בגרות בפיזיקה מכניקה 36361 - קיץ 2021

קביעה: היגד 4 נכון.

נימוק: סימן התאוצה נקבע לפי כיוון וקטור התאוצה ביחס לציר, ולא לפי "האטה" או "האצה".

- מכונית א נעה ימינה – בכיוון החיובי, ולכן $v_A>0$. גודל מהירותה קטן, כלומר התאוצה מכוונת נגד כיוון המהירות: שמאלה. לכן $a_A<0$.

- מכונית ב נעה מ־$B$ לכיוון מכונית א – שמאלה, בכיוון השלילי, ולכן $v_B<0$. גודל מהירותה גדל, כלומר התאוצה באותו כיוון כמו המהירות: שמאלה. לכן $a_B<0$.

שתי התאוצות מכוונות שמאלה – שתיהן שליליות.

טעות נפוצה: לקבוע ש"מכונית ב מאיצה ולכן תאוצתה חיובית" – כשגוף נע בכיוון השלילי וגודל מהירותו גדל, תאוצתו שלילית.

מכונית א מאטה בקצב קבוע של $2\,\text{m/s}$ בכל שנייה, כלומר תאוצתה $a=-2\,\text{m/s}^2$ (ציר חיובי ימינה).

לפי נוסחת התנועה שוות התאוצה מדף הנוסחאות:

ברגע העצירה $v=0$, ולכן

הצבה:

מדף הנוסחאות:

עם $x_0=0$ (הנקודה $A$), $v_0=30\,\text{m/s}$, $a=-2\,\text{m/s}^2$ ו־$v=0$ ברגע העצירה:

הצבה:

(בדיקה בעזרת המהירות הממוצעת: $x=\frac{v_0+v}{2}\,t=\frac{30+0}{2}\cdot 15=225\,\text{m}$.)

שלב ההאצה: מכונית ב מתחילה ממנוחה וגודל מהירותה גדל ב־$3\,\text{m/s}$ בכל שנייה במשך $10\,\text{s}$. לפי $v=v_0+at$ (בגדלים):

שלב הבלימה: מכונית ב נעצרה באותו הזמן שבו נעצרה מכונית א, כלומר ברגע $t=15\,\text{s}$ (סעיף ב). לכן משך הבלימה:

במהלך הבלימה גודל המהירות יורד בקצב קבוע מ־$30\,\text{m/s}$ ל־$0$. מדף הנוסחאות, תאוצה ממוצעת (שווה לתאוצה הקבועה):

הצבה (בגדלים):

טעות נפוצה: להניח שמשך הבלימה הוא $15\,\text{s}$ – הבלימה מתחילה רק אחרי $10$ השניות הראשונות.

נחשב את הדרך שעברה מכונית ב עד לעצירתה.

שלב ההאצה ($0$ עד $10\,\text{s}$), ממנוחה – לפי $x-x_0=v_0t+\tfrac12at^2$ (בגדלים):

שלב הבלימה ($10$ עד $15\,\text{s}$), מ־$30\,\text{m/s}$ עד $0$ – לפי $x-x_0=\frac{v_0+v}{2}\,t$:

סך הדרך של מכונית ב:

מכונית ב נעצרה באותו המקום שבו נעצרה מכונית א – בנקודה $x=225\,\text{m}$ (סעיף ג). היא נעה שמאלה, ולכן התחילה בנקודה הרחוקה $225\,\text{m}$ ימינה מנקודת העצירה:

טעות נפוצה: לתת כתשובה רק את הדרך של מכונית ב ($225\,\text{m}$) – המרחק $AB$ הוא סכום הדרכים של שתי המכוניות.

המהירויות נמדדות ביחס לציר ה־$x$ (חיובי ימינה), ולכן למכונית ב מהירות שלילית.

מכונית א: תאוצה קבועה $-2\,\text{m/s}^2$, ולכן הגרף הוא קו ישר:

נקודות: $(0,\,30)$, $(15,\,0)$.

- $0\le t\le 10\,\text{s}$: מהירות שלילית שגודלה גדל: $v_B=-3t$, מ־$(0,\,0)$ עד $(10,\,-30)$.

- $10\le t\le 15\,\text{s}$: גודל המהירות קטן בקצב $6\,\text{m/s}^2$ – התאוצה חיובית: $v_B=-30+6(t-10)$, מ־$(10,\,-30)$ עד $(15,\,0)$.

שני הגרפים מסתיימים באותו רגע, $t=15\,\text{s}$, במהירות אפס. השטח מתחת לגרף של א ($+225\,\text{m}$) והשטח מעל הגרף של ב ($-225\,\text{m}$) שווים בגודלם – בהתאם לסעיפים ג ו־ה.

טעות נפוצה: לסרטט את גרף מכונית ב מעל ציר הזמן – היא נעה בכיוון השלילי של הציר.

על גוף $B$ פועלים שני כוחות:

1. כוח הכובד $m_Bg$ – מופעל על ידי כדור הארץ, כיוונו אנכית כלפי מטה.

2. כוח המתיחות $T_1$ – מופעל על ידי החוט $S_1$, כיוונו אנכית כלפי מעלה (לאורך החוט).

הרצפה אינה מפעילה כוח על $B$: נתון ש־$B$ אינו מפעיל כוח על הרצפה, ולפי החוק השלישי של ניוטון גם הרצפה אינה מפעילה עליו כוח נורמלי.

הגוף במנוחה, ולכן $T_1=m_Bg$.

טעות נפוצה: להוסיף כוח נורמלי מהרצפה – בתנאי השאלה הוא אפס.

מסת הגלגלת זניחה, ולכן אין לסרטט עליה כוח כובד. פועלים עליה שלושה כוחות:

1. כוח המתיחות בחוט $S_2$, $T_2$ – מופעל על ידי החוט $S_2$ (המחובר לתקרה), כיוונו אנכית כלפי מעלה.

2. כוח המתיחות של הקטע השמאלי של $S_1$ (הקטע היורד אל $B$), $T_1$ – כיוונו אנכית כלפי מטה.

3. כוח המתיחות של הקטע הימני של $S_1$ (הקטע היורד אל $A$), $T_1$ – כיוונו אנכית כלפי מטה.

שני הקטעים של $S_1$ שייכים לאותו חוט חסר מסה העובר על גלגלת חסרת חיכוך, ולכן המתיחות בשניהם שווה.

גוף $B$ במנוחה, ולפי סעיף א(1) פועלים עליו רק $m_Bg$ ו־$T_1$. מהחוק השני של ניוטון עם $a=0$:

הגלגלת במנוחה (ומסתה זניחה), ולכן שקול הכוחות עליה אפס:

שימו לב: $T_2$ אינו $(m_A+m_B)g$. את ההפרש $m_Ag-m_Bg$ מאזן הכוח שבו מחזיקים את גוף $A$.

טעות נפוצה: לכתוב $T_2=(m_A+m_B)g$ – גוף $A$ מוחזק ביד, וכוח המתיחות בחוט נקבע לפי $B$.

קביעה: גודל התאוצות שווה.

נימוק: שני הגופים קשורים לאותו חוט $S_1$, שאינו מתארך (ואינו מתרפה). בכל פרק זמן $A$ יורד בדיוק באותו מרחק ש־$B$ עולה, ולכן גודלי המהירויות שלהם שווים בכל רגע – ולכן גם גודלי התאוצות שווים (הכיוונים הפוכים: $A$ מטה, $B$ מעלה).

קביעה: גודל הכוח השקול על $A$ גדול מגודל הכוח השקול על $B$.

נימוק: לפי החוק השני של ניוטון $\Sigma F=ma$. לשני הגופים אותו גודל תאוצה $a$ (תת־סעיף 1), ולכן

מאחר ש־$m_A>m_B$, מתקיים $\Sigma F_A>\Sigma F_B$.

קביעה: כוחות המתיחות שווים בגודלם.

נימוק: שני הגופים קשורים לקצוות של אותו חוט $S_1$. החוט חסר מסה, והגלגלת חסרת מסה וחסרת חיכוך, ולכן גודל המתיחות זהה לאורך כל החוט: הכוח שהחוט מפעיל על $A$ שווה בגודלו לכוח שהוא מפעיל על $B$.

(ההבדל בכוחות השקולים מתת־סעיף 2 נובע מכוחות הכובד השונים: $m_Ag>m_Bg$, ולא מהמתיחויות.)

טעות נפוצה: לקבוע שהמתיחות על $A$ גדולה יותר "כי הוא כבד יותר" – החוט מפעיל את אותה מתיחות בשני קצותיו.

נסמן ב־$T$ את המתיחות בחוט $S_1$ וב־$a$ את גודל התאוצה. מאחר ש־$m_A>m_B$, גוף $A$ יורד וגוף $B$ עולה.

לפי החוק השני של ניוטון $\Sigma F=ma$ לכל גוף, כשהכיוון החיובי לכל גוף הוא כיוון תנועתו:

גוף $A$ (כיוון חיובי – מטה):

גוף $B$ (כיוון חיובי – מעלה):

מחברים את שתי המשוואות ($T$ מתבטל):

מציבים בביטוי מסעיף ד:

גוף $A$ (הכבד יותר) נע כלפי מטה מהמנוחה, ולכן תאוצתו מכוונת אנכית כלפי מטה.

המתיחות בחוט $S_1$ – מהמשוואה של גוף $B$ (סעיף ד):

(בדיקה לפי גוף $A$: $T_1=m_A(g-a)=3\cdot(10-2)=24\,\text{N}$ ✓.)

המתיחות בחוט $S_2$ – הגלגלת חסרת מסה ואינה נעה, ולכן שקול הכוחות עליה אפס (כמו בסעיף א(2)):

שימו לב: $48\,\text{N}$ קטן מכוח הכובד הכולל $(m_A+m_B)g=50\,\text{N}$ – כצפוי, כי מרכז המסה של המערכת מאיץ כלפי מטה.

טעות נפוצה: להציב $T_2=(m_A+m_B)g=50\,\text{N}$ – זה נכון רק כשהמערכת כולה במנוחה ללא כוח חיצוני נוסף.

קביעה: גרף ג.

נימוק: לאחר הזריקה (והתנגדות האוויר זניחה) הכוח היחיד הפועל על הכדור הוא כוח הכובד, שהוא אנכי. בכיוון האופקי לא פועל כוח, ולכן לפי החוק השני של ניוטון $a_x=0$: רכיב המהירות האופקי נשאר קבוע ושווה ל־$v_0$ לאורך כל התנועה. גרף של גודל קבוע שונה מאפס כפונקציה של הזמן הוא קו אופקי – גרף ג.

קביעה: גרף ב.

נימוק: הכדור נזרק בכיוון אופקי, ולכן ברגע הזריקה רכיב המהירות האנכי הוא אפס. בכיוון האנכי פועל רק כוח הכובד, ולכן התאוצה האנכית קבועה, $g$, כלפי מטה. לפי $v=v_0+at$ עם $v_{0y}=0$:

גודל המהירות האנכית יחסי ישר לזמן – קו ישר העובר בראשית ועולה, בשיפוע $g$: גרף ב.

גרף ד (קו מתעקם שמתקרב לערך קבוע) היה מתאים לנפילה עם התנגדות אוויר, שהוזנחה כאן; גרף א מתאר מהירות שקטנה – לא מתאים לנפילה.

ציר אנכי – נפילה ממנוחה (אנכית) מגובה $h$. לפי $x-x_0=v_0t+\tfrac12at^2$ עם $v_{0y}=0$:

ציר אופקי – תנועה קצובה במהירות $v_0$:

מציבים את $t^2$:

כלומר $d^2$ יחסי ישר ל־$h$, ושיפוע הגרף של $d^2$ כפונקציה של $h$ הוא $\frac{2v_0^2}{g}$.

ציר אופקי: הגובה $h$ במטרים (טווח $0$ עד $55\,\text{m}$). ציר אנכי: $d^2$ ב־$\text{m}^2$ (טווח $0$ עד $2500\,\text{m}^2$). כדאי להתחיל את שני הצירים מאפס, כי לפי סעיף ב הקשר הוא יחס ישר.

הנקודות $(h\,[\text{m}],\,d^2\,[\text{m}^2])$:

$(10,\,449.4)$, $(20,\,998.6)$, $(30,\,1451.6)$, $(40,\,1901.0)$, $(50,\,2246.8)$.

הנקודות מסתדרות בקירוב לאורך קו ישר עולה.

מעבירים קו ישר אחד כך שהנקודות מפוזרות סביבו משני צדיו בערך באופן שווה.

שיפוע הקו – משתי נקודות על הקו (לא מנקודות הטבלה), רחוקות זו מזו, למשל $(10\,\text{m},\,510\,\text{m}^2)$ ו־$(50\,\text{m},\,2310\,\text{m}^2)$:

(השיפוע יוצא ביחידות $\frac{\text{m}^2}{\text{m}}=\text{m}$.)

לפי סעיף ב הקו התיאורטי עובר בראשית; החיתוך הקטן עם הציר האנכי (כ־$60\,\text{m}^2$) נובע משגיאות מדידה. מה שחשוב להמשך הוא השיפוע.

לפי סעיף ב, השיפוע של הגרף $d^2(h)$ הוא:

הצבה, עם השיפוע מסעיף ג ($45\,\text{m}$):

טעות נפוצה: להציב את השיפוע כ־$v_0^2$ ולשכוח את הגורם $\frac{2}{g}$.

הרכיב האופקי קבוע: $v_x=v_0=15\,\text{m/s}$.

הרכיב האנכי – נפילה ממנוחה (אנכית) מגובה $25\,\text{m}$. לפי $v^2=v_0^2+2a(x-x_0)$:

(כלפי מטה).

גודל המהירות – לפי משפט פיתגורס:

כיוון המהירות – הזווית $\theta$ מתחת לאופק:

המהירות מכוונת קדימה (בכיוון הזריקה) ומטה, בזווית של כ־$56^\circ$ מתחת לאופק.

טעות נפוצה: לחשב רק את $\sqrt{2gh}$ ולשכוח את הרכיב האופקי, או לתת את הזווית ביחס לאנך בלי לציין זאת.

העבודה של הכוח הנורמלי: הכוח הנורמלי ניצב תמיד למישור $AB$, ואילו ההעתק של הגוף הוא לאורך המישור. לפי

עם $\theta=90^\circ$: $\cos 90^\circ=0$, ולכן

העבודה של כוח הכובד: כוח הכובד הוא כוח משמר. לפי דף הנוסחאות:

הגוף עלה מגובה $0$ (הנקודה $B$) לגובה $h$ (הנקודה $A$):

(בדרך אחרת: אורך הקטע $AB=\frac{h}{\sin 30^\circ}=4\,\text{m}$, ורכיב הכובד לאורך המישור $mg\sin 30^\circ=2.5\,\text{N}$ מכוון נגד ההעתק: $W=-2.5\cdot 4=-10\,\text{J}$.)

העבודה שלילית כי הגוף עלה – כוח הכובד פעל נגד כיוון התנועה האנכית.

לפי משפט עבודה–אנרגייה מדף הנוסחאות:

הגוף היה במנוחה בנקודה $B$ והגיע לנקודה $A$ במהירות אפס, ולכן:

טעות נפוצה: לנסות לחשב $F\cdot d$ – הכוח $F$ אינו קבוע ואינו נתון; את העבודה הכוללת מקבלים ישירות ממשפט עבודה–אנרגייה.

על הגוף בקטע $AB$ פעלו שלושה כוחות: $F$, הכוח הנורמלי וכוח הכובד (הקטע חלק – אין חיכוך). העבודה הכוללת היא סכום העבודות:

העבודה של $F$ חיובית: $F$ פעל בכיוון התנועה, והוא שהעלה את האנרגייה הפוטנציאלית של הגוף ב־$10\,\text{J}$.

בקטע $AB$ אין חיכוך, והכוח הנורמלי אינו מבצע עבודה. לכן בדרך מ־$A$ ל־$B$ רק כוח הכובד (משמר) מבצע עבודה, והאנרגייה המכנית נשמרת ($W_{\text{לא משמרים}}=\Delta E=0$):

הצבה:

בקטע $BC$ (אופקי) פועלים על הגוף:

•כוח הכובד $mg$ והכוח הנורמלי $N$ – שניהם אנכיים, ניצבים לתנועה, ואינם מבצעים עבודה. מאחר שהתנועה אופקית, $N=mg$.

- כוח החיכוך הקינטי $f_k=\mu_kN=\mu_kmg$ – מנוגד לכיוון התנועה.

עבודת החיכוך לאורך המרחק $x$ מ־$B$ (לפי $W=F\,\Delta x\cos\theta$ עם $\theta=180^\circ$):

לפי משפט עבודה–אנרגייה $W_{\text{כוללת}}=\Delta E_k$, כשבנקודה $B$ האנרגייה הקינטית היא $E_{k,B}=\tfrac12mv_B^2=mgh$ (סעיף ד):

האנרגייה הקינטית יורדת באופן קווי עם $x$.

לפי סעיף ה, $E_k(x)=mgh-\mu_kmg\,x$ הוא קו ישר ששיפועו $-\mu_kmg$ (והחיתוך שלו עם הציר האנכי $mgh=0.5\cdot 10\cdot 2=10\,\text{J}$ – בהתאמה לגרף).

שיפוע הגרף – משתי נקודות על הקו, $(0\,\text{m},\,10\,\text{J})$ ו־$(5\,\text{m},\,0\,\text{J})$:

משווים לביטוי:

הצבה:

(בדרך שקולה: הגוף נעצר ב־$x=5\,\text{m}$, ולכן $0=mgh-\mu_kmg\cdot 5$, כלומר $\mu_k=\frac{h}{5}=\frac{2}{5}=0.4$.)

מדף הנוסחאות, מתקף של כוח משתנה:

האינטגרל של הכוח לפי הזמן הוא השטח שבין גרף $F(t)$ לבין ציר הזמן. לכן השטח מייצג את המתקף שהפעילה קרונית 1 על קרונית 2 במהלך ההתנגשות. לפי נוסחת מתקף–תנע ($J=\Delta p$), הוא שווה לשינוי בתנע של קרונית 2.

ערכו (שטח משולש):

המסילה חלקה וקטע $AB$ אופקי, ולכן הכוח השקול האופקי על קרונית 2 בזמן ההתנגשות הוא הכוח $F$ שמפעילה עליה קרונית 1. לפי נוסחת מתקף–תנע מדף הנוסחאות:

המתקף הוא השטח שמתחת לגרף בתרשים 2 (סעיף א):

לכן

טעות נפוצה: לשכוח את ה־$\tfrac12$ בשטח המשולש, או לקרוא את ציר הזמן כשניות במקום $10^{-3}\,\text{s}$.