מתכונת 6 בפיזיקה - מכניקה 36361

קביעה: הכיוון החיובי הוא בכיוון אל $K$.

נימוק: בניסוי הראשון המהירות ההתחלתית היא בכיוון ההתרחקות מ־$K$, ובניסוי השני אל $K$. בתרשים 2:

•גרף א מתחיל בערך שלילי, $v(0)=-1.5\,\text{m/s}$;

•גרף ב מתחיל בערך חיובי, $v(0)=+1\,\text{m/s}$.

לכן גרף א מתאר את הניסוי הראשון ($v_1=1.5\,\text{m/s}$ הרחק מ־$K$) וגרף ב את הניסוי השני ($v_2=1\,\text{m/s}$ אל $K$), ומהירות בכיוון אל $K$ היא החיובית.

אפשר לוודא זאת גם מהתאוצה: שיפוע שני הגרפים חיובי, כלומר התאוצה בכיוון החיובי. הכוח האופקי היחיד על הרחפת הוא כוח הדחף (הכובד והכוח שמפעילה כרית האוויר אנכיים ומתאזנים), ולכן התאוצה $a=\frac{F}{m}$ מכוונת תמיד אל $K$ – ולכן זה הכיוון החיובי.

טעות נפוצה: לקבוע את הכיוון החיובי לפי סימן התאוצה בלבד בלי להתאים כל גרף לניסוי שלו, או להניח שהכיוון החיובי הוא תמיד כיוון המהירות ההתחלתית.

התאוצה. שני הגרפים הם קווים ישרים מקבילים (אין חיכוך, והתאוצה $\frac{F}{m}$ זהה בשני כיווני התנועה). מגרף א, בין $(0,\,-1.5)$ ל־$(2,\,2.5)$:

הנקודה הרחוקה ביותר מ־$K$ היא הרגע שבו המהירות מתאפסת – לפי גרף א, ברגע $t=0.75\,\text{s}$. מרגע זה ועד $t=2\,\text{s}$ (ההגעה ל־$K$) הרחפת נעה אל $K$ ממנוחה. לפי נוסחת התנועה שוות התאוצה:

עם $v_0=0$, $a=2\,\text{m/s}^2$ ו־$t=2-0.75=1.25\,\text{s}$:

המרחק בין הנקודה הרחוקה ביותר לנקודה $K$ הוא כ־$1.56\,\text{m}$.

(בדרך שקולה: השטח בין גרף א לציר הזמן מ־$t=0.75\,\text{s}$ עד $t=2\,\text{s}$: $\tfrac12\cdot 1.25\cdot 2.5\approx 1.56\,\text{m}$.)

בניסוי הראשון הרחפת יוצאת מ־$A$ ב־$t=0$ ומגיעה ל־$K$ ב־$t=2\,\text{s}$. ההעתק שלה, לפי

עם $v_0=-1.5\,\text{m/s}$, $a=2\,\text{m/s}^2$, $t=2\,\text{s}$:

ההעתק חיובי (בכיוון אל $K$), כלומר $K$ נמצאת $1\,\text{m}$ מ־$A$:

בדיקה: מ־$A$ התרחקה הרחפת $\tfrac12\cdot 0.75\cdot 1.5\approx 0.56\,\text{m}$ (השטח עד $t=0.75\,\text{s}$), ואז חזרה $1.56\,\text{m}$ אל $K$; $1.56-0.56=1\,\text{m}$ ✓.

טעות נפוצה: לחשב את הדרך הכוללת ($0.56+1.56\approx 2.1\,\text{m}$) במקום ההעתק – הרחפת שינתה כיוון וחזרה דרך $A$.

בניסוי השני הרחפת יוצאת מ־$B$ במהירות $v_0=+1\,\text{m/s}$ (אל $K$, לפי גרף ב) ובאותה תאוצה $a=2\,\text{m/s}^2$, ומגיעה ל־$K$ ב־$t=2.2\,\text{s}$:

כלומר $BK=7.04\,\text{m}$.

הנקודות $A$ ו־$B$ על אותו קו, ו־$A$ בין $K$ ל־$B$, לכן:

טעות נפוצה: להשתמש בגרף ב רק עד $t=2\,\text{s}$ (סוף הגרף) – הרחפת ממשיכה באותה תאוצה עד שהיא מגיעה ל־$K$.

קביעה: תרשים ג.

נימוק: עם חיכוך פועלים על הרחפת לאורך קו התנועה שני כוחות אופקיים: כוח הדחף $F$ (תמיד אל $K$, הכיוון החיובי) וכוח החיכוך הקינטי $f_k=\mu_kmg$ (תמיד נגד כיוון התנועה). לפי החוק השני של ניוטון:

- בתנועה הרחק מ־$K$ (מהירות שלילית): שני הכוחות אל $K$, ולכן $a=\frac{F+f_k}{m}$ – גדולה מ־$2\,\text{m/s}^2$. בניסוי הראשון המהירות מתאפסת לפני $t=0.75\,\text{s}$.

- בתנועה אל $K$ (מהירות חיובית): החיכוך נגד הדחף, ולכן $a=\frac{F-f_k}{m}$ – קטנה מ־$2\,\text{m/s}^2$. זה נכון לשלב החזרה בניסוי הראשון וגם לכל הניסוי השני, ולכן לשני הקטעים האלה אותו שיפוע.

בדיקת התרשימים:

- תרשים א: בתנועה הרחק מ־$K$ השיפוע מתון ($1\,\text{m/s}^2$) ובתנועה אל $K$ תלול ($3\,\text{m/s}^2$) – הפוך מהנדרש.

- תרשים ב: הניסוי הראשון תקין, אבל בניסוי השני (תנועה אל $K$) השיפוע $3\,\text{m/s}^2$ – גדול מ־$2$ ושונה מקטע החזרה בניסוי הראשון – פסול.

- תרשים ג: בתנועה הרחק מ־$K$: $\frac{0-(-1.5)}{0.5}=3\,\text{m/s}^2$ (תלול מ־$2$), ושני הקטעים בתנועה אל $K$ בשיפוע $1\,\text{m/s}^2$ (מתון מ־$2$ ושווים זה לזה) – מתאים. גם $\frac{3+1}{2}=2=\frac{F}{m}$, כמצופה (כוח הדחף לא השתנה).

- תרשים ד: בניסוי הראשון השיפוע $2\,\text{m/s}^2$ לאורך כל התנועה, כאילו אין חיכוך – פסול.

(בתרשים ג: $\frac{f_k}{m}=\mu_kg=1\,\text{m/s}^2$, כלומר $\mu_k=0.1$ – ערך סביר; ובעצירה הדחף גדול מהחיכוך, ולכן הרחפת אינה נשארת במנוחה.)

טעות נפוצה: לבחור בתרשים ב מתוך מחשבה שהחיכוך "מגדיל את התאוצה" בכל מקרה – בתנועה אל $K$ החיכוך פועל נגד כוח הדחף ומקטין את התאוצה.

על העגלה פועלים כוח הכובד $Mg$, הכוח הנורמלי $N$ מהמסלול (שניהם אנכיים ומאזנים זה את זה) וכוח המתיחות $T$ של החוט (אופקי). על המתלה פועלים כוח הכובד $mg$ וכוח המתיחות $T$. מסת החוט והגלגלת זניחה ואין חיכוך, ולכן המתיחות זהה לאורך החוט, ושני הגופים נעים באותו גודל תאוצה (החוט אינו נמתח).

לפי החוק השני של ניוטון (כיוון חיובי: העגלה לעבר הגלגלת, המתלה מטה):

חיבור המשוואות נותן

כל הגדלים באגף ימין קבועים במהלך התנועה (המסות אינן משתנות, $g$ קבוע, ואין חיכוך שתלוי במהירות). לכן הכוח השקול על כל גוף קבוע, והתאוצה קבועה – אינה תלויה בזמן, במהירות או במקום.

המתלה (וגם העגלה, הקשורה אליו בחוט) מתחיל ממנוחה ($v_0=0$) ועובר בתאוצה קבועה את הדרך $d$ עד הרצפה. מדף הנוסחאות:

עם $x-x_0=d$ ו־$v_0=0$:

לדוגמה, במדידה הראשונה:

ובאופן דומה $\frac{2\cdot 0.8}{1.62^2}\approx 0.61\,\text{m/s}^2$ ו־$\frac{2\cdot 1.2}{1.95^2}\approx 0.63\,\text{m/s}^2$ – כמו בטבלה.

קביעה: כן, הממצאים מאששים את ההשערה.

נימוק: הנוסחה $a=\frac{2d}{t^2}$ נכונה רק אם התאוצה קבועה. אילו התאוצה הייתה משתנה במהלך התנועה (למשל גדלה או קטנה עם הזמן), ה"תאוצה" המחושבת הייתה משתנה באופן שיטתי עם הגובה $d$ (כלומר עם משך התנועה).

בפועל, עבור שלושה גבהים שונים – פי $3$ בין הקטן לגדול – התקבלו ערכים כמעט שווים: $0.64$, $0.61$ ו־$0.63\,\text{m/s}^2$. ההפרשים קטנים (כ־$5\%$ לכל היותר), והם אינם עולים או יורדים באופן עקבי עם $d$ – ולכן הם נובעים משגיאות מדידה (בעיקר בהפעלת שעון העצר ועצירתו). כלומר, העגלה נעה בתאוצה קבועה של כ־$0.63\,\text{m/s}^2$.

1. כוח הכובד $Mg$ – מופעל על ידי כדור הארץ, אנכית כלפי מטה.

2. הכוח הנורמלי $N$ – מופעל על ידי המסלול (כרית האוויר), אנכית כלפי מעלה; $N=Mg$, כי אין תאוצה אנכית.

3. כוח המתיחות $T$ – מופעל על ידי החוט, אופקית לעבר הגלגלת.

1. כוח הכובד $mg$ – מופעל על ידי כדור הארץ, אנכית כלפי מטה.

2. כוח המתיחות $T$ – מופעל על ידי החוט, אנכית כלפי מעלה.

($mg>T$, כי המתלה מאיץ כלפי מטה – החץ של כוח הכובד ארוך יותר.)

גודל המתיחות זהה בשני קצות החוט, כי מסת החוט והגלגלת זניחה ואין חיכוך.

טעות נפוצה: לסמן $T=mg$ – המתלה מאיץ, ולכן הכוחות עליו אינם מאוזנים.

כיוון חיובי: העגלה לעבר הגלגלת והמתלה מטה (שני הגופים נעים באותו גודל תאוצה $a$, כי החוט אינו נמתח). לפי החוק השני של ניוטון $\Sigma F=ma$:

העגלה (ציר אופקי; בציר האנכי $N=Mg$):

חיבור שתי המשוואות מבטל את $T$:

בניסוי 2 המסה הכוללת $M+m$ קבועה, ולכן התאוצה יחסית ישר למסת המתלה $m$: הגרף של $a$ כפונקציה של $m$ הוא קו ישר דרך הראשית, שהשיפוע שלו $\frac{g}{M+m}$.

טעות נפוצה: לכתוב לעגלה $T=Mg$ או לשכוח שגם העגלה מואצת – הכוח $mg$ מאיץ את שני הגופים יחד.

לפי סעיף ה, השיפוע של קו המגמה בגרף $a$ כפונקציה של $m$ הוא

שיפוע קו המגמה – משתי נקודות על הקו (לא מנקודות המדידה): קו המגמה עובר דרך $(0.02\,\text{kg},\,0.25\,\text{m/s}^2)$ ודרך $(0.06\,\text{kg},\,0.75\,\text{m/s}^2)$:

(הקו אכן עובר בקירוב דרך הראשית, כמצופה מהמשוואה.)

(קו מגמה שמסרטט תלמיד בעצמו דרך נקודות המדידה המפוזרות יכול לתת שיפוע של כ־$12$–$13\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2\cdot\text{kg}}$, כלומר מסה כוללת של כ־$0.77$–$0.83\,\text{kg}$ – תוצאה תקינה. בדיקה: בניסוי 1 התקבלה תאוצה של כ־$0.63\,\text{m/s}^2$, המתאימה על הקו למסת מתלה של כ־$0.05\,\text{kg}$.)

טעות נפוצה: לחשב את השיפוע מנקודות המדידה עצמן (שמפוזרות סביב הקו) במקום מנקודות על קו המגמה.

במבט צד התיק נמצא מימין לציר. פועלים עליו שלושה כוחות:

1. כוח הכובד $mg$ – אנכית כלפי מטה.

2. הכוח הנורמלי $N$ – אנכית כלפי מעלה. אין תאוצה אנכית, ולכן $N=mg$.

3. כוח החיכוך הסטטי $f_s$ – אופקי, מכוון מן התיק אל ציר הקרוסלה (שמאלה בתרשים).

התיק נע במעגל, ולכן דרוש כוח שקול אל מרכז המעגל. הכוח האופקי היחיד הוא החיכוך הסטטי – הוא הכוח השקול הרדיאלי (הצנטריפטלי).

טעות נפוצה: לסמן את החיכוך כלפי חוץ ("התיק נזרק החוצה"), או לסמן כוח צנטריפטלי ככוח נוסף.

•כוח הכובד $mg$ – מופעל על ידי כדור הארץ.

•הכוח הנורמלי $N$ – מופעל על ידי משטח הקרוסלה.

•כוח החיכוך הסטטי $f_s$ – מופעל על ידי משטח הקרוסלה.

התדירות: הקרוסלה משלימה סיבוב ב־$T=3\,\text{s}$, ולכן $f=\frac1T=\frac13\,\text{Hz}$, ו־$\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{3}\approx 2.09\,\text{rad/s}$.

החיכוך הסטטי הוא הכוח השקול הרדיאלי. לפי החוק השני של ניוטון בכיוון הרדיאלי ו־$a_R=\omega^2r$:

ככל שהתיק רחוק יותר מהציר, נדרש חיכוך גדול יותר. החיכוך הסטטי מוגבל: $f_s\le\mu_sN=\mu_smg$. במרחק המרבי החיכוך מגיע לערכו המרבי:

הצבה:

המרחק קטן מרדיוס הקרוסלה ($1.5\,\text{m}$), כלומר בשוליים החיצוניים התיק היה מחליק. המסה מצטמצמת – המרחק אינו תלוי במסת התיק.

טעות נפוצה: להציב $\omega=3$ או $f=3$ – הנתון הוא זמן מחזור של $3\,\text{s}$, ולכן $f=\frac13\,\text{Hz}$.

החלק העולה של הגרף ($O$ עד $A$): התיק במנוחה ביחס לקרוסלה ונע במעגל ברדיוס $r=1.14\,\text{m}$. החיכוך הסטטי הוא השקול הרדיאלי:

כלומר החיכוך יחסי ישר ל־$f^2$ – קו ישר דרך הראשית, כפי שמופיע בתרשים.

הנקודה $A$: בה התיק על סף החלקה. התיק הונח במרחק שחושב בסעיף ב – המרחק שבו החיכוך הסטטי מרבי בדיוק בקצב של סיבוב בכל $3\,\text{s}$. לכן הסף מתרחש ב־$f=\frac13\,\text{Hz}$:

(או באופן כללי: $\mu_smg=4\pi^2mrf_A^2\Rightarrow f_A^2=\frac{\mu_sg}{4\pi^2r}=\frac{0.5\cdot 10}{4\pi^2\cdot 1.14}\approx 0.111\,\text{Hz}^2$.)

הנקודה $B$: ערך החיכוך בנקודה $A$ – החיכוך הסטטי המרבי:

מעבר ל־$A$ התיק מחליק, והחיכוך הופך לקינטי ($\mu_kmg$) – קטן מן החיכוך הסטטי המרבי וקבוע בגודלו, ולכן בגרף יש "ירידה" ב־$A$ ואחריה קו אופקי.

הנקודה $A$ – גדלה. בסף ההחלקה:

$f_A^2$ הפוך ל־$r$: קרוב יותר לציר החיכוך הנדרש בכל תדירות קטן יותר ($f_s=4\pi^2mr\,f^2$), ולכן התיק מגיע לחיכוך המרבי רק בתדירות גבוהה יותר.

הנקודה $B$ – לא משתנה. $B=\mu_smg$ – החיכוך הסטטי המרבי תלוי רק במקדם החיכוך ובכוח הנורמלי, ולא במרחק מהציר או בתדירות.

(שיפוע הקו $OA$, $4\pi^2mr$, קטן – ולכן הקו מגיע לאותו גובה $B$ מאוחר יותר, בנקודה $A$ ימנית יותר.)

טעות נפוצה: לחשוב שקרוב לציר החיכוך המרבי קטן או גדל – הגבול $\mu_sN$ אינו תלוי במקום התיק; משתנה רק החיכוך הנדרש.

העבודה של הכוח הנורמלי: הכוח הנורמלי ניצב תמיד למדרון, ואילו ההעתק של המזחלת לאורך המדרון. לפי

עם $\theta=90^\circ$: $\cos 90^\circ=0$, ולכן

העבודה של כוח הכובד: גובה הנקודה $A$ מעל $B$:

כוח הכובד הוא כוח משמר. לפי דף הנוסחאות:

(בדרך אחרת: רכיב הכובד לאורך המדרון $mg\sin 30^\circ=20\,\text{N}$ מכוון נגד ההעתק: $W=-20\cdot 6=-120\,\text{J}$.)

העבודה שלילית כי המזחלת עלתה.

לפי משפט עבודה–אנרגייה מדף הנוסחאות:

המזחלת הייתה במנוחה ב־$B$ והגיעה ל־$A$ במהירות אפס, ולכן:

טעות נפוצה: לנסות לחשב $F\cdot L$ – הכוח $F$ אינו קבוע ואינו נתון; את העבודה הכוללת מקבלים ישירות ממשפט עבודה–אנרגייה.

על המזחלת בקטע $AB$ פעלו שלושה כוחות: $F$, הכוח הנורמלי וכוח הכובד (המדרון חלק – אין חיכוך):

העבודה של $F$ חיובית – היא שווה לגידול באנרגייה הפוטנציאלית של המזחלת.

בקטע $AB$ אין חיכוך, והכוח הנורמלי אינו מבצע עבודה. בדרך מ־$A$ ל־$B$ רק כוח הכובד (משמר) מבצע עבודה, ולכן האנרגייה המכנית נשמרת:

בקטע $BC$ (אופקי) פועלים על המזחלת:

•כוח הכובד $mg$ והכוח הנורמלי $N$ – אנכיים, ניצבים לתנועה, ואינם מבצעים עבודה. התנועה אופקית, ולכן $N=mg$.

•כוח החיכוך הקינטי $f_k=\mu_kN=\mu_kmg$ – מנוגד לכיוון התנועה.

עבודת החיכוך לאורך המרחק $x$ מ־$B$ (לפי $W=F\,\Delta x\cos\theta$, $\theta=180^\circ$):

בנקודה $B$: $E_{k,B}=mgh=mgL\sin\alpha$ (סעיף ד). לפי משפט עבודה–אנרגייה:

האנרגייה הקינטית יורדת באופן קווי עם $x$.

לפי סעיף ה, $E_k(x)$ הוא קו ישר ששיפועו $-\mu_kmg$ (והחיתוך שלו עם הציר האנכי $mgL\sin\alpha=120\,\text{J}$ – בהתאמה לגרף).

שיפוע הגרף – משתי נקודות על הקו, $(0\,\text{m},\,120\,\text{J})$ ו־$(12\,\text{m},\,0\,\text{J})$:

משווים לביטוי:

(בדרך שקולה: המזחלת נעצרת ב־$x=12\,\text{m}$, ולכן $0=mgh-\mu_kmg\cdot 12$, כלומר $\mu_k=\frac{3}{12}=0.25$.)

כיוון חיובי – כיוון התנועה של דאון 1 לפני ההתנגשות; $v_2=0$.

שימור תנע (אין כוח חיצוני אופקי) – מדף הנוסחאות:

התנגשות אלסטית חד־ממדית – מדף הנוסחאות:

מציבים במשוואת התנע:

הצבה:

הסימן שלילי: דאון 1 נרתע לאחור במהירות $0.3\,\text{m/s}$.

טעות נפוצה: להניח שהדאון הפוגע ממשיך קדימה – כשהוא קל מהנפגע הוא חוזר לאחור.

מהמשוואה של ההתנגשות האלסטית:

הסימן חיובי – דאון 2 נע בכיוון התנועה המקורי של דאון 1, כפי שנאמר בשאלה.

בדיקה – שימור תנע: לפני: $0.5\cdot 0.6=0.3\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$. אחרי: $0.5\cdot(-0.3)+1.5\cdot 0.3=-0.15+0.45=0.3\,\text{kg}\cdot\text{m/s}$ ✓.

בדיקה – שימור אנרגייה קינטית: לפני: $\tfrac12\cdot 0.5\cdot 0.6^2=0.09\,\text{J}$. אחרי: $\tfrac12\cdot 0.5\cdot 0.3^2+\tfrac12\cdot 1.5\cdot 0.3^2=0.0225+0.0675=0.09\,\text{J}$ ✓.

משתי המשוואות (עם $v_2=0$):

מציבים את $u_2$ במשוואת התנע:

בדיקה עם נתוני סעיף א: $u_1=\frac{0.5-1.5}{2}\cdot 0.6=-0.3\,\text{m/s}$ ✓.

מהביטוי של סעיף ב:

- כיוון: אם $m_1<m_2$ המונה $m_1-m_2$ שלילי והמכנה חיובי, ולכן $u_1<0$ – דאון 1 נע נגד כיוונו המקורי, כלומר נרתע לאחור.

- גודל: $\frac{|u_1|}{v_1}=\frac{m_2-m_1}{m_2+m_1}$. המונה קטן מהמכנה (כי $m_1>0$), ולכן השבר קטן מ־$1$ ו־$|u_1|<v_1$.