בגרות בפיזיקה מכניקה 36361 - קיץ 2020

נפילה חופשית היא תנועה של גוף שהכוח היחיד הפועל עליו הוא כוח הכובד (כאן – כוח המשיכה של הירח). התנגדות אוויר וכל כוח אחר אינם פועלים או זניחים.

לפי החוק השני של ניוטון $\Sigma F=ma$, כאשר $\Sigma F=mg$ מתקבל $a=g$: כל גוף בנפילה חופשית נע בתאוצה קבועה שגודלה $g$ (בקרבת הירח $g_M=1.67\,\text{m/s}^2$), המכוונת כלפי מטה – ללא תלות במסתו ובמהירותו ההתחלתית.

בגרף זה רואים זאת בשלב $10\,\text{s}<t<12.45\,\text{s}$: הגשושית התחילה ממהירות אפס, והשיפוע של גרף המהירות קבוע ושווה ל־$-1.67\,\text{m/s}^2$.

טעות נפוצה: לכתוב ש"נפילה חופשית" היא תנועה כלפי מטה בלבד – גם גוף שנזרק כלפי מעלה ונע רק בהשפעת הכובד נמצא בנפילה חופשית.

הגשושית נעה אנכית, ופועלים עליה שני כוחות:

1. כוח הכובד $mg_M$ – מופעל על ידי הירח, כיוונו אנכית כלפי מטה.

2. כוח המנועים (כוח הדחף) $F$ – מופעל על הגשושית על ידי הגזים שהמנועים פולטים, כיוונו אנכית כלפי מעלה.

היחס בין אורכי החצים: בפרק הזמן $0$–$10\,\text{s}$ הגשושית נעה כלפי מטה (המהירות שלילית) וגודל מהירותה קטן – היא מאטה. לכן התאוצה מכוונת כלפי מעלה, ולפי החוק השני של ניוטון השקול מכוון כלפי מעלה: יש לסרטט את $F$ ארוך יותר מ־$mg_M$ (בסעיף ג נמצא $F\approx 602\,\text{N}$ לעומת $mg_M\approx 274\,\text{N}$).

טעות נפוצה: לסרטט את כוח המנועים קטן מכוח הכובד מתוך מחשבה שהגשושית "יורדת" – הכיוון של השקול נקבע לפי כיוון התאוצה, לא לפי כיוון המהירות.

תאוצת הגשושית – שיפוע גרף המהירות בפרק הזמן $0$–$10\,\text{s}$ (כיוון חיובי כלפי מעלה, כפי שעולה מהגרף: המהירות כלפי מטה שלילית):

התאוצה חיובית – כלומר מכוונת כלפי מעלה.

החוק השני של ניוטון (כיוון חיובי כלפי מעלה):

הצבה:

טעות נפוצה: לכתוב $F-mg_M=-ma$ או $F=m(a-g_M)$ – הגשושית מאטה בתנועתה כלפי מטה, ולכן התאוצה כלפי מעלה, ושני האיברים מתחברים.

המהירות התאפסה ברגע $t=10\,\text{s}$. מרגע זה ועד הנחיתה ($t=12.45\,\text{s}$) הגשושית בנפילה חופשית ממנוחה, במשך

לפי נוסחת המקום בתנועה שוות תאוצה מדף הנוסחאות:

עם $v_0=0$ ו־$a=g_M$ (גודל ההעתק כלפי מטה):

הצבה:

(בדרך נוספת – השטח בין הגרף לציר הזמן בין $10\,\text{s}$ ל־$12.45\,\text{s}$: מהירות הנחיתה $v=g_M\Delta t=1.67\cdot 2.45\approx 4.09\,\text{m/s}$, והשטח הוא משולש: $\tfrac12\cdot 2.45\cdot 4.09\approx 5.0\,\text{m}$.)

גודל ההעתק של הגשושית בפרק הזמן $0$–$10\,\text{s}$ שווה לשטח הכלוא בין גרף המהירות לבין ציר הזמן. השטח הוא משולש שבסיסו $10\,\text{s}$ וגובהו $20\,\text{m/s}$:

(או לפי הנוסחה $x-x_0=\frac{v_0+v}{2}t=\frac{20+0}{2}\cdot 10=100\,\text{m}$.)

ברגע $t=10\,\text{s}$ הגשושית הייתה בגובה $h\approx 5.0\,\text{m}$ (סעיף ד). לכן הגובה ההתחלתי:

טעות נפוצה: להסתפק בשטח עד $t=10\,\text{s}$ ($100\,\text{m}$) ולשכוח את קטע הנפילה החופשית.

קביעה: תרשים 2.

נימוק: שיפוע גרף הגובה–זמן $y(t)$ בכל רגע שווה למהירות הגשושית (בכיוון האנכי, חיובי כלפי מעלה). נבדוק את השיפוע לפי גרף המהירות:

- $0<t<10\,\text{s}$: המהירות שלילית (הגובה קטן), וגודלה קטן בהדרגה מ־$20\,\text{m/s}$ עד אפס. לכן הגרף יורד, והשיפוע שלו נעשה מתון יותר ויותר – גרף קעור כלפי מעלה – ומגיע לשיפוע אפס (משיק אופקי) ברגע $t=10\,\text{s}$.

- $10<t<12.45\,\text{s}$: נפילה חופשית ממנוחה – המהירות שלילית וגודלה גדל. הגרף מתחיל בשיפוע אפס ונעשה תלול יותר ויותר כלפי מטה עד הנחיתה.

•ברגע $t=10\,\text{s}$ הגובה קטן ($5\,\text{m}$ לעומת $H\approx 105\,\text{m}$) – הגרף קרוב מאוד לציר הזמן.

התיאור הזה מתאים לתרשים 2 בלבד: בתרשים 1 ובתרשים 3 הגרף מתחיל בשיפוע אפס ב־$t=0$ (אבל ב־$t=0$ המהירות $20\,\text{m/s}$), ובתרשים 1 הגרף מגיע לקרקע בשיפוע אפס (אבל ברגע הנחיתה המהירות $4.1\,\text{m/s}$); בתרשים 4 השיפוע ב־$t=10\,\text{s}$ אינו אפס.

טעות נפוצה: לבחור את תרשים 3 מתוך זיהוי גרף "פרבולה כלפי מטה" לכל התנועה – רק השלב האחרון הוא נפילה חופשית.

כיוון התנועה: רכיב הכובד במורד המישור של $m_2$ ($m_2g\sin\alpha\approx 24\,\text{N}$) גדול בהרבה מזה של $m_1$ ($m_1g\sin\alpha\approx 6\,\text{N}$). המערכת מתחילה לנוע ממנוחה, ולכן היא נעה כך ש־$m_2$ יורד במורד המישור השמאלי ו־$m_1$ עולה במעלה המישור הימני.

הכוחות על $m_1$ (עולה במישור הימני):

1. כוח הכובד $m_1g$ – מופעל על ידי כדור הארץ, אנכית כלפי מטה.

2. הכוח הנורמלי $N_1$ – מופעל על ידי המישור, ניצב למישור כלפי חוץ.

3. כוח המתיחות $T$ – מופעל על ידי החוט, מקביל למישור, במעלה המישור (אל הגלגלת).

4. כוח החיכוך הקינטי $f_1$ – מופעל על ידי המישור, מקביל למישור, במורד המישור (נגד כיוון התנועה).

הכוחות על $m_2$ (יורד במישור השמאלי):

1. כוח הכובד $m_2g$ – מופעל על ידי כדור הארץ, אנכית כלפי מטה.

2. הכוח הנורמלי $N_2$ – מופעל על ידי המישור, ניצב למישור כלפי חוץ.

3. כוח המתיחות $T$ – מופעל על ידי החוט, מקביל למישור, במעלה המישור (אל הגלגלת). החוט חסר מסה והגלגלת אידיאלית, ולכן המתיחות שווה בשני צדי החוט.

4. כוח החיכוך הקינטי $f_2$ – מופעל על ידי המישור, מקביל למישור, במעלה המישור (נגד כיוון התנועה).

טעות נפוצה: לסמן את החיכוך על שני הגופים באותו כיוון ביחס לגלגלת – החיכוך תמיד נגד כיוון התנועה של הגוף שעליו הוא פועל.

לכל גוף בוחרים ציר מקביל למישור (חיובי בכיוון התנועה של אותו גוף) וציר ניצב למישור. גודל התאוצה $a$ משותף לשני הגופים (החוט אינו נמתח). החיכוך קינטי: $f=\mu_kN$.

גוף $m_1$ (חיובי במעלה המישור הימני):

•ניצב למישור (אין תאוצה בכיוון זה):

•לאורך המישור (החוק השני של ניוטון):

גוף $m_2$ (חיובי במורד המישור השמאלי):

•ניצב למישור:

•לאורך המישור:

מחברים את שתי משוואות התנועה לאורך המישורים מסעיף ב – המתיחות $T$ מתבטלת:

מבודדים את $\mu_k$:

הצבה, עם $\sin 36.9^\circ\approx 0.6$ ו־$\cos 36.9^\circ\approx 0.8$:

(בדיקה – מתיחות החוט מהמשוואה של $m_1$: $T=m_1(a+g\sin\alpha+\mu_kg\cos\alpha)=1\cdot(2+6+1.6)=9.6\,\text{N}$; ובמשוואה של $m_2$: $24-9.6-0.2\cdot 32=8=m_2a=4\cdot 2$ ✓.)

טעות נפוצה: לכתוב את החיכוך הכולל כ־$\mu_k(m_2-m_1)g\cos\alpha$ – החיכוך על שני הגופים פועל נגד תנועת המערכת, ולכן הכוחות מתחברים.

כעת $m_1$ נע במורד המישור הימני ו־$m_2$ נע במעלה המישור השמאלי. כיוון התנועה התהפך, ולכן גם כיווני כוחות החיכוך התהפכו: על $m_1$ החיכוך במעלה המישור, ועל $m_2$ – במורד המישור. גודלי הכוחות הנורמליים, וכן גודלי החיכוך, לא השתנו.

נבחר כיוון חיובי – כיוון התנועה של המערכת ברגע זה ($m_1$ במורד, $m_2$ במעלה). החוק השני של ניוטון למערכת (המתיחות פנימית ומתבטלת בחיבור המשוואות):

הצבה:

הסימן שלילי: התאוצה מנוגדת לכיוון התנועה. לכן גודל התאוצה של $m_1$ הוא $5.2\,\text{m/s}^2$ וכיוונה במעלה המישור המשופע הימני – הגוף מאט עד שייעצר (אחרי $\frac{2.6}{5.2}=0.5\,\text{s}$).

טעות נפוצה: להשאיר את החיכוך באותו כיוון כמו בסעיפים הקודמים ולקבל $a=\frac{-18+8}{5}=-2\,\text{m/s}^2$.

על המכונית פועלים שלושה כוחות:

1. כוח הכובד $mg$ – מופעל על ידי כדור הארץ, אנכית כלפי מטה.

2. הכוח הנורמלי $N$ – מופעל על ידי הכביש, אנכית כלפי מעלה.

3. כוח החיכוך הסטטי $f_s$ – מופעל על ידי הכביש על הצמיגים, אופקי ומכוון אל מרכז מעגל התנועה. בנקודה $A$ (משמאל למרכז בתרשים) הוא מכוון ימינה, לעבר המרכז.

החיכוך הוא סטטי, כי הצמיגים אינם מחליקים לרוחב הכביש. זהו הכוח היחיד שיכול לספק את הכוח השקול הרדיאלי הדרוש לתנועה מעגלית על כביש אופקי.

טעות נפוצה: להוסיף "כוח צנטריפטלי" ככוח נפרד, או כוח צנטריפוגלי החוצה – הכוח השקול אל המרכז הוא כוח החיכוך עצמו.

בכיוון האנכי – המכונית נעה במישור אופקי, אין תאוצה אנכית:

בכיוון הרדיאלי (אל המרכז) – לפי החוק השני של ניוטון עם התאוצה הרדיאלית $a_R=\frac{v^2}{R}$ מדף הנוסחאות:

(בכיוון המשיק למעגל, אם המכונית נעה במהירות קבועה בגודלה, שקול הכוחות אפס.)

המהירות מרבית כאשר המכונית על סף החליקה: החיכוך הסטטי מגיע לערכו המרבי

מציבים במשוואה הרדיאלית מסעיף ב:

כלומר $v_{\max}^2$ יחסי ישר ל־$R$, ומקדם היחס הוא $\mu_s g$ (אינו תלוי במסת המכונית).

ציר אופקי: הרדיוס $R$ במטרים (מ־$0$ עד $40\,\text{m}$). ציר אנכי: $v_{\max}^2$ ב־$\text{m}^2/\text{s}^2$ (מ־$0$ עד $320$). מתחילים את שני הצירים מאפס, כי לפי סעיף ג הקו צפוי לעבור דרך הראשית.

הנקודות $(R\,[\text{m}],\,v_{\max}^2\,[\text{m}^2/\text{s}^2])$:

$(16,\,128)$, $(20,\,160)$, $(24,\,192)$, $(28,\,224)$, $(32,\,256)$.

קו המגמה: הנקודות מונחות על קו ישר. מעבירים ישר אחד דרכן; הוא עובר גם דרך הראשית $(0,0)$, בהתאם לקשר $v_{\max}^2=\mu_sgR$.

קוראים מקו המגמה את ערכי $v_{\max}^2$ בשתי הנקודות שעל הקו:

•ב־$R=18\,\text{m}$: $v_{\max}^2=144\,\text{m}^2/\text{s}^2$

•ב־$R=36\,\text{m}$: $v_{\max}^2=288\,\text{m}^2/\text{s}^2$

(היחידות: $\frac{\text{m}^2/\text{s}^2}{\text{m}}=\text{m/s}^2$ – יחידות של תאוצה, כמו $\mu_sg$.)

לפי סעיף ג, $v_{\max}^2=\mu_sg\,R$, ולכן שיפוע הגרף שווה ל־$\mu_sg$:

הצבה:

קביעה: היגד 2 נכון.

נימוק: זמן ההקפה בתנועה מעגלית קצובה (מדף הנוסחאות $v=\frac{2\pi R}{T}$):

נציב $v_{\max}=\sqrt{\mu_sgR}$ (סעיף ג):

$\mu_s$ ו־$g$ זהים לכל הנתיבים, ולכן זמן ההקפה גדל עם הרדיוס (כמו $\sqrt R$). המכונית בנתיב הפנימי (הרדיוס הקטן ביותר) משלימה הקפה בזמן הקצר ביותר. במילים: המסלול החיצוני ארוך פי $2$ מהפנימי, אך המהירות בו גדולה רק פי $\sqrt2$.

בדיקה עם נתוני הטבלה:

•נתיב 1: $T_1=\frac{2\pi\cdot 16}{11.31}\approx 8.9\,\text{s}$

•נתיב 5: $T_5=\frac{2\pi\cdot 32}{16}\approx 12.6\,\text{s}$

טעות נפוצה: לבחור בהיגד 3 כי המכונית החיצונית מהירה ביותר – יש להתחשב גם באורך ההקפה.

הגודל הפיזיקלי: השטח הכלוא בין גרף כוח–זמן לבין ציר הזמן הוא המתקף של הכוח (מדף הנוסחאות $J=\int F\,dt$).

חישוב השטח (ממירים מילי שניות לשניות: $1\,\text{ms}=10^{-3}\,\text{s}$). מחלקים את השטח לשלושה חלקים:

•משולש בין $10$ ל־$20\,\text{ms}$: $\tfrac12\cdot 0.010\cdot 40=0.2\,\text{N}\cdot\text{s}$

•מלבן בין $20$ ל־$40\,\text{ms}$: $0.020\cdot 40=0.8\,\text{N}\cdot\text{s}$

•משולש בין $40$ ל־$100\,\text{ms}$: $\tfrac12\cdot 0.060\cdot 40=1.2\,\text{N}\cdot\text{s}$

כיוון: הקיר (החיישן) דוחף את התיבה, שמגיעה מצד שמאל, שמאלה – הרחק מהקיר. לכן המתקף על התיבה מכוון שמאלה: $J=-2.2\,\text{N}\cdot\text{s}$ (לפי הציר החיובי ימינה). (לפי החוק השלישי של ניוטון, מתקף שווה בגודלו והפוך בכיוונו – ימינה – פועל על החיישן.)

טעות נפוצה: לשכוח להמיר מילי שניות לשניות ולקבל $2200\,\text{N}\cdot\text{s}$.

וקטור התנע לפני ההתנגשות (מדף הנוסחאות $p=mv$):

כיוונו ימינה – כמו כיוון המהירות.

וקטור המתקף (סעיף א): $J=2.2\,\text{N}\cdot\text{s}$, כיוונו שמאלה.

הסרטוט: מסרטטים את התיבה, ויוצאים ממנה שני חצים אופקיים: חץ ימינה המייצג את $\vec p$ וחץ שמאלה המייצג את $\vec J$. יחס האורכים:

למשל, אם $\vec p$ מסורטט באורך $4\,\text{cm}$, אז $\vec J$ מסורטט באורך $5.5\,\text{cm}$ (קנה מידה $1\,\text{cm}\leftrightarrow 0.4\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$).

טעות נפוצה: לסרטט את המתקף קצר מהתנע – המתקף גדול מהתנע ההתחלתי, כי הוא גם עוצר את התיבה וגם מחזיר אותה שמאלה.

לפי נוסחת מתקף–תנע מדף הנוסחאות (הכוח האופקי היחיד על התיבה בהתנגשות הוא כוח החיישן; המשטח חסר חיכוך):

כיוון חיובי – ימינה: $J=-2.2\,\text{N}\cdot\text{s}$, $v=+0.8\,\text{m/s}$.

הצבה:

הסימן השלילי מתאים לנתון שהתיבה נעה שמאלה. גודל המהירות לאחר ההתנגשות: $0.3\,\text{m/s}$.

טעות נפוצה: להציב את המתקף בסימן חיובי ולקבל $1.9\,\text{m/s}$ – מהירות גדולה מההתחלתית, וזה בלתי אפשרי כאן.

לפי החוק השני של ניוטון, בכל רגע תאוצת התיבה היא $a=\frac{F}{m}$, כאשר $F$ הכוח שהחיישן מפעיל על התיבה. כוח זה מכוון שמאלה (בכיוון השלילי), ולכן התאוצה שלילית, וגרף התאוצה הוא תמונת ראי של גרף הכוח, מוקטן פי $m=2\,\text{kg}$.

ערכי התאוצה בנקודות הקיצון של הגרף:

- $0$–$10\,\text{ms}$: אין כוח (התיבה עוד לא נוגעת בחיישן), $a=0$.

- $10\,\text{ms}$: $a=0$; ב־$20\,\text{ms}$: $a=-\frac{40}{2}=-20\,\text{m/s}^2$ (קו ישר ביניהם).

- $20$–$40\,\text{ms}$: $a=-20\,\text{m/s}^2$ קבועה.

- $40$–$100\,\text{ms}$: קו ישר מ־$-20\,\text{m/s}^2$ חזרה ל־$0$.

טעות נפוצה: לסרטט את גרף התאוצה מעל ציר הזמן (חיובי) – הכוח על התיבה מכוון שמאלה, נגד הציר החיובי.

כוח קבוע יגרום לאותו שינוי במהירות אם יפעיל את אותו המתקף ($\Delta p=J$) באותו פרק זמן של ההתנגשות. מדף הנוסחאות, מתקף של כוח קבוע:

ההתנגשות (פרק הזמן שבו פועל כוח על התיבה) נמשכת מ־$t=10\,\text{ms}$ עד $t=100\,\text{ms}$:

הצבה:

כיוונו שמאלה. (זהו הכוח הממוצע שפעל על התיבה במהלך ההתנגשות.)

טעות נפוצה: לחלק ב־$0.1\,\text{s}$ – בין $t=0$ ל־$t=10\,\text{ms}$ התיבה עוד לא נגעה בחיישן, וזמן ההתנגשות הוא $90\,\text{ms}$.

מדף הנוסחאות, נוסחת מקום–זמן בתנועה הרמונית פשוטה:

המשרעת: המשקולת שוחררה ממנוחה במרחק $20\,\text{cm}$ מנקודת שיווי המשקל, ולכן $A=\ell_1=0.2\,\text{m}$.

התדירות הזוויתית: מדף הנוסחאות $\omega=\frac{2\pi}{T}$:

המופע ההתחלתי: ברגע $t=0$ המשקולת בנקודה הנמוכה ביותר, כלומר $y(0)=+A$ (הכיוון החיובי כלפי מטה). לכן $\cos\varphi=1$, ו־$\varphi=0$.

טעות נפוצה: לכתוב $-0.2\cos(4\pi t)$ – המשקולת שוחררה מתחת לנקודת שיווי המשקל, והכיוון החיובי הוא כלפי מטה.

מדף הנוסחאות, הקשר בין מהירות למקום:

הצבה, עם $y=\frac{\ell_1}{2}=0.1\,\text{m}$:

כיוון: המשקולת שוחררה מהנקודה הנמוכה ביותר ($y=+0.2\,\text{m}$) ונעה כלפי מעלה, לעבר נקודת שיווי המשקל. בפעם הראשונה שהיא עוברת ב־$y=0.1\,\text{m}$ היא עדיין בדרכה למעלה – כלומר בכיוון השלילי:

(בדיקה בעזרת הזמן: $\cos(4\pi t)=0.5$ לראשונה ב־$t=\frac1{12}\,\text{s}$, ו־$v=-A\omega\sin(4\pi t)=-0.2\cdot 12.57\cdot\sin 60^\circ\approx -2.18\,\text{m/s}$ ✓.)

מדף הנוסחאות, זמן המחזור בתנועה הרמונית של גוף על קפיץ:

באותו קפיץ ($c$ קבוע) זמן המחזור יחסי לשורש המסה, ולכן

זמן המחזור גדל ב־$20\%$: $\frac{T_2}{T_1}=1.2$ (כלומר $T_2=0.6\,\text{s}$).

(דרך שקולה: קבוע הקפיץ $c=m_1\omega_1^2=0.06\cdot(4\pi)^2\approx 9.47\,\text{N/m}$, ואז $m_1+m_2=c\left(\frac{T_2}{2\pi}\right)^2=9.47\cdot\left(\frac{0.6}{2\pi}\right)^2\approx 0.0864\,\text{kg}$.)

טעות נפוצה: להניח שהמסה גדלה ב־$20\%$ – זמן המחזור יחסי ל־$\sqrt m$, ולכן המסה גדלה פי $1.44$.

קבוע הקפיץ – מהניסוי הראשון ($\omega=\sqrt{\frac{c}{m}}$ מדף הנוסחאות):

שיווי המשקל: בנקודת שיווי המשקל כוח הקפיץ מאזן את כוח הכובד: $k\,\Delta\ell=mg$ (חוק הוק). כשמוסיפים מסה $m_2$, הקפיץ צריך להימתח מרחק נוסף $\Delta y$ כדי לאזן את משקלה הנוסף:

הצבה:

נקודת שיווי המשקל בניסוי השני נמוכה ב־$2.8\,\text{cm}$ מזו של הניסוי הראשון.

(דרך נוספת: מתיחת הקפיץ בשיווי משקל היא $\Delta\ell=\frac{mg}{c}=\frac{g}{\omega^2}=g\left(\frac{T}{2\pi}\right)^2$, ולכן $\Delta y=\frac{g}{4\pi^2}(T_2^2-T_1^2)=\frac{10}{4\pi^2}(0.36-0.25)\approx 0.0279\,\text{m}$ ✓.)

טעות נפוצה: לחשב את מתיחת הקפיץ הכוללת בניסוי השני ($\approx 9.1\,\text{cm}$) במקום ההפרש בין שתי נקודות שיווי המשקל.

קביעה: גרף 1.

נימוק: בתנועה הרמונית פשוטה שקול הכוחות הוא $\Sigma F=-cy$ (מדף הנוסחאות). לפי החוק השני של ניוטון:

$\omega^2$ קבוע, ולכן התאוצה יחסית ישר להעתק ובסימן הפוך לו: הגרף הוא קו ישר שעובר דרך הראשית ושיפועו שלילי ($-\omega^2$). כאשר המשקולת מתחת לנקודת שיווי המשקל ($y>0$) התאוצה כלפי מעלה ($a<0$), ולהפך.

•גרף 4 – שיפוע חיובי: התאוצה בכיוון ההעתק, הרחק משיווי המשקל – לא תנועה מחזורית.

•גרף 5 – התאוצה תמיד חיובית: אינה מחזירה את המשקולת לשיווי המשקל.

•גרפים 2 ו־3 – הקשר אינו קווי, ולכן אינו מתאים לתבנית $a=-\omega^2y$.

טעות נפוצה: לבלבל בין גרף תאוצה–זמן (שהוא סינוסי, כמו גרף 3) לבין גרף תאוצה–מקום.