מתכונת 6 בפיזיקה - קרינה וחומר 36282

גל עומד נוצר מהתאבכות (סופרפוזיציה) של שני גלים מחזוריים זהים המתקדמים בכיוונים מנוגדים באותו תווך. לכן כל תלמיד הוא "מקור", ונדרש:

1. אותה תדירות של תנועת היד. שני הגלים מתקדמים באותו חבל, ולכן באותה מהירות $v$. לפי $v=\lambda f$ תדירות שווה פירושה גם אורך גל שווה, ורק כך הצמתים והטבורים נשארים במקום קבוע.

2. אותה משרעת (אותו גובה תנועה של היד). כך בצמתים הגלים מבטלים זה את זה לגמרי.

3. הפרש מופע קבוע בין שתי הידיים (מקורות קוהרנטיים). אם אחד התלמידים "מקדים" פעם יותר ופעם פחות, הצמתים נודדים לאורך החבל ואין תבנית עומדת.

4. כיווני התקדמות מנוגדים: כל תלמיד משגר מקצה אחר, ולכן הגלים נעים זה לקראת זה לאורך אותו קו.

טעות נפוצה: לכתוב רק "אותו אורך גל". התדירות היא תכונה של המקור (קצב תנועת היד), ואורך הגל נקבע ממנה ומהתווך.

בתרשים ב רואים שתי "בטנים" בין שני הקצוות: צומת בכל קצה וצומת נוסף באמצע. כל בטן היא חצי אורך גל, ולכן זהו המצב $n=2$.

מדף הנוסחאות, גל עומד במיתר שקצותיו קשורים:

הצבה, $\ell=L=1.5\,\text{m}$, $n=2$:

מהירות גל מחזורי:

טעות נפוצה: לספור את שתי הבטנים כשני אורכי גל ולקבל $\lambda=0.75\,\text{m}$. כל בטן היא חצי אורך גל, ולכן שתי בטנים הן אורך גל אחד.

קביעה: מהירות התפשטות הגל במיתר לא השתנתה.

נימוק: מהירות ההתפשטות של גל מכני נקבעת על ידי התווך. במיתר היא תלויה במתיחות המיתר ובמסה ליחידת אורך שלו. המשקולת לא הוחלפה, ולכן המתיחות לא השתנתה, וזה אותו מיתר. שינוי תדירות המרטט אינו משנה אף אחד מאלה.

לפי $v=\lambda f$, כאשר $v$ קבוע והתדירות גדלה, אורך הגל קטן, ולכן נכנסות למיתר יותר בטנים (חמש במקום שתיים).

טעות נפוצה: להסיק מ־$v=\lambda f$ שהמהירות גדלה עם התדירות. $v$ נקבע על ידי התווך, ו־$\lambda$ הוא שמשתנה.

בתרשים ג יש חמש בטנים, כלומר $n=5$. מדף הנוסחאות:

המהירות לא השתנתה (סעיף ג), $v=60\,\text{m/s}$:

(בדיקה: $f_n=n\frac{v}{2\ell}=n\cdot 20\,\text{Hz}$, ולכן $f_5=5\cdot 20=100\,\text{Hz}$.)

קביעה: ייווצר גל עומד.

נימוק: בשני קצות המיתר יש צמתים, ולכן לאורך המיתר נכנס מספר שלם של חצאי אורכי גל:

המהירות קבועה ($v=60\,\text{m/s}$), ולכן התדירויות שבהן נוצר גל עומד הן:

כלומר $20,\ 40,\ 60,\ 80,\ 100,\dots\,\text{Hz}$. עבור $60\,\text{Hz}$:

זה מספר שלם, ולכן ייווצר גל עומד עם שלוש בטנים. (אורך הגל $\lambda=\frac{60}{60}=1\,\text{m}$, ואכן $1.5\,\text{m}=3\cdot\frac{1}{2}\,\text{m}$.)

טעות נפוצה: להניח שהתדירויות האפשריות הן כפולות של $40\,\text{Hz}$ (התדירות שנמדדה בתרשים ב) ולקבוע שלא ייווצר גל עומד. $40\,\text{Hz}$ היא ההרמוניה השנייה; התדירות היסודית היא $20\,\text{Hz}$.

קביעה: עליו להזיז את האצבע לכיוון הגשר.

נימוק: זה אותו מיתר באותה מתיחות, ולכן מהירות התפשטות הגל בו לא משתנה (היא נקבעת על ידי התווך). הצליל נקבע לפי התדירות היסודית של הגל העומד בחלק הרוטט ($n=1$):

כאשר $v$ קבוע, התדירות הפוכה לאורך החלק הרוטט $\ell$. צליל גבוה יותר פירושו תדירות גבוהה יותר, ולכן $\ell$ צריך לקטון. החלק הרוטט הוא מהאצבע עד הגשר, ולכן מקרבים את האצבע אל הגשר.

רוחב פס אור הוא המרחק בין שתי נקודות המינימום (עוצמה אפס) הסמוכות לו משני צדיו.

קוראים בסרגל:

•מרכז התבנית $O$ (פס האור מסדר אפס): $x=15\,\text{mm}$.

•פס האור מסדר ראשון שמימין ל־$O$: המקסימום ב־$x=21\,\text{mm}$, והמינימומים משני צדיו ב־$x=18\,\text{mm}$ וב־$x=24\,\text{mm}$.

(אותו רוחב גם לפס מסדר ראשון שמשמאל: בין $6$ ל־$12\,\text{mm}$.) בדיקה: המרחק בין מרכזי פסי אור סמוכים ($15$ ו־$21\,\text{mm}$) הוא גם $6\,\text{mm}$ – בהתאבכות משני חריצים צרים רוחב פס אור שווה למרחק בין פסי אור סמוכים, $\Delta X$.

טעות נפוצה: למדוד את המרחק ממרכז הפס עד המינימום ($3\,\text{mm}$) – זה חצי מרוחב הפס.

נוסחת יאנג מדף הנוסחאות:

נתונים: $d=0.25\,\text{mm}=2.5\cdot 10^{-4}\,\text{m}$, $L=2.5\,\text{m}$, ומסעיף א $\Delta X=6\,\text{mm}=6\cdot 10^{-3}\,\text{m}$.

(אור כתום.)

טעות נפוצה: להשאיר את $d$ ואת $\Delta X$ במילימטרים ואת $L$ במטרים – יש להמיר הכול למטרים.

$O$ נמצאת במרכז התבנית, מול האמצע שבין שני החריצים, ולכן היא במרחק שווה משני החריצים: הפרש הדרכים $\Delta r=0$. האלומה פוגעת בניצב ללוחית, ולכן החריצים הם מקורות שווי־מופע; הגלים מגיעים ל־$O$ באותו מופע – התאבכות בונה (מקסימום מסדר אפס).

$K$ נמצאת ב־$x=3\,\text{mm}$, כלומר $X=15-3=12\,\text{mm}=0.012\,\text{m}$ מ־$O$, במרכז פס האור מסדר שני (מקסימום בגרף).

הפרש הדרכים מהחריצים: $\Delta r=d\sin\theta\approx d\frac{X}{L}$:

המרחק של $K$ מהחריץ הרחוק גדול בשני אורכי גל שלמים מהמרחק מהחריץ הקרוב, ולכן הגלים מגיעים באותו מופע – התאבכות בונה (קו מקסימום עם $n=2$: $\sin\theta_2=2\frac{\lambda}{d}$).

$M$ נמצאת ב־$x=24\,\text{mm}$, כלומר $X=24-15=9\,\text{mm}=0.009\,\text{m}$ מ־$O$ – במינימום שבין פס האור מסדר ראשון לפס מסדר שני (עוצמה אפס בגרף).

הפרש הדרכים הוא מספר אי־זוגי של חצאי אורך גל ($3\cdot\frac{\lambda}{2}$), ולכן הגלים מגיעים במופע נגדי ומבטלים זה את זה – התאבכות הורסת (קו מינימום עם $n=2$: $\sin\theta_2=(2-\tfrac12)\frac{\lambda}{d}$).

טעות נפוצה: לחשוב שרק המינימום הראשון ($\frac{\lambda}{2}$) הוא התאבכות הורסת – כל הפרש של $\frac{\lambda}{2},\frac{3\lambda}{2},\frac{5\lambda}{2},\dots$ נותן התאבכות הורסת.

$N$ נמצאת ב־$x=19\,\text{mm}$, כלומר $X=19-15=4\,\text{mm}=0.004\,\text{m}$ מ־$O$ – מילימטר אחד מימין למינימום שב־$18\,\text{mm}$, על המדרון של פס האור מסדר ראשון. בגרף העוצמה שם אינה אפס ואינה מרבית.

הפרש הדרכים בין $\frac{\lambda}{2}$ ל־$\lambda$: אינו מספר שלם של אורכי גל (תנאי להתאבכות בונה מלאה) ואינו מספר אי־זוגי של חצאי אורך גל (תנאי להתאבכות הורסת מלאה). לכן $N$ היא נקודת ביניים – העוצמה בה בין אפס למרבית.

לפי נוסחת יאנג:

$\lambda$ ו־$L$ לא השתנו, ולכן $\Delta X$ יחסי הפוך ל־$d$. כאשר $d$ קטן, המרחק בין פסי אור סמוכים גדל, וכל פס אור (וכל פס כהה) רחב יותר. באותו קטע של המסך יופיעו פחות פסים.

טעות נפוצה: לחשוב שחריצים קרובים יותר יוצרים פסים צפופים יותר – הקשר הפוך.

מדוע המתח מתייצב. האלקטרונים המגיעים לאנודה טוענים אותה במטען שלילי, והקתודה (שאיבדה אלקטרונים) נטענת במטען חיובי. נוצר בין האנודה לקתודה שדה חשמלי שמאט את האלקטרונים בדרכם אל האנודה, וככל שהמתח גדל – פחות אלקטרונים מגיעים אליה. המתח מפסיק לגדול כאשר גם האלקטרונים המהירים ביותר (בעלי האנרגייה הקינטית המרבית) נעצרים לפני האנודה: מרגע זה אין עוד מטען שמגיע לאנודה. כלומר המתח המתייצב הוא בדיוק מתח העצירה.

אנרגיית הפוטון. מדף הנוסחאות $E_{ph}=hf$, ובאור $c=\lambda f$, ולכן

האפקט הפוטואלקטרי. מדף הנוסחאות:

כאשר $E_k$ היא האנרגייה הקינטית המרבית של האלקטרונים הנפלטים.

תנאי העצירה. לפי משפט עבודה–אנרגייה, העבודה של הכוח החשמלי על אלקטרון (מטען $-e$) העובר הפרש פוטנציאלים $V$ נגד השדה היא $-eV$, והיא מאפסת את האנרגייה הקינטית המרבית:

המתח המתייצב הוא פונקצייה קווית של $\frac{1}{\lambda}$: שיפוע $\frac{hc}{e}$ וחותך $-\frac{B}{e}$.

טעות נפוצה: לחשוב שהמתח ימשיך לגדול כל עוד מאירים – האנודה מקבלת מטען רק מאלקטרונים שמצליחים להגיע אליה.

ציר אופקי: $\frac{1}{\lambda}$ ביחידות $10^{6}\,\frac{1}{\text{m}}$; ציר אנכי: המתח המתייצב $V$ בוולט.

הנקודות $\left(\frac{1}{\lambda}\,[10^6\,\tfrac{1}{\text{m}}],\;V\,[\text{V}]\right)$:

$(3.94,\,2.11)$, $(3.37,\,1.36)$, $(3.19,\,1.17)$, $(2.74,\,0.58)$, $(2.47,\,0.28)$.

מעבירים ישר אחד כך שהנקודות מפוזרות סביבו משני צדיו בערך באופן שווה:

שיפוע קו המגמה – משתי נקודות על הקו, רחוקות זו מזו, למשל $(2.40\cdot 10^6,\,0.18)$ ו־$(4.00\cdot 10^6,\,2.16)$:

(התאמה בשיטת הריבועים הפחותים נותנת שיפוע $1.25\cdot 10^{-6}\,\text{V}\cdot\text{m}$ וחותך $-2.82\,\text{V}$ – בהתאמה טובה.)

טעות נפוצה: להעביר את הקו דרך הנקודה הראשונה והאחרונה בלבד – קו המגמה מתאים לכל הנקודות, ושיפועו נקבע משתי נקודות על הקו עצמו.

לפי הביטוי מסעיף א:

שיפוע הגרף של $V$ כפונקצייה של $\frac{1}{\lambda}$:

הצבה (שיפוע $1.24\cdot 10^{-6}\,\text{V}\cdot\text{m}$, $e=1.6\cdot 10^{-19}\,\text{C}$, $c=3\cdot 10^{8}\,\text{m/s}$):

קרוב מאוד לערך שבדף הנוסחאות ($6.63\cdot 10^{-34}\,\text{J}\cdot\text{s}$).

טעות נפוצה: לשכוח לכפול ב־$e$ – השיפוע ביחידות $\text{V}\cdot\text{m}$, ורק אחרי כפל ב־$e$ מתקבלות יחידות של אנרגייה כפול אורך.

נקודת החיתוך עם ציר $V$ מתקבלת כאשר $\frac{1}{\lambda}=0$. לפי הביטוי מסעיף א:

כלומר ערך נקודת החיתוך הוא פונקציית העבודה של חומר הקתודה מחולקת במטען היסודי, בסימן שלילי. בערכה המוחלט היא שווה מספרית לפונקציית העבודה $B$ ביחידות $\text{eV}$ – האנרגייה המזערית הדרושה כדי לשחרר אלקטרון מן הקתודה.

(זו נקודה שמתקבלת מהמשכת קו המגמה, ולא נקודה שאפשר למדוד.)

ממשיכים את קו המגמה עד ציר המתח:

ממשוואת קו המגמה, בהצבת $\frac{1}{\lambda}=0$:

(בדיקה מנקודה על הקו: $2.16-1.24\cdot 10^{-6}\cdot 4.00\cdot 10^{6}=2.16-4.96=-2.80\,\text{V}$.)

לכן $-\frac{B}{e}=-2.80\,\text{V}$, ופונקציית העבודה:

באורך הגל המרבי (אור הסף) לאלקטרונים הנפלטים אין אנרגייה קינטית, ולכן המתח המתייצב הוא אפס. זו נקודת החיתוך של קו המגמה עם הציר האופקי:

(בדרך שקולה, מדף הנוסחאות $E_{ph}=E_k+B$ עם $E_k=0$: $\frac{hc}{\lambda_0}=B$, ולכן $\lambda_0=\frac{hc}{B}=\frac{6.6\cdot 10^{-34}\cdot 3\cdot 10^{8}}{4.48\cdot 10^{-19}}\approx 4.4\cdot 10^{-7}\,\text{m}$.)

אור באורך גל גדול יותר מ־$443\,\text{nm}$ (למשל אור כחול־ירוק, צהוב או אדום) לא ישחרר אלקטרונים, ואור באורך גל קטן יותר – כן.

טעות נפוצה: לחשוב ש־$\lambda_0$ הוא אורך הגל המזערי – פוטון באורך גל קצר יותר נושא אנרגייה רבה יותר, ולכן הסף הוא אורך הגל המרבי.

קווי הבליעה הבודדים מתאימים למעברים בין רמות אנרגייה בדידות באטום: פוטון נבלע רק אם האנרגייה שלו שווה בדיוק להפרש בין רמת היסוד לרמה מעוררת.

התחום הרציף שונה: אלה פוטונים שהאנרגייה שלהם גדולה מאנרגיית היינון של האטום (או שווה לה). פוטון כזה עוקר את האלקטרון מהאטום (יינון). אחרי היינון האלקטרון חופשי, והאנרגייה הקינטית שלו יכולה לקבל כל ערך – העודף של אנרגיית הפוטון מעל אנרגיית היינון:

לכן כל פוטון שהאנרגייה שלו מעל סף היינון יכול להיבלע, ומתקבל תחום בליעה רציף.

גבול התחום, $\lambda=155\,\text{nm}$, מתאים לאנרגיית היינון מרמת היסוד:

הגז מורכב מאטומים בלתי מעוררים, כלומר כל האטומים ברמת היסוד $n=1$. לכן כל קווי הבליעה הם מעברים מרמת היסוד לרמות גבוהות יותר:

אורך הגל הארוך ביותר (אנרגיית הפוטון הקטנה ביותר) מתאים למעבר לרמה הקרובה ביותר, $n=2$, וכן הלאה. לפי $E[\text{eV}]=\frac{1240}{\lambda[\text{nm}]}$:

תרשים 2 – רמת היסוד היא האפס, $E_1=0$, ולכן כל רמה שווה להפרש שבטבלה:

תרשים 3 – רמת היינון היא האפס, $E_\infty=0$. לכן $E_1=-8.0\,\text{eV}$, וכל רמה מתקבלת על ידי הזזה של כל הערכים ב־$8.0\,\text{eV}$ כלפי מטה:

ההפרשים בין הרמות זהים בשני התרשימים – רק נקודת האפס שונה.

טעות נפוצה: לייחס את קווי הבליעה למעברים בין רמות מעוררות (למשל $2\to 3$) – בגז של אטומים בלתי מעוררים הבליעה היא מרמת היסוד בלבד.

באטום שעורר לרמה $n=5$ האלקטרון יכול לרדת לכל רמה נמוכה יותר, ובכל מעבר נפלט פוטון:

פוטון בתחום הנראה הוא בעל אנרגייה בין $\frac{1240}{700}\approx 1.77\,\text{eV}$ ל־$\frac{1240}{400}=3.1\,\text{eV}$. נחשב את כל המעברים (לפי הרמות מסעיף ב):

החישובים של המעברים הנראים:

(בלי עיגול ביניים: $\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{170}-\frac{1}{248}$ נותן $540.5\,\text{nm}$, ו־$\frac{1}{\lambda}=\frac{1}{180}-\frac{1}{248}$ נותן $656.5\,\text{nm}$.)

לכן בתחום הנראה נפלטים שני אורכי גל: כ־$541\,\text{nm}$ וכ־$656\,\text{nm}$.

טעות נפוצה: לבדוק רק מעברים ישירות מ־$n=5$ – אטום יכול לרדת בכמה שלבים, ולכן גם המעבר $4\to 2$ מתרחש.

האלקטרונים המשתחררים הם אלה שהאטומים שלהם יוננו על ידי פוטונים מהתחום הרציף. האלקטרון המהיר ביותר משתחרר על ידי הפוטון בעל האנרגייה הגדולה ביותר – אורך הגל הקצר ביותר בקרינה, $\lambda_{\min}=120\,\text{nm}$:

חלק מאנרגיית הפוטון משמש ליינון האטום מרמת היסוד ($8.0\,\text{eV}$, סעיף א), והשאר הופך לאנרגייה הקינטית של האלקטרון:

ביחידות ג'אול: $E_k=2.33\cdot 1.6\cdot 10^{-19}\approx 3.7\cdot 10^{-19}\,\text{J}$.

טעות נפוצה: להשתמש בפוטון של $155\,\text{nm}$ – הוא מספיק בדיוק ליינון, והאלקטרון שהוא משחרר כמעט ללא אנרגייה קינטית.

חלקיקי בטא נוצרים ברגע ההתפרקות, כאשר נוקלאון אחד בגרעין הופך לנוקלאון מסוג אחר.

התפרקות $\beta^-$: נויטרון הופך לפרוטון, ונפלטים אלקטרון ואנטי־נייטרינו:

בגרעין נוסף פרוטון ונעלם נויטרון: $Z$ גדל ב־1, ומספר הנוקלאונים $A$ לא משתנה.

התפרקות $\beta^+$: פרוטון הופך לנויטרון, ונפלטים פוזיטרון ונייטרינו:

$Z$ קטן ב־1, ו־$A$ לא משתנה.

בשתי המשוואות נשמרים המטען (המספרים התחתונים) ומספר הנוקלאונים (המספרים העליונים).

בכל התפרקות נשמרים מספר הנוקלאונים ($A$) והמטען ($Z$).

ההתפרקות $\text{Pb}\to\text{Bi}$: מספר המסה לא השתנה ($214\to 214$), ולכן נפלט חלקיק $\beta$ (חלקיק $\alpha$ היה מקטין את $A$ ב־4), ו־$Z$ משתנה ב־1.

•אילו נפלט $\beta^+$, היה $83=x-1$, כלומר $x=84$ – המספר האטומי של פולוניום. אבל $Z$ קובע את היסוד, ועופרת אינה פולוניום – לכן זה בלתי אפשרי.

•לכן נפלט $\beta^-$:

ההתפרקות $\text{Po}\to\text{Pb}$: המספר האטומי קטן מ־$84$ ל־$82$, כלומר ב־2. חלקיק $\beta$ משנה את $Z$ ב־1 בלבד, ולכן נפלט חלקיק $\alpha$:

נסמן ב־$N$ את מספר הגרעינים שלא התפרקו ברגע $t_1$. מספר הגרעינים שהתפרקו הוא $N_0-N$, ולפי הנתון:

מדף הנוסחאות:

שיקול פשוט: בכל זמן מחצית חיים מספר הגרעינים שלא התפרקו קטן פי 2:

שלושה זמני מחצית חיים ($8=2^3$).

טעות נפוצה: להציב $N=\frac{N_0}{7}$ או $\frac{N_0}{8}$ כמספר הגרעינים שהתפרקו – הנתון הוא יחס בין שתי הקבוצות, והגרעינים שנשארו הם שמינית מהמספר ההתחלתי.

החלק שנשאר: מ־$N=N_0e^{-\lambda t}$ ו־$\lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}$ מקבלים $N=N_0\left(\tfrac12\right)^{t/T_{1/2}}$: