מתכונת 8 בפיזיקה - מכניקה 36361

מהירות רגעית היא שיפוע גרף המקום–זמן. מן הטבלה מחשבים אותה בקירוב כמהירות הממוצעת בפרק זמן קצר שבמרכזו הרגע $t=0.12\,\text{s}$ – בין $t=0.06\,\text{s}$ ל־$t=0.18\,\text{s}$. (בתנועה שוות תאוצה המהירות הממוצעת בפרק זמן שווה בדיוק למהירות הרגעית באמצע פרק הזמן.)

מדף הנוסחאות:

הצבה:

הסימן חיובי – $y$ גדל, ולכן הכדור נע כלפי מעלה (הוא עדיין בעלייה).

טעות נפוצה: לחלק את $y(0.12)$ ב־$0.12$ ($=3.0\,\text{m/s}$) – זו המהירות הממוצעת מרגע היציאה מהמשגר, ולא המהירות הרגעית ב־$t=0.12\,\text{s}$.

לכל רגע $t$ מחשבים את המהירות הממוצעת בין $t-0.06\,\text{s}$ ל־$t+0.06\,\text{s}$:

ערך שלילי פירושו שהכדור כבר נע כלפי מטה (אחרי נקודת השיא, שנמצאת בסביבות $t\approx 0.36\,\text{s}$).

ציר אופקי: הזמן $t$ בשניות (מ־$0$ עד כ־$0.6\,\text{s}$). ציר אנכי: המהירות $v$ ב־$\text{m/s}$ (מ־$-2.5$ עד $4\,\text{m/s}$) – יש ערכים חיוביים ושליליים, ולכן ציר הזמן נמצא מעל תחתית הגרף.

הנקודות $(t\,[\text{s}],\,v\,[\text{m/s}])$:

$(0.12,\,2.42)$, $(0.18,\,1.83)$, $(0.30,\,0.67)$, $(0.42,\,-0.50)$, $(0.48,\,-1.17)$, $(0.54,\,-1.67)$.

הנקודות מסתדרות בקירוב לאורך קו ישר יורד, ולכן מעבירים קו ישר אחד כך שהנקודות מפוזרות סביבו משני צדיו (לא מחברים נקודה לנקודה):

משוואת הקו (התאמה בשיטת הריבועים הפחותים): $v\approx 3.60-9.80\,t$ ($v$ ב־$\text{m/s}$, $t$ בשניות). הגרף הקווי מראה שהכדור נע בתנועה שוות תאוצה.

המהירות שבה הכדור עוזב את המשגר היא המהירות ברגע $t=0$. בגרף $v(t)$ זו נקודת החיתוך של קו המגמה עם הציר האנכי:

מן הקו: $v_0\approx 3.6\,\text{m/s}$ (כלפי מעלה).

(בדיקה: בשיא הגובה $v=0$, ולפי הקו זה קורה ב־$t=\frac{3.60}{9.80}\approx 0.37\,\text{s}$ – ואכן בטבלה א הגובה המרבי, $0.66\,\text{m}$, נמדד ב־$t=0.36\,\text{s}$.)

מדף הנוסחאות $v=v_0+at$ – הגרף $v(t)$ קווי, והתאוצה היא שיפוע הישר.

מחשבים את השיפוע משתי נקודות על קו המגמה (לא מנקודות הטבלה), רחוקות זו מזו: $(0,\,3.60)$ ו־$(0.54,\,-1.69)$:

הסימן השלילי: התאוצה מכוונת כלפי מטה (נגד הכיוון החיובי של $y$), וגודלה כ־$10\,\text{m/s}^2$ – בהתאמה טובה ל־$g$, כמצופה מגוף שהכוח היחיד הפועל עליו הוא כוח הכובד. התאוצה זהה בעלייה ובירידה (כל הנקודות על אותו ישר).

טעות נפוצה: לחשב את השיפוע משתי נקודות מהטבלה, או לשכוח את כיוון התאוצה.

קביעה: תרשים 2.

נימוק: כיוון חיובי – כלפי מעלה. כוח התנגדות האוויר $f$ מכוון תמיד נגד כיוון התנועה, וגודלו קבוע בקירוב.

בעלייה ($v>0$): כוח הכובד וכוח ההתנגדות פועלים שניהם כלפי מטה. לפי החוק השני של ניוטון:

בירידה ($v<0$): כוח הכובד כלפי מטה וההתנגדות כלפי מעלה:

בכל אחד מהשלבים הכוחות קבועים, ולכן התאוצה קבועה וכלפי מטה: הגרף $v(t)$ מורכב משני קטעים ישרים יורדים. גודל התאוצה בעלייה גדול מזה שבירידה, ולכן הקטע הראשון (מעל ציר הזמן, $v>0$) תלול יותר מהקטע השני (מתחת לציר, $v<0$). זה בדיוק תרשים 2.

•תרשים 1 – קו ישר אחד: תאוצה זהה בעלייה ובירידה – זה המצב בלי התנגדות אוויר.

•תרשים 3 – הפוך: הקטע בירידה תלול יותר.

•תרשים 4 – עקומה: התאוצה משתנה ברציפות. זה היה מתאים לכוח התנגדות שגודלו תלוי במהירות, ולא לכוח שגודלו קבוע.

טעות נפוצה: לבחור בתרשים 3 מתוך מחשבה שבירידה הכדור "מאיץ יותר" – ההתנגדות מקטינה את התאוצה בירידה.

ציר אופקי: הזמן $t$ (טווח $0$–$0.7\,\text{s}$). ציר אנכי: המהירות $v$ (טווח $0$–$1.4\,\text{m/s}$).

הנקודות $(t\,[\text{s}],\,v\,[\text{m/s}])$:

$(0.1,\,0.25)$, $(0.2,\,0.38)$, $(0.3,\,0.62)$, $(0.4,\,0.85)$, $(0.5,\,0.98)$, $(0.6,\,1.22)$.

הנקודות מסתדרות בקירוב על קו ישר, ולכן מעבירים קו מגמה ישר אחד (ולא מחברים נקודה לנקודה), כך שהנקודות מפוזרות סביבו משני צדיו. העגלה שוחררה ממנוחה ב־$t=0$, ולכן הקו עובר בקירוב דרך הראשית.

טעות נפוצה: לחבר את הנקודות בקו שבור – הפיזור נובע משגיאות מדידה, וקו המגמה הוא ישר אחד.

מחשבים את השיפוע משתי נקודות על קו המגמה, רחוקות זו מזו: $(0,\,0)$ ו־$(0.6\,\text{s},\,1.2\,\text{m/s})$:

(התאמה בשיטת הריבועים הפחותים דרך הראשית נותנת כ־$2.03\,\text{m/s}^2$.)

משמעות פיזיקלית: שיפוע גרף מהירות–זמן הוא התאוצה ($a=\frac{\Delta v}{\Delta t}$). הגרף ישר, ולכן העגלה נעה בתאוצה קבועה $a\approx 2.0\,\text{m/s}^2$ בכיוון החיובי – במורד המסילה. החוט מתוח ואינו מתארך, ולכן זה גם גודל התאוצה של המשקולת (כלפי מעלה).

על העגלה פועלים: כוח הכובד $m_1g$ (כדור הארץ, אנכית מטה), הכוח הנורמלי $N$ (המסילה, ניצב למסילה), מתיחות החוט $T$ (החוט, במעלה המסילה – לכיוון הגלגלת). אין חיכוך.

ציר במורד המסילה (הכיוון החיובי שנקבע) וציר ניצב למסילה:

על המשקולת פועלים: כוח הכובד $m_2g$ (כלפי מטה) ומתיחות החוט $T$ (כלפי מעלה). כיוון חיובי כלפי מעלה:

החוט והגלגלת חסרי מסה והגלגלת חסרת חיכוך, ולכן המתיחות זהה לאורך כל החוט, וגודל התאוצה $a$ משותף לשני הגופים.

מסת המשקולת אינה נתונה, ולכן משתמשים במשוואת העגלה ובתאוצה שנמדדה בסעיף ב:

הצבה:

(מכאן אפשר למצוא גם את $m_2$: $m_2=\frac{T}{g+a}=\frac{6}{12}=0.5\,\text{kg}$.)

טעות נפוצה: לכתוב $T=m_1g\sin\alpha=9\,\text{N}$ או $T=m_2g$ – המערכת מאיצה, ולכן המתיחות שונה משני הערכים (קטנה מרכיב הכובד על העגלה וגדולה ממשקל המשקולת).

לאחר קריעת החוט כוח המתיחות נעלם.

העגלה: על המסילה החלקה פועלים רק $m_1g$ ו־$N$. לאורך המסילה (כיוון חיובי במורד), לפי $\Sigma F=ma$:

המשקולת: פועל עליה רק כוח הכובד (כיוון חיובי כלפי מעלה):

היחס:

הסימן השלילי: תאוצת העגלה בכיוון החיובי שלה, ותאוצת המשקולת נגד הכיוון החיובי שלה.

קביעה: גרף 2.

1. נקודת ההתחלה המשותפת: עד הקריעה החוט מתוח, ולכן ברגע הקריעה לשני הגופים אותה מהירות חיובית (כ־$2.0\cdot 1=2.0\,\text{m/s}$: העגלה במורד, המשקולת כלפי מעלה). שני הקווים מתחילים באותה נקודה חיובית. זה פוסל את גרף 3 (שם המשקולת מתחילה מאפס).

2. העגלה: תאוצה קבועה $+6\,\text{m/s}^2$ – קו ישר עולה.

3. המשקולת: תאוצה קבועה $-10\,\text{m/s}^2$ – קו ישר יורד. המשקולת ממשיכה לעלות, מאטה, נעצרת לרגע (כעבור $0.2\,\text{s}$) ומיד מתחילה ליפול – המהירות הופכת לשלילית, והקו ממשיך לרדת באותו שיפוע מתחת לציר הזמן. זה פוסל את גרף 1 (שם המשקולת נעצרת ונשארת במנוחה – כוח הכובד אינו מאוזן, ולכן היא אינה יכולה להישאר במנוחה).

4. שיפועים: לפי סעיף ה גודל השיפוע של העגלה ($6$) קטן מגודל השיפוע של המשקולת ($10$). בגרף 4 הקו של העגלה תלול מהקו של המשקולת – הפוך. בגרף 2 הקו היורד של המשקולת תלול יותר.

לכן רק גרף 2 מתאים.

טעות נפוצה: לבחור בגרף 1 מתוך מחשבה שהמשקולת "נעצרת" כשהחוט נקרע – רגע אחרי הקריעה היא עדיין נעה כלפי מעלה, ורק כוח הכובד משנה את מהירותה בהדרגה.

קביעה: גרף ד.

נימוק: לאחר היציאה מהמשגר (והתנגדות האוויר זניחה) הכוח היחיד הפועל על הכדור הוא כוח הכובד, שהוא אנכי. בכיוון האופקי לא פועל כוח, ולכן לפי החוק השני של ניוטון $a_x=0$: הרכיב האופקי של המהירות נשאר קבוע ושווה ל־$v_0$. גרף של גודל קבוע שונה מאפס כפונקציה של הזמן הוא קו אופקי מעל ציר הזמן – גרף ד.

קביעה: גרף ב.

נימוק: הכדור יוצא בכיוון אופקי, ולכן ברגע היציאה הרכיב האנכי של מהירותו אפס. בכיוון האנכי פועל רק כוח הכובד, ולכן התאוצה האנכית קבועה, $g$. לפי $v=v_0+at$ עם $v_{0y}=0$:

הרכיב האנכי יחסי ישר לזמן – קו ישר העולה מהראשית: גרף ב.

גרף א (פרבולה) מתאר גודל שגדל כמו $t^2$ – כך משתנה הדרך האנכית שהכדור נפל ($\tfrac12gt^2$), לא המהירות. גרף ג מתאר מהירות שקטנה – לא מתאים לנפילה.

טעות נפוצה: לבחור בגרף א, ולבלבל בין המהירות האנכית לבין המרחק האנכי.

ציר אנכי – נפילה ממהירות אנכית אפס מגובה $h$. לפי $x-x_0=v_0t+\tfrac12at^2$:

ציר אופקי – תנועה קצובה במהירות $v_0$:

מציבים את $t^2$:

כלומר $d^2$ יחסי ישר ל־$h$, ושיפוע הגרף של $d^2$ כפונקציה של $h$ הוא $\frac{2v_0^2}{g}$.

ציר אופקי: הגובה $h$ במטרים (טווח $0$ עד $1.1\,\text{m}$). ציר אנכי: $d^2$ ב־$\text{m}^2$ (טווח $0$ עד $2\,\text{m}^2$). כדאי להתחיל את שני הצירים מאפס, כי לפי סעיף ב הקשר הוא יחס ישר.

הנקודות מסתדרות בקירוב לאורך קו ישר עולה.

מעבירים קו ישר אחד כך שהנקודות מפוזרות סביבו משני צדיו בערך באופן שווה.

שיפוע הקו – משתי נקודות על הקו (לא מנקודות הטבלה), רחוקות זו מזו, למשל $(0.2\,\text{m},\,0.36\,\text{m}^2)$ ו־$(1.0\,\text{m},\,1.80\,\text{m}^2)$:

(השיפוע יוצא ביחידות $\frac{\text{m}^2}{\text{m}}=\text{m}$.)

לפי סעיף ב, שיפוע הגרף $d^2(h)$ הוא:

הצבה, עם השיפוע מסעיף ג ($1.8\,\text{m}$):

טעות נפוצה: להציב את השיפוע כ־$v_0^2$ ולשכוח את הגורם $\frac{2}{g}$.

הרכיב האופקי קבוע: $v_x=v_0=3\,\text{m/s}$.

הרכיב האנכי – נפילה ממהירות אנכית אפס מגובה $0.45\,\text{m}$. לפי $v^2=v_0^2+2a(x-x_0)$:

גודל המהירות – לפי משפט פיתגורס:

כיוון המהירות – הזווית $\theta$ מתחת לאופק:

המהירות מכוונת קדימה (בכיוון הירי) ומטה, בזווית של $45^\circ$ מתחת לאופק.

טעות נפוצה: לחשב רק את $\sqrt{2gh}$ ולשכוח את הרכיב האופקי.

תרשים הכוחות – על החרוז פועלים שני כוחות:

1. כוח הכובד $mg$ – מופעל על ידי כדור הארץ, אנכית כלפי מטה.

2. הכוח הנורמלי $N$ – מופעל על ידי החישוק, ניצב לחישוק (אין חיכוך), כלומר לאורך הרדיוס – מהחרוז אל מרכז החישוק (כלפי מעלה ופנימה, בזווית $\theta$ לאנך).

החרוז נע במעגל אופקי שמרכזו על ציר הסיבוב, ברדיוס

ציר אנכי – אין תאוצה אנכית:

ציר רדיאלי (אופקי, אל ציר הסיבוב) – לפי החוק השני של ניוטון ו־$a_r=\omega^2r$, $\omega=2\pi f$ מדף הנוסחאות:

מציבים את $N$ במשוואה האנכית:

כלומר $\cos\theta$ יחסי ישר ל־$\frac{1}{f^2}$, והשיפוע הוא $\frac{g}{4\pi^2R}$ (אינו תלוי במסת החרוז).

טעות נפוצה: להוסיף לתרשים "כוח צנטריפטלי" – זהו הרכיב האופקי של $N$, ולא כוח נוסף. טעות נוספת: לקחת את רדיוס המעגל של החרוז כ־$R$ במקום $R\sin\theta$.

השלמת הטבלה (לדוגמה במדידה 1: $\frac{1}{1.2^2}=0.694\,\text{s}^2$, $\cos 46^\circ=0.695$):

הגרף: ציר אופקי $\frac{1}{f^2}\,(\text{s}^2)$ מ־$0$ עד כ־$1.1$, ציר אנכי $\cos\theta$ מ־$0$ עד $1.1$. מסמנים את חמש הנקודות ומעבירים קו ישר אחד המתאים להן ביותר. לפי סעיף א הקו צריך לעבור דרך הראשית, והנקודות אכן מסתדרות סביב ישר כזה.

שיפוע הקו – משתי נקודות על הקו: $(0,\,0)$ ו־$(0.80\,\text{s}^2,\,0.808)$:

(התאמה ישרה לנקודות בשיטת הריבועים הפחותים נותנת שיפוע של כ־$1.00$–$1.01\,\text{s}^{-2}$ ונקודת חיתוך קרובה מאוד לאפס.)

טעות נפוצה: לחשב $\cos\theta$ כשהמחשבון במצב רדיאנים, או לא לעגל לשלוש ספרות משמעותיות כנדרש.

מסעיף א, השיפוע של הגרף $\cos\theta$ כפונקציה של $\frac{1}{f^2}$ הוא

הצבה (שיפוע $1.01\,\text{s}^{-2}$ מסעיף ב):

(שיפוע בטווח $0.99$–$1.03\,\text{s}^{-2}$ נותן $R\approx 0.246$–$0.256\,\text{m}$.)

החרוז נע במעגל רק כאשר $\theta>0$, כלומר $\cos\theta<1$. הערך הגבולי $\cos\theta=1$ ($\theta=0$ – החרוז בנקודה התחתונה של החישוק, על ציר הסיבוב) מתאים לערך המרבי של $\frac{1}{f^2}$, כלומר לתדירות המינימלית.

מאריכים את קו הגרף עד $\cos\theta=1$ וקוראים את $\frac{1}{f^2}$:

בתדירות נמוכה מזו החרוז נשאר בתחתית החישוק ואינו נע במעגל.

לפי דף הנוסחאות: $W_{\text{לא משמרים}}=\Delta E$ – האנרגייה המכנית נשמרת רק כאשר הכוחות הלא־משמרים אינם מבצעים עבודה.

המסילה המעוקלת – נשמרת. פועלים כוח הכובד (משמר) והכוח הנורמלי. המסילה חלקה, והכוח הנורמלי ניצב בכל רגע לכיוון התנועה (גם כשכיוונו משתנה לאורך העקומה), ולכן אינו מבצע עבודה. $\Delta E=0$.

המשטח האופקי – לא נשמרת. כוח החיכוך הקינטי פועל נגד כיוון התנועה ומבצע עבודה שלילית, ולכן $\Delta E=W_f<0$ – האנרגייה המכנית הופכת לחום עד שהגוף נעצר.

לפי נוסחת מתקף–תנע $J_{\text{כולל}}=\Delta p$: תנע הגוף נשמר רק כאשר שקול הכוחות עליו אפס.

המסילה המעוקלת – לא נשמר. שקול הכובד והנורמל אינו אפס: גודל המהירות גדל (הגוף יורד) וגם כיוונה משתנה לאורך העקומה – התנע משתנה בגודלו ובכיוונו.

המשטח האופקי – לא נשמר. הכובד והנורמל מתאזנים, אבל כוח החיכוך הוא שקול שאינו אפס, והגוף מאט עד לעצירה.

טעות נפוצה: להסיק שהתנע נשמר במסילה החלקה "כי אין חיכוך" – שימור אנרגייה מכנית ושימור תנע הם תנאים שונים.

נשתמש בעבודת הכוחות הלא־משמרים מתחילת התנועה ועד העצירה. רמת ייחוס – המשטח האופקי:

•בהתחלה: $E_1=m_Agh$ (מנוחה בגובה $h$).

•בסוף: $E_2=0$ (מנוחה על המשטח).

•הכוח הלא־משמר היחיד שמבצע עבודה הוא החיכוך על המשטח: $N=m_Ag$, $f_k=\mu_km_Ag$, $W_f=-f_kx_A$.

לפי $W_{\text{לא משמרים}}=\Delta E$:

תשובה: שווה.

נימוק: אותו חישוב כמו בסעיף ב, עבור גוף שמסתו $m$: