R0R_0 הנתון ב־Bq\text{Bq} (התפרקויות בשנייה) – יש להמיר את הזמן לשניות.

סעיף ה

תשובה:

NXe=78N0≈3.2⋅1015N_{\text{Xe}}=\frac{7}{8}N_0\approx 3.2\cdot 10^{15} גרעינים

הקסנון יציב, ולכן כל גרעין קסנון שנוצר נשאר. כל גרעין יוד שהתפרק הפך לגרעין קסנון אחד, ולכן:

NXe=N0−NIN_{\text{Xe}}=N_0-N_{\text{I}}

t=24t=24 ימים הם בדיוק 33 זמני מחצית חיים, ולכן נשארו

NI=N0⋅(12)3=N08N_{\text{I}}=N_0\cdot\left(\tfrac{1}{2}\right)^{3}=\frac{N_0}{8}
NXe=N0−N08=78N0=78⋅3.69⋅1015≈3.2⋅1015N_{\text{Xe}}=N_0-\frac{N_0}{8}=\frac{7}{8}N_0=\frac{7}{8}\cdot 3.69\cdot 10^{15}\approx 3.2\cdot 10^{15}

(מן הגרף: ב־t=24t=24 ימים הגרף היורד ב־2.52.5 משבצות והגרף העולה ב־17.517.5 משבצות, מתוך 2020.)

טעות נפוצה: לחשב את מספר גרעיני היוד (N08\frac{N_0}{8}) ולהציג אותו כתשובה.

סעיף ו

תשובה:

גרעין הקסנון נוצר במצב מעורר; במעבר לרמה נמוכה יותר הוא פולט את הפרש האנרגייה כפוטון γ\gamma. פליטת γ\gamma אינה משנה את ZZ ואת AA.

לגרעין, כמו לאטום, יש רמות אנרגייה בדידות. לאחר התפרקות β−\beta^- גרעין הבת (הקסנון) נשאר במקרים רבים ברמה מעוררת – באנרגייה גבוהה מרמת היסוד שלו.

הגרעין עובר מן הרמה המעוררת לרמה נמוכה יותר ופולט את הפרש האנרגייה כפוטון: Eph=∣Ef−Ei∣=0.364 MeVE_{ph}=|E_f-E_i|=0.364\,\text{MeV}. הפרשי האנרגייה בין רמות הגרעין גדולים מאוד (סדר גודל של MeV\text{MeV}, לעומת eV\text{eV} באטום), ולכן הפוטון הוא קרינת γ\gamma (אורך גל λ=1240364000 nm≈3.4⋅10−3 nm\lambda=\frac{1240}{364000}\,\text{nm}\approx 3.4\cdot 10^{-3}\,\text{nm}).

פוטון הוא חסר מטען וחסר מסה: הרכב הגרעין לא משתנה – אותם 5454 פרוטונים ו־7777 נויטרונים. לכן המספר האטומי ומספר המסה אינם משתנים; רק האנרגייה של הגרעין קטנה.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.