בגרות בפיזיקה חשמל ומגנטיות 36371 - קיץ 2025

על כדור $B$ פועלים שלושה כוחות, כולם לאורך הקו האנכי:

1. כוח הכובד $mg$ – מופעל על ידי כדור הארץ, כיוונו אנכית כלפי מטה.

2. כוח המתיחות $T_B$ – מופעל על ידי החוט שקשור לזרוע 2, כיוונו אנכית כלפי מעלה (לאורך החוט, אל הזרוע).

3. הכוח החשמלי $F_E$ – מופעל על ידי כדור $A$. המטענים מנוגדים בסימן ולכן הכוח הוא כוח משיכה: כיוונו מ־$B$ אל $A$, כלומר אנכית כלפי מטה.

הכדור במנוחה, ולכן שקול הכוחות עליו אפס.

טעות נפוצה: לסמן את הכוח החשמלי כלפי מעלה – המטענים מנוגדים, ו־$A$ נמצא מתחת ל־$B$, ולכן $A$ מושך את $B$ כלפי מטה.

הכדור במנוחה, ולכן לפי החוק השני של ניוטון שקול הכוחות בציר האנכי אפס (כיוון חיובי – מעלה):

לפי חוק קולון מדף הנוסחאות, גודל הכוח החשמלי בין שני הכדורים (המטען מפולג באופן אחיד, ולכן מתייחסים אליהם כאל מטענים נקודתיים במרכזיהם):

מציבים:

כאשר $k=9\cdot 10^9\,\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$ ו־$g=10\,\text{m/s}^2$.

לפי הביטוי מסעיף א(2):

זהו ביטוי מהצורה $y=ax+b$ אם בוחרים $y=T_B$ ו־$x=\frac{1}{r^2}$. לכן המשתנה החדש הוא $\frac{1}{r^2}$, ויחידותיו $\frac{1}{\text{m}^2}=\text{m}^{-2}$. הגרף של $T_B$ כפונקצייה של $\frac{1}{r^2}$ הוא קו ישר ששיפועו $kq^2$ וחיתוכו עם הציר האנכי $mg$.

(לדוגמה: $\frac{1}{0.16^2}=\frac{1}{0.0256}\approx 39.1\,\text{m}^{-2}$.)

טעות נפוצה: לבחור $\frac{1}{r}$ כמשתנה – הכוח החשמלי תלוי ב־$\frac{1}{r^2}$, ולכן רק עם $\frac{1}{r^2}$ מתקבל קו ישר.

ציר אופקי: $\frac{1}{r^2}$ ביחידות $\text{m}^{-2}$ (טווח מ־$0$ עד כ־$45$). ציר אנכי: $T_B$ בניוטון (טווח מ־$0$ עד כ־$0.45$). כדאי להתחיל את שני הצירים מאפס, כדי שאפשר יהיה לקרוא בהמשך את נקודת החיתוך עם הציר האנכי.

הנקודות $(\frac{1}{r^2}\,[\text{m}^{-2}],\,T_B\,[\text{N}])$:

$(39.1,\,0.41)$, $(30.9,\,0.33)$, $(25.0,\,0.28)$, $(20.7,\,0.25)$, $(17.4,\,0.21)$.

הנקודות מסתדרות בקירוב לאורך קו ישר עולה – כצפוי מהביטוי $T_B=kq^2\cdot\frac{1}{r^2}+mg$.

מעבירים קו ישר אחד בין הנקודות, כך שהן מפוזרות סביבו משני צדיו בערך באופן שווה. ממשיכים את הקו עד הציר האנכי. הקו אינו עובר בראשית – הוא חותך את הציר האנכי בערך חיובי ($mg$).

שיפוע הקו – משתי נקודות על הקו, רחוקות זו מזו, למשל $(15\,\text{m}^{-2},\,0.193\,\text{N})$ ו־$(40\,\text{m}^{-2},\,0.418\,\text{N})$:

חיתוך עם הציר האנכי: $\approx 0.058\,\text{N}$.

(התאמה בשיטת הריבועים הפחותים נותנת שיפוע $0.00896\,\text{N}\cdot\text{m}^2$ וחיתוך $0.0577\,\text{N}$ – בהתאמה טובה.)

טעות נפוצה: לחשב שיפוע משתי נקודות של הטבלה במקום משתי נקודות על הקו, או להכריח את הקו לעבור בראשית.

משווים את משוואת הקו לביטוי התאורטי:

המטען – מהשיפוע:

המסה – מנקודת החיתוך עם הציר האנכי:

(התוצאות תלויות מעט בקו שסרטטתם; ערכים כמו $|q|\approx 1\cdot 10^{-6}\,\text{C}$ ו־$m\approx 5$–$6\,\text{g}$ תקינים.)

טעות נפוצה: להחליף בין השיפוע לחיתוך – החיתוך (ערך $T_B$ כאשר $\frac{1}{r^2}\to 0$, כלומר כשהכדורים רחוקים מאוד) הוא המתיחות בלי כוח חשמלי, כלומר $mg$.

קביעה: החוט של כדור $B$ נקרע ראשון.

נימוק: בכל מרחק $r$ גודל הכוח החשמלי על כל אחד מהכדורים זהה, $F_E=\frac{kq^2}{r^2}$ (החוק השלישי של ניוטון), וכוח המשיכה מושך כל כדור לעבר הכדור האחר.

- כדור $B$ (תלוי מלמעלה): הכובד $mg$ והכוח החשמלי $F_E$ פועלים שניהם כלפי מטה, והמתיחות $T_B$ כלפי מעלה:

- כדור $A$ (קשור מלמטה לזרוע 1): הכוח החשמלי $F_E$ כלפי מעלה (אל $B$), הכובד $mg$ כלפי מטה, וגם מתיחות החוט $T_A$ כלפי מטה (החוט קשור לזרוע שמתחתיו). שיווי משקל:

לכן בכל רגע $T_B-T_A=2mg>0$ – המתיחות בחוט של $B$ גדולה תמיד מזו שבחוט של $A$. כשמקרבים את הכדורים $F_E$ גדל ושתי המתיחויות גדלות, ו־$T_B$ מגיע ראשון לערך $T_{\max}$ (המשותף לשני החוטים). לכן החוט של $B$ נקרע ראשון.

טעות נפוצה: להסיק ש"שני החוטים נקרעים יחד כי הכוח החשמלי על שני הכדורים שווה" – הכובד פועל על שני הכדורים באותו כיוון (מטה), ולכן אצל $B$ הוא מצטרף לכוח החשמלי ואצל $A$ הוא מתנגד לו.

המעגל הוא לולאה אחת: הדק אחד של מקור המתח ($\varepsilon,r$) מחובר בתיל לקצה אחד של הנגד $R_1$, והקצה השני של $R_1$ מחובר בתיל להדק השני של המקור. דרך המקור ודרך $R_1$ עובר אותו זרם $I$.

מד המתח מחובר במקביל למקור המתח – בין שני הדקיו (ובאותו אופן בין שני קצות $R_1$, כי התילים חסרי התנגדות). מד המתח אידאלי, ולכן לא עובר בו זרם.

מתח ההדקים מדף הנוסחאות:

מתח ההדקים הוא גם המתח על הנגד $R_1$. לפי חוק אוהם $V=IR$:

(בדיקה: $I=\frac{\varepsilon}{R_1+r}=\frac{20}{8+2}=2\,\text{A}$ ✓.)

טעות נפוצה: לחשב $R_1=\frac{\varepsilon}{I}$ או $\frac{20}{16}$ – המתח על הנגד הוא מתח ההדקים, לא הכא"מ.

מבנה המעגל (תרשים 1): הנגד $R_1$ מחובר בין הנקודה $M$ לבין המגע $P$, כלומר במקביל לקטע $MP$ של הנגד המשתנה. הצירוף המקבילי הזה מחובר בטור לקטע $PN$ ולמקור המתח. $V_1$ מודד את המתח על הצירוף המקבילי, ו־$V_2$ מודד את מתח ההדקים, שהוא המתח על כל החלק החיצוני: $V_2=V_{MP}+V_{PN}$.

קביעה: $V_1$ קטן מ־$\frac{V_2}{2}$.

נימוק: כש־$P$ באמצע, $R_{MP}=R_{PN}=\frac{R_{MN}}{2}$. ההתנגדות השקולה של צירוף מקבילי קטנה מכל אחת מההתנגדויות שבו:

דרך הצירוף המקבילי ודרך $PN$ עובר אותו זרם $I$ (חיבור בטור), ולכן לפי חוק אוהם:

מאחר ש־$V_2=V_1+V_{PN}$ ו־$V_1<V_{PN}$, מתקבל $V_2>2V_1$, כלומר

טעות נפוצה: לטעון שהמתח מתחלק שווה בשווה "כי המגע באמצע" – זה נכון רק בלי $R_1$; הנגד המחובר במקביל מקטין את ההתנגדות של החצי $MP$.

הזרם הכולל. $V_2$ הוא מתח ההדקים:

הזרם דרך $R_1$. על $R_1$ המתח הוא $V_1=12\,\text{V}$, ו־$R_1=8\,\Omega$ (סעיף א):

הזרם דרך $MP$. לפי חוק הזרמים של קירכהוף ($\Sigma I=0$ בצומת), הזרם הכולל מתפצל בין $R_1$ לבין הקטע $MP$:

ההתנגדות. על הקטע $MP$ אותו מתח כמו על $R_1$ (חיבור במקביל), $12\,\text{V}$:

טעות נפוצה: להניח שכל הזרם $2.5\,\text{A}$ עובר דרך $MP$ ולקבל $4.8\,\Omega$ – זו ההתנגדות השקולה של $MP$ ו־$R_1$ יחד.

המתח על הקטע $PN$ (חוק המתחים של קירכהוף – מתח ההדקים מתחלק בין הצירוף המקבילי לבין $PN$):

דרך $PN$ עובר כל הזרם $I=2.5\,\text{A}$:

הנגד המשתנה כולו הוא שני הקטעים בטור:

כשהמפסק פתוח, הענף שמחובר למגע $P$ מכיל רק את המפסק הפתוח ואת מד המתח האידאלי – לא עובר בו זרם. לכן הזרם עובר דרך הנגד המשתנה כולו ($M$ עד $N$), והזזת $P$ אינה משנה את ההתנגדות במעגל:

$V_2$ – לא ישתנה: $V_2=\varepsilon-Ir$, ו־$I$ קבוע.

$V_1$ – יגדל: מד המתח $V_1$ מחובר (דרך התילים) בין $M$ לבין $P$, ולכן הוא מודד את המתח על הקטע $MP$:

כש־$P$ זז לעבר $N$ הקטע $MP$ מתארך, $R_{MP}$ גדל ו־$V_1$ גדל (עד $V_1=V_2$ כש־$P$ מגיע ל־$N$).

כשהמפסק סגור, הוא מחבר בתיל חסר התנגדות את $M$ ל־$P$ – הקטע $MP$ מקוצר. הזרם עובר דרך המפסק ואחר כך רק דרך הקטע $PN$.

$V_1$ – לא ישתנה: מד המתח $V_1$ מחובר במקביל למפסק הסגור, שהתנגדותו אפס. המתח על המפסק $V=IR=I\cdot 0=0$, ולכן $V_1=0$ בכל מקום של $P$.

$V_2$ – יקטן: ההתנגדות החיצונית היא $R_{PN}$ בלבד. כש־$P$ זז לעבר $N$, $R_{PN}$ קטן, ולכן הזרם $I=\frac{\varepsilon}{R_{PN}+r}$ גדל ומתח ההדקים

קטן (בקצה, כש־$P$ מגיע ל־$N$, המקור מקוצר ו־$V_2\to 0$).

טעות נפוצה: לחשוב שכשהזרם גדל גם $V_2$ גדל – $V_2$ הוא מתח ההדקים, והוא קטן כשהזרם גדל בגלל המפל על ההתנגדות הפנימית.

מדף הנוסחאות, מתח ההדקים:

זוהי משוואת קו ישר $V=-r\cdot I+\varepsilon$: השיפוע הוא $-r$, והחיתוך עם הציר האנכי ($I=0$) הוא $\varepsilon$.

שיפוע – משתי נקודות רחוקות על הקו המקווקו, למשל $(1.33\,\text{A},\,14\,\text{V})$ ו־$(4.5\,\text{A},\,4.5\,\text{V})$:

לכן $r\approx 3\,\Omega$.

הכא"מ – מציבים נקודה על הקו במשוואה:

(שקול להמשכת הקו עד $I=0$.)

בדיקה בנקודה $(2.67\,\text{A},\,10\,\text{V})$: $18-2.67\cdot 3=10\,\text{V}$ ✓.

טעות נפוצה: לקרוא את $\varepsilon$ כנקודה העליונה בגרף ($14\,\text{V}$) – יש להמשיך את הקו עד $I=0$.

ההספק המנוצל הוא ההספק שנמסר לחלק החיצוני של המעגל (הנגד המשתנה). מדף הנוסחאות:

כאשר $V$ הוא מתח ההדקים (המתח על החלק החיצוני) ו־$I$ הזרם במעגל.

ממשוואת מתח ההדקים מבטאים את הזרם באמצעות $V$:

מציבים:

זוהי פרבולה "בוכה" ב־$V$ – בהתאם לצורת הגרף בתרשים 3.

המים יתחממו בזמן הקצר ביותר כאשר ההספק שנמסר לנגד (ההספק המנוצל) מרבי.

המתח בהספק המרבי. לפי סעיף ב, $P(V)=-\frac{V^2}{r}+\frac{\varepsilon V}{r}$ היא פרבולה שקודקודה (המקסימום) באמצע בין שני האפסים $V=0$ ו־$V=\varepsilon$:

(כך גם בגרף שבתרשים 3: השיא בערך $V=9\,\text{V}$, $P\approx 27\,\text{W}$; ואכן $P_{\max}=-\frac{81}{3}+\frac{18\cdot 9}{3}=27\,\text{W}$.)

ההתנגדות. לפי תרשים 1, הזרם נכנס לנגד המשתנה במגע $Q$ ויוצא בקצה $N$ (הקצה $M$ אינו מחובר), ולכן ההתנגדות שבמעגל היא של הקטע $QN$. לפי חוק אוהם:

כלומר ההספק המנוצל מרבי כאשר ההתנגדות החיצונית שווה להתנגדות הפנימית ($R_{QN}=r$).

טעות נפוצה: לחשוב שהמים יתחממו מהר יותר ככל שההתנגדות קטנה יותר – כשההתנגדות קטנה מאוד הזרם גדל, אבל רוב ההספק מתבזבז בהתנגדות הפנימית.

קביעה: ההיגד לא נכון.

נימוק: מדף הנוסחאות, נצילות: $\\beta=\frac{P_{\text{eff}}}{P_{\text{in}}}$. ההספק המושקע (שהמקור מפיק) הוא $P_{\text{in}}=\varepsilon I$, וההספק המנוצל $P_{\text{eff}}=VI$:

במצב של הספק מנוצל מרבי (סעיף ג) $V=\frac{\varepsilon}{2}=9\,\text{V}$, ולכן

הנצילות גדלה ככל ש־$V$ גדול יותר, כלומר ככל שהזרם קטן יותר (התנגדות חיצונית גדולה) – למשל במדידה שבה $V=14\,\text{V}$ הנצילות היא $\frac{14}{18}\approx 78\%$. לכן הנצילות אינה מרבית במצב של חימום מהיר ביותר: מחצית מההספק מתבזבזת בהתנגדות הפנימית.

טעות נפוצה: לבלבל בין הספק מנוצל מרבי לבין נצילות מרבית – אלה שני מצבים שונים.

קביעה: ההיגד נכון.

נימוק: הספק הוא אנרגייה ליחידת זמן ($P=\frac{W}{\Delta t}$), ולכן כל יחידת אנרגייה חלקי יחידת זמן היא יחידת הספק. אלקטרון־וולט היא יחידה של אנרגייה – האנרגייה שמקבל מטען יסודי $e$ כשהוא עובר הפרש פוטנציאלים של $1\,\text{V}$ ($W=qV$). מדף הנוסחאות:

לכן $\frac{\text{eV}}{\text{s}}$ היא יחידת הספק:

זו יחידה קטנה מאוד ולא נוחה למעגלים רגילים, אבל היא יחידה תקינה של הספק.

טעות נפוצה: לחשוב ש־$\text{eV}$ היא יחידה של מתח בגלל ה־"V" – היא יחידה של אנרגייה.

קביעה: גרף 2.

נימוק: מד המתח מחובר ישירות להדקי מקור המתח, ולכן הוא מודד את מתח ההדקים

גם בניסוי השני. מד הזרם נמצא מחוץ לקטע שמד המתח מודד, ולכן התנגדותו אינה משנה את הקשר בין $V$ ל־$I$: לכל ערך של הזרם מתח ההדקים תלוי רק ב־$\varepsilon$ וב־$r$ של המקור, שלא השתנו. מכאן שכל הנקודות של שני הניסויים נמצאות על אותו קו ישר – אותו חיתוך $\varepsilon$ ואותו שיפוע $-r$. זה פוסל את גרפים 1, 3 ו־4, שבהם הקו המקווקו שונה מהרציף.

מה כן משתנה: מיקומי המגע $Q$ זהים, אבל כעת במעגל יש גם את התנגדות מד הזרם $R_A$, ולכן בכל מיקום הזרם קטן יותר:

כל נקודת "+" זזה לאורך אותו קו לזרם קטן יותר ולמתח גדול יותר (שמאלה ומעלה) ביחס לנקודת ה־"○" המתאימה – בדיוק כמו בגרף 2.

טעות נפוצה: לבחור בגרף 1 או 3 מתוך מחשבה שהתנגדות מד הזרם "מצטרפת" להתנגדות הפנימית – היא הייתה מצטרפת רק אילו מד הזרם היה בתוך הקטע שמד המתח מודד.

קביעה: איור $a$.

נימוק: במרכז הכריכות פועלים על מחט המצפן שני שדות מגנטיים אופקיים:

- הרכיב האופקי של השדה המגנטי של כדור הארץ, $B_{E\parallel}$ – כיוונו צפונה.

- השדה של מערכת כריכות 2, $B_2$ – ניצב למישור הכריכות. מישור הכריכות הוא בכיוון צפון–דרום, ולכן $B_2$ בכיוון מזרח–מערב.

כיוון $B_2$ (כלל יד ימין): בתרשים 2 הצפון מימין, ובחלק העליון של הכריכה הזרם נע ימינה (צפונה) ואז יורד בצד ימין – כלומר, מנקודת המבט של המתבונן בתרשים, הזרם נע בכיוון מחוגי השעון. לכן השדה במרכז מכוון אל תוך הדף. כשהצפון מימין והמעלה למעלה, הכיוון אל תוך הדף הוא מערב. כלומר $B_2$ מכוון מערבה.

השדה השקול נמצא בין הצפון למערב, ומחט המצפן (הקצה הצפוני שלה – הקצה הכהה, כמו בתרשים 1) מצביעה בכיוונו – צפון־מערב. במבט־על כשהצפון מימין, המערב נמצא בצד העליון של האיור, ולכן הקצה הכהה של המחט מצביע ימינה ומעלה – זה איור $a$. (באיור $b$ המחט מצביעה לצפון־מזרח.)

קביעה: איור $c$.

נימוק: מדף הנוסחאות, השדה במרכז סליל מעגלי דק:

הזרם במערכת 1 שווה בגודלו לזרם במערכת 2 ומנוגד לו במגמה, ולכן השדה $B_1$ מנוגד בכיוונו ל־$B_2$ (מזרחה). מספר הכריכות שווה, והרדיוס של מערכת 1 גדול יותר ($R_1=0.15\,\text{m}>R_2=0.10\,\text{m}$), ולכן השדה שלה קטן יותר:

השדה השקול של הכריכות הוא $B_2-B_1=\frac{1}{3}B_2$, עדיין מערבה, אך קטן פי 3 מבמקרה הראשון. לכן המחט סוטה שוב לצפון־מערב (ולא לצפון־מזרח – איור $d$ נפסל), אבל בזווית קטנה יותר: