בגרות בפיזיקה חשמל ומגנטיות 36371 - קיץ 2024

על הכדור פועלים שלושה כוחות: כוח הכובד $mg$ (אנכית מטה), כוח המתיחות $T$ בחוט (לאורך החוט, אל נקודת התלייה) והכוח החשמלי $F_E=q_1E$ (אופקי, ימינה).

הכדור במנוחה, ולכן לפי החוק השני של ניוטון שקול הכוחות אפס. מפרקים את $T$ לרכיבים:

מחלקים את המשוואה הראשונה בשנייה:

הסימן: הכדור סטה ימינה, כלומר הכוח החשמלי עליו מכוון ימינה – בכיוון השדה $\vec E$. לפי $\vec F=q\vec E$, הכוח בכיוון השדה רק כאשר המטען חיובי. לכן $q_1>0$.

הגודל: מהביטוי שפיתחנו:

ממירים את המסה: $m=0.2\,\text{gr}=2\cdot 10^{-4}\,\text{kg}$, ולכן $mg=2\cdot 10^{-3}\,\text{N}$.

הצבה:

טעות נפוצה: לא להמיר גרם לקילוגרם.

על הכדור הטעון במטען $q_1$ פועלים ארבעה כוחות:

1. כוח הכובד $mg$ – מופעל על ידי כדור הארץ, אנכית כלפי מטה.

2. כוח המתיחות $T$ – מופעל על ידי החוט, לאורך החוט מהכדור אל נקודת התלייה בתקרה (כלפי מעלה ושמאלה, בזווית $\beta$ לאנך).

3. הכוח החשמלי של השדה האחיד $F_E=q_1E$ – מופעל על ידי השדה החשמלי $\vec E$ (כלומר על ידי המטענים שיוצרים אותו), אופקי ימינה (המטען $q_1$ חיובי).

4. כוח קולון $F_C=k\frac{q_1q_2}{r^2}$ – מופעל על ידי הכדור השני (הטעון במטען $q_2$). שני המטענים חיוביים ולכן הכוח דוחה; הכדור השני נמצא מימין, ולכן הכוח על $q_1$ אופקי שמאלה.

(לכן זווית הסטייה קטנה מ־$\alpha$ ל־$\beta$: הכוח השקול האופקי קטן.)

טעות נפוצה: לשכוח את כוח קולון, או לסמן אותו ימינה – מטענים בעלי אותו סימן דוחים זה את זה.

הכדור הראשון במנוחה, ולכן שקול הכוחות עליו אפס. מרכזי הכדורים באותו גובה, ולכן כוח קולון אופקי.

ציר אופקי (ימינה חיובי): הכוח החשמלי $q_1E$ ימינה, כוח קולון $k\frac{q_1q_2}{r^2}$ שמאלה, והרכיב האופקי של המתיחות $T\sin\beta$ שמאלה:

מהמשוואה האנכית $T=\frac{mg}{\cos\beta}$, ולכן $T\sin\beta=mg\tan\beta$. מציבים:

מחלקים ב־$q_1$:

כנדרש.

הביטוי מסעיף ג הוא משוואה של קו ישר בגרף $E$ כפונקציה של $\frac{1}{r^2}$:

($\beta$ קבועה בכל המדידות, ולכן האיבר השני קבוע.)

השיפוע – משתי נקודות על הקו, רחוקות זו מזו: $(20\,\tfrac{1}{\text{m}^2},\,3000\,\tfrac{\text{N}}{\text{C}})$ ו־$(80\,\tfrac{1}{\text{m}^2},\,5950\,\tfrac{\text{N}}{\text{C}})$:

נקודת החיתוך – מאריכים את הקו עד $\frac{1}{r^2}=0$:

הצבה (עם $q_1=8.75\cdot 10^{-8}\,\text{C}$ מסעיף א ו־$mg=2\cdot 10^{-3}\,\text{N}$):

טעות נפוצה: לחשב את השיפוע מנקודת מדידה בודדת ($E$ חלקי $\frac1{r^2}$) – הקו אינו עובר בראשית, וחייבים להשתמש בשתי נקודות על הקו.

קביעה: תשובה 3.

נימוק: לשני הכדורים אותה מסה. לכל כדור, כמו בסעיף ג, $\tan\theta=\frac{F_x}{mg}$, כאשר $F_x$ הוא שקול הכוחות החשמליים האופקיים עליו. לכן זוויות שוות פירושן כוח אופקי שקול שווה על שני הכדורים (וכיוונו ימינה).

נניח ש־$q_2$ חיובי. כוח קולון $F_C=k\frac{q_1q_2}{r^2}$ דוחה: על הכדור השמאלי ($q_1$) הוא פועל שמאלה, ועל הכדור הימני ($q_2$) ימינה (לפי החוק השלישי של ניוטון – אותו גודל):

שוויון זוויות:

עבור $0<q_2<q_1$ ניתן לבחור את המרחק $r$ כך ש־$2k\frac{q_1q_2}{r^2}=(q_1-q_2)E$, ואז שני הכדורים סוטים ימינה באותה זווית – לכן זה אפשרי.

•אם $q_2=q_1$: נדרש $F_C=0$ – בלתי אפשרי לשני מטענים שאינם אפס (תשובה 2 שגויה).

•אם $q_2>q_1$ (חיובי): $F_{x2}>F_{x1}$ תמיד – הכדור השני סוטה יותר (תשובה 1 שגויה).

•אם $q_2$ שלילי: השדה דוחף את הכדור השני שמאלה, וגם המשיכה אל $q_1$ (הנמצא משמאלו) מושכת אותו שמאלה – הוא לא יסטה ימינה כלל.

לכן גם תשובות 4 ו־5 שגויות.

גודל השדה של מטען נקודתי (מדף הנוסחאות):

שני המטענים חיוביים, ולכן השדה של כל אחד מהם מכוון הרחק ממנו:

•השדה של $Q$ (הנמצא ב־$y=+d$) בנקודה $O$: גודלו $k\frac{Q}{d^2}$, וכיוונו כלפי מטה ($-y$).

•השדה של $q$ (הנמצא ב־$y=-d$) בנקודה $O$: גודלו $k\frac{q}{d^2}$, וכיוונו כלפי מעלה ($+y$).

שני השדות על אותו קו ובכיוונים מנוגדים, ולכן:

מאחר ש־$Q>q$, השדה של $Q$ גובר, והשדה השקול מכוון כלפי מטה – בכיוון השלילי של ציר $y$ (לעבר $q$).

טעות נפוצה: לחבר את גודלי השדות – בנקודה שבין שני מטענים בעלי אותו סימן השדות מנוגדים.

קביעה: אין נקודה כזו.

הסבר: הפוטנציאל הוא גודל סקלרי, והפוטנציאל של מערכת מטענים הוא סכום אלגברי של הפוטנציאלים של כל מטען. לפי דף הנוסחאות (עם $V=0$ באין־סוף), בנקודה הנמצאת במרחק $r_1$ מ־$Q$ ובמרחק $r_2$ מ־$q$:

שני המטענים חיוביים, והמרחקים חיוביים וסופיים, ולכן כל אחד משני האיברים חיובי – והסכום חיובי בכל נקודה. הפוטנציאל שואף לאפס רק כאשר מתרחקים לאין־סוף משני המטענים.

טעות נפוצה: לבלבל בין פוטנציאל לשדה – השדה מתאפס בנקודה שבין המטענים (קרוב יותר ל־$q$), אבל הפוטנציאל שם חיובי.

בוחרים נקודה שמיקומה ניתן לקריאה מדויקת: הקו החיצוני ($36\,\text{V}$) חותך את החלק החיובי של ציר $y$ בשנת ה־12, כלומר בנקודה $(0,\,24\,\text{cm})$.

המרחקים מנקודה זו:

•מ־$Q$ (ב־$y=6\,\text{cm}$): $r_1=24-6=18\,\text{cm}=0.18\,\text{m}$

•מ־$q$ (ב־$y=-6\,\text{cm}$): $r_2=24+6=30\,\text{cm}=0.30\,\text{m}$

הפוטנציאל בנקודה הוא סכום הפוטנציאלים:

הצבה: $k\frac{Q}{r_1}=\frac{9\cdot 10^9\cdot 6\cdot 10^{-10}}{0.18}=\frac{5.4}{0.18}=30\,\text{V}$

בדיקה בנקודה נוספת: הקו של $54\,\text{V}$ חותך את החלק השלילי של ציר $y$ בערך ב־$y=-13\,\text{cm}$: $V=\frac{5.4}{0.19}+\frac{9\cdot 10^9\cdot 2\cdot 10^{-10}}{0.07}=28.4+25.7\approx 54\,\text{V}$ ✓.

טעות נפוצה: לשכוח שכל שנת מייצגת $2\,\text{cm}$, או לא להמיר סנטימטרים למטרים.

הפוטנציאל בנקודה $O$: $O$ נמצאת במרחק $d=6\,\text{cm}$ משני המטענים:

הפוטנציאל בנקודה $B$: $B$ נמצאת על הקו של $72\,\text{V}$, ולכן $V_B=72\,\text{V}$.

עבודת הכוח החשמלי (מדף הנוסחאות):

משפט עבודה–אנרגייה: הכוח החשמלי הוא הכוח היחיד (הכבידה זניחה):

הצבה:

המהירות גדלה, כמצופה: מטען חיובי שעובר מפוטנציאל גבוה לפוטנציאל נמוך מאיץ.

טעות נפוצה: לחשב את $V_O$ רק מאחד המטענים, או לחשב את המהירות לפי המסלול – העבודה של כוח משמר תלויה רק בנקודות ההתחלה והסיום.

קביעה: כיוון 2.

•התאוצה של הפוזיטרון נובעת מהכוח החשמלי: $\vec a=\frac{\vec F}{m}=\frac{q_{e^+}\vec E}{m}$. המטען חיובי, ולכן התאוצה בכיוון השדה החשמלי.

•השדה החשמלי ניצב בכל נקודה למשטח שווה הפוטנציאל העובר בה (לאורך המשטח אין שינוי בפוטנציאל, ולכן אין לשדה רכיב לאורכו).

•השדה מכוון מפוטנציאל גבוה לפוטנציאל נמוך ($E=-\frac{\Delta V}{\Delta x}$).

בתרשים 3ב, בנקודה $B$ קו ה־$72\,\text{V}$ נוטה בכ־$45^\circ$ (משמאל־למטה לימין־למעלה). הקו של $91\,\text{V}$ (פוטנציאל גבוה) נמצא משמאל ומעל ל־$B$, והקו של $54\,\text{V}$ (פוטנציאל נמוך) מימין ומתחת לה. הכיוון הניצב לקו ב־$B$ ומכוון לעבר הפוטנציאל הנמוך הוא ימינה ומטה – כיוון 2.

(בדיקה בחישוב: בנקודה $B\approx(4\,\text{cm},\,-8.6\,\text{cm})$ השדה השקול של שני המטענים יוצר זווית של כ־$-42^\circ$ עם ציר $x$ – כלומר בקירוב כיוון 2.)

טעות נפוצה: לבחור כיוון משיק לקו שווה הפוטנציאל (כיוון 8 או 4) – התאוצה אינה בכיוון התנועה אלא בכיוון הכוח.

•מד־הזרם $A$ מחובר בטור למוט העליון בלבד, ולכן $I=1.25\,\text{A}$ הוא הזרם במוט העליון.

•מד־המתח $V_1$ מחובר בין הקצה השמאלי של הנגד $R$ לקצה הימני של הסוללה, כלומר על פני הצירוף (נגד + סוללה). שאר המעגל בין שתי הנקודות האלה הוא צירוף שני המוטות במקביל, ולכן $V_1$ הוא גם המתח על פני כל אחד מהמוטות (חוק המתחים של קירכהוף).

שני המוטות מחוברים במקביל בין אותן שתי נקודות, ולכן המתח על המוט העליון $8\,\text{V}$ (מד־הזרם האידיאלי אינו גורם למפל מתח).

לפי חוק אוהם:

טעות נפוצה: לחשוב ש־$V_1$ הוא המתח על $R$ – מד־המתח מחובר על פני הנגד והסוללה יחד.

הזרם הכולל: שני המוטות זהים ומחוברים במקביל, ולכן באותו מתח עובר בכל אחד מהם אותו זרם. לפי חוק הזרמים של קירכהוף:

זרם זה עובר דרך הנגד $R$ ודרך הסוללה (הם בטור עם צירוף המוטות).

המתח על $R$: לפי חוק המתחים של קירכהוף, לאורך הלולאה (התנגדות פנימית זניחה):

(בדיקה: $R_{\text{שקולה}}=1.6+\frac{6.4}{2}=4.8\,\Omega$, ו־$I=\frac{12}{4.8}=2.5\,\text{A}$ ✓.)

טעות נפוצה: לחלק את $4\,\text{V}$ בזרם שמודד מד־הזרם ($1.25\,\text{A}$) – דרך $R$ עובר הזרם הכולל.

מד־המתח $V_2$ מחובר בין התיל השמאלי (שהוא באותו פוטנציאל כמו הנקודה $M$) לבין המגע הנייד $P$. לכן $V_2$ הוא המתח על קטע המוט שבין $M$ ל־$P$, שאורכו $L$.

מד־המתח אידיאלי ואינו מושך זרם, ולכן בקטע $MP$ עובר הזרם $I=1.25\,\text{A}$ של המוט העליון.

התנגדות הקטע: $R_{MP}=\lambda L$. לפי חוק אוהם:

הצבה ($L=40\,\text{cm}=0.4\,\text{m}$):

(מכאן אורך כל מוט: $\ell=\frac{R_x}{\lambda}=\frac{6.4}{12}\approx 0.53\,\text{m}$ – ואכן $40\,\text{cm}$ הם חלק מהמוט, ו־$6\,\text{V}<8\,\text{V}$.)

ההתנגדות השקולה של המוטות: $n$ מוטות זהים במקביל. מדף הנוסחאות:

הזרם הכולל: צירוף המוטות בטור עם $R$ (התנגדות פנימית זניחה):

הזרם במד־הזרם: המוטות זהים ובאותו מתח, ולכן הזרם הכולל מתחלק שווה ביניהם, ומד־הזרם (בטור למוט אחד) מודד חלק $n$־י מהזרם:

(בדיקה עבור $n=2$: $I_A=\frac{12}{3.2+6.4}=1.25\,\text{A}$ – כמו הנתון ✓.)

קביעה: היגד 1.

- $V_1$: הוא המתח על צירוף המוטות, כלומר המתח על כל מוט: $V_1=I_AR_x=\frac{\varepsilon R_x}{nR+R_x}$ (מסעיף ד). ככל ש־$n$ גדל המכנה גדל, ולכן $V_1$ קטן.

במילים: הוספת מוטות במקביל מקטינה את ההתנגדות השקולה $\frac{R_x}{n}$, הזרם הכולל גדל, המתח על $R$ ($I_{\text{כולל}}R$) גדל, ולכן המתח הנותר על המוטות $\varepsilon-I_{\text{כולל}}R$ קטן.

- $V_2$: הוא המתח על קטע באורך קבוע $L$ של המוט העליון: $V_2=I_A\lambda L=\frac{\varepsilon\lambda L}{nR+R_x}$. הזרם $I_A$ במוט העליון קטן כש־$n$ גדל, ולכן גם $V_2$ קטן (הוא חלק קבוע, $\frac{L}{\ell}$, מהמתח $V_1$).

לכן הוריות שני מדי־המתח קטנות.

טעות נפוצה: לחשוב שכיוון שהזרם הכולל גדל, גם הזרם בכל מוט גדל – הזרם הכולל גדל, אבל הוא מתחלק בין יותר מוטות, והמתח עליהם קטן.

קביעה: הוריית מד־המתח גדלה.

נימוק: במעגל זורם זרם רק בקטע $SK$ של הנגד המשתנה (מהמגע $S$ לקצה $K$ המחובר למד־הזרם). הזזת $S$ לכיוון $L$ מאריכה את הקטע $SK$, ולכן ההתנגדות החיצונית $R$ במעגל גדלה.

הזרם במעגל:

קטן כש־$R$ גדלה.

מד־המתח מחובר על הדקי הסוללה, ומודד את מתח ההדקים (מדף הנוסחאות):

$\varepsilon$ ו־$r$ קבועים, $I$ קטן – ולכן מפל המתח הפנימי $Ir$ קטן ומתח ההדקים גדל.

טעות נפוצה: לחשוב שמד־מתח על הסוללה מראה תמיד $\varepsilon$ – כשיש זרם, מתח ההדקים קטן מהכא"מ ב־$Ir$.

בחירת הנקודה: ההתנגדות המקסימלית מתקבלת כאשר המגע $S$ בקצה $L$ – כל הנגד בתוך המעגל. לפי $I=\frac{\varepsilon}{R+r}$, ככל שההתנגדות החיצונית גדולה יותר הזרם קטן יותר. לכן ההתנגדות המקסימלית מתאימה לנקודה שבה הזרם מזערי – $M_1$ ($I=0.5\,\text{A}$, $P=3.5\,\text{W}$). (הנקודה השנייה בקצה, $M_5$, היא המגע בקצה $K$: $R=0$ ולכן $P=0$.)

החישוב: ההספק המתפתח בנגד:

הצבה:

טעות נפוצה: לבחור את $M_3$ (ההספק המרבי) – הספק מרבי מתקבל כאשר $R=r$, לא כאשר $R$ מרבית.

ההספק בנגד המשתנה שווה למתח ההדקים כפול הזרם:

בוחרים שתי נקודות מהגרף:

נקודה $M_5$ ($I=4\,\text{A}$, $P=0$): המגע בקצה $K$, ההתנגדות החיצונית אפס (קצר):

נקודה $M_3$ ($I=2\,\text{A}$, $P=8\,\text{W}$):

מציבים $\varepsilon=4r$:

בדיקה בנקודות נוספות: $M_2$: $8\cdot 1-2\cdot 1^2=6\,\text{W}$ ✓; $M_4$: $8\cdot 3-2\cdot 9=6\,\text{W}$ ✓; $M_1$: $8\cdot 0.5-2\cdot 0.25=3.5\,\text{W}$ ✓.

(דרך נוספת: ההספק מרבי כאשר $R=r$, ואז $I=\frac{\varepsilon}{2r}=2\,\text{A}$; בקצר $I=\frac{\varepsilon}{r}=4\,\text{A}$ – אותה תוצאה.)

קביעה: לא – ההספק המבוזבז בסוללה שונה.

ההספק המבוזבז בסוללה הוא ההספק המתפתח בהתנגדות הפנימית שלה:

הוא תלוי רק בזרם, והזרם שונה בשתי הנקודות ($1\,\text{A}$ ב־$M_2$ ו־$3\,\text{A}$ ב־$M_4$):

ההספק המבוזבז גדול יותר ב־$M_4$, פי

(בהתאם לכך, ההספק הכולל שהסוללה מפיקה, $\varepsilon I$, הוא $8\,\text{W}$ ב־$M_2$ ו־$24\,\text{W}$ ב־$M_4$; בשתיהן $6\,\text{W}$ מנוצלים בנגד.)

קביעה: היגד 3.

- מד־הזרם (אידיאלי – התנגדותו אפס) מחובר עכשיו ישירות על הדקי הסוללה, כלומר הוא מקצר אותה. הזרם דרכו:

- מד־המתח (אידיאלי – התנגדותו אין־סופית) מחובר בטור לנגד המשתנה. לכן בענף של הנגד המשתנה לא זורם זרם כלל, ואין מפל מתח על $R_{LK}$ – בלי קשר למיקום של $S$. מד־המתח מודד את המתח שבין הדקי הסוללה, שהוא מתח ההדקים:

(הדקי הסוללה מקוצרים על ידי מד־הזרם, ולכן המתח ביניהם אפס.)

ההוריות $I=4\,\text{A}$, $V=0$ זהות להוריות בנקודה $M_5$ (המגע ב־$K$, קצר: $I=4\,\text{A}$, $V=0$, $P=0$).