מתכונת 8 בפיזיקה - חשמל ומגנטיות 36371

השדה בין הלוחות: מדף הנוסחאות (שדה בין לוחות קבל):

הכוחות על הכדור: כוח הכובד $mg$ (אנכית מטה), מתיחות החוט $T$ (לאורך החוט, אל נקודת התלייה) והכוח החשמלי $F_E=|q_1|E$ (אופקי).

הכדור במנוחה, ולכן לפי החוק השני של ניוטון שקול הכוחות אפס:

מחלקים את המשוואה הראשונה בשנייה ומציבים $E=\frac{U}{d}$:

הסימן: השדה החשמלי מכוון מהלוח החיובי (השמאלי) אל הלוח השלילי (הימני), כלומר ימינה. הכדור סטה שמאלה, ולכן הכוח החשמלי עליו מכוון שמאלה – הפוך לכיוון השדה. לפי $\vec F=q\vec E$, הכוח מנוגד לשדה רק כאשר המטען שלילי. לכן $q_1<0$.

הגודל: מהביטוי שפיתחנו:

ממירים: $m=0.5\,\text{g}=5\cdot 10^{-4}\,\text{kg}$, $d=0.40\,\text{m}$, $U=4000\,\text{V}$ (השדה: $E=\frac{4000}{0.40}=1.0\cdot 10^4\,\text{N/C}$).

טעות נפוצה: לקבוע שהמטען חיובי "כי הכדור נמשך ללוח" בלי לבדוק איזה לוח – הכדור נמשך ללוח החיובי, ולכן הוא שלילי.

על הכדור הטעון במטען $q_1$ פועלים ארבעה כוחות:

1. כוח הכובד $mg$ – מופעל על ידי כדור הארץ, אנכית כלפי מטה.

2. כוח המתיחות $T$ – מופעל על ידי החוט, לאורך החוט מהכדור אל נקודת התלייה (כלפי מעלה וימינה, בזווית $\beta$ לאנך).

3. הכוח החשמלי של השדה האחיד $F_E=|q_1|E$ – מופעל על ידי השדה החשמלי שבין הלוחות (כלומר על ידי המטענים שעל הלוחות). המטען שלילי, ולכן הכוח הפוך לשדה – אופקי שמאלה.

4. כוח קולון $F_C=k\frac{|q_1||q_2|}{r^2}$ – מופעל על ידי הכדור השני. שני המטענים שליליים, ולכן הכוח דוחה; הכדור השני נמצא משמאל, ולכן הכוח על $q_1$ אופקי ימינה.

טעות נפוצה: לסמן את כוח קולון שמאלה ("משיכה") – שני המטענים שליליים, ולכן הם דוחים זה את זה.

הכדור הראשון במנוחה, ולכן שקול הכוחות עליו אפס. מרכזי הכדורים באותו גובה, ולכן כוח קולון אופקי.

ציר אופקי (שמאלה חיובי): הכוח החשמלי $|q_1|E$ שמאלה, כוח קולון ימינה, והרכיב האופקי של המתיחות $T\sin\beta$ ימינה:

מציבים $T\sin\beta=mg\tan\beta$ ו־$E=\frac{U}{d}$:

מכפילים ב־$\frac{d}{|q_1|}$:

כנדרש.

הביטוי מסעיף ג הוא משוואה של קו ישר בגרף $U$ כפונקציה של $\frac{1}{r^2}$:

($\beta$ קבועה בכל המדידות, ולכן האיבר השני קבוע.)

השיפוע – משתי נקודות על הקו, רחוקות זו מזו: $(20\,\tfrac{1}{\text{m}^2},\,3400\,\text{V})$ ו־$(100\,\tfrac{1}{\text{m}^2},\,7000\,\text{V})$:

נקודת החיתוך – מאריכים את הקו עד $\frac{1}{r^2}=0$:

הצבה (עם $|q_1|=1.82\cdot 10^{-7}\,\text{C}$ מסעיף א ו־$mgd=5\cdot 10^{-3}\cdot 0.40=2.0\cdot 10^{-3}\,\text{N}\cdot\text{m}$):

(דרך קצרה: מסעיף א $\frac{mgd}{|q_1|}=\frac{U}{\tan\alpha}$, ולכן $\tan\beta=\frac{U_0}{4000}\tan 20^\circ$.)

טווח מקובל לקריאה מהגרף: שיפוע $43$–$47\,\text{V}\cdot\text{m}^2$ ונקודת חיתוך $2400$–$2600\,\text{V}$ נותנים $|q_2|\approx(1.2\text{–}1.3)\cdot 10^{-8}\,\text{C}$ ו־$\beta\approx 12^\circ$–$13.5^\circ$.

טעות נפוצה: לחשב את השיפוע מנקודה בודדת ($U$ חלקי $\frac{1}{r^2}$) – הקו אינו עובר בראשית, ולכן חייבים שתי נקודות על הקו.

קביעה: תשובה 5.

נימוק: כדי שהכדור השני יהיה תלוי אנכית, החוט שלו אנכי, והמתיחות אין לה רכיב אופקי. לכן שקול הכוחות האופקיים החשמליים עליו צריך להיות אפס. על הכדור השני פועלים שני כוחות אופקיים: הכוח של השדה האחיד $q_2\vec E$, וכוח קולון מהכדור הראשון (הנמצא מימינו).

- $q_2$ שלילי: הכוח של השדה הפוך לשדה – שמאלה. שני המטענים שליליים ודוחים זה את זה, והכדור הראשון נמצא מימין, ולכן גם כוח קולון על הכדור השני שמאלה. שני הכוחות באותו כיוון – השקול לא יכול להתאפס (תשובות 1 ו־2 שגויות).

- $q_2$ חיובי: הכוח של השדה בכיוון השדה – ימינה. המטענים מנוגדים ומושכים זה את זה, והכדור הראשון מימין, ולכן גם כוח קולון ימינה. שוב שני הכוחות באותו כיוון (תשובה 3 שגויה).

בכל סימן של $q_2$ שני הכוחות האופקיים מצטרפים ואינם מבטלים זה את זה, ולכן הכדור השני תמיד סוטה, בכל מרחק $r$ – אי אפשר (תשובה 4 שגויה).

(השוו לכדור הראשון: עליו כוח קולון וכוח השדה מנוגדים, ולכן אפשר היה להקטין את סטייתו – הכוח של $q_2$ על $q_1$ והכוח של $q_1$ על $q_2$ הם זוג כוחות לפי החוק השלישי של ניוטון, בכיוונים מנוגדים.)

טעות נפוצה: לחשוב שאם אפשר לבטל את הכוח האופקי על כדור אחד, אפשר לעשות זאת גם על השני – כוח קולון פועל על שני הכדורים בכיוונים הפוכים, ואילו כוח השדה על מטענים שווי סימן פועל באותו כיוון.

מחוץ לכדור מוליך שהמטען מפוזר על פניו באחידות, הפוטנציאל זהה לזה של מטען נקודתי $Q_1$ הנמצא במרכזו (עם $V=0$ באין־סוף):

המשטח שווה הפוטנציאל נמצא $15\,\text{cm}$ מחוץ לכיפה, כלומר במרחק $r=R_1+15\,\text{cm}=30\,\text{cm}=0.30\,\text{m}$ מהמרכז:

הפוטנציאל שלילי, ולכן המטען שלילי: $Q_1=-200\,\text{nC}$.

טעות נפוצה: להציב $r=15\,\text{cm}$ – זה המרחק מפני הכיפה, ולא מהמרכז.

הפוטנציאל על פני הכיפה ($r=R_1=0.15\,\text{m}$):

הכיפה והאלקטרון טעונים שניהם במטען שלילי – הכוח החשמלי דוחה את האלקטרון מהכיפה ומאיץ אותו בדרכו החוצה.

שימור אנרגייה (רק הכוח החשמלי, שהוא כוח משמר, פועל). מדף הנוסחאות $U_E=qV$, ומטען האלקטרון $q=-e$. מצב התחלתי – על פני הכיפה, במנוחה; מצב סופי – רחוק מאוד, שם $V=0$:

($-eV_1=+1.92\cdot 10^{-15}\,\text{J}$ – האנרגייה הפוטנציאלית ההתחלתית חיובית, והיא כולה הופכת לאנרגייה קינטית.)

הצבה:

טעות נפוצה: להשתמש ב־$-6\,\text{kV}$ – זה הפוטנציאל במרחק $30\,\text{cm}$ מהמרכז, ולא על פני הכיפה.

שימור מטען: המערכת מבודדת, ולכן המטען הכולל נשמר:

שוויון פוטנציאלים: לאחר זמן רב המטענים מפסיקים לנוע. הכיפה, התיל והכדור הם מוליך אחד בשיווי משקל, ולכן כולם באותו פוטנציאל. הגופים רחוקים מאוד זה מזה, ולכן הפוטנציאל של כל אחד נקבע רק על ידי המטען שלו, $V=k\frac{Q}{R}$:

פתרון שתי המשוואות:

שני המטענים שליליים. בדיקה: $V_1'=\frac{9\cdot 10^9\cdot(-175\cdot 10^{-9})}{0.15}=-10.5\,\text{kV}$ ו־$V_2'=\frac{9\cdot 10^9\cdot(-525\cdot 10^{-9})}{0.45}=-10.5\,\text{kV}$ – שווים.

טעות נפוצה: לחלק את המטען שווה בשווה – מה שמשתווה הוא הפוטנציאל, לא המטען.

כיוון המעבר: לפני החיבור:

אלקטרונים (מטען שלילי) נעים מפוטנציאל נמוך לפוטנציאל גבוה, כלומר מהכיפה ($-12\,\text{kV}$) אל כדור ב' ($-10\,\text{kV}$). בהתאם, המטען השלילי של הכיפה קטן בגודלו מ־$200\,\text{nC}$ ל־$175\,\text{nC}$ – אלקטרונים יצאו ממנה – ושל כדור ב' גדל.

מספר האלקטרונים: השינוי במטען הכיפה:

טעות נפוצה: לקבוע את הכיוון לפי גודל המטען ("בכדור ב' יש יותר אלקטרונים עודפים, ולכן הם עוברים ממנו לכיפה") – הכיוון נקבע לפי הפוטנציאלים, וכאן האלקטרונים עוברים דווקא אל הגוף שמטענו גדול יותר.

בסעיף ג השתמשנו בביטוי $V=k\frac{Q}{R}$ לפוטנציאל של כל גוף, וממנו קיבלנו שהמטענים מתחלקים ביחס הרדיוסים. ביטוי זה נכון רק לכדור מבודד. אילו הגופים היו קרובים:

- תרומת הגוף השני לפוטנציאל: הפוטנציאל בנקודה הוא סכום הפוטנציאלים של כל המטענים. המטען של כדור ב' היה מוסיף לפוטנציאל של הכיפה איבר בגודל $k\frac{Q_2'}{d}$ ($d$ – המרחק בין המרכזים), ולהפך. רק כאשר $d$ גדול מאוד איבר זה זניח.

- פיזור לא אחיד של המטען: המטענים על כל גוף היו נדחים מהמטענים על הגוף השני, והפיזור על פני כל כדור כבר לא היה אחיד – לא ניתן היה להתייחס לכל גוף כאל מטען נקודתי במרכזו.

לכן תנאי שוויון הפוטנציאלים לא היה מקבל את הצורה הפשוטה $\frac{Q_1'}{R_1}=\frac{Q_2'}{R_2}$, והמטענים שחישבנו היו שגויים.

קביעה: גרף א מתאר את $V_2$, וגרף ב מתאר את $V_1$.

•מד־המתח $V_2$ מחובר במקביל לנגד הקבוע $R$, ולכן לפי חוק אוהם $V_2=IR$. $R$ קבוע, ולכן $V_2$ יחסי ישר לזרם – גרף עולה שהמשכו עובר דרך הראשית. זהו גרף א (למשל $\frac{3}{0.5}=\frac{6}{1}=\frac{12}{2}=6$).

•מד־המתח $V_1$ מודד את המתח על הנגד המשתנה. לפי חוק המתחים של קירכהוף, לאורך המעגל (מד־הזרם אידיאלי):

ככל שהזרם גדל, $V_1$ קטן באופן קווי – גרף יורד. זהו גרף ב.

ההתנגדות $R$ – מגרף א ($V_2=IR$), השיפוע הוא $R$. משתי נקודות על הקו, $(0.5\,\text{A},\,3\,\text{V})$ ו־$(2.0\,\text{A},\,12\,\text{V})$:

הכא"מ – מגרף ב: $V_1=\varepsilon-I(r+R)$ היא משוואת קו ישר שהחיתוך שלו עם ציר המתח ($I=0$) הוא $\varepsilon$. שיפוע גרף ב, מהנקודות $(0.5,\,14)$ ו־$(2.0,\,2)$:

מציבים נקודה, למשל $(0.5,\,14)$, ומחשבים את החיתוך:

(בדיקה: כשאין זרם אין מפלי מתח על $r$ ועל $R$, וכל הכא"מ נופל על הנגד המשתנה.)

לפי סעיף א, $V_1=\varepsilon-I(r+R)$, ולכן השיפוע של גרף ב הוא $-(r+R)$ – לא $-r$:

טעות נפוצה: לענות $r=8\,\Omega$ מתוך הרגל ממד מתח המחובר להדקי המקור. כאן מד־המתח מחובר על הנגד המשתנה, ובין המקור לבינו נמצא גם הנגד $R$.

איזה מצב: הנגד המשתנה, הנגד $R$, מד־הזרם ומקור המתח מחוברים בטור. ככל שההתנגדות של הנגד המשתנה גדולה יותר, ההתנגדות הכוללת גדולה יותר והזרם קטן יותר. לכן ההתנגדות המרבית מתאימה לזרם הקטן ביותר בגרף: $I=0.5\,\text{A}$.

התנגדות הנגד המשתנה: בזרם זה $V_1=14\,\text{V}$, ולפי חוק אוהם:

מתח ההדקים: בין הדקי המקור מחוברים בטור הנגד $R$ והנגד המשתנה (מד־הזרם אידיאלי), ולכן לפי חוק המתחים של קירכהוף:

(בדיקה מנוסחת מתח ההדקים: $V_{ab}=\varepsilon-Ir=18-0.5\cdot 2=17\,\text{V}$ ✓.)

קביעה: מתח ההדקים גדל.

נימוק: לפי תרשים 1 הזרם עובר בנגד המשתנה בין המגע הנייד $P$ לבין הקצה $K$ (הקצה $M$ אינו מחובר). כשמזיזים את $P$ לכיוון $M$, אורך החלק $PK$ שהזרם עובר בו גדל, ולכן לפי $R=\rho\frac{\ell}{A}$ ההתנגדות של הנגד המשתנה גדלה.

ההתנגדות הכוללת של המעגל גדלה, ולכן הזרם קטן:

לפי נוסחת מתח ההדקים מדף הנוסחאות:

$\varepsilon$ ו־$r$ קבועים, והזרם $I$ קטן – ולכן $V_{ab}$ גדל.

טעות נפוצה: לנסות להכריע לפי $V_{ab}=I(R+R_{PK})$ – שם $I$ קטן ו־$R_{PK}$ גדל, ואי אפשר לקבוע מכך את המגמה. משתמשים בביטוי שבו רק $I$ משתנה.

מה השתנה: מד־הזרם $A_2$ מחובר במקביל לנגד המשתנה, בין $P$ ל־$K$. מד־זרם אידיאלי הוא בעל התנגדות אפס, ולכן הוא "מקצר" את הנגד המשתנה: המתח בין $P$ ל־$K$ הוא אפס, ולפי חוק אוהם לא עובר זרם בנגד המשתנה – כל הזרם עובר דרך $A_2$.

המעגל כולל עכשיו רק את $r$ ואת $R$ בטור (מדי הזרם אידיאליים):

הוריית $A_2$: $2.25\,\text{A}$ (גם $A$ מורה $2.25\,\text{A}$ – אותו זרם עובר בשניהם).

הוריית $V_2$: לפי חוק אוהם על הנגד $R$:

התוצאות אינן תלויות במיקום המגע הנייד, כי הנגד המשתנה אינו משתתף במעגל.

טעות נפוצה: לחשוב ש־$A_2$ מודד רק "חלק" מהזרם – בחיבור במקביל לרכיב בעל התנגדות, כל הזרם בוחר במסלול שהתנגדותו אפס.

ההתנגדות $R_2$. מדף הנוסחאות, התנגדות של מוליך:

לשני הנגדים אותו חומר (אותו $\rho$) ואותו אורך, ולכן ההתנגדות הפוכה ביחס לשטח החתך:

ההתנגדות החיצונית. המכשירים אידיאליים: התנגדות האמפרמטר אפס, ודרך הוולטמטר אין זרם – הם אינם משנים את ההתנגדות. $R_1$ ו־$R_2$ מחוברים בטור:

טעות נפוצה: לכפול ב־$1.5$ (שטח חתך גדול יותר – התנגדות קטנה יותר), או להוסיף את $r$ להתנגדות החיצונית.

האמפרמטר מחובר בטור ומודד את הזרם במעגל. מדף הנוסחאות, מתח ההדקים $V=\varepsilon-Ir$, ולפי חוק אוהם על המעגל החיצוני $V=IR_{\text{ext}}$. לכן:

הוולטמטר מחובר במקביל ל־$R_1$ ומודד את המתח עליו. לפי חוק אוהם:

הנגדים בטור, ולכן גם דרך $R_2$ עובר הזרם $I=0.02\,\text{A}$, והוא קבוע. מדף הנוסחאות:

$\Delta t=2\,\text{min}=120\,\text{s}$:

הזרם. הוולטמטר מודד את המתח על $R_1=600\,\Omega$. לפי חוק אוהם:

התנגדות הנגד תלוי־האור. הוא מחובר בטור עם $R_1$ במקום $R_2$. מהביטוי שבסעיף ב:

עוצמת ההארה. בגרף, התנגדות של $0.75\,\text{k}\Omega$ מתאימה לעוצמת הארה של כ־$400\,\text{lux}$ (הנקודה המסומנת ב־$400\,\text{lux}$ נמצאת בגובה זה).

טעות נפוצה: לשכוח את ההתנגדות הפנימית ולקבל $800\,\Omega$ (כ־$370\,\text{lux}$), או לקרוא את הגרף כאילו הציר האנכי באוהם ולא בקילו־אוהם.

קביעה: הוריית האמפרמטר גדלה.

נימוק: לוולטמטר שאינו אידיאלי יש התנגדות סופית $R_V$, ולכן עובר דרכו זרם. הוא מחובר במקביל ל־$R_1$, וההתנגדות השקולה של שני רכיבים במקביל קטנה מההתנגדות של כל אחד מהם:

לכן ההתנגדות החיצונית $R_{\parallel}+R_2$ קטנה. לפי

כאשר $\varepsilon$ ו־$r$ קבועים וההתנגדות החיצונית קטנה, הזרם הכולל – שאותו מודד האמפרמטר – גדל.

טעות נפוצה: לחשוב שהוולטמטר "גוזל" זרם ולכן הוריית האמפרמטר קטנה – הזרם בוולטמטר מצטרף לזרם ב־$R_1$, והזרם הכולל דרך המקור והאמפרמטר גדל.

כיוון השדה של כדור הארץ: הקוטב $N$ של המחט מצביע בכיוון השדה המגנטי. הוא פונה צפונה ומטה, ולכן לשדה של כדור הארץ יש רכיב אופקי צפונה ורכיב אנכי כלפי מטה.

הדרישה מהסליל: ציר הסליל צפון–דרום, ולכן השדה שלו במרכזו (שם תלויה המחט) אופקי בכיוון צפון–דרום. הוא אינו משנה את הרכיב האנכי של שדה כדור הארץ, אלא רק את הרכיב האופקי. המחט התייצבה במצב אנכי, כלומר השדה השקול אנכי – שדה הסליל ביטל את הרכיב האופקי של שדה כדור הארץ. לכן שדה הסליל מכוון דרומה – בתרשים 2: מתוך הדף, אל המתבונן.

כיוון הזרם: לפי כלל יד ימין, שדה מתוך הדף במרכז כריכה מתקבל כאשר הזרם מסתובב בה נגד כיוון השעון במבט של התרשים. בתרשים 2 התיל שמגיע מההדק $k$ מחובר לקצה השמאלי של הפתח בתחתית הכריכה. מקצה זה הכריכה עולה בצד שמאל, עוברת למעלה ויורדת בצד ימין אל הקצה הימני, המחובר למד הזרם. זרם שנכנס לכריכה מהתיל של $k$ היה מסתובב אפוא עם כיוון השעון. כדי שהזרם יסתובב נגד כיוון השעון, עליו להיכנס לכריכה בקצה הימני (ממד הזרם), לצאת בקצה השמאלי ולזרום אל ההדק $k$.

במעגל החיצוני הזרם זורם מההדק החיובי של הספק אל ההדק השלילי, ולכן ההדק $k$, שאליו הזרם נכנס, הוא השלילי.

טעות נפוצה: לחשוב שהסליל צריך לבטל את הרכיב האנכי (כמו בסליל אופקי) – סליל שצירו אופקי יוצר במרכזו שדה אופקי בלבד.

קביעה: הגררה הוזזה מ־$C$ לכיוון $B$.

נימוק: הזווית $\alpha$ גדלה בהדרגה, כלומר הרכיב האופקי של השדה השקול קטן – שדה הסליל ($B=\mu_0\frac{NI}{2R}$) גדל, ולכן הזרם במעגל גדל. לפי חוק אוהם, בספק נתון הזרם גדל כאשר ההתנגדות במעגל קטנה.

בתרשים 2 המעגל מחובר לנגד המשתנה בשתי נקודות: בגררה $M$ (החוט שמגיע מהספק) ובקצה $B$ (החוט שהולך אל מד הזרם). הקצה $C$ אינו מחובר. לכן הזרם עובר רק בחלק של הנגד שבין $M$ ל־$B$, והתנגדותו יחסית לאורכו ($R=\rho\frac{\ell}{A}$). כדי להקטין את ההתנגדות יש לקצר את הקטע $MB$ – כלומר להזיז את הגררה מ־$C$ אל $B$.

כשהמחט אנכית, שדה הסליל במרכזו מבטל בדיוק את הרכיב האופקי של שדה כדור הארץ:

מדף הנוסחאות, גודל שדה מגנטי במרכז סליל מעגלי דק:

הצבה, עם $N=4$, $I=1.50\,\text{A}$, $R=15\,\text{cm}=0.15\,\text{m}$ ו־$\mu_0=1.257\cdot 10^{-6}\,\text{T}\cdot\text{m/A}$:

(בהמשך: מזווית ההרכנה $\tan 60^\circ=\frac{B_{E\perp}}{B_{E\parallel}}$ אפשר למצוא גם את הרכיב האנכי – כ־$4.4\cdot 10^{-5}\,\text{T}$.)

טעות נפוצה: לשכוח את מספר הכריכות $N$, או להציב את הקוטר במקום הרדיוס.