בגרות בפיזיקה מכניקה 36361 - קיץ 2022 מועד מיוחד

מדף הנוסחאות, מהירות ממוצעת:

משאית $B$ עברה את כל הקטע $MN$: $\Delta x=189\,\text{km}$ בזמן $\Delta t=3\,\text{h}$:

המרה ליחידות SI ($1\,\text{km/h}=\frac{1000\,\text{m}}{3600\,\text{s}}=\frac{1}{3.6}\,\text{m/s}$):

(בתרשים של משאית $B$ יש $7$ נקודות, כלומר $6$ מרווחי זמן שווים, והמרחקים בין הנקודות שווים – משאית $B$ נסעה במהירות קבועה, וכל מרווח זמן בין שתי דגימות הוא $\frac{3}{6}=0.5\,\text{h}$.)

קביעה: $\bar v_A>\bar v_B$.

נימוק: המכשירים מתעדים את המיקום בהפרשי זמן שווים (אותו מרווח זמן בשתי המשאיות), ולכן מספר המרווחים בין הנקודות מודד את זמן הנסיעה.

•משאית $B$: $7$ נקודות – $6$ מרווחי זמן מ־$M$ עד $N$.

•משאית $A$: $6$ נקודות – רק $5$ מרווחי זמן מ־$M$ עד $N$.

שתי המשאיות עברו אותה דרך ($MN$), אך משאית $A$ עברה אותה בזמן קצר יותר. לפי $\bar v=\frac{\Delta x}{\Delta t}$, כשההעתק זהה והזמן קצר יותר – המהירות הממוצעת גדולה יותר.

טעות נפוצה: להסיק מכך שהנקודות של $A$ אינן במרחקים שווים שמהירותה הממוצעת קטנה יותר – המהירות הממוצעת תלויה רק בדרך הכוללת ובזמן הכולל.

מרווח הזמן בין דגימות. מסעיף א: משאית $B$ עברה את $MN$ ב־$3\,\text{h}$ ב־$6$ מרווחים, ולכן כל מרווח זמן הוא

(המכשירים בשתי המשאיות דוגמים באותם הפרשי זמן.)

הקטע $MP$ של משאית $A$. בין $M$ ל־$P$ יש בתרשים של $A$ נקודה אחת נוספת, כלומר $2$ מרווחי זמן:

$P$ היא אמצע הקטע: $\Delta x=\frac{189}{2}=94.5\,\text{km}$.

הקטעים של נסיעת $A$ הם המרווחים בין נקודות הדגימה הסמוכות; כל קטע נמשך $\Delta t_0=0.5\,\text{h}=1800\,\text{s}$.

- בקטע השלישי המהירות קבועה ושווה ל־$94.5\,\text{km/h}=26.25\,\text{m/s}$ (נתון). לכן בתחילת הקטע הרביעי מהירות $A$ היא $v_1=26.25\,\text{m/s}$.

- בקטע האחרון (החמישי) המהירות קבועה ושווה למהירות של $B$, $63\,\text{km/h}=17.5\,\text{m/s}$ (נתון; בקטע האחרון $B$ עוברת $\frac{189}{6}=31.5\,\text{km}$ בחצי שעה, ולכן מהירותה הממוצעת שם $63\,\text{km/h}$). לכן בסוף הקטע הרביעי מהירות $A$ היא $v_2=17.5\,\text{m/s}$.

מדף הנוסחאות, תאוצה ממוצעת:

הצבה:

(ביחידות של $\text{km/h}^2$: $\frac{63-94.5}{0.5}=-63\,\text{km/h}^2$.)

הסימן השלילי: המשאית האטה – התאוצה מנוגדת לכיוון התנועה, וגודלה כ־$4.86\cdot 10^{-3}\,\text{m/s}^2$.

טעות נפוצה: לחשב את התאוצה מהמהירות הממוצעת בקטע הרביעי – התאוצה הממוצעת נקבעת לפי המהירויות הרגעיות בתחילת הקטע ובסופו.

קביעה: כן, יש רגעים כאלה.

נימוק: נתון שבקטע האחרון של נסיעת $A$ מהירותה קבועה ושווה למהירות הממוצעת של $B$ בקטע האחרון, כלומר $63\,\text{km/h}$ (בכל מרווח $B$ עוברת $31.5\,\text{km}$ בחצי שעה).

•בתרשים של $B$ המרחקים בין הנקודות שווים, ולכן סביר ש־$B$ נוסעת במהירות קבועה $63\,\text{km/h}$ – ואז בכל רגע בקטע האחרון (בחצי השעה האחרונה) המהירויות הרגעיות של שתי המשאיות שוות.

•וגם אם מהירות $B$ בקטע האחרון אינה קבועה בדיוק: מהירותה הממוצעת שם היא $63\,\text{km/h}$, ולכן אין אפשרות שמהירותה כל הזמן גדולה מ־$63\,\text{km/h}$ או כל הזמן קטנה ממנו. המהירות משתנה ברציפות, ולכן יש רגע בקטע האחרון שבו מהירות $B$ היא בדיוק $63\,\text{km/h}$ – ובאותו רגע גם מהירות $A$ היא $63\,\text{km/h}$.

(בנוסף, גם בתוך הקטע הרביעי יש רגע כזה: בתחילתו מהירות $A$ היא $94.5\,\text{km/h}$, מעל $63\,\text{km/h}$, אבל הדרך בקטע זה היא רק $189-94.5-47.25-31.5=15.75\,\text{km}$ בחצי שעה – מהירות ממוצעת של $31.5\,\text{km/h}$, מתחת ל־$63\,\text{km/h}$. המהירות משתנה ברציפות, ולכן היא ירדה מתחת ל־$63\,\text{km/h}$ ועברה בדרך בערך $63\,\text{km/h}$.)

על כל סל פועלים שני כוחות: כוח הכובד (קבוע) וכוח המתיחות של החוט. מסת החוט והגלגלת זניחה ואין חיכוך, ולכן המתיחות זהה לאורך כל החוט, ושני הסלים נעים באותה תאוצה (החוט אינו נמתח).

לפי החוק השני של ניוטון לכל סל (כיוון חיובי: $A$ מטה, $B$ מעלה):

חיבור המשוואות נותן

כל הגדלים באגף ימין קבועים במהלך התנועה (המסות לא משתנות, $g$ קבוע, אין חיכוך שתלוי במהירות). לכן הכוח השקול על המערכת קבוע, והתאוצה קבועה – אינה תלויה בזמן, במהירות או בגובה.

הסל $A$ מתחיל ממנוחה ($v_0=0$) ונע בתאוצה קבועה דרך $h$ עד הרצפה. מדף הנוסחאות:

עם $x-x_0=h$ ו־$v_0=0$:

לדוגמה, במדידה הראשונה:

ובאופן דומה $\frac{2\cdot 1.0}{1.40^2}\approx 1.02\,\text{m/s}^2$ ו־$\frac{2\cdot 1.5}{1.72^2}\approx 1.01\,\text{m/s}^2$ – כמו בטבלה.

קביעה: כן, הממצאים מאמתים את ההשערה.

נימוק: החישוב $a=\frac{2h}{t^2}$ נכון רק אם התאוצה קבועה. אילו התאוצה הייתה משתנה במהלך הנפילה (למשל גדלה או קטנה עם הזמן), ה"תאוצה" המחושבת הייתה משתנה באופן שיטתי עם הגובה $h$ (כלומר עם משך התנועה).

בפועל, עבור שלושה גבהים שונים – פי $3$ בין הקטן לגדול – התקבלו ערכים כמעט שווים: $0.98$, $1.02$ ו־$1.01\,\text{m/s}^2$. ההפרשים קטנים (כ־$2\%$ לכל היותר) ואינם שיטתיים, ולכן הם נובעים משגיאות מדידה (בעיקר במדידת הזמן בשעון עצר). כלומר, הסל יורד בתאוצה קבועה של כ־$1.0\,\text{m/s}^2$.

1. כוח הכובד $m_Ag$ – מופעל על ידי כדור הארץ, אנכית כלפי מטה.

2. כוח המתיחות $T$ – מופעל על ידי החוט, אנכית כלפי מעלה.

($m_Ag>T$, כי הסל מאיץ כלפי מטה – החץ של כוח הכובד ארוך יותר.)

1. כוח הכובד $m_Bg$ – מופעל על ידי כדור הארץ, אנכית כלפי מטה.

2. כוח המתיחות $T$ – מופעל על ידי החוט, אנכית כלפי מעלה.

($T>m_Bg$, כי הסל מאיץ כלפי מעלה – החץ של המתיחות ארוך יותר.)

גודל המתיחות זהה בשני הסלים, כי מסת החוט והגלגלת זניחה ואין חיכוך.

טעות נפוצה: לסמן $T=m_Ag$ או $T=m_Bg$ – הסלים מאיצים, ולכן הכוחות על כל סל אינם מאוזנים.

כיוון חיובי: סל $A$ מטה וסל $B$ מעלה (שני הסלים נעים באותה תאוצה $a$, כי החוט אינו נמתח). לפי החוק השני של ניוטון $\Sigma F=ma$:

חיבור שתי המשוואות מבטל את $T$:

בניסוי 2 המסה הכוללת $m_A+m_B$ קבועה, ולכן התאוצה יחסית ישר להפרש המסות $(m_A-m_B)$: הגרף של $a$ כפונקציה של $(m_A-m_B)$ הוא קו ישר דרך הראשית שהשיפוע שלו $\frac{g}{m_A+m_B}$.

לפי סעיף ה, השיפוע של קו המגמה בגרף $a$ כפונקציה של $(m_A-m_B)$ הוא

שיפוע קו המגמה – משתי נקודות על הקו (לא מנקודות המדידה): קו המגמה עובר דרך $(0.01\,\text{kg},\,0.2\,\text{m/s}^2)$ ודרך $(0.06\,\text{kg},\,1.2\,\text{m/s}^2)$:

(הקו אכן עובר בקירוב דרך הראשית, כמצופה מהמשוואה.)

טעות נפוצה: לחשב את השיפוע מנקודות המדידה עצמן (שמפוזרות סביב הקו) במקום מנקודות על קו המגמה.

תרשים הכוחות – על הכדור פועלים שני כוחות:

1. כוח הכובד $mg$ – מופעל על ידי כדור הארץ, אנכית כלפי מטה.

2. כוח המתיחות $T$ – מופעל על ידי החוט, לאורך החוט מהכדור אל ראש הציר (כלפי מעלה ופנימה, בזווית $\alpha$ לאנך).

הכדור נע במעגל אופקי שמרכזו על הציר, ברדיוס

ציר אנכי – אין תאוצה אנכית:

ציר רדיאלי (אופקי, אל מרכז המעגל) – לפי החוק השני של ניוטון ו־$a_r=\omega^2r$, $\omega=2\pi f$ מדף הנוסחאות:

מציבים את $T$ במשוואה האנכית:

כלומר $\cos\alpha$ יחסי ישר ל־$\frac{1}{f^2}$, והשיפוע הוא $\frac{g}{4\pi^2L}$ (לא תלוי במסה).

טעות נפוצה: להוסיף לתרשים "כוח צנטריפטלי" – זהו הרכיב האופקי של $T$, לא כוח נוסף.

השלמת הטבלה (לדוגמה במדידה 1: $\frac{1}{0.45^2}=4.94\,\text{s}^2$, $\cos 32^\circ=0.848$):

הגרף: ציר אופקי $\frac{1}{f^2}\,(\text{s}^2)$ מ־$0$ עד כ־$6$, ציר אנכי $\cos\alpha$ מ־$0$ עד $1$. מסמנים את חמש הנקודות ומעבירים קו ישר אחד המתאים להן ביותר. לפי סעיף א הקו צריך לעבור דרך הראשית, והנקודות אכן מסתדרות סביב ישר כזה.

שיפוע הקו – משתי נקודות על הקו: $(0,\,0)$ ו־$(5.0\,\text{s}^2,\,0.86)$:

(התאמה ישרה לנקודות בשיטת הריבועים הפחותים נותנת שיפוע של כ־$0.17$–$0.175\,\text{s}^{-2}$ ונקודת חיתוך קרובה מאוד לאפס.)

טעות נפוצה: לחשב $\cos\alpha$ כשהמחשבון במצב רדיאנים, או לא לעגל לשלוש ספרות משמעותיות כנדרש.

מסעיף א, השיפוע של הגרף $\cos\alpha$ כפונקציה של $\frac{1}{f^2}$ הוא

הצבה (שיפוע $0.172\,\text{s}^{-2}$ מסעיף ב):

(שיפוע בטווח $0.17$–$0.175\,\text{s}^{-2}$ נותן $L\approx 1.45$–$1.49\,\text{m}$.)

תנועה מעגלית מתקיימת רק כאשר $\alpha>0$, כלומר $\cos\alpha<1$. הערך הגבולי $\cos\alpha=1$ ($\alpha=0$, החוט אנכי והכדור תלוי על הציר בלי לנוע במעגל) מתאים לערך המרבי של $\frac{1}{f^2}$, כלומר לתדירות המינימלית.

מאריכים את קו הגרף עד $\cos\alpha=1$ וקוראים את $\frac{1}{f^2}$:

בתדירות נמוכה מזו הכדור אינו מתרחק מהציר ואינו נע במעגל.

אין חיכוך במדרון הראשון. הגוף חזר לנקודה $A$ (אותו גובה) באותו גודל מהירות, ולכן השינוי באנרגייה המכנית בכל הדרך הלוך ושוב הוא אפס. לפי

אילו פעל חיכוך, הוא היה מבצע עבודה שלילית גם בעלייה וגם בירידה (הוא תמיד מנוגד לכיוון התנועה), והגוף היה חוזר במהירות קטנה יותר. לכן החיכוך זניח, והאנרגייה המכנית נשמרת (הכוח הנורמלי ניצב לתנועה ואינו מבצע עבודה).

שימור אנרגייה בין $A$ ל־$B_1$ (רמת הייחוס $U=0$ בנקודה $A$; ב־$B_1$ הגוף נעצר):

הצבה:

רמת הייחוס לאנרגייה הפוטנציאלית: הקרקע (נקודה $A$), $U=0$.

בנקודה $A$: הגוף נמצא בגובה אפס, ומהירותו $v_A=3\,\text{m/s}$:

בנקודה $B_2$: הגוף נעצר לרגע, ולכן $E_{k,B_2}=0$. מדף הנוסחאות $U=mgh$:

הכוח הלא־משמר היחיד שמבצע עבודה הוא כוח החיכוך (הנורמלי ניצב לתנועה). מדף הנוסחאות:

העבודה שלילית – החיכוך פועל נגד כיוון התנועה ומקטין את האנרגייה המכנית.

הדרך לאורך המדרון מ־$A$ ל־$B_2$:

כוח החיכוך הקינטי קבוע ($f_k=\mu_kN$, $N=mg\cos 30^\circ$ קבוע) ומנוגד להעתק, ולכן לפי $W=F\Delta x\cos\theta$ עם $\theta=180^\circ$:

כיוונו במורד המדרון (נגד כיוון העלייה).

טעות נפוצה: לחלק בגובה $0.3\,\text{m}$ במקום בדרך לאורך המדרון.

מדף הנוסחאות $v=\frac{dx}{dt}$, ולכן ההעתק בפרק זמן הוא $\Delta x=\int v\,dt$ – השטח הכלוא בין גרף המהירות לציר הזמן.

לכן השטח מ־$0$ עד $t_1$ מייצג את ההעתק של הגוף במעלה המדרון (מ־$A$ עד $B_2$), והשטח מ־$t_1$ עד $t_2$ (מתחת לציר) מייצג את ההעתק בחזרה במורד המדרון. שני השטחים שווים בגודלם, כי הגוף חזר לנקודת המוצא.

בין $0$ ל־$t_1$ הגוף עולה מ־$A$ עד $B_2$, ועובר את הדרך $d=0.6\,\text{m}$ (סעיף ב(3)). הגרף בקטע זה הוא קו ישר מ־$v_A$ עד $0$, ולכן השטח הכלוא הוא משולש:

הצבה:

(בדיקה בדינמיקה: בעלייה $a=g\sin 30^\circ+\frac{f}{m}=5+\frac{0.5}{0.2}=7.5\,\text{m/s}^2$, ו־$t_1=\frac{v_A}{a}=\frac{3}{7.5}=0.4\,\text{s}$.)

קביעה: גרף I.

נימוק: בעלייה פועלים על הגוף כוחות קבועים (רכיב הכובד במורד המדרון וכוח החיכוך במורד), ולכן התאוטה קבועה ($7.5\,\text{m/s}^2$), והמהירות קטנה באופן קווי עם הזמן – כמו בתרשים 2: $v=v_A-at$.

האנרגייה הקינטית:

זוהי פונקציה ריבועית של הזמן: היא יורדת מ־$0.9\,\text{J}$ עד $0$ ברגע $t_1=0.4\,\text{s}$, וקצב הירידה שלה קטן ככל שהמהירות קטנה (שיפוע הגרף $\frac{dE_k}{dt}=-mav$ שואף לאפס כש־$v\to 0$). לכן הגרף הוא עקומה יורדת שמתעקמת ומתקרבת לציר הזמן במשיק אופקי – גרף I.

•גרף II – אנרגייה קינטית עולה; לא מתאים לגוף שמאט.

•גרף III – אנרגייה קינטית קבועה; לא מתאים.

•גרף IV – ירידה קווית; הייתה מתקבלת רק אילו $v^2$ היה יורד קווית עם הזמן, אבל כאן $v$ (ולא $v^2$) יורד קווית.

טעות נפוצה: לבחור בגרף IV מכיוון שהמהירות יורדת באופן קווי – האנרגייה הקינטית תלויה ב־$v^2$.

לפני שחרור הקפיץ שני הגופים במנוחה, ולכן תנע המערכת היה אפס.

המערכת ($A$, $B$ והקפיץ) סגורה: הכוחות החיצוניים (כוח הכובד והכוח הנורמלי מהמסילה) מאזנים זה את זה בכל גוף, ואין חיכוך. הכוחות שהקפיץ מפעיל על $A$ ועל $B$ הם כוחות פנימיים. לפי נוסחת מתקף–תנע, $J_{\text{כולל}}=\Delta p$, כשהמתקף החיצוני הכולל אפס – התנע נשמר.

לכן גם מייד לאחר שחרור הקפיץ תנע המערכת הוא אפס: התנעים של $A$ ושל $B$ שווים בגודלם ומנוגדים בכיוונם.

כיוון חיובי – הרחק מהקיר (ימינה בתרשים); גוף $A$ נע לכיוון הקיר, ולכן $v_A=-0.7\,\text{m/s}$.

שימור תנע (סעיף א(1)):

הצבה:

הסימן חיובי: גוף $B$ נע הרחק מהקיר (ימינה, לעבר גוף $C$) במהירות $0.35\,\text{m/s}$.