מתכונת 8 בפיזיקה - קרינה וחומר 36282

בגל עומד הנקודות אינן "מעבירות" את הצורה ימינה או שמאלה: כל נקודה מתנודדת במקומה, וכל הנקודות מתנודדות באותה תדירות.

•כל הנקודות שבין שתי נקודות צומת סמוכות (באותה "בטן") מתנודדות באותו מופע: הן מגיעות יחד להעתק המרבי, עוברות יחד בקו שיווי המשקל ונעות יחד באותו כיוון.

•נקודות בשתי בטנים סמוכות מתנודדות במופע הפוך: כשאלה נעות מעלה, אלה נעות מטה.

$M$ נמצאת באותה בטן כמו $K$ (הבטן הראשונה, ליד המרטט), ולכן היא נעה כלפי מעלה, כמו $K$.

$N$ נמצאת בבטן השנייה, הסמוכה, ולכן היא נעה בכיוון ההפוך - כלפי מטה. (זה מתיישב עם התרשים: $K$ נמצאת מעל קו שיווי המשקל ונעה מעלה, כלומר ברגע זה המיתר כולו מתרחק מקו שיווי המשקל - הבטן הראשונה כלפי מעלה, והבטן השנייה, שמתחת לקו, כלפי מטה.)

טעות נפוצה: לקבוע את הכיוונים לפי כלל של גל מתקדם (למשל "הגל נע ימינה ולכן הנקודה שלפני השיא עולה"). בגל עומד אין התקדמות של הצורה, ולכן $M$ ו־$K$ נעות באותו כיוון, אף ש־$M$ נמצאת "לפני" השיא.

- $P$ נמצאת בין הבטן השנייה לבטן השלישית, על קו שיווי המשקל, במקום שבו המיתר "מתהפך". זוהי נקודת צומת: שני הגלים שמרכיבים את הגל העומד (הגל מהמרטט והגל המוחזר מהגשר) מבטלים בה זה את זה בכל רגע, ולכן היא אינה נעה כלל.

- $K$ נמצאת באמצע הבטן הראשונה ו־$N$ באמצע הבטן השנייה. אמצע בטן הוא טבור - נקודה שבה הגלים מתאבכים בהתאבכות בונה, ולכן המשרעת בה מרבית. בכל הטבורים של אותו גל עומד המשרעת שווה, ולכן ל־$K$ ול־$N$ אותה משרעת, אף שברגע המתואר $K$ נמצאת מעל קו שיווי המשקל ו־$N$ מתחתיו.

- $M$ נמצאת קרוב לצומת שליד המרטט, ולכן המשרעת שלה קטנה יותר.

טעות נפוצה: להשוות את ההעתקים שבתרשים במקום את המשרעות. התרשים מראה רגע אחד; המשרעת היא ההעתק המרבי שהנקודה מגיעה אליו במהלך התנודה.

ציר אופקי: מספר הבטנים $n$ (מספר שלם, ללא יחידות). ציר אנכי: $L$ במטרים. מסמנים את חמש הנקודות מן הטבלה, ומעבירים קו ישר שעובר קרוב ככל האפשר לכל הנקודות (חלק מעליו וחלק מתחתיו). הקו עובר (בקירוב) דרך ראשית הצירים, כצפוי: כאשר אורך הקטע אפס - אין בטנים.

מדוע הגרף ישר: לפי דף הנוסחאות, במיתר שקצותיו קשורים $\ell=n\frac{\lambda}{2}$. התדירות קבועה ($50\,\text{Hz}$) והמיתר והמתיחות לא השתנו, ולכן מהירות ההתפשטות ואורך הגל קבועים. מכאן ש־$L$ פרופורציוני ל־$n$, והשיפוע הוא $\frac{\lambda}{2}$.

בוחרים שתי נקודות על קו המגמה (לא מן הטבלה), רחוקות זו מזו: $(1,\ 0.24\,\text{m})$ ו־$(5,\ 1.20\,\text{m})$.

מדף הנוסחאות, גל עומד במיתר שקצותיו קשורים:

בגרף של $L$ כפונקצייה של $n$ השיפוע הוא $\frac{\lambda}{2}$ (אורך בטן אחת), ולכן:

מהירות גל מחזורי:

טעות נפוצה: לקבוע שהשיפוע הוא אורך הגל עצמו ולקבל $v=12\,\text{m/s}$. כל בטן היא חצי אורך גל, ולכן כל בטן נוספת מאריכה את הקטע ב־$\frac{\lambda}{2}$ בלבד.

קביעה: לא ייווצר גל עומד.

נימוק: בשני קצות הקטע הרוטט חייבים להיות צמתים, ולכן אורכו חייב להיות מספר שלם של חצאי אורכי גל: $\ell=n\frac{\lambda}{2}$. התדירות והמיתר לא השתנו, ולכן $\frac{\lambda}{2}=0.24\,\text{m}$ (סעיף ג).

זה אינו מספר שלם, ולכן לא ייווצר גל עומד.

המקום הקרוב ביותר: האורכים שבהם נוצר גל עומד הם כפולות של $0.24\,\text{m}$. הקרובים ל־$0.65\,\text{m}$ הם:

המרחקים מ־$0.65\,\text{m}$: $0.65-0.48=0.17\,\text{m}$ ו־$0.72-0.65=0.07\,\text{m}$.

לכן יש להזיז את הגשר $0.07\,\text{m}=7\,\text{cm}$ הרחק מן המרטט, אל $L=0.72\,\text{m}$, ואז ייווצרו בקטע הרוטט $3$ בטנים.

מדף הנוסחאות, $\ell=n\frac{\lambda}{2}$, עם $n=2$ ו־$\ell=0.96\,\text{m}$:

תדירות הגל נקבעת על ידי המרטט ולכן לא השתנתה:

טעות נפוצה: להניח שאורך הגל נשאר $0.48\,\text{m}$ ושרק "מספר הבטנים השתנה". המתיחות שינתה את התווך, ולכן השתנתה מהירות ההתפשטות; התדירות נשארה זו של המרטט, ולכן אורך הגל הוא שהשתנה. (באורך $0.96\,\text{m}$ היו לפני ההחלפה $4$ בטנים, ועכשיו רק $2$.)

קביעה: התוצאות אינן מתיישבות עם הטענה.

נימוק: המשקולת תלויה במנוחה, ולכן המתיחות במיתר שווה למשקלה, $T=mg$. כשמסת המשקולת גדלה פי $\frac{400}{100}=4$, גם המתיחות גדלה פי $4$.

אילו המהירות הייתה ביחס ישר למסת המשקולת, היא הייתה גדלה פי $4$, ל־$4\cdot 24=96\,\text{m/s}$. בפועל:

כלומר המהירות אכן גדלה כשהמתיחות גדלה (מיתר מתוח יותר "מעביר" את ההפרעה מהר יותר), אבל לא ביחס ישר: הגדלה פי $4$ של המתיחות הגדילה את המהירות רק פי $2$. (התוצאה מתאימה לכך שהמהירות גדלה כשורש המתיחות.)

מדף הנוסחאות, קווי מקסימום בהתאבכות משני מקורות שווי־מופע (עבור זוויות קטנות $\sin\theta_n\approx\frac{X_n}{L}$):

המרחקים על המסך (מילימטרים) קטנים מאוד לעומת $L=1.5\,\text{m}$, ולכן הקירוב מוצדק. עבור $n=1$ ו־$d=0.25\cdot 10^{-3}\,\text{m}$:

אור סגול ($x_V=2.28\cdot 10^{-3}\,\text{m}$):

אור אדום ($x_R=4.5\cdot 10^{-3}\,\text{m}$):

אלה בקירוב גבולות התחום הנראה.

טעות נפוצה: לא להמיר מילימטרים למטרים (גם ב־$x$ וגם ב־$d$), או להחליף בין $d$ ל־$L$.

אור לבן מורכב מכל אורכי הגל של האור הנראה, וכל אורך גל יוצר תבנית התאבכות משלו. על המסך התבניות של כל הצבעים מצטרפות.

המקסימום המרכזי ($n=0$): באמצע המסך המרחקים מ־$S_1$ ומ־$S_2$ שווים – הפרש הדרכים אפס. אפס הוא כפולה שלמה של כל אורך גל, ולכן כל הצבעים מתאבכים שם התאבכות בונה באותו מקום, ויחד הם נותנים אור לבן.

המקסימום מסדר ראשון ($n=1$): כאן הפרש הדרכים צריך להיות שווה לאורך גל אחד, $\Delta s=\lambda$. לפי

מקום המקסימום יחסי לאורך הגל. לכן הצבעים נפרדים: לסגול, בעל אורך הגל הקצר ביותר, המקסימום הקרוב ביותר למרכז, ולאדום, בעל אורך הגל הארוך ביותר, הרחוק ביותר. האור הלבן מכיל רצף של אורכי גל, ולכן מתקבל רצף של מקסימומים צמודים – כתם צבעוני רציף מ־$x_V$ עד $x_R$.

קביעה: רוחב הכתם יגדל.

נימוק: רוחב הכתם מסדר ראשון הוא המרחק בין הקצה האדום לקצה הסגול:

אורכי הגל והמרחק $L$ לא משתנים, ולכן הרוחב יחסי הפוך למרחק בין החריצים $d$. הקטנת $d$ מגדילה את הרוחב (במצב המקורי $\Delta x=4.5-2.28=2.22\,\text{mm}$).

אינטואיטיבית: ככל שהחריצים קרובים יותר, צריך זווית גדולה יותר כדי ליצור הפרש דרכים של אורך גל אחד ($\sin\theta=\frac{\lambda}{d}$), ולכן כל הצבעים נפרשים בזוויות גדולות יותר.

טעות נפוצה: לחשוב שחריצים קרובים יותר "מרכזים" את התבנית – הקשר הפוך.

הקצה הרחוק ביותר מהמרכז של התבנית מסדר ראשון הוא הקצה האדום ($\lambda_R=750\,\text{nm}$, סעיף א). המסך משתרע $0.6\,\text{m}$ לכל צד של המרכז, ולכן הקצה האדום צריך ליפול לכל היותר $0.6\,\text{m}$ מהמרכז.

הזווית – מדף הנוסחאות, קווי מקסימום בסריג עקיפה:

$N^*=6{,}000\,\frac{1}{\text{cm}}=6\cdot 10^5\,\frac{1}{\text{m}}$. עבור $n=1$:

הזווית גדולה, ולכן אי אפשר להשתמש בקירוב $\sin\theta\approx\tan\theta$ – משתמשים בטנגנס.

המרחק המרבי – במשולש ישר הזווית שבין הסריג, מרכז המסך והנקודה האדומה:

הצבה, עם $x_R=0.6\,\text{m}$:

אם המסך רחוק יותר, הקצה האדום נופל מחוץ למסך. (בדיקה – הקצה הסגול: $\sin\theta_V=6\cdot 10^5\cdot 3.8\cdot 10^{-7}=0.228$, $\theta_V\approx 13.2^\circ$, ובמרחק $1.19\,\text{m}$ הוא נמצא כ־$0.28\,\text{m}$ מהמרכז – בתוך המסך.)

טעות נפוצה: להשתמש בקירוב הזוויות הקטנות $\frac{x}{L}=N^*\lambda$ ולקבל $L=\frac{0.6}{0.45}\approx 1.33\,\text{m}$ – במרחק כזה הקצה האדום כבר מחוץ למסך. טעות נוספת: להציב את רוחב המסך כולו ($1.2\,\text{m}$) במקום מחציתו.

הקשר בין אנרגיית פוטון לאורך הגל, מדף הנוסחאות:

הצבה:

(באופן שקול: $f=\frac{c}{\lambda}=\frac{3\cdot10^8}{400\cdot10^{-9}}=7.5\cdot10^{14}\,\text{Hz}$, ו־$E_{ph}=hf=4.14\cdot10^{-15}\cdot7.5\cdot10^{14}\approx3.10\,\text{eV}$.)

פונקציית העבודה $B$ שווה לאנרגיית פוטון בתדירות הסף:

האפקט הפוטואלקטרי, מדף הנוסחאות:

הצבה:

ביחידות SI: $0.70\cdot1.6\cdot10^{-19}\approx1.12\cdot10^{-19}\,\text{J}$.

טעות נפוצה: להציב את $f_0$ כתדירות האור המוקרן – $f_0$ מגדירה את פונקציית העבודה של הקתודה, והאור המוקרן נתון דרך אורך הגל שלו.

משמעות: כאשר מחברים את המקור כך שהאנודה בפוטנציאל נמוך מהקתודה (מתח "הפוך"), השדה החשמלי בתא מאט את האלקטרונים שנפלטו. מתח העצירה הוא הערך המזערי של המתח ההפוך שבו גם האלקטרונים בעלי האנרגייה הקינטית המרבית נעצרים לפני האנודה – ולכן הזרם בתא מתאפס.

ערכו: במתח העצירה כל האנרגייה הקינטית המרבית הופכת לאנרגייה פוטנציאלית חשמלית (עבודת הכוח החשמלי, $W=qV$):

(הקשר $eV_0=E_{k,\max}$ נובע מעבודת הכוח החשמלי ומשפט עבודה–אנרגייה.)

עוצמת הזרם היא כמות המטען שעוברת ביחידת זמן: $I=\frac{\Delta q}{\Delta t}=\frac{N_e\cdot e}{\Delta t}$, כאשר $N_e$ – מספר האלקטרונים שמגיעים לאנודה בזמן $\Delta t$.

•מספר האלקטרונים שנפלטים מהקתודה ביחידת זמן נקבע על ידי מספר הפוטונים שפוגעים בה ביחידת זמן (עוצמת האור), ולא על ידי המתח.

•במתחים נמוכים רק חלק מהאלקטרונים שנפלטו (בכיוונים שונים ובמהירויות שונות) מגיעים לאנודה. ככל שהמתח גדל, חלק גדול יותר מהם נאסף.

•בנקודה $A$ המתח כבר גדול מספיק כדי שכל האלקטרונים שנפלטים יגיעו לאנודה. מעבר לכך אין עוד אלקטרונים "לאסוף": הגדלת המתח ל־$V_C$ רק מאיצה אותם יותר, אבל מספר האלקטרונים שמגיעים ביחידת זמן נשאר זהה – ולכן גם הזרם (זרם הרוויה).

הטעות של התלמיד: מהירות האלקטרונים אינה קובעת את הזרם. במצב יציב, אלקטרונים מהירים יותר עוברים את המרחק מהר יותר, אבל קצב ההגעה שלהם לאנודה שווה לקצב הפליטה מהקתודה.

אורך הגל קובע את אנרגיית הפוטון $E_{ph}=\frac{hc}{\lambda}$, ולכן את האנרגייה הקינטית המרבית $E_{k,\max}=E_{ph}-B$ (הקתודה זהה, ולכן $B$ זהה), ואת מתח העצירה $eV_0=E_{k,\max}$. מתח העצירה הוא הנקודה שבה הגרף חותך את ציר המתח בצד השלילי.

גרף א: שתי העקומות יוצאות מאותה נקודה על ציר המתח – מתח העצירה זהה. לכן $E_{k,\max}$ זהה, אנרגיית הפוטון זהה, ואורך הגל שווה לאורך הגל המקורי.

גרף ב: העקומה המקווקוות חותכת את הציר רחוק יותר מאפס – מתח העצירה שלה גדול יותר. לכן $E_{k,\max}$ גדולה יותר, אנרגיית הפוטון גדולה יותר, ומ־$E_{ph}=\frac{hc}{\lambda}$ – אורך הגל קטן יותר מאורך הגל המקורי.

טעות נפוצה: לקבוע את אורך הגל לפי גובה זרם הרוויה – גובה זרם הרוויה קשור למספר הפוטונים, לא לאנרגייה של כל פוטון.

זרם הרוויה פרופורציוני למספר האלקטרונים שנפלטים ביחידת זמן, כלומר למספר הפוטונים שפוגעים בקתודה ביחידת זמן, $N$. עוצמת האור היא האנרגייה שהאלומה מעבירה ביחידת זמן (ליחידת שטח), כלומר היא פרופורציונית ל־$N\cdot E_{ph}$.

גרף א: זרם הרוויה של העקומה המקווקוות קטן יותר, ולכן מספר הפוטונים ביחידת זמן קטן יותר. אנרגיית כל פוטון שווה (תת־סעיף 1). לכן עוצמת האור קטנה יותר.

גרף ב: זרם הרוויה של העקומה המקווקוות גדול יותר – יותר פוטונים ביחידת זמן. בנוסף, כל פוטון נושא יותר אנרגייה (אורך גל קצר יותר, תת־סעיף 1). שני הגורמים מגדילים את $N\cdot E_{ph}$, ולכן עוצמת האור גדולה יותר.

קביעה: ההיגד הנכון הוא 2.

נימוק: לפי המודל החלקיקי של האור (איינשטיין), האור מורכב מפוטונים, וכל פוטון נבלע כולו על ידי אלקטרון בודד ומוסר לו את כל האנרגייה שלו, $hf$. אלקטרון שנפלט קיבל אפוא אנרגייה של פוטון אחד – ולכן $E_{k,\max}=hf-B$.

1. אם $f<f_0$, לכל פוטון יש אנרגייה $hf<B$, ופוטונים אינם "מצטרפים" כדי לעקור אלקטרון אחד. הגדלת העוצמה מגדילה רק את מספר הפוטונים – ולא תיפלט אף אלקטרון.

3. $E_{k,\max}$ היא האנרגייה המרבית. אלקטרונים שנמצאים עמוק יותר בחומר מאבדים חלק מהאנרגייה בדרך החוצה, ולכן נפלטים באנרגיות קינטיות שונות, מאפס ועד $E_{k,\max}$ (לכן הזרם יורד בהדרגה ככל שהמתח ההפוך גדל).

4. קירוב המנורה מגדיל את עוצמת האור על הקתודה – מספר הפוטונים ביחידת זמן גדל, ולכן גדל זרם הרוויה. אנרגיית כל פוטון לא משתנה, ולכן $E_{k,\max}$ ומתח העצירה לא משתנים.

אורך גל מקסימלי מתאים לאנרגיית פוטון מינימלית ($E_{ph}=\frac{hc}{\lambda}$). פוטון נבלע רק אם האנרגייה שלו שווה בדיוק להפרש בין שתי רמות, והאנרגייה המינימלית לעירור מרמת היסוד היא המעבר $n=1\to n=2$:

מדף הנוסחאות:

האטומים שעוררו (על ידי בליעת קרינת הכוכב) חוזרים לרמות נמוכות ופולטים פוטונים – ישירות או דרך רמות ביניים. מרמה $n$ אפשר לקבל $\frac{n(n-1)}{2}$ קווים שונים:

•עירור עד הרמה $n=4$ היה נותן $6$ קווים.

•עירור עד הרמה $n=3$ לכל היותר נותן בדיוק $3$ קווים: $3\to1$, $3\to2$, $2\to1$.

לכן האטומים בענן עוררו לרמות $n=2$ ו־$n=3$ בלבד.

מדף הנוסחאות: $E_{ph}=E_i-E_f$ ו־$\lambda[\text{nm}]=\frac{1240}{E[\text{eV}]}$.

הקווים השחורים (ספקטרום בליעה) מתאימים לפוטונים שנבלעו באטומי הענן. מרבית האטומים ברמת היסוד, והבליעה היא מרמת היסוד בלבד.

לפי סעיף ב, האטומים עוררו לרמות $n=2$ ו־$n=3$ בלבד, ולכן נבלעו רק הפוטונים של המעברים:

- $1\to2$: $4.8\,\text{eV}$, $\lambda\approx258\,\text{nm}$

- $1\to3$: $7.0\,\text{eV}$, $\lambda\approx177\,\text{nm}$

(אין קו בליעה של המעבר $1\to4$, $9.4\,\text{eV}$, $\lambda\approx132\,\text{nm}$: אילו הקרינה שמגיעה לענן הייתה מעוררת את הרמה $n=4$, היו בספקטרום הפליטה שישה קווים ולא שלושה. כלומר בתחום אורכי הגל שנבדק אין פוטונים שמעוררים את $n=4$.)

הקו $564\,\text{nm}$ מופיע בספקטרום הפליטה בלבד: הוא מתאים למעבר בין $n=2$ ל־$n=3$, ובענן הקר כמעט אין אטומים ברמה $n=2$ שיכולים לבלוע אותו.

טעות נפוצה: לכלול את $564\,\text{nm}$ בקווי הבליעה – בליעה מתרחשת רק מהרמה שבה נמצאים האטומים (רמת היסוד).

אנרגיית היינון מרמת היסוד (מ־$n=1$ ל־$n=\infty$, שם $E=0$):

קביעה: $13.8\,\text{eV}>12.0\,\text{eV}$, ולכן מתרחש יינון. (מעל $E=0$ האלקטרון חופשי ואנרגייתו רציפה, ולכן פוטון שאנרגייתו גדולה מאנרגיית היינון נבלע גם אם אינו מתאים להפרש רמות.)

האנרגייה הקינטית המקסימלית – לפי שימור אנרגייה, העודף הופך לאנרגייה קינטית:

($\approx2.8\cdot10^{-19}\,\text{J}$.)

קביעה: כן.

נימוק: בשונה מפוטון, שנבלע רק אם האנרגייה שלו שווה בדיוק להפרש רמות, אלקטרון יכול למסור לאטום חלק מהאנרגייה הקינטית שלו ולהמשיך לנוע עם השאר. לכן אלקטרון של $8.5\,\text{eV}$ יכול לעורר אטום X מרמת היסוד לכל רמה שאנרגיית העירור שלה $8.5\,\text{eV}$ לכל היותר:

- $n=2$: $E_2-E_1=4.8\,\text{eV}<8.5\,\text{eV}$ – אפשרי.

- $n=3$: $E_3-E_1=7.0\,\text{eV}<8.5\,\text{eV}$ – אפשרי.

- $n=4$: $E_4-E_1=-2.6-(-12.0)=9.4\,\text{eV}>8.5\,\text{eV}$ – לא אפשרי (וגם יינון, $12.0\,\text{eV}$, אינו אפשרי).

האטומים מעוררים לרמות $n=2$ ו־$n=3$ בלבד – כמו בענן – ובחזרתם פולטים את אותם שלושה קווים: $177\,\text{nm}$, $258\,\text{nm}$ ו־$564\,\text{nm}$.

טעות נפוצה: לחשוב שאלקטרון של $8.5\,\text{eV}$ אינו יכול לעורר משום ש־$8.5\,\text{eV}$ אינו שווה בדיוק להפרש רמות – הדרישה "בדיוק" חלה על פוטונים, לא על אלקטרונים.

בפליטת $\beta^-$ ניטרון בגרעין הופך לפרוטון, ונפלטים אלקטרון ואנטי־ניטרינו:

שימור מספר המסה: $239=A+0$, ולכן $A=239$.

שימור המטען: $92=Z-1$, ולכן $Z=93$.

•מספר הפרוטונים: $Z=93$.

•מספר הניטרונים: $N=A-Z=239-93=146$.

טעות נפוצה: להקטין את מספר הפרוטונים ב־$1$ – בדעיכת $\beta^-$ המטען של הגרעין גדל, כי נפלט מטען שלילי.

מספר המסה אינו משתנה ($239$), ומספר הפרוטונים גדל ב־$1$ (מ־$93$ ל־$94$) – זו דעיכת $\beta^-$: ניטרון בגרעין הופך לפרוטון, ונפלטים אלקטרון ואנטי־ניטרינו.

בדיקה: מספרי מסה $239=239+0$; מטענים $93=94+(-1)$.

הפעילות של מקור ברגע $t$ היא מספר הגרעינים שמתפרקים בו ביחידת זמן (קצב ההתפרקויות) באותו רגע. מדף הנוסחאות:

כאשר $N$ – מספר הגרעינים שעדיין לא התפרקו ברגע $t$, ו־$\lambda$ – קבוע הדעיכה.

יחידות: בקרל, $1\,\text{Bq}=1$ התפרקות לשנייה ($\text{s}^{-1}$).

מדף הנוסחאות:

ברגע ההפרדה מספרי הגרעינים שווים ($N_{\text{U}}=N_{\text{Np}}$), ולכן יחס הפעילויות שווה ליחס ההפוך של זמני מחצית החיים:

לאורניום־239 פעילות גדולה יותר – פי $144$.

(בערכים: $R_{\text{U}}=\frac{0.693}{1410\,\text{s}}\cdot 2\cdot 10^{17}\approx 9.8\cdot 10^{13}\,\text{Bq}$, $R_{\text{Np}}=\frac{0.693}{203040\,\text{s}}\cdot 2\cdot 10^{17}\approx 6.8\cdot 10^{11}\,\text{Bq}$.)

טעות נפוצה: להסיק שהפעילויות שוות כי מספרי הגרעינים שווים – החומר שזמן מחצית החיים שלו קצר מתפרק בקצב גדול יותר.

אחרי זמן מחצית חיים אחד של אורניום־239 ($23.5$ דקות) נשארו $\frac{4\cdot 10^{17}}{2}=2\cdot 10^{17}$ גרעיני אורניום, ו־$2\cdot 10^{17}$ גרעינים התפרקו. כל התפרקות של גרעין אורניום יוצרת גרעין נפטוניום אחד, ולכן נוצרו $2\cdot 10^{17}$ גרעיני נפטוניום.

אבל הנפטוניום עצמו רדיואקטיבי: מרגע שנוצר הוא מתפרק לפלוטוניום. לכן ברגע $t=23.5$ דקות מספר גרעיני הנפטוניום קטן במעט מ־$2\cdot 10^{17}$, ואילו מספר גרעיני האורניום שווה בדיוק ל־$2\cdot 10^{17}$ – עדיין $N_{\text{Np}}<N_{\text{U}}$.

כדי שהמספרים ישתוו צריך שיתפרקו עוד מעט גרעיני אורניום (מספרם קטן ומספר גרעיני הנפטוניום גדל), ולכן $t_1$ ארוך מ־$23.5$ דקות.

ההפרש קטן מאוד ("במקצת"), כי זמן מחצית החיים של הנפטוניום ($2.35$ ימים) ארוך מאוד ביחס ל־$23.5$ דקות: בזמן כה קצר מתפרק רק חלק זעיר (פחות מאחוז) מגרעיני הנפטוניום שנוצרו.

מחוק הדעיכה מדף הנוסחאות, $N=N_0e^{-\lambda t}$ עם $\lambda=\frac{\ln 2}{T_{1/2}}$:

מבחנת הנפטוניום ($T_{1/2}=2.35$ ימים $=56.4$ שעות, $t=12$ שעות):

נשארים כ־$86\%$ מגרעיני הנפטוניום.

מבחנת האורניום ($T_{1/2}=23.5\,\text{min}$, $t=12\,\text{h}=720\,\text{min}$, כלומר $\frac{720}{23.5}\approx 30.6$ זמני מחצית חיים):

נשארים כ־$6\cdot 10^{-8}\,\%$ מגרעיני האורניום – כמעט אפס (מתוך $2\cdot 10^{17}$ גרעינים, כ־$1.2\cdot 10^{8}$ בלבד). האורניום־239 התפרק כמעט כולו – והפך לנפטוניום בתוך מבחנת האורניום.

טעות נפוצה: לערבב יחידות זמן – להציב שעות מול זמן מחצית חיים בדקות או בימים. יש לבטא את $t$ ואת $T_{1/2}$ באותן יחידות.