מתכונת 3 בפיזיקה - חשמל ומגנטיות 36371

השדה בכל נקודה הוא סכום וקטורי (סופרפוזיציה) של השדה של הלוח ושל השדה של הכדור הטעון.

השדה של הלוח. מדף הנוסחאות, גודל השדה של לוח טעון אין־סופי:

הגודל אינו תלוי במרחק מן הלוח. הלוח טעון חיובית, ולכן השדה שלו מכוון הרחק ממנו. כל הנקודות $x>0$ נמצאות מימין ללוח (הלוח ב־$x=-\frac d2$), ולכן שם השדה של הלוח מכוון בכיוון $+x$: תרומתו ל־$E_x$ היא $+\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$.

השדה של הכדור. מדף הנוסחאות:

עבור נקודה על ציר ה־$x$ ב־$x>0$ המרחק מן הכדור הוא $r=x$, וגודל השדה $\frac{kQ}{x^2}$. מטען הכדור שלילי, ולכן השדה שלו מכוון אל הכדור – בנקודות $x>0$ זה הכיוון $-x$: תרומתו ל־$E_x$ היא $-\frac{kQ}{x^2}$.

קרוב לכדור האיבר השני גדול, והשדה מכוון אל הכדור ($E_x<0$); רחוק מן הכדור השדה מכוון בכיוון $+x$ ($E_x>0$).

טעות נפוצה: לחבר את שני הגדלים בלי להתחשב בכיוונים – השדה של מטען שלילי מכוון אל המטען, ולכן כאן השדות מתחסרים.

לפי סעיף א, ככל ש־$x$ גדל האיבר $\frac{kQ}{x^2}$ שואף לאפס, והשדה שואף לערך הקבוע של שדה הלוח:

בגרף העקומה עולה ומתקרבת לקו אופקי. בנקודות הרחוקות ($x=45$ עד $60\,\text{m}$) הנקודות נמצאות על קו הרשת $1130\,\frac{\text{V}}{\text{m}}$ והשדה כמעט אינו משתנה עוד. לכן

מכאן:

(בדיקה: ב־$x=60\,\text{m}$ תרומת הכדור היא $\frac{kQ}{x^2}=\frac{2700}{3600}\approx 0.75\,\frac{\text{V}}{\text{m}}$ – זניחה לעומת $1130$, ולכן הקריאה מייצגת את שדה הלוח בלבד.)

טעות נפוצה: לקחת את $E_x(3)=830$ כשדה הלוח – בנקודה זו תרומת הכדור עדיין גדולה.

מציבים בביטוי מסעיף א את הנקודה הנתונה $x=d=3\,\text{m}$, $E_x=830\,\frac{\text{V}}{\text{m}}$:

הצבה:

כלומר מטען הכדור הוא $-3.0\cdot 10^{-7}\,\text{C}$.

(בדיקה מול נקודה נוספת בגרף: $kQ=2700\,\text{V}\cdot\text{m}$, ולכן $E_x(6)=1130-\frac{2700}{36}=1055\,\frac{\text{V}}{\text{m}}$ – בהתאמה לגרף.)

טעות נפוצה: להציב $E_x(d)=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}+\frac{kQ}{d^2}$ – כך מתקבל $Q$ שלילי, סימן שהכיוון של שדה הכדור לא נלקח בחשבון.

קביעה: היגד 2 נכון.

נימוק: בנקודה $x=2d=6\,\text{m}$ השדה $E_x\approx 1055\,\frac{\text{V}}{\text{m}}>0$, ולכן הכוח על חלקיק האלפא (מטען חיובי) מכוון בכיוון $+x$, והוא אכן נע בכיוון זה. לכל $x>6\,\text{m}$ גם $E_x>0$, ולכן החלקיק ממשיך להתרחק.

במרחק גדול מאוד האיבר $\frac{kQ}{x^2}$ זניח, והשדה כמעט קבוע:

לכן הכוח על החלקיק, $F=qE$, קבוע בגודלו ובכיוונו (כיוון התנועה). העבודה של כוח קבוע לאורך דרך $\Delta x$ היא $W=F\Delta x$, ולפי משפט עבודה–אנרגייה:

כלומר האנרגייה הקינטית גדלה באופן קווי עם הדרך (התנועה שוות תאוצה).

•היגד 1 שגוי: הכוח אינו שואף לאפס, כי שדה הלוח אינו דועך עם המרחק; התאוצה $a=\frac{qE}{m}$ קבועה ושונה מאפס.

•היגד 3 שגוי: הכוח בכיוון התנועה, ולכן המהירות ממשיכה לגדול.

•היגד 4 שגוי: גודל המטען קובע רק את גודל התאוצה, לא את סוג התנועה – לכל מטען חיובי הכוח במרחק גדול קבוע.

טעות נפוצה: לחשוב שבמרחק גדול "השדה נעלם" כמו שדה של מטען נקודתי – שדה של לוח אין־סופי אינו תלוי במרחק.

לפי עקרון הסופרפוזיציה, הפרש הפוטנציאלים הכולל הוא סכום ההפרשים שיוצר כל מקור בנפרד: $V_{d,2d}=V_d-V_{2d}$.

תרומת הלוח (שדה אחיד). מדף הנוסחאות: $E=-\frac{\Delta V}{\Delta x}$. בין $x=d$ ל־$x=2d$ שדה הלוח אחיד, $E_\sigma=1130\,\frac{\text{V}}{\text{m}}$ בכיוון $+x$, ו־$\Delta x=2d-d=d$:

תרומת הכדור. מדף הנוסחאות: $V=k\frac{q}{r}$, כאן $q=-Q$:

עם $kQ=9\cdot 10^9\cdot 3.0\cdot 10^{-7}=2700\,\text{V}\cdot\text{m}$:

הסימן חיובי: הנקודה $x=d$ בפוטנציאל גבוה יותר – כמצופה, כי בכל התחום השדה השקול מכוון מ־$d$ אל $2d$ (הפוטנציאל יורד בכיוון השדה).

טעות נפוצה: לשכוח את הסימן השלילי של מטען הכדור ולחבר $+450\,\text{V}$; או לחשב $E_x(d)\cdot d$ – השדה השקול אינו אחיד בתחום.

קביעה: הפרש הפוטנציאלים היה קטן.

- תרומת הלוח: במיקום החדש הלוח נמצא בין הנקודות $x=d$ ו־$x=2d$, בדיוק באמצע. משמאל ללוח השדה שלו מכוון שמאלה ($-x$), ומימינו – ימינה ($+x$), ובשני הצדדים גודלו $\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}$. בתנועה מ־$x=d$ אל הלוח (נגד כיוון השדה) הפוטנציאל עולה ב־$\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\cdot\frac d2$, ובתנועה מן הלוח אל $x=2d$ (בכיוון השדה) הוא יורד באותו שיעור. לכן תרומת הלוח ל־$V_d-V_{2d}$ היא אפס (במקום $+3390\,\text{V}$).

- תרומת הכדור: הכדור לא זז, והמרחקים $d$ ו־$2d$ לא השתנו, ולכן התרומה נשארת $-\frac{kQ}{2d}=-450\,\text{V}$.

לכן $V_{d,2d}$ יורד מ־$2940\,\text{V}$ ל־$-450\,\text{V}$: הוא קטן (ואף משנה סימן – עכשיו הנקודה $x=2d$ בפוטנציאל הגבוה).

טעות נפוצה: לחשוב שמיקום הלוח אינו משנה דבר כי "השדה של לוח אין־סופי אינו תלוי במרחק" – הגודל אכן אינו תלוי במרחק, אבל הכיוון הפוך משני צדי הלוח. רק כל עוד שתי הנקודות באותו צד של הלוח, הזזתו אינה משנה את ההפרש.

השינוי במטען של כדור $K$:

השינוי נגרם רק ממעבר אלקטרונים, שמטען כל אחד מהם $-e$ ($e=1.60\cdot 10^{-19}\,\text{C}$ מטבלת הקבועים). לכן

כלומר עברו כ־$3.1\cdot 10^{11}$ אלקטרונים.

קביעה: האלקטרונים עברו מ־$K$ ל־$L$.

נימוק: המטען של $K$ השתנה מ־$-6\cdot 10^{-8}\,\text{C}$ ל־$-1\cdot 10^{-8}\,\text{C}$ – המטען השלילי שלו קטן, כלומר השינוי במטענו חיובי ($+5\cdot 10^{-8}\,\text{C}$). מאחר שרק אלקטרונים (מטען שלילי) עוברים בתיל, שינוי חיובי במטען של $K$ אפשרי רק אם אלקטרונים יצאו ממנו – ועברו אל $L$.

טעות נפוצה: להסיק ש"המטען גדל מ־$-6$ ל־$-1$" ולכן אלקטרונים נכנסו ל־$K$ – כניסת אלקטרונים הייתה הופכת את המטען לשלילי יותר.

לאחר החיבור בתיל מוליך, במצב יציב (כאשר אין עוד זרם בתיל) הפוטנציאלים של שני הכדורים שווים; אילו היה הבדל פוטנציאלים, אלקטרונים היו ממשיכים לעבור בתיל.

המרחק בין הכדורים גדול מאוד, ולכן הפוטנציאל של כל כדור נקבע רק על ידי מטענו שלו, כמו של מטען נקודתי במרכזו. מדף הנוסחאות $V=k\frac{q}{r}$:

הרדיוס של $L$ גדול פי 2: $\frac{r_L}{r_K}=2$. הצבה:

כלומר, בכדורים מחוברים המטען מתחלק ביחס ישר לרדיוסים, ושני הכדורים טעונים באותו סימן.

טעות נפוצה: להניח שהמטען מתחלק שווה בשווה – זה נכון רק לכדורים זהים.

קביעה: כדור $L$ היה טעון, במטען חיובי.

חישוב: המערכת של שני הכדורים והתיל מבודדת, ולכן לפי חוק שימור המטען המטען הכולל לפני החיבור שווה למטען הכולל אחריו:

(באופן שקול: $L$ קיבל $3.125\cdot 10^{11}$ אלקטרונים, כלומר מטען $-5\cdot 10^{-8}\,\text{C}$, והגיע ל־$-2\cdot 10^{-8}\,\text{C}$ – לכן לפני כן מטענו היה $-2\cdot 10^{-8}-(-5\cdot 10^{-8})=+3\cdot 10^{-8}\,\text{C}$.)

טעות נפוצה: להניח ש־$L$ היה נייטרלי בלי לבדוק את שימור המטען.

קביעה: גרף I.

נימוק: אחרי הניתוק מטען $K$ הוא $-1\cdot 10^{-8}\,\text{C}$ ומטען $L$ הוא $-2\cdot 10^{-8}\,\text{C}$ – שניהם שליליים (כדורים מחוברים תמיד מקבלים מטען באותו סימן), ולכן $L$ דוחה את $K$. כשהכדור $K$ מתקרב ל־$L$ ($r$ קטן) הכוח החשמלי פועל נגד כיוון תנועתו ומאט אותו, עד שבמרחק מזערי $r_{\min}>0$ הוא נעצר – הוא אינו פוגע ב־$L$.

המשטח חלק והכוח החשמלי משמר, ולכן האנרגייה נשמרת. מדף הנוסחאות $U_E=k\frac{q_Kq_L}{r}$ (מכפלת המטענים חיובית):

מכאן צורת הגרף:

•ב־$r=r_{\min}$ המהירות אפס; ככל ש־$r$ גדל, המהירות גדלה.

•ליד $r_{\min}$ המהירות משתנה בחדות (הגרף כמעט אנכי), כי הכוח שם גדול.

•במרחקים גדולים הכוח ($\propto\frac1{r^2}$) זניח, והגרף מתקרב לקו אופקי.

זה גרף I. גרף II מתאר מהירות שגדלה ככל שהכדורים מתקרבים (משיכה); בגרף III המהירות גדלה בקצב הולך וגדל דווקא במרחקים גדולים, שם הכוח זניח; בגרף IV המהירות מתאפסת רק ב־$r=0$, כלומר הכדור מגיע עד ל־$L$ – בסתירה לנתון שאינו פוגע בו.

טעות נפוצה: לבחור גרף שבו המהירות "יורדת" (II) משום שהכדור מאט במהלך התנועה – אך הציר האופקי הוא המרחק $r$, ו־$r$ קטן במהלך ההתקרבות.

•מד־הזרם $A$ מחובר בטור לתיל העליון בלבד, ולכן $I=1.2\,\text{A}$ הוא הזרם בתיל העליון.

•מד־המתח $V_1$ מחובר על הדקי הסוללה, ולכן הוא מודד את מתח ההדקים. שאר המעגל בין שתי הנקודות האלה הוא צירוף שני התילים במקביל (תילי החיבור אידיאליים), ולכן $V_1$ הוא גם המתח על כל אחד מהתילים (חוק המתחים של קירכהוף).

מד־הזרם האידיאלי אינו גורם למפל מתח, ולכן המתח על התיל העליון $7.2\,\text{V}$. לפי חוק אוהם:

טעות נפוצה: לחשוב שמד־מתח המחובר לסוללה מראה תמיד את הכא"מ – כשזורם זרם, מתח ההדקים קטן מ־$\varepsilon$.

הזרם הכולל: שני התילים זהים ומחוברים במקביל, ולכן באותו מתח עובר בכל אחד מהם אותו זרם. לפי חוק הזרמים של קירכהוף:

זרם זה עובר דרך הסוללה.

מתח ההדקים (מדף הנוסחאות):

(בדיקה: $R_{\text{שקולה}}=0.75+\frac{6}{2}=3.75\,\Omega$, ו־$I=\frac{9}{3.75}=2.4\,\text{A}$ ✓.)

טעות נפוצה: לחלק את $1.8\,\text{V}$ בזרם שמודד מד־הזרם ($1.2\,\text{A}$) – דרך הסוללה עובר הזרם הכולל.

מד־המתח $V_2$ מחובר בין התיל השמאלי (שהוא באותו פוטנציאל כמו הנקודה $M$) לבין המגע הנייד $P$. לכן $V_2$ הוא המתח על קטע התיל שבין $M$ ל־$P$, שאורכו $L$.

מד־המתח אידיאלי ואינו מושך זרם, ולכן בקטע $MP$ עובר הזרם $I=1.2\,\text{A}$ של התיל העליון.

התנגדות הקטע: $R_{MP}=\lambda L$. לפי חוק אוהם:

הצבה ($L=30\,\text{cm}=0.3\,\text{m}$):

(מכאן אורך כל תיל: $\ell=\frac{R_x}{\lambda}=\frac{6}{10}=0.6\,\text{m}$ – ואכן $30\,\text{cm}$ הם חצי מהתיל, ו־$V_2=\frac{V_1}{2}$.)

ההתנגדות השקולה של התילים: $n$ תילים זהים במקביל. מדף הנוסחאות:

הזרם הכולל: צירוף התילים מחובר לסוללה, שהתנגדותה הפנימית $r$ בטור איתו:

הזרם במד־הזרם: התילים זהים ובאותו מתח, ולכן הזרם הכולל מתחלק שווה ביניהם, ומד־הזרם (בטור לתיל אחד) מודד חלק $n$־י ממנו:

(בדיקה עבור $n=2$: $I_A=\frac{9}{1.5+6}=1.2\,\text{A}$ – כמו הנתון ✓.)

קביעה: היגד 2.

- $V_1$: הוא מתח ההדקים, השווה למתח על כל תיל: $V_1=I_AR_x=\frac{\varepsilon R_x}{nr+R_x}$ (מסעיף ד). ככל ש־$n$ גדל המכנה גדל, ולכן $V_1$ קטן.

במילים: הוספת תילים במקביל מקטינה את ההתנגדות החיצונית $\frac{R_x}{n}$, הזרם הכולל גדל, מפל המתח הפנימי $I_{\text{כולל}}r$ גדל, ולכן מתח ההדקים $\varepsilon-I_{\text{כולל}}r$ קטן. (היגד 4 שגוי – $V_1=\varepsilon$ רק כשאין זרם.)

- $V_2$: הוא המתח על קטע באורך קבוע $L$ של התיל העליון: $V_2=I_A\lambda L=\frac{\varepsilon\lambda L}{nr+R_x}$. הזרם $I_A$ בתיל העליון קטן כש־$n$ גדל, ולכן גם $V_2$ קטן (הוא חלק קבוע, $\frac{L}{\ell}$, מ־$V_1$).

לכן הוריות שני מדי־המתח קטנות.

טעות נפוצה: לחשוב שכיוון שהזרם הכולל גדל, גם הזרם בכל תיל גדל – הזרם הכולל גדל, אבל הוא מתחלק בין יותר תילים, והמתח עליהם קטן.

קביעה: הזרם $I_1$ זורם דרומה.

נימוק: מחט המצפן מצביעה בכיוון השדה המגנטי השקול במקומה. בלי זרם היא מצביעה צפונה, בכיוון הרכיב האופקי של השדה הארצי. כשזורם זרם, המחט סטתה נגד כיוון השעון במבט מלמעלה – הקצה הצפוני שלה פונה צפונה ומערבה (שמאלה בתרשים 1א). לכן השדה של התיל במקום המצפן מכוון מערבה – אופקי, ניצב לתיל (קווי השדה של תיל ישר הם מעגלים סביבו, ובנקודה שמעל התיל השדה אופקי).

לפי כלל יד ימין לתיל ישר: אם האגודל מצביע דרומה, האצבעות המקיפות את התיל עוברות מעליו בכיוון מערב. (בדיקה וקטורית: $\hat{\text{דרום}}\times\hat{\text{מעלה}}=\hat{\text{מערב}}$.) אילו הזרם זרם צפונה, השדה מעל התיל היה מכוון מזרחה והמחט הייתה סוטה עם כיוון השעון. לכן הזרם זורם דרומה.

במקום המצפן פועלים שני שדות מגנטיים אופקיים הניצבים זה לזה:

- $B_{E\parallel}$ – הרכיב האופקי של השדה הארצי, מכוון צפונה (לאורך התיל).

- $B_1$ – השדה של התיל, מכוון מערבה (ניצב לתיל). מדף הנוסחאות, במרחק $h$ מהתיל:

המחט מצביעה בכיוון השדה השקול, ולכן במשולש השדות $\alpha$ היא הזווית בין השקול לבין $B_{E\parallel}$: $B_1$ הוא הניצב שמול הזווית ו־$B_{E\parallel}$ הוא הניצב שליד הזווית:

$\tan\alpha$ יחסי ישר לזרם.

לפי סעיף ב:

$\tan\alpha$ – ולא הזווית $\alpha$ עצמה – יחסי ישר לזרם. הגרף של $\alpha$ כפונקציה של $I_1$ מתעקם (הזווית לעולם אינה מגיעה ל־$90^\circ$), ואילו הגרף של $\tan\alpha$ כפונקציה של $I_1$ הוא קו ישר דרך הראשית. לכן המשתנה החדש הוא $\tan\alpha$, והוא חסר יחידות (יחס בין שני שדות).

טעות נפוצה: לסרטט את $\alpha$ כפונקציה של $I_1$ – למשל בין $I_1=1\,\text{A}$ ל־$2\,\text{A}$ הזווית גדלה ב־$13^\circ$, ובין $4\,\text{A}$ ל־$5\,\text{A}$ רק ב־$7^\circ$.

ציר אופקי: $I_1\,(\text{A})$, מ־$0$ עד $5.5$. ציר אנכי: $\tan\alpha$ (ללא יחידות), מ־$0$ עד $1.8$. כדאי להתחיל את הצירים מאפס, כדי לראות שהמגמה עוברת דרך הראשית.

מעבירים קו ישר אחד שהנקודות מפוזרות סביבו משני צדיו. לפי הביטוי מסעיף ב הקו צריך לעבור דרך הראשית (בלי זרם אין סטייה), והנקודות מתאימות לכך.

שיפוע הקו – משתי נקודות על הקו, $(0,\,0)$ ו־$(5\,\text{A},\,1.58)$:

לפי סעיף ב, השיפוע של הגרף $\tan\alpha$ כפונקציה של $I_1$ הוא:

הצבה, עם $\mu_0=4\pi\cdot 10^{-7}\,\text{T}\cdot\text{m/A}$, $h=0.02\,\text{m}$ ושיפוע $0.316\,\text{A}^{-1}$:

ערך סביר לרכיב האופקי של השדה המגנטי של כדור הארץ בישראל.

טעות נפוצה: להציב $h=2$ בסנטימטרים.

השדות במקום המצפן. השדה של כל תיל במקום המצפן אופקי וניצב לתילים (מזרחה או מערבה), כלומר ניצב לשדה הארצי.

תרשים 3א (רק תיל 1): המחט סטתה כמו בתרשים 1א, ולכן $I_1$ זורם דרומה (כמו בסעיף א), והשדה שלו במקום המצפן, $B_1=\frac{\mu_0 I_1}{2\pi h}$, מכוון מערבה, עם $\tan\alpha=\frac{B_1}{B_{E\parallel}}$.

תרשים 3ב (שני התילים): המחט סטתה באותה זווית אך לצד השני – צפונה ומזרחה. השדה הארצי לא השתנה, ולכן השדה השקול של שני התילים שווה בגודלו ל־$B_1$ ומכוון מזרחה:

כלומר $B_2$ מכוון מזרחה וגודלו $2B_1$.

עוצמת הזרם: תיל 2 נמצא במרחק $2h$ מהמצפן, ולפי $B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}$:

כיוון הזרם: המצפן נמצא מתחת לתיל 2. לפי כלל יד ימין, זרם דרומה יוצר שדה שמעל התיל מכוון מערבה ומתחת לתיל מכוון מזרחה (בדיקה: $\hat{\text{דרום}}\times\hat{\text{מטה}}=\hat{\text{מזרח}}$). לכן $I_2$ זורם דרומה – באותו כיוון כמו $I_1$.

טעות נפוצה: לענות $I_2=2I_1=4\,\text{A}$ – יש להתחשב בכך שתיל 2 רחוק פי $2$ מהמצפן.