מתכונת 6 בפיזיקה - חשמל ומגנטיות 36371

על כדור $B$ פועלים שלושה כוחות:

1. כוח הכובד $mg$ – מופעל על ידי כדור הארץ, כיוונו אנכית כלפי מטה.

2. הכוח הנורמלי $N$ – מופעל על ידי המשטח המשופע, ניצב למשטח וכלפי חוץ ממנו (בזווית $30^\circ$ עם האנך). המשטח חלק, ולכן אין כוח חיכוך.

3. הכוח החשמלי $F_E$ – מופעל על ידי כדור $A$. שני המטענים חיוביים, ולכן זהו כוח דחייה: כיוונו אופקי (מרכזי הכדורים באותו גובה), מ־$A$ אל $B$ והלאה – ימינה בתרשים, "לתוך" המדרון.

הכדור במנוחה, ולכן שקול שלושת הכוחות הוא אפס: הכוח החשמלי הוא שמונע מהכדור להחליק במורד.

טעות נפוצה: לסמן את הכוח החשמלי במקביל למשטח (במעלה המדרון) – הכוח פועל לאורך הקו המחבר את מרכזי הכדורים, כלומר אופקית.

הכדור במנוחה, ולכן לפי החוק השני של ניוטון שקול הכוחות בכל ציר הוא אפס. נבחר ציר מקביל למשטח: רכיב הכובד במורד המשטח הוא $mg\sin 30^\circ$, ורכיב הכוח החשמלי האופקי במעלה המשטח הוא $F_E\cos 30^\circ$ (הכוח הנורמלי ניצב לציר זה):

הצבה, עם $m=4\,\text{g}=0.004\,\text{kg}$:

(אפשר גם בצירים אופקי ואנכי: $N\cos 30^\circ=mg$ ו־$N\sin 30^\circ=F_E$, ומחלוקתן מתקבל אותו ביטוי.)

מדף הנוסחאות: $F=k\frac{|q_1q_2|}{r^2}$. הערכים המוחלטים של המטענים שווים ($|q_A|=|q_B|=q$) והמרחק $r=d$:

הצבה, עם $k=9\cdot 10^9\,\text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$:

כדור $B$ טעון חיובית: $q_B\approx +3.2\cdot 10^{-7}\,\text{C}$.

טעות נפוצה: להשוות את הכוח החשמלי כולו לרכיב הכובד במורד ($F_E=mg\sin 30^\circ$) – רק הרכיב של $F_E$ המקביל למשטח מאזן אותו. גם המרת גרם לקילוגרם נשכחת לעתים קרובות.

קביעה: השינויים שווים בגודלם.

- על כדור $D$: כוח הכובד $m_Dg$ (כדור הארץ, מטה); מתיחות החוט $T$ (החוט, מעלה); כוח הדחייה החשמלי $F$ (כדור $C$, אנכית מעלה).

- על המערכת כדור $C$ + מעמד: כוח הכובד (כדור הארץ, מטה); הכוח הנורמלי $N$ (המאזניים, מעלה); כוח הדחייה החשמלי $F'$ (כדור $D$, אנכית מטה).

•לפני הטעינה: $T_0=m_Dg$ ו־$N_0=(m_C+m_{\text{מעמד}})g$.

•אחרי הטעינה, $D$ במנוחה: $T+F=m_Dg$, ולכן $T=T_0-F$ – הוריית החיישן קטנה ב־$F$.

•המערכת $C$ + מעמד במנוחה: $N=(m_C+m_{\text{מעמד}})g+F'$ – הוריית המאזניים גדלה ב־$F'$.

•לפי החוק השלישי של ניוטון, הכוח ש־$C$ מפעיל על $D$ והכוח ש־$D$ מפעיל על $C$ שווים בגודלם והפוכים בכיוונם: $F'=F$ – אף שהמטען של $C$ גדול פי $4$. גם לפי חוק קולון $F=k\frac{q_Cq_D}{r^2}$ תלוי במכפלת המטענים, ולכן זהו אותו כוח לשני הכדורים.

לכן השינוי בהוריית המאזניים שווה בגודלו לשינוי בהוריית החיישן.

טעות נפוצה: להסיק שהכדור בעל המטען הגדול "מפעיל כוח חזק יותר", ולכן אחד השינויים גדול פי $4$ מהשני – הכוחות ההדדיים תמיד שווים בגודלם.

קביעה: השקול שווה לאפס.

נימוק: כל המטענים חיוביים, ולכן $D$ ו־$C$ דוחים את $H$. הם נמצאים משני צדי $H$, ולכן הכוחות בכיוונים הפוכים: $D$ דוחף את $H$ לעבר $C$, ו־$C$ דוחף את $H$ לעבר $D$. נשווה את גודלם לפי חוק קולון $F=k\frac{q_1q_2}{r^2}$, כאשר $x$ הוא המרחק $DH$:

המטען של $C$ גדול פי $4$, והמרחק שלו גדול פי $2$ – והכוח יורד כריבוע המרחק, כלומר פי $4$. שתי ההשפעות מתקזזות בדיוק: הכוחות שווים בגודלם והפוכים בכיוונם, והשקול:

טעות נפוצה: להשוות "פי $4$ במטען" מול "פי $2$ במרחק" ולהסיק ש־$C$ חזק פי $2$ – הכוח תלוי בריבוע המרחק.

גודל השדה של כל מטען בנקודה $C$ (שדה סביב מטען נקודתי):

כיוונים: המטענים שליליים, ולכן השדה של כל אחד מכוון אליו: $\vec E_1$ מ־$C$ לעבר $A$, ו־$\vec E_2$ מ־$C$ לעבר $B$.

נפרק לרכיבים לאורך האנך מ־$C$ אל אמצע $AB$ ובמקביל ל־$AB$. גובה המשולש: $h=\sqrt{0.5^2-0.3^2}=0.4\,\text{m}$, ולכן הקוסינוס של הזווית בין $CA$ (או $CB$) לבין האנך הוא $\frac{0.4}{0.5}=0.8$.

•הרכיבים המקבילים ל־$AB$ שווים בגודלם ומנוגדים בכיוונם – מתבטלים.

•הרכיבים לאורך האנך מתחברים:

כיוון: לאורך האנך מ־$C$ אל אמצע $AB$, כלומר כלפי הצלע $AB$ (מטה בתרשים).

טעות נפוצה: לכוון את השדה הרחק מהמטענים – השדה של מטען שלילי מכוון אליו.

פוטנציאל הוא גודל סקלרי, ולכן הפוטנציאל הכולל הוא סכום אלגברי (עם סימן המטען) של הפוטנציאלים של שני המטענים. לפי הנוסחה לפוטנציאל סביב מטען נקודתי:

הצבה:

קביעה: כן – נקודת האמצע של הקטע $AB$.

נימוק: באמצע $AB$ הנקודה נמצאת במרחקים שווים ($0.3\,\text{m}$) משני מטענים שווים. השדות של שני המטענים שם שווים בגודלם, ומאחר ששני המטענים שליליים כל שדה מכוון אל המטען שלו – כלומר הם מנוגדים בכיוונם ומבטלים זה את זה: $E=0$.

הפוטנציאל, לעומת זאת, הוא סכום סקלרי של שני ערכים שליליים:

טעות נפוצה: לחשוב שבנקודה שבה השדה אפס גם הפוטנציאל אפס – השדה קשור לקצב השינוי של הפוטנציאל במקום, לא לערכו.

הקשר בין השדה החשמלי להפרש הפוטנציאלים (מדף הנוסחאות):

בכל קטע הגרף $V(x)$ הוא קו ישר, ולכן השדה קבוע בכל קטע ושווה למינוס השיפוע. ממירים סנטימטרים למטרים:

- $0<x<3\,\text{cm}$: הפוטנציאל קבוע ($9\,\text{V}$), $\Delta V=0$, ולכן $E=0$.

- $3<x<6\,\text{cm}$: $E=-\frac{0-9}{0.06-0.03}=+300\,\text{V/m}$ (בכיוון החיובי של ציר $x$).

- $6<x<10\,\text{cm}$: $E=-\frac{6-0}{0.10-0.06}=-150\,\text{V/m}$ (בכיוון השלילי של ציר $x$).

הגרף הוא "פונקציית מדרגות" – שלושה קטעים אופקיים:

טעות נפוצה: לשכוח את סימן המינוס – השדה מכוון מפוטנציאל גבוה לנמוך, ולכן בקטע שבו הפוטנציאל עולה השדה שלילי.

קביעה: החלקיק נע בכיוון החיובי של ציר $x$.

נימוק: בנקודה $K$ ($x=8\,\text{cm}$) השדה, לפי סעיף ד, הוא $E=-150\,\text{V/m}$ – בכיוון השלילי של ציר $x$. הכוח על מטען בשדה חשמלי:

$q_3$ שלילי, ולכן הכוח מנוגד לכיוון השדה – בכיוון החיובי של ציר $x$. החלקיק משתחרר ממנוחה, ולכן הוא מתחיל לנוע בכיוון הכוח.

(בדרך אחרת: מטען שלילי שמשתחרר ממנוחה נע לעבר פוטנציאל גבוה יותר; מימין ל־$K$ הפוטנציאל עולה.)

טעות נפוצה: לקבוע שהחלקיק נע "במורד הפוטנציאל" – זה נכון רק למטען חיובי.

הכוח היחיד על החלקיק הוא הכוח החשמלי (כוחות הכבידה מוזנחים). לפי $F=qE$ והחוק השני של ניוטון:

בנקודה $K$: $|E|=150\,\text{V/m}$. הצבה:

טעות נפוצה: להשתמש בפוטנציאל בנקודה $K$ ($3\,\text{V}$) במקום בשדה – הכוח תלוי בשדה, כלומר בשיפוע של גרף הפוטנציאל.

המעגל הוא לולאה אחת: הדק אחד של מקור המתח ($\varepsilon,r$) מחובר בתיל לקצה אחד של הנורה, והקצה השני של הנורה מחובר להדק השני של המקור. דרך המקור ודרך הנורה עובר אותו זרם $I$.

מד המתח מחובר במקביל למקור – בין שני הדקיו (ובאותו אופן בין שני קצות הנורה, כי התילים חסרי התנגדות). מד המתח אידאלי, ולכן לא עובר בו זרם.

מתח ההדקים הוא המתח על הנורה. לפי חוק אוהם $V=IR$:

מתח ההדקים מדף הנוסחאות:

(בדיקה: $I=\frac{\varepsilon}{R_L+r}=\frac{12}{4+1}=2.4\,\text{A}$ ✓.)

טעות נפוצה: לחשב את הזרם כ־$\frac{\varepsilon}{R_L}=3\,\text{A}$ – הזרם נקבע גם על ידי ההתנגדות הפנימית.

מבנה המעגל (תרשים 1): הנורה מחוברת בין המגע $P$ לבין הקצה $N$, כלומר במקביל לקטע $PN$. הצירוף המקבילי הזה מחובר בטור לקטע $MP$ ולמקור. $V_1$ מחובר בין $M$ ל־$P$ ומודד את המתח על הקטע $MP$; $V_2$ מודד את מתח ההדקים, שהוא המתח על כל החלק החיצוני: $V_2=V_{MP}+V_{PN}$.

קביעה: $V_1$ גדול מ־$\frac{V_2}{2}$.

נימוק: כש־$P$ באמצע, $R_{MP}=R_{PN}$. ההתנגדות השקולה של צירוף מקבילי קטנה מכל אחת מההתנגדויות שבו:

דרך $MP$ ודרך הצירוף המקבילי עובר אותו זרם $I$ (חיבור בטור), ולכן לפי חוק אוהם:

מאחר ש־$V_2=V_1+V_{PN}$ ו־$V_{PN}<V_1$, מתקבל $V_2<2V_1$, כלומר

טעות נפוצה: לטעון שהמתח מתחלק שווה בשווה "כי המגע באמצע" – הנורה המחוברת במקביל מקטינה את ההתנגדות של החצי $PN$.

הזרם הכולל. $V_2$ הוא מתח ההדקים:

המתח על הצירוף המקבילי (חוק המתחים של קירכהוף – מתח ההדקים מתחלק בין $MP$ לבין הצירוף המקבילי):

הזרם דרך $PN$. לפי חוק הזרמים של קירכהוף ($\Sigma I=0$ בצומת $P$), הזרם הכולל מתפצל בין הנורה לבין הקטע $PN$:

טעות נפוצה: להניח שכל הזרם $2\,\text{A}$ עובר דרך $PN$ ולקבל $3\,\Omega$ – זו ההתנגדות השקולה של $PN$ והנורה יחד.

דרך הקטע $MP$ עובר כל הזרם $I=2\,\text{A}$, והמתח עליו $V_1=4\,\text{V}$:

הנגד המשתנה כולו הוא שני הקטעים בטור:

כשהמפסק פתוח לא עובר זרם בענף של המפסק, ומד המתח $V_1$ אידאלי – כך שגם בו לא עובר זרם. לכן הזרם עובר דרך הנגד המשתנה כולו ($M$ עד $N$), והזזת $P$ אינה משנה את ההתנגדות במעגל:

$V_2$ – לא ישתנה: $V_2=\varepsilon-Ir$, ו־$I$ קבוע (נשאר $11.2\,\text{V}$).

$V_1$ – יקטן: $V_1$ מודד את המתח על הקטע $MP$:

כש־$P$ זז לעבר $M$ הקטע $MP$ מתקצר, $R_{MP}$ קטן ו־$V_1$ קטן (עד $0$ כש־$P$ מגיע ל־$M$).

כשהמפסק סגור, הוא מחבר בתיל חסר התנגדות את $P$ ל־$N$ – הקטע $PN$ מקוצר. ההתנגדות החיצונית היא $R_{MP}$ בלבד.

$V_2$ – יקטן: כש־$P$ זז לעבר $M$, $R_{MP}$ קטן, ולכן הזרם $I=\frac{\varepsilon}{R_{MP}+r}$ גדל ומתח ההדקים

קטן (בקצה, כש־$P$ מגיע ל־$M$, המקור מקוצר ו־$V_2\to 0$).

$V_1$ – יקטן: המתח על הקטע המקוצר $PN$ הוא $V=I\cdot 0=0$, ולכן כל מתח ההדקים נמצא על הקטע $MP$:

$V_1$ שווה בכל רגע ל־$V_2$, ולכן גם הוא קטן.

טעות נפוצה: לחשוב שכשהזרם גדל גם המתחים גדלים – $V_2$ הוא מתח ההדקים, והוא קטן כשהזרם גדל בגלל המפל על ההתנגדות הפנימית.

קביעה: הכוח המגנטי על המוט מכוון כלפי מטה.

נימוק: המגנט נמצא במנוחה לפני סגירת המפסק ואחריה, ולכן שקול הכוחות עליו אפס. המאזניים מציגים את גודל הכוח הנורמלי $N$ שהם מפעילים על המגנט.

•לפני סגירת המפסק: $N=mg$.

•אחרי סגירת המפסק $N$ קטן – לכן פועל על המגנט כוח נוסף כלפי מעלה, שנושא חלק מהמשקל.

הכוח הנוסף הוא הכוח המגנטי שהמוט נושא הזרם מפעיל על המגנט. לפי החוק השלישי של ניוטון, המגנט מפעיל על המוט כוח שווה בגודלו ומנוגד בכיוונו – כלפי מטה.

טעות נפוצה: להסיק שהכוח על המוט כלפי מעלה "כי ההוריה קטנה" – המאזניים מודדים את הכוח על המגנט, והכוח על המוט הפוך לו.

קביעה: השדה המגנטי מכוון מ־$X$ אל $Y$.

1. כיוון הזרם במוט. ההדק החיובי ($+$) של המקור מחובר לקצה $K$, וההדק השלילי ($-$) מחובר (דרך המפסק) לקצה $L$. הזרם יוצא מההדק החיובי, ולכן הוא זורם במוט מ־$K$ אל $L$ – מהצופה אל עומק התרשים, כלומר "אל תוך" הדף.

2. כיוון הכוח: כלפי מטה (סעיף א).

3. הכלל: $\vec F=I\vec\ell\times\vec B$ (כלל יד ימין). כשהזרם זורם אל תוך הדף והכוח כלפי מטה, השדה חייב להיות מכוון אופקית ימינה – מ־$X$ אל $Y$.

(בדיקה: אצבעות בכיוון הזרם – אל תוך הדף; מכופפים אותן לכיוון השדה – ימינה; האגודל מצביע כלפי מטה, בכיוון הכוח.)

מכאן ש־$X$ הוא הקוטב הצפוני של המגנט ו־$Y$ הדרומי (קווי השדה יוצאים מהקוטב הצפוני).

ציר אופקי: $\sin\beta$ (חסר יחידות), מ־$0$ עד $1$. ציר אנכי: $F$ בניוטון. כל הערכים בין $0.9$ ל־$1.21\,\text{N}$, ולכן אפשר להתחיל את הציר האנכי מ־$0.8\,\text{N}$ (ולציין זאת), כדי שהשינוי יהיה ברור. קנה מידה אחיד בכל ציר.

הנקודות $(\sin\beta,\,F\,[\text{N}])$:

$(0,\,1.21)$, $(0.34,\,1.09)$, $(0.57,\,1.04)$, $(0.77,\,0.96)$, $(0.94,\,0.92)$, $(1,\,0.90)$.

הנקודות מסתדרות בקירוב לאורך קו ישר יורד. מעבירים קו מגמה אחד, כך שהנקודות מפוזרות סביבו משני צדיו:

שתי נקודות על הקו, רחוקות זו מזו: $(0,\,1.205)$ ו־$(1,\,0.898)$.

נקודת החיתוך עם הציר האנכי: $F\approx 1.205\,\text{N}$.

טעות נפוצה: לסרטט את $F$ כפונקציה של $\beta$ (במעלות) – אז הגרף אינו קו ישר.

הכוחות על המגנט (הוא במנוחה):

1. כוח הכובד $mg$ – מכדור הארץ, כלפי מטה.

2. הכוח הנורמלי $N$ – מהמאזניים, כלפי מעלה. זה הכוח שהמאזניים מציגים: $F=N$.

3. הכוח המגנטי $F_B$ – מהמוט נושא הזרם, כלפי מעלה (סעיף א; לפי החוק השלישי של ניוטון גודלו שווה לגודל הכוח שהשדה מפעיל על המוט).

לפי החוק הראשון של ניוטון:

הכוח המגנטי. מדף הנוסחאות:

$\alpha$ היא הזווית בין המוט (כיוון הזרם) לבין השדה. השדה מכוון לאורך הקו המחבר את הקטבים, ו־$\beta$ היא בדיוק הזווית בין המוט לבין קו זה – לכן $\alpha=\beta$:

קו ישר: $F$ כפונקציה של $\sin\beta$, שיפוע $-I\ell B$ ונקודת חיתוך $mg$.

טעות נפוצה: לכתוב $\cos\beta$ מתוך הרגל – כאן הזווית נמדדת מכיוון השדה, ולכן כשהמוט מקביל לשדה ($\beta=0$) אין כוח, כפי שרואים בטבלה ($F=1.21\,\text{N}$, הערך הגדול ביותר).

משווים את הביטוי מסעיף ד, $F=-I\ell B\sin\beta+mg$, לתבנית של קו ישר $y=ax+b$ (עם $y=F$, $x=\sin\beta$):

מהגרף $|a|\approx 0.307\,\text{N}$. נתונים: $I=12\,\text{A}$, $\ell=5\,\text{cm}=0.05\,\text{m}$.

טעות נפוצה: לא להמיר את אורך המוט למטרים, או לחשב את $B$ מנקודה בודדת בטבלה במקום מהשיפוע.

בביטוי $F=mg-I\ell B\sin\beta$ האיבר החופשי הוא $mg$: זו הוריית המאזניים כאשר $\sin\beta=0$ (המוט מקביל לשדה ואין כוח מגנטי) – נקודת החיתוך של קו המגמה עם הציר האנכי.

מהגרף $mg\approx 1.205\,\text{N}$: