בגרות בפיזיקה מכניקה 36361 - קיץ 2025

בשיא הגובה רכיב המהירות האנכי הוא אפס, ולכן מרגע זה הכידון נע בדיוק כמו גוף שנזרק אופקית. החיכוך עם האוויר זניח, ולכן הכוח היחיד הפועל על הכידון הוא כוח הכובד $mg$, האנכי כלפי מטה.

ציר $x$ (אופקי): לא פועל כוח בכיוון האופקי, ולכן לפי החוק השני של ניוטון $a_x=0$. הכידון נע בתנועה קצובה: רכיב המהירות האופקי קבוע ושווה ל־$v_x=74\,\text{km/h}\approx 20.6\,\text{m/s}$, והמקום האופקי גדל באופן קווי עם הזמן: $x=v_x t$.

ציר $y$ (אנכי): פועל רק כוח הכובד, ולכן $a_y=g=10\,\text{m/s}^2$ כלפי מטה. הכידון מתחיל מרכיב מהירות אנכי אפס (בשיא הגובה) ונע בתנועה שוות תאוצה: רכיב המהירות האנכי גדל בקצב קבוע $v_y=gt$, והגובה קטן לפי $y=H-\tfrac12 gt^2$ – כמו נפילה חופשית מגובה $H$.

שתי התנועות מתרחשות בו־זמנית ובלתי תלויות זו בזו, ושילובן נותן מסלול פרבולי. גודל המהירות הכוללת גדל לאורך התנועה, וזווית המהירות עם האופק גדלה מ־$0^\circ$ (בשיא) ועד $42^\circ$ (בפגיעה).

טעות נפוצה: לכתוב שבציר האופקי יש תאוטה, או שבשיא הגובה המהירות הכוללת היא אפס – רק הרכיב האנכי מתאפס.

ממירים את המהירות האופקית ליחידות SI:

רכיב המהירות האופקי קבוע לאורך כל התנועה, ולכן גם ברגע הפגיעה $v_x=20.56\,\text{m/s}$.

הכידון ננעץ בכיוון מהירותו, ולכן וקטור המהירות ברגע הפגיעה יוצר זווית $42^\circ$ עם הקרקע. במשולש המהירויות הרכיב האופקי הוא הניצב הסמוך לזווית:

הצבה:

(הרכיב האנכי ברגע הפגיעה: $v_y=v_x\tan 42^\circ=20.56\cdot 0.900\approx 18.5\,\text{m/s}$, ואכן $\sqrt{20.56^2+18.5^2}\approx 27.7\,\text{m/s}$.)

טעות נפוצה: לשכוח להמיר $\text{km/h}$ ל־$\text{m/s}$, או להשתמש ב־$\sin 42^\circ$ במקום ב־$\cos 42^\circ$ לרכיב האופקי.

ברגע הפגיעה רכיב המהירות האנכי הוא:

בציר האנכי התנועה שוות תאוצה, מהירות התחלתית אנכית אפס בשיא הגובה. לפי נוסחת התנועה שוות התאוצה מדף הנוסחאות:

בציר האנכי (כיוון חיובי כלפי מטה): $v_0=0$, $a=g$, $x-x_0=H$:

הצבה:

(בדרך נוספת: זמן הנפילה $t=\frac{v_y}{g}=\frac{18.51}{10}\approx 1.85\,\text{s}$, ו־$H=\tfrac12 gt^2=\tfrac12\cdot 10\cdot 1.85^2\approx 17.1\,\text{m}$.)

זמן התנועה מן השיא ועד הקרקע (מ־$v=v_0+at$ בציר האנכי, $v_0=0$):

בציר האופקי תנועה קצובה: $x=x_0+v_0t$, ולכן

שיא הגובה נמוך ב־$1$ מטר: $H_2=H-1=17.13-1=16.13\,\text{m}$.

בציר האנכי, מהשיא ($v_0=0$): $x=x_0+v_0t+\tfrac12at^2$, ולכן

המרחק האופקי $L$ זהה בשתי ההטלות, והתנועה האופקית קצובה:

כלומר כ־$76\,\text{km/h}$ – מעט יותר מבהטלה הראשונה, כמצופה: הכידון היה באוויר זמן קצר יותר ועבר אותו מרחק אופקי.

טעות נפוצה: להשתמש באותו זמן נפילה כמו בהטלה הראשונה – זמן הנפילה תלוי רק בגובה, והגובה השתנה. טעות נוספת: לקרוא "נמוך ב־1 מטר" כ"גבוה ב־1 מטר" – קראו את הנתונים בעיון.

קביעה: בהטלה השנייה זווית הפגיעה קטנה יותר.

נימוק: זווית הפגיעה $\theta$ עם הקרקע נקבעת לפי היחס בין רכיבי המהירות ברגע הפגיעה:

- הרכיב האנכי $v_y$ קטן: בציר האנכי הכידון נופל נפילה חופשית מהשיא, באותה תאוצה $g$ בשתי ההטלות. בהטלה השנייה הגובה קטן יותר ($H-1$), ולכן זמן הנפילה קצר יותר ו־$v_y=gt$ ברגע הפגיעה קטן יותר.

- הרכיב האופקי $v_x$ גדל: את אותו מרחק אופקי $L$ עבר הכידון בזמן קצר יותר – לכן מהירותו האופקית (הקבועה) גדולה יותר, כפי שמצאנו בסעיף ד.

מונה קטן ומכנה גדול – היחס $\frac{v_y}{v_x}$ קטן, ולכן $\tan\theta$ קטן והזווית קטנה מ־$42^\circ$.

הגוף במנוחה על המישור המשופע, ופועלים עליו שלושה כוחות:

1. כוח הכובד $mg$ – מופעל על ידי כדור הארץ, כיוונו אנכית כלפי מטה.

2. הכוח הנורמלי $N$ – מופעל על ידי המישור המשופע, ניצב למישור וכלפי חוץ ממנו (כלפי מעלה ושמאלה בתרשים, בזווית $\alpha$ לאנך).

3. כוח החיכוך הסטטי $f_s$ – מופעל על ידי המישור המשופע, מקביל למישור וכיוונו במעלה המישור (הוא מונע מהגוף להחליק במורד).

מאחר שהגוף במנוחה, שקול שלושת הכוחות הוא אפס.

טעות נפוצה: להוסיף "כוח במורד המישור" ככוח נפרד – זהו רק רכיב של כוח הכובד, לא כוח נוסף.

קביעה: גודל כוח החיכוך קטן.

נימוק: בזווית $\alpha_0$ הגוף במנוחה. כשמקטינים את הזווית, הרכיב של כוח הכובד במורד המישור ($mg\sin\alpha$) קטן, והכוח הנורמלי ($mg\cos\alpha$) גדל – כלומר גם החיכוך הסטטי המרבי האפשרי $\mu_sN$ גדל. לכן הגוף נשאר במנוחה גם בזווית $\alpha_1$.

הגוף במנוחה, ולכן לפי החוק השני של ניוטון שקול הכוחות בכיוון המקביל למישור הוא אפס:

החיכוך הסטטי אינו שווה ל־$\mu_sN$; הוא שווה בדיוק לכוח שנדרש כדי לאזן את רכיב הכובד במורד המישור. מאחר ש־$\alpha_1<\alpha_0$, מתקיים $\sin\alpha_1<\sin\alpha_0$, ולכן

טעות נפוצה: לחשב את החיכוך לפי $\mu_s N=\mu_s mg\cos\alpha$ ולהסיק שהוא גדל – זו רק התקרה של החיכוך הסטטי, לא ערכו בפועל.

בסף תנועה הגוף עדיין במנוחה (שקול הכוחות אפס), וכוח החיכוך הסטטי הגיע לערכו המרבי:

בוחרים צירים: ציר מקביל למישור וציר ניצב לו.

בכיוון המקביל למישור (רכיב הכובד במורד מאוזן על ידי החיכוך במעלה):

בכיוון הניצב למישור (הנורמל מאזן את רכיב הכובד הניצב):

מציבים את המשוואה השנייה בראשונה:

מצמצמים את $mg$ ומחלקים ב־$\cos\alpha_2$:

זווית סף התנועה תלויה רק במקדם החיכוך הסטטי – לא במסה ולא בגובה.

טעות נפוצה: להשתמש כאן ב־$\mu_k$ – על סף התנועה הגוף עדיין במנוחה, והחיכוך הוא סטטי.

מניחים שהגוף מתחיל לנוע ממנוחה מגובה $h$ (הוא היה במנוחה לפני הגדלת הזווית).

תאוצת הגוף. על הגוף פועלים $mg$, $N$ וחיכוך קינטי $f_k=\mu_kN$ במעלה המישור (נגד כיוון התנועה).

בניצב למישור: $N=mg\cos\alpha_3$.

לאורך המישור, לפי החוק השני של ניוטון $\Sigma F=ma$:

המהירות בתחתית. לפי $v^2=v_0^2+2a(x-x_0)$ עם $v_0=0$:

בדיקה באנרגייה: $W_{\text{לא משמרים}}=\Delta E$:

$v\approx 1.56\,\text{m/s}$, כמו קודם.

טעות נפוצה: להציב את הגובה $h$ כדרך לאורך המישור במקום $d=\frac{h}{\sin\alpha}$.

קביעה: תרשים 3.

נימוק: בשני השלבים פועלים על הגוף כוח הכובד, הכוח הנורמלי $N=mg\cos\alpha_3$ וחיכוך קינטי $\mu_kN$ – אך כיוון החיכוך תמיד מנוגד לכיוון התנועה.

בעלייה (הגוף נע במעלה): רכיב הכובד וכוח החיכוך פועלים שניהם במורד המישור, ומתחברים:

בירידה (הגוף נע במורד): רכיב הכובד במורד, והחיכוך במעלה – ומתחסרים:

לכן $a_u>a_d$. הגוף קודם עולה (תאוצה $a_u$), נעצר ואז יורד (תאוצה $a_d$, שאינה אפס כי בזווית $\alpha_3$ הגוף מחליק במורד). התרשים המתאים: בשלב הראשון ערך גדול $a_u$ ובשלב השני ערך קטן יותר $a_d$ – תרשים 3.

(בעזרת הנתונים: $a_u=10(0.375+0.223)\approx 6.0\,\text{m/s}^2$ ו־$a_d\approx 1.5\,\text{m/s}^2$.)

טעות נפוצה: לבחור בתרשים 2 מתוך מחשבה שתאוצת הגוף על מישור תמיד $g\sin\alpha$ – החיכוך מחליף כיוון בנקודת העצירה.

על הכדור פועלים שלושה כוחות:

1. כוח הכובד $mg$ – מופעל על ידי כדור הארץ, כיוונו אנכית כלפי מטה.

2. כוח המתיחות בחוט $A$, $T_A$ – מופעל על ידי חוט $A$, כיוונו לאורך החוט מהכדור אל ראש המוט: כלפי מעלה ופנימה (לעבר המוט), בזווית $37^\circ$ לאנך.

3. כוח המתיחות בחוט $B$, $T_B$ – מופעל על ידי חוט $B$, כיוונו אופקי לאורך החוט מהכדור אל המוט – כלומר אל מרכז המעגל.

אין "כוח צנטריפטלי" נפרד: שקול הרכיבים האופקיים של $T_A$ ושל $T_B$ הוא הכוח השקול הרדיאלי.

טעות נפוצה: לסמן כוח צנטריפטלי או צנטריפוגלי ככוח נוסף בתרשים.

הכדור נע במישור אופקי, ולכן התאוצה האנכית שלו אפס, ושקול הכוחות האנכי אפס ($\Sigma F=ma$ בציר האנכי עם $a_y=0$).

$T_B$ אופקי, ולכן בציר האנכי פועלים רק הרכיב האנכי של $T_A$ וכוח הכובד:

הצבה:

טעות נפוצה: להשתמש ב־$\sin 37^\circ$ – הזווית נתונה ביחס למוט האנכי, ולכן הרכיב האנכי הוא עם $\cos$.

רדיוס המעגל. חוט $B$ אופקי ונמצא $30\,\text{cm}$ מתחת לנקודת הקשירה של חוט $A$, ולכן במשולש ישר הזווית (מוט – חוט $B$ – חוט $A$):

החוק השני של ניוטון בכיוון הרדיאלי (אל המרכז): שני הכוחות האופקיים מכוונים אל המוט:

מדף הנוסחאות: $a_r=\omega^2 r$ ו־$\omega=2\pi f$. לכן

הצבה: $T_A\sin 37^\circ=2.504\cdot 0.602\approx 1.507\,\text{N}$, והשקול הרדיאלי $1.507+3=4.507\,\text{N}$:

טעות נפוצה: לקחת את $30\,\text{cm}$ כרדיוס – זה המרחק האנכי בין נקודות הקשירה; הרדיוס הוא אורך חוט $B$.

קביעה: $T_A$ אינה מבצעת עבודה ($W=0$).

נימוק: עבודה של כוח: $W=F\,\Delta x\cos\theta$, כאשר $\theta$ היא הזווית בין הכוח להעתק. בכל רגע מהירות הכדור (וההעתק הרגעי) משיקה למעגל האופקי. הכוח $T_A$ נמצא במישור האנכי שמכיל את המוט ואת הכדור, כלומר רכיביו הם אנכי (ניצב למישור המעגל) ורדיאלי (אל המרכז). שני הרכיבים ניצבים לכיוון המשיק, ולכן בכל רגע $\theta=90^\circ$ ו־$\cos\theta=0$. סכום העבודות לאורך רבע מעגל הוא אפס.

בהתאם לכך, הגובה ומהירות הכדור קבועים – האנרגייה הקינטית אינה משתנה.

טעות נפוצה: לחשב את העבודה לפי ההעתק בין קצות רבע המעגל ($r\sqrt2$) – יש לבחון את הזווית בין הכוח להעתק בכל רגע, והיא תמיד $90^\circ$.

קביעה: יש להקטין את התדירות.

נימוק: הזווית $37^\circ$ ורדיוס המעגל $r$ נשארים זהים. בציר האנכי עדיין $T_A\cos 37^\circ=mg$, ולכן $T_A$ לא משתנה ($2.5\,\text{N}$), וגם הרכיב האופקי שלו $T_A\sin 37^\circ=mg\tan 37^\circ\approx 1.51\,\text{N}$ לא משתנה.

כאשר $T_B=0$, הכוח השקול הרדיאלי הוא רק $T_A\sin 37^\circ$, כלומר הוא קטן מ־$4.51\,\text{N}$ ל־$1.51\,\text{N}$. לפי

כשהרדיוס והמסה קבועים, כוח רדיאלי קטן יותר מחייב תדירות קטנה יותר.

(ערך: $f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{1.507}{0.2\cdot 0.226}}\approx 0.92\,\text{Hz}$.)

קביעה: גודל $T_A$ לא השתנה.

נימוק: הכדור נע באותו מסלול, ולכן הזווית של חוט $A$ עם המוט נשארת $37^\circ$, והתנועה עדיין במישור אופקי (תאוצה אנכית אפס). בציר האנכי פועלים רק $mg$ והרכיב האנכי של $T_A$ ($T_B$ אופקי):

הביטוי אינו תלוי בתדירות, ולכן $T_A$ נשאר $2.5\,\text{N}$.

הגדלת המהירות מחייבת כוח רדיאלי גדול יותר ($m\omega^2r$), והתוספת כולה מתקבלת מהגדלת $T_B$.

טעות נפוצה: להסיק שכל המתיחויות גדלות כשמסתובבים מהר יותר – כאן הרכיב האנכי של $T_A$ קבוע ומאזן תמיד את $mg$.

מערכת סגורה היא מערכת ששקול הכוחות החיצוניים הפועלים עליה הוא אפס – פועלים בה (אם בכלל) רק כוחות פנימיים, שחלקי המערכת מפעילים זה על זה. בבדיקה צריך אפוא לזהות את הכוחות החיצוניים ולהראות ששקולם אפס.

- כוחות חיצוניים: על $A$ ועל $B$ פועלים כוח הכובד (מכדור הארץ) והכוח הנורמלי (מהמסילה). התנועה אופקית, ולכן בכל גוף הכוחות האנכיים מאזנים זה את זה. החיכוך עם המסילה זניח, כך שאין כוח חיצוני אופקי. שקול הכוחות החיצוניים אפס.

- כוחות פנימיים: הכוחות שהקפיץ מפעיל על $A$ ועל $B$ הם כוחות בין חלקי המערכת. לפי החוק השלישי של ניוטון הם מתקזזים בסכום הווקטורי, ולכן אינם משנים את התנע הכולל.

•הרכב המערכת קבוע – אותם שני גופים והקפיץ (מסתו זניחה).

לכן לפי נוסחת מתקף–תנע $J_{\text{כולל}}=\Delta p=0$: התנע הכולל של המערכת נשמר גם בזמן השתחררות הקפיץ.

המערכת סגורה (סעיף א), ולכן התנע נשמר. כיוון חיובי – ימינה. לפי חוק שימור התנע מדף הנוסחאות:

לפני ההתנתקות שני הגופים נעים יחד: $v_A=v_B=v=0.6\,\text{m/s}$. אחרי ההתנתקות $u_A=0$:

הצבה:

הסימן חיובי, ולכן גוף $B$ נע ימינה במהירות $0.9\,\text{m/s}$.

לפי משפט עבודה–אנרגייה מדף הנוסחאות, העבודה הכוללת על גוף שווה לשינוי באנרגייה הקינטית שלו:

הכוח היחיד שעושה עבודה על $A$ (בכיוון התנועה) הוא כוח הקפיץ; הכובד והנורמל ניצבים לתנועה.

הצבה, עם $u_A=0$ ו־$v=0.6\,\text{m/s}$:

העבודה שלילית: הקפיץ דחף את $A$ שמאלה, נגד כיוון תנועתו, ועצר אותו.

טעות נפוצה: לתת תשובה חיובית $0.018\,\text{J}$ – הגוף איבד אנרגייה קינטית, ולכן העבודה עליו שלילית.

לפני ההתנגשות: $v_B=0.9\,\text{m/s}$ (ימינה), $v_C=0$.

אחרי ההתנגשות $B$ נע בכיוון הפוך וגודל מהירותו קטן פי 2: $u_B=-\frac{0.9}{2}=-0.45\,\text{m/s}$ (שמאלה).

ההתנגשות אלסטית חד־ממדית, ולכן לפי הנוסחה מדף הנוסחאות:

הצבה:

גודל מהירותו של $C$ הוא $0.45\,\text{m/s}$, וכיוונו ימינה.

טעות נפוצה: לשכוח שמהירות $B$ אחרי ההתנגשות שלילית (הוא הפך כיוון) ולהציב $+0.45$.

שימור תנע בהתנגשות (כיוון חיובי ימינה):

עם $v_C=0$:

הצבה:

בדיקה – שימור אנרגייה קינטית: לפני: $\tfrac12\cdot 0.2\cdot 0.9^2=0.081\,\text{J}$. אחרי: $\tfrac12\cdot 0.2\cdot 0.45^2+\tfrac12\cdot 0.6\cdot 0.45^2=0.02025+0.06075=0.081\,\text{J}$ ✓.

קביעה: לא כל תנועה מחזורית היא תנועה הרמונית פשוטה.

דוגמה: כדור שמשחררים מגובה מסוים מעל רצפה, והוא מתנגש בה התנגשויות אלסטיות ומקפץ שוב ושוב לאותו גובה. התנועה מחזורית (חוזרת על עצמה בזמנים שווים), אבל כל זמן שהכדור באוויר פועל עליו רק כוח הכובד $mg$ – כוח קבוע בגודלו ובכיוונו, שאינו תלוי במקום הכדור. לכן שקול הכוחות אינו מהצורה $\Sigma\vec F=-c\vec x$ (כוח שגודלו יחסי להתרחקות מנקודת שיווי משקל וכיוונו אליה).

(דוגמה נוספת: תנועה מעגלית קצובה – מחזורית, אך הכוח השקול קבוע בגודלו ומכוון תמיד למרכז, ולא $-c\vec x$ לאורך ציר אחד.)

ציר אופקי: המיקום $x$. כדאי להמיר למטרים כבר בסרטוט (טווח מ־$-0.5$ עד $0.6\,\text{m}$). ציר אנכי: הכוח $F$ בניוטון (טווח מ־$-10$ עד $8\,\text{N}$). ראשית הצירים באמצע, כי יש ערכים חיוביים ושליליים בשני הצירים.

הנקודות $(x\,[\text{m}],\,F\,[\text{N}])$:

$(0.6,\,-9.4)$, $(0.4,\,-6.5)$, $(0.2,\,-3.0)$, $(0,\,0)$, $(-0.1,\,1.7)$, $(-0.3,\,5.0)$, $(-0.5,\,7.8)$.

הנקודות מסתדרות בקירוב לאורך קו ישר יורד שעובר דרך הראשית: ב־$x$ חיובי הכוח שלילי, וב־$x$ שלילי הכוח חיובי – הכוח מכוון תמיד אל נקודת שיווי המשקל.

מעבירים קו ישר אחד שעובר בין הנקודות, כך שהן מפוזרות סביבו משני צדיו בערך באופן שווה. הקו עובר דרך הראשית $(0,0)$, כמצופה מכוח קפיץ (בשיווי משקל הכוח אפס).

שיפוע הקו – מחשבים משתי נקודות על הקו (לא מנקודות הטבלה), רחוקות זו מזו, למשל $(-0.5\,\text{m},\,8.0\,\text{N})$ ו־$(0.6\,\text{m},\,-9.6\,\text{N})$:

(התאמה בשיטת הריבועים הפחותים נותנת שיפוע של כ־$-15.9\,\text{N/m}$ – בהתאמה טובה.)

טעות נפוצה: לחשב שיפוע משתי נקודות מהטבלה, או להשאיר את $x$ בסנטימטרים ולקבל שיפוע $-0.16$ בלי לציין יחידות $\text{N/cm}$.

הכוח שהקפיץ מפעיל הוא הכוח השקול על הגוף (השולחן חסר חיכוך, והכובד והנורמל מתאזנים). לפי התבנית

השיפוע של גרף $F(x)$ הוא $-c$. מהגרף: שיפוע $=-16\,\text{N/m}$, ולכן

מדף הנוסחאות:

הצבה:

(בהתאם לקו המגמה שסרטטתם השיפוע עשוי לצאת מעט שונה – בערך בין $-14$ ל־$-18\,\text{N/m}$ – וכל התוצאות בסעיף זה ובסעיפים הבאים משתנות בהתאם.)

טעות נפוצה: להציב $c=-16$ או לשכוח להמיר סנטימטרים למטרים לפני חישוב השיפוע.

המיקום: מדף הנוסחאות $v=\pm\omega\sqrt{A^2-x^2}$. הביטוי מרבי כאשר $x=0$ – כלומר הגוף מהיר ביותר בנקודת שיווי המשקל. (שם גם כוח הקפיץ אפס: עד לנקודה זו הכוח האיץ את הגוף, ומעבר לה הוא מאט אותו.)

גודל המהירות: המשרעת היא ההסטה ההתחלתית (הגוף שוחרר ממנוחה): $A=60\,\text{cm}=0.6\,\text{m}$.

הצבה:

קביעה: התדירות שווה לתדירות בניסוי הראשון.

נימוק: מדף הנוסחאות:

התדירות של תנועה הרמונית פשוטה תלויה רק בקבוע $c$ (הקפיץ) ובמסה $m$. בניסוי השני משתמשים באותו קפיץ ובאותו גוף, ולכן $c$ ו־$m$ לא השתנו.

המהירות ההתחלתית הגדולה יותר משנה רק את המשרעת: $A=\frac{v_{\max}}{\omega}$, כלומר המשרעת גדלה פי 2 (ל־$1.2\,\text{m}$) – אבל המשרעת אינה משפיעה על התדירות.

טעות נפוצה: להסיק שגוף מהיר יותר משלים תנודה בזמן קצר יותר – הוא גם עובר דרך ארוכה יותר, והשניים מתקזזים בדיוק.