מתכונת 1 בפיזיקה - מכניקה 36361

בפרק הזמן $0$–$10\,\text{s}$ גרף המהירות של רכבת $B$ הוא קו ישר, ולכן התאוצה קבועה ושווה לשיפוע הגרף. מדף הנוסחאות:

מהגרף: ב־$t=0$ המהירות $0$, וב־$t=10\,\text{s}$ היא $10\,\text{m/s}$:

משמעות: בכל שנייה של פרק זמן זה גדלה מהירות הרכבת ב־$1\,\text{m/s}$ בכיוון החיובי של ציר $x$: אחרי $1\,\text{s}$ מהירותה $1\,\text{m/s}$, אחרי $2\,\text{s}$ – $2\,\text{m/s}$, וכן הלאה.

גרף המהירות של מכונית $A$ הוא קו ישר יורד, ולכן התאוצה קבועה ושווה לשיפוע:

משמעות: הסימן השלילי פירושו שהתאוצה מכוונת נגד הכיוון החיובי של ציר $x$, כלומר נגד כיוון התנועה. לכן המכונית בולמת: בכל שנייה מהירותה קטנה ב־$0.8\,\text{m/s}$, עד שהיא נעצרת ב־$t=20\,\text{s}$.

טעות נפוצה: לכתוב תאוצה חיובית $0.8\,\text{m/s}^2$ – השאלה מבקשת את התאוצה ביחס לציר $x$, כולל הסימן.

נחשב את מקום כל כלי רכב ב־$t=20\,\text{s}$. ההעתק שווה לשטח שמתחת לגרף המהירות–זמן.

רכבת $B$ (מתחילה ממנוחה ב־$x_0=0$):

- $0$–$10\,\text{s}$: המהירות עולה קווית מ־$0$ ל־$10\,\text{m/s}$; שטח משולש: $\tfrac12\cdot 10\cdot 10=50\,\text{m}$.

- $10$–$20\,\text{s}$: מהירות קבועה $10\,\text{m/s}$, העתק $10\cdot 10=100\,\text{m}$.

מכונית $A$ (מתחילה ב־$x_0=-40\,\text{m}$). מדף הנוסחאות:

(ההעתק $160\,\text{m}$ הוא שטח המשולש $\tfrac12\cdot 20\cdot 16$.)

מאחר ש־$150>120$, רכבת $B$ מקדימה את המכונית ב־$30\,\text{m}$ ברגע $t=20\,\text{s}$.

טעות נפוצה: להשוות רק את השטחים מתחת לגרפים ($160$ מול $150$) ולהסיק שהמכונית מקדימה – יש להתחשב במקום ההתחלה של המכונית, $x_0=-40\,\text{m}$.

קביעה: כלי הרכב חלפו זה על פני זה פעמיים.

•ב־$t=0$ הרכבת מקדימה: היא ב־$x=0$ והמכונית ב־$x=-40\,\text{m}$.

•בתחילת התנועה מהירות המכונית ($16\,\text{m/s}$) גדולה בהרבה ממהירות הרכבת (שמתחילה ממנוחה), ולכן המכונית סוגרת את הפער ועוקפת את הרכבת – החלפה ראשונה.

•המכונית ממשיכה להתרחק מהרכבת כל עוד מהירותה גדולה ממהירות הרכבת (עד שהמהירויות משתוות, סעיף ו). אחר כך הרכבת מהירה יותר וסוגרת את הפער.

•ב־$t=20\,\text{s}$ הרכבת שוב מקדימה (סעיף ג), ולכן היא עקפה את המכונית – החלפה שנייה. מרגע השוואת המהירויות ועד הסוף הרכבת מהירה מהמכונית כל הזמן, ולכן הפער ביניהן משנה כיוון פעם אחת בלבד – אין החלפה נוספת.

רגעי ההחלפה (לבדיקה): בפרק $0$–$10\,\text{s}$:

אחרי $10\,\text{s}$: $-40+16t-0.4t^2=50+10(t-10)$, כלומר $0.4t^2-6t-10=0$, ומתקבל $t\approx 16.5\,\text{s}$.

קביעה: המהירות הממוצעת של הרכבת קטנה מזו של המכונית.

נימוק: מדף הנוסחאות:

ההעתקים (השטחים מתחת לגרפים, סעיף ג):

המכונית עברה העתק גדול יותר באותו פרק זמן.

טעות נפוצה: להסיק שהמהירות הממוצעת של הרכבת גדולה כי היא מקדימה ב־$t=20\,\text{s}$ – היא מקדימה רק משום שהמכונית התחילה $40\,\text{m}$ מאחוריה; ההעתק של הרכבת קטן יותר.

נקודת החיתוך של הגרפים בתרשים ב נמצאת מתחת ל־$10\,\text{m/s}$. ב־$t=10\,\text{s}$ מהירות המכונית $16-0.8\cdot 10=8\,\text{m/s}$, קטנה כבר ממהירות הרכבת ($10\,\text{m/s}$), ולכן המהירויות משתוות בשלב ההאצה של הרכבת ($t<10\,\text{s}$).

לפי $v=v_0+at$:

משווים:

המהירות המשותפת: $v\approx 8.9\,\text{m/s}$.

טעות נפוצה: לחשוב שברגע חיתוך הגרפים בתרשים ב כלי הרכב נפגשים – ברגע זה המהירויות שוות, אבל הם אינם באותו מקום (זה דווקא הרגע שבו המכונית מקדימה את הרכבת במרחק המרבי, כ־$31\,\text{m}$).

שני הסלים זהים, ולכן מסותיהם מתקזזות בהפרש, ונשאר רק הפרש המשקולות:

ההפרש בכוחות הכובד, לפי $F_g=mg$ עם $g=10\,\text{m/s}^2$: $F=\Delta m\,g$.

לדוגמה, במדידה 1: $\Delta m=(7-5)\cdot 0.025=0.05\,\text{kg}$, $F=0.05\cdot 10=0.5\,\text{N}$.

טעות נפוצה: לחשב את ההפרש לפי מספר המשקולות שהועברו – כל העברה של משקולת אחת מוסיפה משקולת לסל הימני וגם מורידה משקולת מן הסל השמאלי, ולכן ההפרש גדל ב־$2m_1=50\,\text{gr}$ בכל מדידה.

ציר אופקי: $F$ (בניוטון, $0$ עד $3.5$). ציר אנכי: $a$ (ב־$\text{m/s}^2$, $0$ עד $4$).

הנקודות: $(0.5,\,0.53)$, $(1.0,\,1.13)$, $(1.5,\,1.64)$, $(2.0,\,2.24)$, $(2.5,\,2.75)$, $(3.0,\,3.35)$.

הנקודות מסתדרות בקירוב על קו ישר. מעבירים בעזרת סרגל את הישר המתאים להן ביותר; הוא עובר (בקירוב) דרך הראשית:

שיפוע הקו – משתי נקודות על הקו, רחוקות זו מזו, למשל $(0,\,0)$ ו־$(3.0\,\text{N},\,3.33\,\text{m/s}^2)$:

על הסל הימני (עם המשקולות), מסה $m_R$ – שני כוחות:

1. כוח הכובד $m_Rg$ – אנכית כלפי מטה.

2. כוח המתיחות $T$ – אנכית כלפי מעלה, לאורך החוט.

על הסל השמאלי (עם המשקולות), מסה $m_L$ – שני כוחות:

1. כוח הכובד $m_Lg$ – אנכית כלפי מטה.

2. כוח המתיחות $T$ – אנכית כלפי מעלה, לאורך החוט.

החוט והגלגלת חסרי מסה והגלגלת ללא חיכוך, ולכן גודל המתיחות שווה בשני צדי החוט. הסל הימני כבד יותר, ולכן בזמן התנועה $T<m_Rg$ ו־$T>m_Lg$.

טעות נפוצה: לסמן על הסל הימני גם את כוח הכובד של הסל השמאלי (או להפך) – כל כוח כובד פועל רק על הגוף שלו; הסלים "מרגישים" זה את זה רק דרך המתיחות בחוט.

•כוחות הכובד $m_Rg$ ו־$m_Lg$ – מופעלים על ידי כדור הארץ.

•כוחות המתיחות $T$ על שני הסלים – מופעלים על ידי החוט.

שני הסלים קשורים בחוט מתוח, ולכן גודל התאוצה של שניהם זהה, $a$: הסל הימני יורד והסל השמאלי עולה. לפי החוק השני של ניוטון, $\Sigma F=ma$, כשלכל סל הכיוון החיובי הוא כיוון תנועתו:

סל ימני (חיובי כלפי מטה): $m_Rg-T=m_Ra$

סל שמאלי (חיובי כלפי מעלה): $T-m_Lg=m_La$

מחברים את שתי המשוואות ($T$ מתבטל):

כאשר $F=(m_R-m_L)g$.

המסה הכוללת $m_R+m_L$ היא מסת שני הסלים וכל $12$ המשקולות: $m_R+m_L=2M_0+12m_1$. לכן

כן. בביטוי $a=\frac{F}{m_R+m_L}$ המכנה הוא המסה הכוללת של המערכת. בכל מדידה התלמידה רק מעבירה משקולת מסל לסל – אינה מוסיפה ואינה מוציאה משקולות – ולכן $m_R+m_L=2M_0+12m_1$ זהה בכל המדידות.

משתנה רק $F$, הכוח שמניע את המערכת. לכן $a$ יחסי ישר ל־$F$: גרף $a(F)$ הוא קו ישר שעובר דרך הראשית, ושיפועו $\frac{1}{2M_0+12m_1}$ – בהתאם לגרף שסרטטנו בסעיף א.

טעות נפוצה: לחשוב שהפונקציה אינה לינארית כי $m_R$ גדל ונמצא גם במכנה – $m_R$ גדל אבל $m_L$ קטן באותה מידה, והסכום קבוע.

לפי סעיף ג, שיפוע הגרף $a(F)$ הוא $\frac{1}{2M_0+12m_1}$. מסעיף א(2): שיפוע $=1.11\,\text{kg}^{-1}$.

טעות נפוצה: לפרש את $\frac{1}{\text{שיפוע}}$ כמסת סל אחד – זו המסה של כל המערכת המואצת (שני הסלים וכל המשקולות).

על גוף $B$ פועלים שלושה כוחות:

1. כוח הכובד $m_Bg$ – מופעל על ידי כדור הארץ, אנכית כלפי מטה.

2. הכוח הנורמלי $N$ – מופעל על ידי הפטיפון, אנכית כלפי מעלה.

3. הכוח האלסטי של הקפיץ $F_{sp}$ – הקפיץ מוארך, ולכן הוא מושך את $B$ לעבר הציר, כלומר אל מרכז המעגל.

(נתון שאין חיכוך.) הכובד והנורמלי מתאזנים, ולכן הכוח השקול הוא כוח הקפיץ – והוא מספק את הכוח הרדיאלי הדרוש לתנועה המעגלית.

טעות נפוצה: להוסיף "כוח צנטריפטלי" נפרד, או כוח החוצה – אין כוח כזה; תפקיד הכוח הרדיאלי ממלא כוח הקפיץ.

כוח הקפיץ. לפי חוק הוק:

התנועה המעגלית. הכוח השקול על $B$ הוא $F_{sp}$, מכוון אל המרכז. לפי החוק השני של ניוטון עם $a_R=\omega^2r$:

כוח הקפיץ החדש. אורך הקפיץ לא השתנה (הרדיוס $r$ קבוע, והאורך הרפוי זהה), ולכן ההתארכות שוב $5\,\text{cm}$:

הכוח השקול הנדרש. $r$ ו־$f$ לא השתנו, ולכן גם הכוח השקול הרדיאלי הדרוש ל־$B$ לא השתנה:

החיכוך. הקפיץ מושך פנימה ב־$2.5\,\text{N}$, אבל דרוש שקול של $1.0\,\text{N}$ בלבד. כיוון חיובי – אל המרכז:

החיכוך מכוון החוצה, הרחק מהציר: בלעדיו הקפיץ היה מושך את $B$ פנימה.

טעות נפוצה: להניח שבתנועה מעגלית החיכוך מכוון תמיד אל המרכז – כיוונו נקבע לפי נטיית הגוף לנוע ביחס למשטח, וכאן $B$ נוטה לנוע פנימה.

כדי ש־$B$ יישאר במנוחה ביחס לפטיפון, החיכוך הסטטי הדרוש צריך להיות קטן מהחיכוך הסטטי המרבי או שווה לו:

בציר האנכי אין תאוצה: $N=m_Bg=0.25\cdot 10=2.5\,\text{N}$. המקדם המזערי – כשהחיכוך הדרוש שווה בדיוק למרבי:

נתייחס ל־$B$ ול־$C$ כגוף אחד שמסתו $m_B+m_C=2.5m_B=0.625\,\text{kg}$, הנע במעגל שרדיוסו $r$ בתדירות $f$.

כוח הקפיץ: האורך לא השתנה, ולכן $F'_{sp}=2.5\,\text{N}$.

הכוחות האופקיים על המערכת $B+C$ הם כוח הקפיץ והחיכוך מהפטיפון (החיכוך בין $C$ ל־$B$ פנימי למערכת). לפי החוק השני:

כוח הקפיץ לבדו מספק בדיוק את הכוח הדרוש, ולכן ל־$B$ אין נטייה להחליק ביחס לפטיפון – אין חיכוך סטטי.

קביעה: החיכוך מכוון פנימה, אל הציר.

נימוק: כאשר $m_C>1.5m_B$, המסה המסתובבת גדולה מ־$0.625\,\text{kg}$, ולכן הכוח השקול הדרוש גדול מ־$2.5\,\text{N}$:

כוח הקפיץ נשאר $2.5\,\text{N}$ פנימה (האורך קבוע), כלומר הוא קטן מהנדרש. בלי חיכוך הגופים היו נוטים להחליק החוצה, ולכן החיכוך הסטטי מכוון פנימה ומשלים את השקול:

טעות נפוצה: להעתיק את כיוון החיכוך מסעיף ג – כאן כוח הקפיץ חסר ולא עודף, ולכן כיוון החיכוך מתהפך.

אין חיכוך בניסוי הראשון. הדסקית חזרה לנקודה $A$ (אותו גובה) באותו גודל מהירות, ולכן השינוי באנרגייה המכנית בכל הדרך הלוך ושוב הוא אפס:

אילו פעל חיכוך, הוא היה מבצע עבודה שלילית גם בעלייה וגם בירידה (הוא תמיד מנוגד לכיוון התנועה), והדסקית הייתה חוזרת במהירות קטנה יותר. לכן החיכוך זניח, והאנרגייה המכנית נשמרת (הכוח הנורמלי ניצב לתנועה ואינו מבצע עבודה).

שימור אנרגייה בין $A$ ל־$B_1$ (רמת הייחוס $U=0$ בנקודה $A$; ב־$B_1$ הדסקית נעצרת):

הצבה:

רמת הייחוס לאנרגייה הפוטנציאלית: הקרקע (נקודה $A$), $U=0$.

בנקודה $A$: הדסקית בגובה אפס, ומהירותה $v_A=6\,\text{m/s}$:

בנקודה $B_2$: הדסקית נעצרת לרגע, ולכן $E_{k,B_2}=0$. מדף הנוסחאות $U=mgh$:

הכוח הלא־משמר היחיד שמבצע עבודה הוא כוח החיכוך (הנורמלי ניצב לתנועה). מדף הנוסחאות:

העבודה שלילית – החיכוך פועל נגד כיוון התנועה ומקטין את האנרגייה המכנית.

הדרך לאורך הרמפה מ־$A$ ל־$B_2$:

כוח החיכוך הקינטי קבוע ($f_k=\mu_kN$, $N=mg\cos 37^\circ$ קבוע) ומנוגד להעתק, ולכן לפי $W=F\Delta x\cos\theta$ עם $\theta=180^\circ$:

כיוונו במורד הרמפה (נגד כיוון העלייה).

טעות נפוצה: לחלק בגובה $1.2\,\text{m}$ במקום בדרך לאורך הרמפה.

מדף הנוסחאות $v=\frac{dx}{dt}$, ולכן ההעתק בפרק זמן הוא $\Delta x=\int v\,dt$ – השטח הכלוא בין גרף המהירות לציר הזמן.

לכן השטח מ־$0$ עד $t_1$ מייצג את ההעתק של הדסקית במעלה הרמפה (מ־$A$ עד $B_2$), והשטח מ־$t_1$ עד $t_2$ (מתחת לציר) מייצג את ההעתק בחזרה במורד. שני השטחים שווים בגודלם, כי הדסקית חזרה לנקודת המוצא.

בין $0$ ל־$t_1$ הדסקית עולה מ־$A$ עד $B_2$ ועוברת את הדרך $d=2.0\,\text{m}$ (סעיף ב(3)). הגרף בקטע זה הוא קו ישר מ־$v_A$ עד $0$, ולכן השטח הכלוא הוא משולש:

הצבה:

(בדיקה בדינמיקה: בעלייה $a=g\sin 37^\circ+\frac{f}{m}=6+\frac{0.6}{0.2}=9\,\text{m/s}^2$, ו־$t_1=\frac{v_A}{a}=\frac{6}{9}\approx 0.67\,\text{s}$.)

קביעה: גרף III.

נימוק: בירידה פועלים על הדסקית כוחות קבועים: רכיב הכובד במורד ($mg\sin 37^\circ=1.2\,\text{N}$) וכוח החיכוך במעלה ($0.6\,\text{N}$). לכן התאוצה קבועה,

והדסקית יוצאת ממנוחה – המהירות גדלה באופן קווי עם הזמן: $v=at$ (כמו בתרשים 2 אחרי $t_1$). האנרגייה הקינטית (זמן נמדד מתחילת הירידה):

זוהי פונקציה ריבועית של הזמן: היא עולה מ־$0$, וקצב העלייה שלה גדל ככל שהמהירות גדלה (שיפוע הגרף $\frac{dE_k}{dt}=mav$ אפס ברגע ההתחלה וגדל). לכן הגרף יוצא מהראשית במשיק אופקי ומתעקם כלפי מעלה – גרף III. (בסוף הירידה $E_k=2.4-1.2=1.2\,\text{J}$.)

•גרף I – עולה, אבל קצב העלייה דווקא קטן עם הזמן; לא מתאים לגוף שמהירותו גדלה בקצב קבוע.

•גרף II – עלייה קווית; הייתה מתקבלת רק אילו $v^2$ היה גדל קווית עם הזמן, אבל כאן $v$ (ולא $v^2$) גדל קווית.