מתכונת 5 בפיזיקה - חשמל ומגנטיות 36371

על כדור $B$ פועלים שלושה כוחות, כולם לאורך הקו האנכי:

1. כוח הכובד $mg$ – מופעל על ידי כדור הארץ, כיוונו אנכית כלפי מטה.

2. כוח המתיחות $T$ – מופעל על ידי החוט (שקשור לחיישן), כיוונו אנכית כלפי מעלה.

3. הכוח החשמלי $F_E$ – מופעל על ידי כדור $A$. המטענים זהים בסימן, ולכן זהו כוח דחייה: כיוונו מ־$A$ אל $B$ והלאה, כלומר אנכית כלפי מעלה (כדור $A$ נמצא מתחת ל־$B$).

הכדור במנוחה, ולכן שקול הכוחות עליו אפס.

טעות נפוצה: לסמן את הכוח החשמלי כלפי מטה מתוך הרגל משאלות שבהן המטענים מנוגדים – כאן המטענים זהים, ולכן $A$ דוחה את $B$ כלפי מעלה.

הכדור במנוחה, ולכן לפי החוק השני של ניוטון שקול הכוחות בציר האנכי אפס (כיוון חיובי – מעלה):

לפי חוק קולון מדף הנוסחאות (המטען מפולג באופן אחיד, ולכן מתייחסים לכדורים כאל מטענים נקודתיים במרכזיהם):

מציבים:

כאשר $k=9\cdot 10^9\,\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$ ו־$g=10\,\text{m/s}^2$. ככל שהכדורים קרובים יותר, הדחייה גדולה יותר והמתיחות קטנה יותר.

לפי הביטוי מסעיף א(2):

זהו ביטוי מהצורה $y=ax+b$ אם בוחרים $y=T$ ו־$x=\frac{1}{r^2}$. לכן המשתנה החדש הוא $\frac{1}{r^2}$, ויחידותיו $\text{m}^{-2}$. הגרף של $T$ כפונקצייה של $\frac{1}{r^2}$ הוא קו ישר יורד ששיפועו $-kq^2$ וחיתוכו עם הציר האנכי $mg$.

(לדוגמה: $\frac{1}{0.21^2}=\frac{1}{0.0441}\approx 22.7\,\text{m}^{-2}$.)

טעות נפוצה: לבחור $\frac{1}{r}$ – הכוח החשמלי תלוי ב־$\frac{1}{r^2}$, ולכן רק עם $\frac{1}{r^2}$ מתקבל קו ישר.

ציר אופקי: $\frac{1}{r^2}$ ביחידות $\text{m}^{-2}$ (טווח מ־$0$ עד כ־$25$). ציר אנכי: $T$ בניוטון (טווח מ־$0$ עד כ־$0.16$). כדאי להתחיל את שני הצירים מאפס, כדי שאפשר יהיה לקרוא בהמשך את נקודת החיתוך עם הציר האנכי.

הנקודות מסתדרות בקירוב לאורך קו ישר יורד – כצפוי מהביטוי $T=mg-kq^2\cdot\frac{1}{r^2}$.

מעבירים קו ישר אחד בין הנקודות, כך שהן מפוזרות סביבו משני צדיו בערך באופן שווה, וממשיכים אותו עד הציר האנכי.

שיפוע הקו – משתי נקודות על הקו, רחוקות זו מזו, למשל $(5\,\text{m}^{-2},\,0.121\,\text{N})$ ו־$(25\,\text{m}^{-2},\,0.0055\,\text{N})$:

חיתוך עם הציר האנכי: $\approx 0.150\,\text{N}$.

טעות נפוצה: לחשב שיפוע משתי נקודות של הטבלה במקום משתי נקודות על הקו.

משווים את משוואת הקו לביטוי התאורטי:

המטען – מהשיפוע:

המסה – מנקודת החיתוך עם הציר האנכי:

(התוצאות תלויות מעט בקו שסרטטתם; ערכים כמו $q\approx 0.8\,\mu\text{C}$ ו־$m\approx 15\,\text{g}$ תקינים.)

טעות נפוצה: להחליף בין השיפוע לחיתוך. החיתוך הוא ערך $T$ כאשר $\frac{1}{r^2}\to 0$, כלומר כשהכדורים רחוקים מאוד זה מזה ואין דחייה – אז המתיחות היא $mg$.

קביעה: הכוח שכדור $A$ מפעיל על העמוד שווה ל־$2mg$.

- כדור $B$ ברגע ההתרופפות: $T=0$, והכדור עדיין במנוחה, ולכן לפי סעיף א(2) הכוח החשמלי מאזן לבדו את כוח הכובד:

- כדור $A$: פועלים עליו כוח הכובד $mg$ (מטה), הכוח החשמלי מצד $B$ – לפי החוק השלישי של ניוטון שווה בגודלו לכוח ש־$A$ מפעיל על $B$, $F_E$, וכיוונו מטה (דחייה, $B$ מעליו) – והכוח הנורמלי $N$ מצד העמוד (מעלה). $A$ במנוחה:

לפי החוק השלישי של ניוטון, כדור $A$ מפעיל על העמוד כוח שגודלו $N=2mg$, כלומר כ־$2\cdot 0.15=0.30\,\text{N}$.

מעניין לשים לב: ברגע זה המאזניים "נושאים" את משקל שני הכדורים, אף ש־$B$ אינו נוגע בשום דבר – הכוח מועבר דרך הדחייה החשמלית.

טעות נפוצה: לענות "שווה ל־$mg$" בטענה ש־$A$ מקובע ו"לא מרגיש" את $B$ – הכוח החשמלי פועל על שני הכדורים בגדלים שווים ובכיוונים מנוגדים.

גודל השדה של מטען נקודתי (מדף הנוסחאות):

השדה של מטען שלילי מכוון אל המטען:

•השדה של $-Q$ (הנמצא ב־$x=-d$) בנקודה $O$: גודלו $k\frac{Q}{d^2}$, וכיוונו שמאלה ($-x$), אל $-Q$.

•השדה של $-q$ (הנמצא ב־$x=+d$) בנקודה $O$: גודלו $k\frac{q}{d^2}$, וכיוונו ימינה ($+x$), אל $-q$.

שני השדות על אותו קו ובכיוונים מנוגדים:

מאחר ש־$Q>q$, השדה של $-Q$ גובר, והשדה השקול מכוון שמאלה – בכיוון השלילי של ציר $x$, לעבר המטען הגדול.

טעות נפוצה: לכוון את השדה הרחק מהמטען, כמו במטען חיובי – השדה של מטען שלילי מכוון אליו.

קביעה: אין נקודה כזו.

הסבר: הפוטנציאל הוא גודל סקלרי, והפוטנציאל של מערכת מטענים הוא הסכום האלגברי של הפוטנציאלים של כל מטען. לפי דף הנוסחאות ($V=0$ באין־סוף), בנקודה הנמצאת במרחק $r_1$ מ־$-Q$ ובמרחק $r_2$ מ־$-q$:

שני המטענים שליליים, והמרחקים חיוביים וסופיים, ולכן כל אחד משני האיברים שלילי – והסכום שלילי בכל נקודה. הפוטנציאל שואף לאפס רק כאשר מתרחקים לאין־סוף משני המטענים.

טעות נפוצה: לבלבל בין פוטנציאל לשדה – השדה מתאפס בנקודה שבין המטענים (קרוב יותר ל־$-q$), אבל הפוטנציאל שם שלילי.

בוחרים נקודה שמיקומה ניתן לקריאה מדויקת: הקו החיצוני ($-75\,\text{V}$) חותך את החלק החיובי של ציר $x$ בשנת ה־8, כלומר בנקודה $(16\,\text{cm},\,0)$.

המרחקים מנקודה זו:

•מ־$-Q$ (ב־$x=-4\,\text{cm}$): $r_1=16+4=20\,\text{cm}=0.20\,\text{m}$

•מ־$-q$ (ב־$x=4\,\text{cm}$): $r_2=16-4=12\,\text{cm}=0.12\,\text{m}$

הפוטנציאל בנקודה הוא סכום הפוטנציאלים:

הצבה: $k\frac{Q}{r_1}=\frac{9\cdot 10^9\cdot 10^{-9}}{0.20}=45\,\text{V}$

(המטען עצמו: $-q=-4\cdot 10^{-10}\,\text{C}$.)

בדיקה בנקודה נוספת: הקו של $-120\,\text{V}$ חותך את ציר $y$ בערך ב־$y=9.7\,\text{cm}$ – מעט מתחת לשנת החמישית; המרחק משני המטענים $\sqrt{4^2+9.7^2}\approx 10.5\,\text{cm}$: $V=-\frac{9\cdot 10^9\cdot 1.4\cdot 10^{-9}}{0.105}=-120\,\text{V}$ ✓.

טעות נפוצה: לשכוח שכל שנת מייצגת $2\,\text{cm}$, או לא להמיר סנטימטרים למטרים.

הפוטנציאל בנקודה $O$: $O$ נמצאת במרחק $d=4\,\text{cm}$ משני המטענים:

הפוטנציאל בנקודה $B$: $B$ נמצאת על הקו של $-180\,\text{V}$, ולכן $V_B=-180\,\text{V}$.

עבודת הכוח החשמלי (מדף הנוסחאות), עם מטען האלקטרון $q_e=-1.6\cdot 10^{-19}\,\text{C}$:

העבודה חיובית: האלקטרון (מטען שלילי) עובר מפוטנציאל נמוך לפוטנציאל גבוה יותר, ולכן הוא מאיץ.

משפט עבודה–אנרגייה: הכוח החשמלי הוא הכוח היחיד (הכבידה זניחה):

הצבה:

טעות נפוצה: לשכוח שמטען האלקטרון שלילי ולקבל עבודה שלילית (והאטה) – אלקטרון מאיץ לעבר פוטנציאל גבוה.

קביעה: כיוון 6.

•התאוצה של האלקטרון נובעת מהכוח החשמלי: $\vec a=\frac{\vec F}{m_e}=\frac{q_e\vec E}{m_e}$. מטען האלקטרון שלילי, ולכן התאוצה הפוכה לכיוון השדה החשמלי.

•השדה החשמלי ניצב בכל נקודה למשטח שווה הפוטנציאל העובר בה, ומכוון מפוטנציאל גבוה לפוטנציאל נמוך ($E=-\frac{\Delta V}{\Delta x}$). לכן התאוצה של האלקטרון ניצבת לקו ומכוונת לעבר הפוטנציאל הגבוה.

בתרשים 3ב, בנקודה $B$ הקו של $-180\,\text{V}$ נוטה בכ־$45^\circ$ (משמאל־למטה לימין־למעלה). הקו של $-120\,\text{V}$ (פוטנציאל גבוה יותר – פחות שלילי) נמצא משמאל ומעל ל־$B$, והקו של $-270\,\text{V}$ (פוטנציאל נמוך) מימין ומתחת לה. השדה מכוון ימינה ומטה (כיוון 2, לעבר המטענים), והתאוצה של האלקטרון הפוכה לו – שמאלה ומעלה, כיוון 6.

(בדיקה בחישוב: בנקודה $B\approx(-8.0\,\text{cm},\,4.3\,\text{cm})$ השדה השקול של שני המטענים יוצר זווית של כ־$-45^\circ$ עם ציר $x$, כלומר כיוון 2, והתאוצה בכיוון ההפוך – כיוון 6.)

טעות נפוצה: לבחור בכיוון השדה (כיוון 2) – עבור מטען שלילי התאוצה הפוכה לשדה; או לבחור כיוון משיק לקו (4 או 8).

תשובה: $I=1.2\,\text{A}$.

נימוק: כל מפסק שנסגר מוסיף ענף במקביל. ההתנגדות השקולה של $n$ נגדים זהים במקביל היא $R_{ext}=\frac{R}{n}$ – ככל שסוגרים יותר מפסקים ההתנגדות החיצונית קטנה. כשרק מפסק אחד סגור, ההתנגדות החיצונית מרבית ($R_{ext}=R$).

לפי חוק המתחים של קירכהוף:

התנגדות חיצונית מרבית – זרם מזערי. לכן המצב של מפסק אחד סגור מתאים לזרם הקטן ביותר בטבלה: $1.2\,\text{A}$ (ואכן גם מתח ההדקים אז הגדול ביותר, $7.3\,\text{V}$).

טעות נפוצה: לחשוב שהוספת נגד מגדילה את ההתנגדות – זה נכון בחיבור בטור; בחיבור במקביל ההתנגדות השקולה קטנה.

ציר אופקי: עוצמת הזרם $I$ באמפר, מ־$0$ עד כ־$6.5\,\text{A}$ (כדי שאפשר יהיה להאריך את הקו עד ציר $I$ בסעיף ה). ציר אנכי: המתח $V$ בוולט, מ־$0$ עד כ־$10\,\text{V}$ (כדי לראות את החיתוך עם ציר $V$ בסעיף ג).

הנקודות $(I\,[\text{A}],\,V\,[\text{V}])$:

$(1.2,\,7.3)$, $(2.0,\,5.9)$, $(2.6,\,5.2)$, $(3.0,\,4.4)$, $(3.3,\,4.1)$.

הנקודות מסתדרות בקירוב לאורך קו ישר יורד.

מעבירים קו ישר אחד בין הנקודות, כך שהן מפוזרות סביבו משני צדיו בערך באופן שווה, ומאריכים אותו עד שני הצירים.

שיפוע הקו – משתי נקודות על הקו, רחוקות זו מזו, למשל $(0,\,9.0)$ ו־$(4.0,\,3.0)$:

(התאמה בשיטת הריבועים הפחותים נותנת $V=9.08-1.53\,I$ – בהתאמה טובה.)

טעות נפוצה: לחבר את הנקודות בקו שבור, או לחשב שיפוע משתי נקודות מהטבלה במקום משתי נקודות על הקו.

מד־המתח מודד את מתח ההדקים של המקור. מדף הנוסחאות:

זו משוואת קו ישר $V(I)$ שבה $\varepsilon$ היא נקודת החיתוך עם ציר $V$ (כאשר $I=0$) ו־$-r$ הוא השיפוע.

מאריכים את קו המגמה עד ציר $V$ ומסמנים את נקודת החיתוך $(0,\,9.0)$:

לפי $V_{ab}=\varepsilon-Ir$, שיפוע הגרף $V(I)$ הוא $-r$:

משתי נקודות על קו המגמה, $(0,\,9.0)$ ו־$(4.0,\,3.0)$:

טעות נפוצה: לחשב $\frac{V}{I}$ מנקודה אחת – זו ההתנגדות החיצונית באותה מדידה, לא ההתנגדות הפנימית.

כאשר ההדקים מחוברים בתיל שהתנגדותו זניחה, ההתנגדות החיצונית אפס – המקור מקוצר, ומתח ההדקים $V=0$.

בגרף זוהי נקודת החיתוך של קו המגמה עם ציר $I$. מ־$V=\varepsilon-Ir$ עם $V=0$:

(בגרף: הקו $V=9-1.5I$ חותך את ציר $I$ ב־$I=6.0\,\text{A}$.)

קביעה: אין סתירה לחוק אוהם.

נימוק: חוק אוהם, $V=IR$, קובע שעבור התנגדות קבועה המתח והזרם יחסיים זה לזה. בניסוי של התלמיד ההתנגדות החיצונית אינה קבועה – בכל שלב נוסף נגד במקביל, וההתנגדות השקולה קטנה.

כשההתנגדות החיצונית קטנה, הזרם גדל ($I=\frac{\varepsilon}{R_{ext}+r}$), והמפל על ההתנגדות הפנימית, $Ir$, גדל – ולכן מתח ההדקים $V=\varepsilon-Ir$ קטן.

בכל מדידה בנפרד חוק אוהם מתקיים עבור ההתנגדות החיצונית: $R_{ext}=\frac{V}{I}$. למשל ב־$I=1.2\,\text{A}$: $R_{ext}=\frac{7.3}{1.2}\approx 6.1\,\Omega$ (נגד אחד), וב־$I=3.3\,\text{A}$: $R_{ext}=\frac{4.1}{3.3}\approx 1.2\,\Omega$ (בקירוב חמישית ממנו – חמישה נגדים במקביל). ההתנגדות היא שהשתנתה.

טעות נפוצה: להחיל את חוק אוהם על סדרת מדידות שבה ההתנגדות משתנה.

במקור המתח הלוח הארוך (הדק חיובי) הוא הימני. במעגל החיצוני הזרם יוצא מההדק החיובי: הוא זורם ימינה בתיל העליון, יורד בתיל הימני – מ־$C$ ל־$D$ – ונכנס לקצה הימני של הסילונית. משם הוא עובר בכריכות מימין לשמאל, עולה דרך מד־הזרם וחוזר דרך המפסק להדק השלילי.

בתוך סילונית ארוכה השדה אחיד ומקביל לציר – ולכן הוא בכיוון 2 או 4.

הזרם נכנס לסילונית בקצה הימני. בתרשים החלקים הקדמיים של הכריכות (הקווים הרציפים, הקרובים אלינו) מתוארים כשהם יורדים משמאל־למעלה לימין־למטה, והחלקים האחוריים (המקווקווים) עולים. כשהזרם מתקדם בכריכות מימין לשמאל, הוא זורם בחלקים הקדמיים כלפי מעלה.

לפי כלל יד ימין לסליל: מכופפים את אצבעות יד ימין בכיוון הזרם בכריכות (בחזית – כלפי מעלה, מאחור – כלפי מטה), והאגודל מצביע שמאלה – כיוון 4.

טעות נפוצה: לקבוע את כיוון השדה לפי הקוטביות בלבד, בלי להתחשב באופן שבו הכריכות מלופפות.

השדה בתוך הסילונית. מדף הנוסחאות, $B=\frac{\mu_0NI}{L}$:

השדה אחיד, מקביל לציר, וכיוונו שמאלה (כיוון 4, סעיף א).

כיוון הזרם במסגרת. במקור המתח של המסגרת הלוח הארוך (ההדק החיובי) הוא העליון, והוא מחובר בתיל העליון לנקודה $a$; ההדק השלילי (הלוח הקצר) מחובר ל־$d$. הזרם יוצא מההדק החיובי, ולכן במסגרת הוא זורם $a\to b\to c\to d$: בצלע $ab$ שמאלה ובצלע $bc$ כלפי מטה.

מדף הנוסחאות, הכוח על תיל נושא זרם: $F=I\ell B\sin\alpha$, כאשר $\alpha$ – הזווית בין התיל לשדה.

הצלע $ab$: מקבילה לציר הסילונית, כלומר מקבילה לשדה. הזרם מ־$a$ ל־$b$ זורם שמאלה – באותו כיוון כמו השדה: $\alpha=0^\circ$, $\sin\alpha=0$:

הצלע $bc$: ניצבת לציר ולשדה: $\alpha=90^\circ$. אורכה $\ell=3\,\text{cm}=0.03\,\text{m}$:

כיוון: הכוח ניצב גם לצלע וגם לשדה – כלומר ניצב למישור הדף. הזרם ב־$bc$ זורם כלפי מטה (מ־$b$ ל־$c$), והשדה שמאלה. לפי כלל יד ימין ($\vec F=I\vec\ell\times\vec B$): אצבעות כלפי מטה, מתעקלות לכיוון שמאל – האגודל מצביע לתוך הדף.

טעות נפוצה: לקבוע את כיוון הזרם במסגרת לפי המקור של הסילונית ולא לפי המקור של המסגרת. טעות נוספת: לחשב כוח על $ab$ בגלל שהיא ארוכה יותר – היא מקבילה לקווי השדה ולכן לא פועל עליה כוח. טעות נוספת: לשכוח להמיר סנטימטרים למטרים.

השדה של הסילונית, $B_1$: בתוך הסילונית השדה מקביל לציר – כלומר ניצב למישור תרשים 3 (חתך רוחב). הזרם בכריכות זורם נגד כיוון השעון כפי שאנו רואים אותו. לפי כלל יד ימין לסליל (אצבעות בכיוון הזרם – האגודל בכיוון השדה), כשהזרם נגד כיוון השעון השדה מכוון אלינו: בנקודה $r$ מסמנים $B_1$ החוצה מן הדף ($\odot$).

השדה של התיל, $B_3$: קווי השדה סביב תיל ישר הם מעגלים שמרכזם בתיל. הזרם $I_3$ זורם לתוך הדף, ולפי כלל יד ימין (אגודל בכיוון הזרם – האצבעות מתעקלות בכיוון השדה) קווי השדה מסתובבים בכיוון השעון. הנקודה $r$ נמצאת מעל התיל; שם השדה משיק למעגל, ובסיבוב בכיוון השעון כיוונו ימינה (ניצב לקו המחבר את התיל ל־$r$).

לכן בנקודה $r$ השדות ניצבים זה לזה: $B_1$ מחוץ לדף ו־$B_3$ ימינה בתוך מישור הדף.

השדה של הסילונית אחיד בכל החתך: $B_1=\frac{\mu_0NI_1}{L}\approx 1.26\cdot 10^{-3}\,\text{T}$ (סעיף ב). השדה של התיל קטן עם המרחק: $B_3=\frac{\mu_0I_3}{2\pi r}$ (מדף הנוסחאות).

(ובאופן שקול: $r=\frac{\mu_0 I_3}{2\pi B_1}=\frac{2\cdot 10^{-7}\cdot 25}{1.26\cdot 10^{-3}}\approx 4.0\cdot 10^{-3}\,\text{m}$.) קרוב יותר לציר – השדה של התיל חזק יותר; רחוק יותר – השדה של הסילונית חזק יותר.

טעות נפוצה: לחשוב שגם השדה של הסילונית תלוי במרחק מהציר – בתוך סילונית ארוכה הוא אחיד.