בגרות בפיזיקה מכניקה 36361 - קיץ 2021 מועד מיוחד

גרף המהירות של האופנוע הוא קו ישר, ולכן תאוצתו קבועה ושווה לשיפוע הגרף. מדף הנוסחאות, תאוצה ממוצעת:

מהגרף: ב־$t=0$ מהירות האופנוע $0$, וב־$t=15\,\text{s}$ היא $33\,\text{m/s}$:

משמעות: בכל שנייה של התנועה גדלה מהירות האופנוע ב־$2.2\,\text{m/s}$ (בכיוון החיובי של ציר $x$). למשל, אחרי $1\,\text{s}$ מהירותו $2.2\,\text{m/s}$, אחרי $2\,\text{s}$ – $4.4\,\text{m/s}$, וכן הלאה.

בפרק הזמן $6$–$15\,\text{s}$ גרף המהירות של המכונית הוא קו ישר יורד, ולכן התאוצה קבועה ושווה לשיפוע:

הצבה:

משמעות: הסימן השלילי פירושו שהתאוצה מכוונת נגד הכיוון החיובי של ציר $x$, כלומר נגד כיוון התנועה של המכונית. לכן המכונית בולמת: בכל שנייה מהירותה קטנה ב־$2.78\,\text{m/s}$, עד שהיא נעצרת ב־$t=15\,\text{s}$.

טעות נפוצה: לכתוב תאוצה חיובית $2.78\,\text{m/s}^2$ – השאלה מבקשת את התאוצה ביחס לציר $x$, כולל סימן.

נחשב את מקום כל כלי רכב ב־$t=15\,\text{s}$. ההעתק שווה לשטח שמתחת לגרף המהירות–זמן.

המכונית (מתחילה ב־$x_0=0$):

- $0$–$6\,\text{s}$: מהירות קבועה $25\,\text{m/s}$, העתק $25\cdot 6=150\,\text{m}$.

- $6$–$15\,\text{s}$: מהירות יורדת קווית מ־$25$ ל־$0$; שטח משולש: $\tfrac12\cdot 9\cdot 25=112.5\,\text{m}$.

האופנוע (מתחיל ממנוחה ב־$x_0=30\,\text{m}$, תאוצה $2.2\,\text{m/s}^2$). מדף הנוסחאות:

(העתק $247.5\,\text{m}$ הוא גם שטח המשולש שמתחת לגרף האופנוע: $\tfrac12\cdot 15\cdot 33$.)

מאחר ש־$277.5>262.5$, האופנוע מקדים את המכונית ב־$15\,\text{m}$ ברגע $t=15\,\text{s}$.

טעות נפוצה: להשוות רק את השטחים מתחת לגרפים ($247.5$ מול $262.5$) ולהסיק שהמכונית מקדימה – יש להוסיף את מקום ההתחלה של האופנוע, $x_0=30\,\text{m}$.

קביעה: שני כלי הרכב חלפו זה על פני זה פעמיים.

•ב־$t=0$ האופנוע מקדים: הוא ב־$x=30\,\text{m}$ והמכונית ב־$x=0$.

•בתחילת התנועה מהירות המכונית ($25\,\text{m/s}$) גדולה בהרבה ממהירות האופנוע (שמתחיל ממנוחה), ולכן המכונית סוגרת את הפער ועוקפת את האופנוע – זו החלפה ראשונה.

•המכונית ממשיכה להתרחק כל עוד מהירותה גדולה ממהירות האופנוע (עד שהמהירויות משתוות, סעיף ו). לאחר מכן האופנוע מהיר יותר וסוגר את הפער.

•ב־$t=15\,\text{s}$ האופנוע שוב מקדים (סעיף ג), ולכן הוא עקף את המכונית – זו החלפה שנייה. הפער מתחיל לקטון רק אחרי שהמהירויות משתוות וממשיך לקטון עד הסוף, ולכן אין החלפה נוספת.

חישוב רגעי החלפה (לא נדרש, לבדיקה): בפרק $0$–$6\,\text{s}$:

ההחלפה השנייה מתקבלת מהשוואת המקומות אחרי $6\,\text{s}$: $150+25(t-6)-\tfrac{25}{18}(t-6)^2=30+1.1t^2$, שפתרונה $t\approx 14.5\,\text{s}$.

קביעה: המהירות הממוצעת של האופנוע קטנה מזו של המכונית.

נימוק: מדף הנוסחאות, מהירות ממוצעת:

ההעתקים בפרק הזמן (השטחים מתחת לגרפים, סעיף ג):

השטח מתחת לגרף המכונית גדול מזה שמתחת לגרף האופנוע, ולכן המכונית עברה העתק גדול יותר באותו זמן.

טעות נפוצה: להסיק שמהירות האופנוע הממוצעת גדולה כי הוא מקדים ב־$t=15\,\text{s}$ – הוא מקדים רק משום שהתחיל $30\,\text{m}$ לפני המכונית; ההעתק שלו קטן יותר.

בפרק $0$–$6\,\text{s}$ מהירות האופנוע מגיעה לכל היותר ל־$2.2\cdot 6=13.2\,\text{m/s}<25\,\text{m/s}$, ולכן המהירויות משתוות רק אחרי $t=6\,\text{s}$ (נקודת החיתוך של הגרפים בתרשים ב).

לפי $v=v_0+at$:

משווים:

המהירות המשותפת: $v=2.2\cdot 8.37\approx 18.4\,\text{m/s}$.

טעות נפוצה: לבלבל בין רגע השוואת המהירויות (חיתוך הגרפים בתרשים ב) לבין רגע שבו כלי הרכב נפגשים – בחיתוך הגרפים הם אינם באותו מקום.

קביעה: כוח 3 – הכוח הנורמלי.

נימוק: המאזניים מודדים את הכוח שתמי לוחצת עליהם. לפי החוק השלישי של ניוטון, כוח זה שווה בגודלו לכוח הנורמלי $N$ שהמאזניים מפעילים על תמי (והפוך בכיוונו). המאזניים מכוילים בקילוגרמים, ולכן הם מציגים את $\frac{N}{g}$.

•כוח הכובד $mg$ קבוע לאורך כל התנועה, אבל ההורייה משתנה (בקטעים $B$ ו־$D$) – לכן ההורייה אינה כוח הכובד.

•הכוח השקול אפס כשהמעלית במנוחה (קטע $A$), אבל ההורייה שם $50\,\text{kg}$ – לכן ההורייה אינה הכוח השקול.

טעות נפוצה: לחשוב שהמאזניים מודדים את המסה או את כוח הכובד – הם מודדים את הכוח הנורמלי, ולכן ההורייה משתנה במעלית מאיצה.

על תמי פועלים כוח הכובד $mg$ והכוח הנורמלי $N$. לפי החוק השני של ניוטון (כיוון חיובי – למעלה):

כשההורייה שווה ל־$50\,\text{kg}$ (מסתה של תמי, כפי שמראים המאזניים לפני שהמעלית זזה), $N=mg$ והתאוצה אפס; כשההורייה שונה מ־$50\,\text{kg}$, יש תאוצה – המהירות משתנה.

- $A$ ($0$–$2\,\text{s}$): ההורייה $50\,\text{kg}$, והמעלית עוד לא התחילה לנוע – מנוחה.

- $B$ ($2$–$4\,\text{s}$): ההורייה $52.5\,\text{kg}\neq 50$ – יש תאוצה: תנועה במהירות משתנה (המעלית מתחילה לנוע).

- $C$ ($4$–$10\,\text{s}$): ההורייה שוב $50\,\text{kg}$ – תאוצה אפס, אבל המעלית כבר נעה (צברה מהירות בקטע $B$) – תנועה קצובה.

- $D$ ($10$–$12\,\text{s}$): ההורייה $47.5\,\text{kg}\neq 50$ – תנועה במהירות משתנה (המעלית מאטה).

- $E$ ($12$–$14\,\text{s}$): ההורייה $50\,\text{kg}$ – תאוצה אפס. המעלית נעצרה בסוף קטע $D$ (נעצרה רק כשהגיעה לקומה) – מנוחה.

טעות נפוצה: לקבוע שבקטע $C$ המעלית במנוחה כי ההורייה זהה לזו של מנוחה – הורייה $50\,\text{kg}$ פירושה רק שהתאוצה אפס.

מסת תמי: בקטע $A$ המעלית במנוחה, $N=mg$, ולכן $m=50\,\text{kg}$.

הכוח הנורמלי בכל קטע: $N=(\text{הורייה})\cdot g$.

החוק השני של ניוטון (כיוון חיובי למעלה):

- קטעים $A$, $C$, $E$: $N=50\cdot 10=500\,\text{N}=mg$, ולכן $a=0$.

- קטע $B$: $N=52.5\cdot 10=525\,\text{N}$:

- קטע $D$: $N=47.5\cdot 10=475\,\text{N}$:

גודל התאוצה $0.5\,\text{m/s}^2$, וכיוונה כלפי מטה.

טעות נפוצה: לחשב $a=\frac{N}{m}$ ולשכוח לחסר את כוח הכובד.

קביעה: המעלית עלתה.

הסבר: המעלית התחילה ממנוחה (קטע $A$). בקטע $B$ – הקטע הראשון שבו היא מתחילה לנוע – ההורייה גדולה מ־$50\,\text{kg}$, כלומר $N>mg$, ולכן הכוח השקול והתאוצה מכוונים כלפי מעלה (סעיף ג). גוף שמתחיל ממנוחה נע בכיוון תאוצתו, ולכן המעלית התחילה לנוע כלפי מעלה.

בקטע $C$ היא המשיכה לעלות במהירות קבועה, ובקטע $D$ התאוצה כלפי מטה – נגד כיוון התנועה – והמעלית האטה ונעצרה. התמונה כולה עקבית עם עלייה.

טעות נפוצה: לטעון שאי־אפשר לקבוע כי המאזניים מודדים רק תאוצה – נכון, אבל מכיוון שהמהירות ההתחלתית אפס, כיוון התאוצה בקטע $B$ קובע את כיוון התנועה.

בכל קטע התאוצה קבועה, ולכן הגרף מורכב מקטעים ישרים (שיפוע הגרף = התאוצה):

- $0$–$2\,\text{s}$ (קטע $A$): מנוחה – $v=0$, קו על ציר הזמן.

- $2$–$4\,\text{s}$ (קטע $B$): תאוצה קבועה $0.5\,\text{m/s}^2$ – קו ישר עולה מ־$0$ עד $v_{\max}=0+0.5\cdot 2=1\,\text{m/s}$.

- $4$–$10\,\text{s}$ (קטע $C$): תנועה קצובה – קו אופקי בגובה $v_{\max}$.

- $10$–$12\,\text{s}$ (קטע $D$): תאוטה בגודל $0.5\,\text{m/s}^2$ – קו ישר יורד מ־$v_{\max}$ עד $0$ (באותו שיפוע בגודלו כמו בקטע $B$).

- $12$–$14\,\text{s}$ (קטע $E$): מנוחה – $v=0$.

הגרף הוא טרפז: שיפוע העלייה ושיפוע הירידה שווים בגודלם, כי גודל התאוצה בקטעים $B$ ו־$D$ שווה ומשכם שווה.

על הגוף $A$ פועלים שני כוחות:

1. כוח הכובד $m_Ag$ – מופעל על ידי כדור הארץ, אנכית כלפי מטה.

2. כוח המתיחות $T$ – מופעל על ידי החוט, לאורך החוט מהגוף אל קצה הצינור: כלפי מעלה ופנימה (אל ציר הסיבוב), בזווית $\theta$ מעל האופק.

על המשקולת $M$ פועלים שני כוחות:

1. כוח הכובד $Mg$ – מופעל על ידי כדור הארץ, אנכית כלפי מטה.

2. כוח המתיחות $T$ – מופעל על ידי החוט, אנכית כלפי מעלה.

המשקולת במנוחה, ולכן $T=Mg$. החוט קל והחיכוך עם הצינור זניח, ולכן המתיחות שווה לכל אורך החוט – אותו $T$ פועל על $A$.

טעות נפוצה: להוסיף לגוף $A$ "כוח צנטריפטלי" ככוח נפרד – זהו הרכיב האופקי של המתיחות, לא כוח נוסף.

הגוף $A$ נע במעגל אופקי שמרכזו על ציר הצינור. קטע החוט $L$ הוא היתר במשולש ישר־זווית שניצביו הם רדיוס המעגל (אופקי) והמרחק האנכי מקצה הצינור למישור המעגל. הזווית $\theta$ נמצאת בין החוט לאופק, ולכן הרדיוס הוא הניצב הסמוך לה:

הכוח הגורם לסיבוב הוא הרכיב האופקי של כוח המתיחות (כוח הכובד אנכי ואינו תורם לכיוון הרדיאלי).

המשקולות – $n$ משקולות שמסת כל אחת $M$ – במנוחה, ולכן כוח המתיחות בחוט:

(כאן $T_{\text{חוט}}$ הוא כוח המתיחות; אין לבלבל עם $T$, זמן המחזור.)

הרכיב האופקי של המתיחות, המכוון אל מרכז המעגל:

אפשר לבטא אותו גם לפי החוק השני של ניוטון ותאוצה רדיאלית מדף הנוסחאות ($a_R=\omega^2R$, $\omega=\frac{2\pi}{T}$):

משווים את שני הביטויים לכוח הרדיאלי מתת־סעיף (1) (החוק השני של ניוטון בכיוון הרדיאלי):

מצמצמים את $\cos\theta$:

ריבוע המהירות הזוויתית יחסי ישר למספר המשקולות, והביטוי אינו תלוי בזווית $\theta$. שיפוע הגרף של $\omega^2$ כפונקציה של $n$ הוא $\frac{Mg}{m_AL}$.

(בכיוון האנכי מתקיים גם $nMg\sin\theta=m_Ag$ – הזווית מסתדרת לפי מספר המשקולות, אך אינה נכנסת לקשר בין $\omega^2$ ל־$n$.)

טעות נפוצה: לכתוב את הרדיוס כ־$L$ ולשכוח את $\cos\theta$ רק באחד האגפים – בשני האגפים מופיע אותו $\cos\theta$, ולכן הוא מצטמצם.

מדף הנוסחאות: $\omega=\frac{2\pi}{T}$. לדוגמה, בשורה הראשונה:

ציר אופקי: מספר המשקולות $n$ (מ־$0$ עד $5$). ציר אנכי: $\omega^2$ ביחידות $\frac{1}{\text{s}^2}$ (מ־$0$ עד כ־$1600$).

הנקודות: $(1,\,288)$, $(2,\,522)$, $(3,\,895)$, $(4,\,1289)$, $(5,\,1542)$.

לפי הביטוי מסעיף ג(2), $\omega^2=\frac{Mg}{m_AL}\,n$, הגרף צפוי להיות קו ישר העובר בראשית. מעבירים ישר דרך הראשית כך שהנקודות מפוזרות סביבו משני צדיו:

שיפוע הקו – משתי נקודות על הקו (לא מהטבלה), רחוקות זו מזו: $(0,\,0)$ ו־$(5,\,1535)$:

הקשר לפיזיקה: מסעיף ג(2)

הצבה:

(קו מגמה שאינו מאולץ לעבור בראשית נותן שיפוע של כ־$327\,\tfrac{1}{\text{s}^2}$ ו־$L\approx 0.15\,\text{m}$; כל תשובה בתחום $0.15$–$0.17\,\text{m}$ המבוססת על קו המגמה שסורטט סבירה.)

טעות נפוצה: לחשב את השיפוע מזוג נקודות מהטבלה, או להציב את המסה הכוללת של המשקולות במקום $M$ – השיפוע הוא ליחידת משקולת אחת.

בין $A$ ל־$B$ הרוח אינה משפיעה והחיכוך זניח. הכוח הנורמלי ניצב לתנועה ואינו מבצע עבודה, וכוח הכובד משמר – לכן האנרגייה המכנית נשמרת:

המהירות המזערית מתקבלת כשהתיבה מגיעה ל־$B$ בדיוק במהירות אפס ($v_B=0$):

הצבה:

מהירות התיבה ב־$B$ – שימור אנרגייה מכנית בין $A$ ל־$B$ (כמו בסעיף א):

($v_B=\sqrt{11}\approx 3.32\,\text{m/s}$.)

עבודת $F$ מ־$B$ ל־$C$. בקטע $BD$ המשטח אופקי: כוח הכובד והכוח הנורמלי ניצבים לתנועה ואינם מבצעים עבודה, ולכן הכוח היחיד שמבצע עבודה הוא $F(x)$. לפי משפט עבודה–אנרגייה:

בנקודה $C$ התיבה נעצרת רגעית ($E_{k,C}=0$):

העבודה שלילית: הרוח דוחפת שמאלה, נגד כיוון התנועה (ימינה).

טעות נפוצה: לשכוח את האנרגייה הפוטנציאלית שהתיבה צברה בעלייה מ־$A$ ל־$B$ ולהציב $\tfrac12mv_0^2=36\,\text{J}$ כאנרגייה הקינטית ב־$B$.

הכוח כפונקציה של המקום. מהגרף, הכוח לינארי ועובר בראשית: ב־$x=4\,\text{m}$ גודלו $8\,\text{N}$, ולכן

העבודה של כוח משתנה שווה לשטח מתחת לגרף $F(x)$ (מדף הנוסחאות $W=\int F(x)\,dx$). כאן הכוח מנוגד לתנועה, ולכן העבודה שלילית. השטח מ־$0$ עד $d$ הוא משולש שבסיסו $d$ וגובהו $F(d)=2d$:

משווים לתוצאת סעיף ב:

התוצאה קטנה מ־$4\,\text{m}$, כלומר $C$ אכן בין $B$ ל־$D$.

טעות נפוצה: לחשב את העבודה כ־$F\cdot d$ עם ערך קבוע של הכוח (למשל $8\,\text{N}$) – הכוח משתנה, ויש להשתמש בשטח שמתחת לגרף.

בין $C$ ל־$B$ הכוח היחיד שפועל על התיבה בכיוון התנועה הוא כוח הרוח $F=2x$, המכוון שמאלה – לעבר $B$, כלומר בכיוון התנועה של התיבה.

- מואצת: על התיבה פועל כוח שקול שונה מאפס (פרט לנקודה $B$ עצמה), ולכן יש לה תאוצה – התנועה אינה קצובה.

- תאוצה משתנה: לפי החוק השני של ניוטון $a=\frac{F}{m}=\frac{2x}{2}=x$ (במטרים לשנייה בריבוע, כאשר $x$ במטרים). ככל שהתיבה מתקרבת ל־$B$ המרחק $x$ קטן, ולכן התאוצה קטנה: מ־$a=3.32\,\text{m/s}^2$ ב־$C$ ועד $a=0$ ב־$B$.

- גודל המהירות גדל: הכוח והתאוצה בכיוון התנועה, ולכן המהירות גדלה כל הזמן (בקצב שהולך וקטן). הרוח מבצעת עבודה חיובית $+11\,\text{J}$, והתיבה מגיעה ל־$B$ במהירות $\sqrt{11}\approx 3.32\,\text{m/s}$ – אותה מהירות שבה עברה ב־$B$ בדרך ימינה.

(הכוח מקיים $\Sigma F=-2x$ ביחס לנקודה $B$, ולכן התנועה מ־$C$ ל־$B$ היא רבע ממחזור של תנועה הרמונית פשוטה.)

טעות נפוצה: לכתוב שהמהירות קטנה כי הכוח קטן – כוח קטן יותר מגדיל את המהירות לאט יותר, אבל עדיין מגדיל אותה כל עוד הוא בכיוון התנועה.