מתכונת 1 בפיזיקה - חשמל ומגנטיות 36371

קביעה: כדור $K$ טעון במטען חיובי, כדור $M$ טעון במטען שלילי וכדור $L$ ניטרלי.

נימוק: שלושת הכדורים נוגעים זה בזה, ולכן הם מוליך אחד. במתכת יש אלקטרונים חופשיים. על אלקטרון בשדה פועל הכוח $\vec F=q\vec E$; מטענו שלילי, ולכן הכוח מנוגד לכיוון השדה – ימינה. האלקטרונים החופשיים נודדים ימינה ומצטברים בקצה הימני של המוליך (כדור $M$), ובקצה השמאלי (כדור $K$) נוצר חוסר באלקטרונים – עודף מטען חיובי. זוהי טעינה בהשראה.

כשמרחיקים את הכדורים זה מזה בתוך השדה, החוטים מבודדים ואין עוד מגע בין הכדורים, ולכן המטען שהופרד נשאר בכל כדור גם לאחר שמוציאים אותו מהשדה:

- $M$ קיבל אלקטרונים – שלילי.

- $K$ איבד אלקטרונים – חיובי.

- $L$, הכדור האמצעי, קיבל אלקטרונים מ־$K$ ומסר אלקטרונים ל־$M$ באותה כמות (המערכת סימטרית ביחס אליו): בצדו האחד עודף שלילי ובצדו השני עודף חיובי שווה – מטענו הכולל אפס, ניטרלי.

לפי שימור המטען סכום המטענים אפס, ולכן $q_K=-q_M$.

טעות נפוצה: לחשוב שהאלקטרונים נעים בכיוון השדה – הכוח על מטען שלילי מנוגד לכיוון השדה.

תרשים 2 הוא מבט מלמעלה על המשטח האופקי. על כדור $M$ בנקודה $P$ פועלים שלושה כוחות:

1. כוח הכובד $mg$ – מופעל על ידי כדור הארץ, אנכית כלפי מטה (אל תוך המשטח).

2. הכוח הנורמלי $N$ – מופעל על ידי המשטח, אנכית כלפי מעלה. אין תאוצה אנכית, ולכן $N=mg$.

3. הכוח החשמלי $F_E$ – מופעל על ידי כדור $K$. $K$ חיובי ו־$M$ שלילי, ולכן זה כוח משיכה: הוא אופקי, לאורך הקו המחבר את $P$ ל־$K$, ומכוון אל $K$ – אל מרכז המעגל (כלפי מטה בתרשים 2).

המשטח חלק, ולכן אין חיכוך. הכוח החשמלי הוא הכוח השקול, והוא הכוח הרדיאלי הגורם לתנועה המעגלית.

טעות נפוצה: להוסיף "כוח צנטריפטלי" ככוח נפרד, או כוח בכיוון המהירות – בתנועה מעגלית קצובה אין כוח בכיוון המשיק.

הכוח החשמלי הוא הכוח השקול, והוא רדיאלי. לפי החוק השני של ניוטון בכיוון הרדיאלי, עם $a_R=\frac{v^2}{r}$:

מסעיף א: $|q_K|=|q_M|$ (שימור מטען – המערכת כולה הייתה ניטרלית). נסמן $q=|q_M|$:

הצבה ($m=1\cdot10^{-3}\,\text{kg}$, $r=0.09\,\text{m}$, $k=9\cdot10^9\,\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$):

מסעיף א, $M$ טעון שלילית: $q_M=-1\cdot10^{-8}\,\text{C}=-10\,\text{nC}$ (ו־$q_K=+10\,\text{nC}$).

טעות נפוצה: לנסות לפתור עם שני נעלמים ($q_K$ ו־$q_M$) – שימור המטען נותן $|q_K|=|q_M|$.

כדור $M$ היה ניטרלי ונטען שלילית משום שנוספו לו אלקטרונים. מטען כל אלקטרון $-e$, ולכן

הצבה ($e=1.6\cdot10^{-19}\,\text{C}$):

מספר האלקטרונים בכדור $M$ גדל ב־$6.25\cdot10^{10}$ (הם הגיעו מכדורים $K$ ו־$L$).

קביעה: $K$ נע במעגל באותו רדיוס, באותה מהירות ובאותו זמן מחזור – אך בכיוון סיבוב הפוך.

נימוק: על כדור $K$ פועל כעת כוח המשיכה החשמלי של $M$ הקבוע, ומכוון אל $M$ – אל מרכז המעגל. גודלו לפי חוק קולון:

זהו בדיוק הגודל של הכוח שפעל קודם על $M$: אותם מטענים בגודלם ואותו מרחק (לפי החוק השלישי של ניוטון הכוחות ההדדיים שווים בגודלם). גם המסה של $K$ שווה למסה של $M$ (כדורים זהים), והמהירות ההתחלתית ניצבת לקו המחבר ושווה בגודלה. לכן שוב מתקיים

כלומר הכוח הוא בדיוק הכוח הרדיאלי הדרוש לתנועה מעגלית קצובה ברדיוס $r$ במהירות $v_0$.

הכוח החשמלי אינו תלוי בכיוון המהירות – הוא תמיד מכוון אל המרכז. לכן היפוך כיוון המהירות ההתחלתית רק הופך את כיוון הסיבוב: אם $M$ הסתובב נגד כיוון השעון, $K$ יסתובב עם כיוון השעון.

טעות נפוצה: לחשוב שהיפוך כיוון המהירות או החלפת הכדור החיובי בשלילי משנים את המסלול – גודל הכוח, המסה וגודל המהירות זהים, ולכן הרדיוס זהה.

קביעה: $K$ חיובי, $L$ שלילי ו־$M$ ניטרלי.

נימוק: יריעת הפלסטיק מבודדת, ולכן אלקטרונים אינם יכולים לעבור דרכה מ־$L$ אל $M$. כעת יש שני מוליכים נפרדים:

- $K$ ו־$L$ נוגעים זה בזה ומהווים מוליך אחד. האלקטרונים החופשיים בו נודדים ימינה (נגד כיוון השדה) ומצטברים בקצה הימני של מוליך זה – בכדור $L$. בכדור $K$ נוצר חוסר באלקטרונים. כשמפרידים ביניהם בתוך השדה: $L$ שלילי ו־$K$ חיובי (בגודל שווה, לפי שימור המטען).

- $M$ מבודד משאר הכדורים. בתוך השדה הוא רק מתקטב – האלקטרונים בו נודדים לצדו הימני – אך אין לאן להעביר אלקטרונים, ומטענו הכולל נשאר אפס. כשמוציאים אותו מהשדה הקיטוב נעלם, ו־$M$ ניטרלי.

טעות נפוצה: לענות כמו בסעיף א – הטעינה בהשראה דורשת מגע מוליך שדרכו האלקטרונים עוברים; כאן "קצה המוליך" הוא $L$ ולא $M$.

השדה בין הלוחות. בין לוחות הקבל השדה החשמלי אחיד ואופקי (ניצב ללוחות). לכן הפרש הפוטנציאלים בין $K$ ל־$L$ תלוי רק במרחק ביניהן בכיוון השדה – המרחק האופקי; ההפרש בגובה אינו משנה (תזוזה ניצבת לשדה אינה משנה פוטנציאל). מדף הנוסחאות:

המתח על הקבל. מדף הנוסחאות $E=\frac{V_{AB}}{d}$:

הקיבול. מהגדרת הקיבול:

טעות נפוצה: להשתמש במרחק הישר (האלכסוני) בין $K$ ל־$L$ – רק הרכיב שבכיוון השדה קובע את הפרש הפוטנציאלים.

מדף הנוסחאות, קיבול של קבל לוחות:

(כ־$254\,\text{cm}^2$, למשל ריבוע שצלעו כ־$16\,\text{cm}$.)

כיוון הכוח. הלוח השמאלי חיובי והימני שלילי, ולכן השדה בין הלוחות מכוון ימינה. על האלקטרון (מטען שלילי) פועל כוח חשמלי $F=eE$ שמאלה – הכוח בולם את האלקטרון בתנועתו ימינה.

כוח הכובד זניח: $m_eg\approx 9.1\cdot 10^{-30}\,\text{N}$ לעומת $eE=1.6\cdot 10^{-19}\cdot 8000\approx 1.3\cdot 10^{-15}\,\text{N}$.

המהירות המינימלית היא זו שבה האלקטרון מגיע ללוח הימני בדיוק במהירות אפס. לפי משפט עבודה–אנרגייה:

העבודה של הכוח החשמלי מהלוח השמאלי לימני ($W_{AB}=qV_{AB}$, עם $q=-e$ ו־$V_{\text{שמאל}}-V_{\text{ימין}}=+160\,\text{V}$):

הצבה:

טעות נפוצה: להציב $40\,\text{V}$ – האלקטרון עובר את כל המרחק בין הלוחות, כלומר את כל המתח $160\,\text{V}$.

קביעה: המהירות המינימלית לא תשתנה.

נימוק: הקבל מחובר למקור, ולכן המתח בין הלוחות נשאר $V=160\,\text{V}$. לפי סעיף ב:

הביטוי תלוי רק במתח בין הלוחות. כשמרחיקים את הלוחות השדה קטן ($E=\frac{V}{d}$), אבל הדרך ארוכה יותר – והעבודה $eEd=eV$ נשארת זהה.

קביעה: המהירות המינימלית תגדל.

נימוק: לאחר הניתוק המטען על הלוחות קבוע. כשמרחיקים את הלוחות הקיבול קטן:

ולכן המתח גדל:

(השדה $E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ נשאר קבוע, והדרך ארוכה יותר, ולכן $V=Ed$ גדל.)

לפי $v_0=\sqrt{\frac{2eV}{m_e}}$, כשהמתח גדל המהירות המינימלית גדלה.

טעות נפוצה: לענות כמו במקרה (1) – כשהקבל מנותק המטען (ולא המתח) הוא שנשמר.

הקיבול $C_2$. לפי $C=\frac{\varepsilon_0A}{d}$, אותו מרחק ושטח גדול פי 3:

חיבור בטור (תרשים 2א). בחיבור בטור (קבלים שלא היו טעונים) המטען על שני הקבלים שווה:

וסכום המתחים הוא מתח המקור: $V_1+V_2=160\,\text{V}$. מכאן

(דרך הקבל השקול: $\frac{1}{C_{eq}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{3C_1}\Rightarrow C_{eq}=\frac34C_1$; $Q=C_{eq}V=\frac34\cdot 1.8=1.35\,\text{nC}$; $V_1=\frac{Q}{C_1}=\frac{1.35}{1.8}\cdot 160=120\,\text{V}$ ✓.)

חיבור במקביל (תרשים 2ב). על כל קבל אותו מתח, מתח המקור:

טעות נפוצה: לחשוב שבטור הקבל הגדול "מקבל יותר מתח" – בטור המטען שווה, ולכן על הקבל בעל הקיבול הגדול המתח קטן.

קביעה: המטען על $C_1$ לא השתנה, ונשאר $Q=1.8\,\text{nC}$.

נימוק: כשהמקור מחובר (תרשים 2 ב) המתח על $C_1$ הוא $V=160\,\text{V}$, ולכן $Q_1=C_1V=1.8\,\text{nC}$ (כמו בניסוי הראשון).

- ניתוק המקור: אין עוד מסלול שדרכו מטען יכול לצאת מן המערכת או להיכנס אליה. שני הקבלים נמצאים באותו מתח, ולכן גם ביניהם לא זורם מטען – המטען על כל קבל נשאר כשהיה.

- ניתוק $C_2$ מ־$C_1$: לוחות $C_1$ מבודדים כעת לגמרי, ולכן המטען עליהם נשמר.

- הרחקת לוחות $C_2$: הקיבול של $C_2$ קטן פי 2 והמתח עליו גדל (המטען שלו נשמר), אבל $C_2$ כבר אינו מחובר ל־$C_1$, ולכן שום מטען אינו עובר אל $C_1$.

טעות נפוצה: לחשוב שהמקור "מחזיק" את המטען, ושניתוקו מרוקן את הקבל – או שהרחקת לוחות $C_2$ דוחפת מטען אל $C_1$. זה היה קורה רק אילו $C_2$ היה עדיין מחובר ל־$C_1$.

קביעה: לרכיב $X$ יש התנגדות קבועה.

נימוק: לפי חוק אוהם $V=RI$, ההתנגדות היא היחס $R=\frac{V}{I}$. הגרף של $X$ הוא קו ישר העובר בראשית – הזרם יחסי ישר למתח, והיחס $\frac{V}{I}$ זהה בכל נקודה:

הגרף של $Y$ אינו קו ישר: עד מתח של כ־$2\,\text{V}$ כמעט אינו עובר בה זרם, ומעבר לכך הזרם גדל בקצב הולך וגדל. היחס $\frac{V}{I}$ משתנה – למשל ב־$2.5\,\text{V}$: $\frac{2.5}{0.075}\approx 33\,\Omega$, וב־$3.5\,\text{V}$: $\frac{3.5}{0.675}\approx 5.2\,\Omega$. התנגדות $Y$ קטנה עם המתח.

טעות נפוצה: לחשב התנגדות כשיפוע המשיק לגרף – ההתנגדות היא היחס $\frac{V}{I}$ בנקודה.

מסעיף א, התנגדות התיל: $R=10\,\Omega$.

מדף הנוסחאות, התנגדות של מוליך:

ממירים את שטח החתך: $A=0.25\,\text{mm}^2=0.25\cdot 10^{-6}\,\text{m}^2$.

טעות נפוצה: להמיר $\text{mm}^2$ ל־$\text{m}^2$ בגורם $10^{-3}$ במקום $10^{-6}$.

במעגל שבתרשים 2 הרכיבים $X$ ו־$Y$ מחוברים בטור, ולכן עובר בשניהם אותו זרם. בנוסף נמדד שהמתחים עליהם שווים.

יש למצוא בתרשים 1 מצב שבו לשני הרכיבים אותו זרם ואותו מתח (מלבד הראשית, שבה אין זרם כלל) – זו נקודת החיתוך של שני הגרפים:

(בדיקה ל־$X$: $I=\frac{3.0}{10}=0.30\,\text{A}$.)

מתח ההדקים של המקור שווה לסכום המתחים על הרכיבים המחוברים בטור (חוק המתחים של קירכהוף):

($M$ הוא ההדק החיובי – הקו הארוך בסמל המקור – ולכן $V_{MN}$ חיובי.)

במעגל שבתרשים 3 הרכיבים מחוברים במקביל בין הדקי המקור, ולכן המתח על שניהם זהה: $V_X=V_Y=3.4\,\text{V}$.

הזרם בנורית $Y$ – מהגרף של $Y$ ב־$V=3.4\,\text{V}$:

הזרם בתיל $X$ (חוק אוהם):

הזרם במקור – לפי חוק הזרמים של קירכהוף:

טעות נפוצה: לחשב את הזרם בנורית לפי $R=10\,\Omega$ או לפי ההתנגדות שלה מסעיף ג – התנגדות הנורית משתנה, ויש לקרוא את הזרם מהגרף.

מדף הנוסחאות, מתח ההדקים:

אותו מקור שימש בשני המעגלים, ולכן יש שתי משוואות:

מעגל ראשון ($V=6.0\,\text{V}$, $I=0.30\,\text{A}$):

מעגל שני (מתח הרכיבים המקבילים הוא מתח ההדקים, $V=3.4\,\text{V}$, $I=0.93\,\text{A}$):

מחסרים:

מציבים במשוואה הראשונה:

(הערכים תלויים מעט בקריאת הגרף; $r\approx 4.0$–$4.2\,\Omega$ ו־$\varepsilon\approx 7.2\,\text{V}$.)

טעות נפוצה: להניח שמתח ההדקים שווה לכא"מ – הוא קטן מהכא"מ, וההפרש $Ir$ גדל עם הזרם.

קביעה: המתח שנמדד קטן מ־$3.0\,\text{V}$.

נימוק: לוולטמטר לא אידיאלי יש התנגדות סופית $R_V$, והוא מחובר במקביל לנורית – עובר בו זרם, ואין הוא רק "מסתכל" על המעגל.

נניח בשלילה שהמתח על הנורית לא קטן, כלומר $V_Y'\ge 3.0\,\text{V}$. אז לפי הגרף הזרם בנורית לפחות $0.30\,\text{A}$, ובנוסף עובר זרם בוולטמטר – הזרם הכולל, שעובר גם בתיל $X$, גדול מ־$0.30\,\text{A}$. לכן המתח על $X$ גדול מ־$3.0\,\text{V}$, וסכום המתחים בחלק החיצוני גדול מ־$6.0\,\text{V}$. אבל מתח ההדקים $\varepsilon-Ir$ קטן מ־$6.0\,\text{V}$ כשהזרם גדל. סתירה.

לכן $V_Y'<3.0\,\text{V}$: חיבור הוולטמטר הקטין את ההתנגדות של הקטע שעליו הוא מודד, הזרם בכל המעגל גדל, המתח על $X$ ועל ההתנגדות הפנימית גדל – וחלקו של קטע הנורית במתח קטן.

טעות נפוצה: לטעון שהמתח לא משתנה "כי וולטמטר רק מודד" – וולטמטר לא אידיאלי משנה את המעגל.

החיישן אופס לפני שהמגנט נתלה עליו. כאשר לא עובר זרם בתיל ($I=0$), אין כוח מגנטי בין התיל למגנט. המגנט במנוחה, ולכן הכוח שהחיישן מפעיל עליו שווה לכוח הכובד שלו: $2.400\,\text{N}$.

מדף הנוסחאות: $F=mg$, ולכן

קביעה: התלמידה לא שינתה את כיוון הזרם.

נימוק: השדה המגנטי מפעיל על התיל נושא הזרם כוח $F=I\ell B\sin\alpha$ בכיוון אנכי (ניצב לתיל ולשדה האופקי). לפי החוק השלישי של ניוטון, התיל מפעיל על המגנט כוח שווה בגודלו ומנוגד בכיוונו – והוא משנה את הוריית החיישן.

•כאשר הזרם בכיוון שבתרשים ($2\,\text{A}$), ההורייה קטנה מ־$2.400$ ל־$2.394\,\text{N}$: התיל דוחף את המגנט כלפי מעלה, והחיישן צריך להחזיק פחות.

•אילו התלמידה הייתה הופכת את כיוון הזרם, הכוח היה מתהפך: התיל היה מושך את המגנט כלפי מטה, וההורייה הייתה גדולה מ־$2.400\,\text{N}$.

בכל המדידות ההורייה קטנה מ־$2.400\,\text{N}$ (וקטנה יותר ככל שהזרם גדל), ולכן כיוון הכוח – וכיוון הזרם – לא השתנו.

קביעה: $D$ הוא הקוטב הדרומי.

1. כיוון הכוח על התיל. מסעיף ב, על המגנט פועל כוח מגנטי כלפי מעלה. לפי החוק השלישי של ניוטון, המגנט מפעיל על התיל כוח שווה בגודלו וכלפי מטה.

2. כיוון השדה. השדה בין הקטבים אופקי, לאורך הקו שבין $D$ (משמאל) ל־$E$ (מימין). הכוח על תיל נושא זרם נקבע לפי $\vec F=I\vec\ell\times\vec B$ (כלל יד ימין): האצבעות בכיוון הזרם – החוצה מהדף – מכופפות לכיוון השדה, והאגודל מראה את כיוון הכוח.

•אם השדה מכוון ימינה (מ־$D$ אל $E$): הזרם החוצה מהדף והשדה ימינה נותנים כוח כלפי מעלה על התיל – בסתירה לשלב 1.

•אם השדה מכוון שמאלה (מ־$E$ אל $D$): הכוח על התיל כלפי מטה – בהתאם לשלב 1.

לכן השדה בין הקטבים מכוון מ־$E$ אל $D$.

3. הקוטב. קווי השדה המגנטי יוצאים מהקוטב הצפוני ונכנסים לקוטב הדרומי. השדה מכוון מ־$E$ אל $D$, ולכן $E$ הוא הקוטב הצפוני ו־$D$ הוא הקוטב הדרומי.

טעות נפוצה: לקבוע את כיוון הכוח על התיל לפי השינוי בהורייה בלי להפעיל את החוק השלישי – החיישן מודד את הכוח על המגנט, שהוא הפוך לכוח על התיל.

ציר אופקי: עוצמת הזרם $I$ באמפר (טווח $0$–$10\,\text{A}$). ציר אנכי: הכוח $F$ בניוטון (טווח $0$–$0.035\,\text{N}$).

הנקודות $(I\,[\text{A}],\,F\,[\text{N}])$:

$(0,\,0)$, $(2,\,0.006)$, $(4,\,0.013)$, $(6,\,0.017)$, $(8,\,0.025)$, $(10,\,0.029)$.

הנקודות מסתדרות בקירוב לאורך קו ישר עולה שעובר דרך הראשית.

מעבירים קו ישר אחד בין הנקודות, כך שהן מפוזרות סביבו משני צדיו בערך באופן שווה. הקו עובר דרך הראשית – כצפוי, כי בלי זרם אין כוח מגנטי ($F=I\ell B$ יחסי ל־$I$).

שיפוע הקו – משתי נקודות על הקו (לא מנקודות הטבלה), רחוקות זו מזו: $(0,\,0)$ ו־$(10\,\text{A},\,0.030\,\text{N})$:

(התאמה בשיטת הריבועים הפחותים דרך הראשית נותנת כ־$2.98\cdot 10^{-3}\,\text{N/A}$ – בהתאמה טובה.)

מדף הנוסחאות, גודל הכוח הפועל על תיל נושא זרם בשדה מגנטי:

התיל ניצב לקווי השדה, ולכן $\alpha=90^\circ$ ו־$\sin\alpha=1$:

כלומר בגרף $F(I)$ השיפוע הוא $\ell B$:

הצבה (השיפוע מסעיף ד(2)):

(הכוח $F$ שבטבלה הוא הכוח על המגנט, השווה בגודלו לכוח על התיל לפי החוק השלישי של ניוטון.)

טעות נפוצה: לחשב את $B$ מנקודה אחת של הטבלה במקום מהשיפוע של קו המגמה, או להשתמש ב־$\ell$ בסנטימטרים.

האלומה נכנסת לאזור $\vec B_1$ כשהיא נעה כלפי מעלה (בתרשים), ומסלולה מתעקם שמאלה. לכן ברגע הכניסה הכוח המגנטי על החלקיקים מכוון שמאלה – אל מרכז המעגל.

הכוח המגנטי על מטען: $\vec F=q\vec v\times\vec B$. מטען חלקיק האלפא חיובי, ולכן הכוח בכיוון $\vec v\times\vec B$. לפי כלל יד ימין: מהירות כלפי מעלה $\times$ שדה לתוך הדף = כוח שמאלה. לכן השדה מכוון לתוך הדף.

טעות נפוצה: לבחור את כיוון הכוח לפי הכיוון שאליו האלומה "ממשיכה" (כלפי מעלה) – הכוח המגנטי ניצב למהירות ומכוון אל מרכז הקשת.

המהירות ניצבת לשדה, ולכן הכוח המגנטי ניצב למהירות וגודלו קבוע – החלקיקים נעים בתנועה מעגלית קצובה, והכוח המגנטי הוא הכוח השקול הרדיאלי. מדף הנוסחאות $F=qvB\sin\alpha$ (עם $\alpha=90^\circ$) ו־$a_R=\frac{v^2}{r}$. לפי החוק השני של ניוטון: