בגרות בפיזיקה שאלון חקר 36382 - קיץ 2018

במצב תהודה ההיגב ההשראי שווה להיגב הקיבולי, $X_L=X_C$, ולכן תדירות המקור שווה לתדירות התהודה של המעגל – נוסחה (1) מהרקע העיוני:

(הנוסחה אינה מופיעה בדף הנוסחאות – היא נתונה בשאלון עצמו.)

מעלים בריבוע ומבודדים את $L$:

הצבה, עם $f_0=50\,\text{Hz}$ ו־$C=100\,\mu\text{F}=1.0\cdot10^{-4}\,\text{F}$:

ההתנגדות $R$ אינה משפיעה על תדירות התהודה – היא קובעת רק את גודל הזרם המרבי.

טעות נפוצה: לשכוח להמיר $\mu\text{F}$ ל־$\text{F}$ (הכפלה ב־$10^{-6}$), או לשכוח לעלות את $f_0$ בריבוע.

לפי הרקע העיוני, נורית ה־LED מחוברת בטור במעגל ועוצמת האור שלה מעידה על עוצמת הזרם במעגל: ככל שהזרם גדול יותר – האור חזק יותר.

עוצמת הזרם במעגל נקבעת לפי היחס בין המתח לעכבה:

כשמשנים את התדירות, $X_L=2\pi fL$ גדל ו־$X_C=\frac{1}{2\pi fC}$ קטן. האיבר $(X_L-X_C)^2$ אינו שלילי, ולכן העכבה היא הקטנה ביותר כאשר הוא מתאפס, כלומר כאשר $X_L=X_C$ – וזו בדיוק ההגדרה של תדירות התהודה $f_0$. בתדירות זו $Z=X_R$ (ההתנגדות האוהמית בלבד) – העכבה מינימלית, ולכן הזרם מרבי.

מכאן: התדירות שבה עוצמת האור ב־LED מרבית היא התדירות שבה הזרם מרבי, כלומר תדירות התהודה של המעגל.

- בתדירויות נמוכות ההיגב הקיבולי $X_C=\frac{1}{2\pi fC}$ גדול מאוד, ולכן העכבה גדולה והזרם קטן.

- בתדירות התהודה $f_0$ מתקיים $X_L=X_C$, העכבה מינימלית והזרם מרבי (כפי שנראה בניסוי – האור ב־LED והמתח על המשרן מגיעים למקסימום).

- בתדירויות גבוהות ההיגב ההשראי $X_L=2\pi fL$ גדול מאוד, העכבה שוב גדולה והזרם קטן.

כלומר הזרם עולה עד מקסימום ואחר כך יורד – צורת "פעמון", כמו בגרף ①.

גרף ② מתאר מינימום של הזרם בתהודה (הפוך מהנכון); גרף ③ מתאר זרם היורד כל הזמן וגרף ④ זרם העולה כל הזמן – שניהם אינם מראים מקסימום, בניגוד לתצפית שבה האור ב־LED גדל ואחר כך קטן.

הערכה נמצאת במצבה ההתחלתי: שלושת המתגים $S_1$, $S_2$, $S_3$ במצב OFF, ולכן הקבלים $C_1$, $C_2$, $C_3$ אינם מחוברים למעגל. הקבל היחיד המחובר הוא $C$, ולכן:

לפי ההקדמה, כל $1\,\text{V}$ במתח שבין $P_1$ ו־$P_2$ מתאים ל־$1\,\text{kHz}$ בתדירות המחולל, כלומר התדירות בקילוהרץ שווה מספרית למתח בוולט:

מכיוון שהכפתור כוון לעוצמת אור מרבית, זוהי תדירות התהודה של המעגל כשהקיבול $0.1\,\mu\text{F}$.

בשורה של מדידה 1 (קיבול שקול $0.1\,\mu\text{F}$, מתח $4.86\,\text{V}$) רושמים:

- $S_1$ – OFF, $S_2$ – OFF, $S_3$ – OFF (רק הקבל $C$ מחובר).

•תדירות התהודה: $4.86\,\text{kHz}$.

ראו את הטבלה המלאה בפתרון שאלה 4.

מצב המפסקים. הקבל $C=0.1\,\mu\text{F}$ מחובר תמיד, והקבלים $C_1=0.1$, $C_2=0.2$, $C_3=0.4\,\mu\text{F}$ מתווספים במקביל כשהמתג שלהם ב־ON. הקיבול השקול הוא סכום הקיבולים המחוברים, $C_T=C+C_1+C_2+\dots$:

- $0.1=0.1$ (רק $C$) – כל המתגים OFF.

- $0.2=0.1+0.1$ – $S_1$ ON.

- $0.3=0.1+0.2$ – $S_2$ ON.

- $0.4=0.1+0.1+0.2$ – $S_1$ ו־$S_2$ ON. (חיבור $S_3$ לבדו נותן $0.5$ – לא מתאים.)

- $0.6=0.1+0.1+0.4$ – $S_1$ ו־$S_3$ ON.

- $0.8=0.1+0.1+0.2+0.4$ – שלושת המתגים ON.

תדירות התהודה. לפי ההקדמה, $1\,\text{V}$ בין $P_1$ ו־$P_2$ מתאים ל־$1\,\text{kHz}$, ולכן התדירות בקילוהרץ שווה מספרית למתח בוולט.

כצפוי מנוסחה (1), ככל שהקיבול גדל – תדירות התהודה קטנה.

המשתנה הבלתי־תלוי הוא הגודל שהנסיין קובע ומשנה בעצמו: הקיבול השקול $C_T$ של המעגל – אותו שינינו בעזרת המתגים $S_1$, $S_2$, $S_3$.

המשתנה התלוי הוא הגודל שנמדד כתוצאה מהשינוי: תדירות התהודה $f_0$ של המעגל (שנקבעה בעזרת המתח בין הפינים $P_1$ ו־$P_2$ במצב של אור מרבי).

גדלים קבועים בניסוי: ההשראות $L$ של המשרן, ההתנגדויות $R$ ו־$r$ והסוללה.

טעות נפוצה: לציין את המתח בין $P_1$ ו־$P_2$ כמשתנה התלוי "הפיזיקלי" – המתח הוא רק אמצעי המדידה של התדירות; הגודל הנחקר הוא $f_0$.

מנוסחה (1):

הקשר בין $f_0$ ל־$C_T$ אינו קווי. מעלים את שני האגפים בריבוע:

זו משוואה מהצורה $y=a\cdot x$ אם מגדירים:

- משתנה תלוי חדש: $y=f_0^{\,2}$ (יחידות $\text{Hz}^2$).

- משתנה בלתי־תלוי חדש: $x=\dfrac{1}{C_T}$ (יחידות $\dfrac{1}{\text{F}}$).

הגרף של $f_0^{\,2}$ כפונקציה של $\frac{1}{C_T}$ הוא קו ישר העובר דרך הראשית, ושיפועו $a=\dfrac{1}{4\pi^2L}$ – קבוע, כי $L$ אינו משתנה בניסוי.

(אפשרויות שקולות: $f_0$ כפונקציה של $\frac{1}{\sqrt{C_T}}$, ששיפועו $\frac{1}{2\pi\sqrt L}$, או $\frac{1}{f_0^{\,2}}$ כפונקציה של $C_T$, ששיפועו $4\pi^2L$. בהמשך הפתרון נשתמש בבחירה $f_0^{\,2}$ מול $\frac{1}{C_T}$.)

ממירים לפני החישוב ליחידות SI: $C_T$ ב־$\text{F}$ ($1\,\mu\text{F}=10^{-6}\,\text{F}$) ו־$f_0$ ב־$\text{Hz}$ ($1\,\text{kHz}=10^3\,\text{Hz}$).

לדוגמה, במדידה 1:

כדי שבציר יופיעו המקדמים בלבד, נכתוב את כל הערכים עם החזקה המשותפת $10^6$:

טעות נפוצה: להעלות בריבוע את $f_0$ בקילוהרץ ולרשום יחידות $\text{Hz}^2$ – $(4.86\,\text{kHz})^2=23.6\,\text{kHz}^2=23.6\cdot10^{6}\,\text{Hz}^2$.

•ציר אופקי (המשתנה הבלתי־תלוי החדש): $\dfrac{1}{C_T}$, ביחידות $10^{6}\,\dfrac{1}{\text{F}}$, קנה מידה מ־0 עד 11.

•ציר אנכי (המשתנה התלוי החדש): $f_0^{\,2}$, ביחידות $10^{6}\,\text{Hz}^2$, קנה מידה מ־0 עד 26.

כדאי להתחיל את שני הצירים מאפס, כדי שיהיה אפשר לראות אם הקו עובר דרך הראשית, כפי שצופה התאוריה.

הנקודות (מהטבלה בשאלה 5):

הנקודות מסתדרות בקירוב לאורך קו ישר – בהתאם לקשר $f_0^{\,2}=\frac{1}{4\pi^2L}\cdot\frac{1}{C_T}$.

מעבירים קו ישר אחד שעובר קרוב ככל האפשר לכל הנקודות (חלקן מעליו וחלקן מתחתיו) – לא מחברים את הנקודות זו לזו. לפי התאוריה הקו צריך לעבור דרך ראשית הצירים, ואכן קו המגמה המתאים לנתונים עובר כמעט בדיוק דרכה (התאמה ליניארית לנתונים נותנת חיתוך עם ציר $y$ של כ־$-0.02\cdot10^6\,\text{Hz}^2$ בלבד – זניח).

קו המגמה: $f_0^{\,2}\approx 2.35\cdot\dfrac{1}{C_T}$ (ביחידות הצירים).

בוחרים שתי נקודות על קו המגמה (לא נקודות מדידה), רחוקות זו מזו:

(ביחידות $10^6\,\text{F}^{-1}$ בציר $x$ ו־$10^6\,\text{Hz}^2$ בציר $y$.)

יחידות: $\dfrac{\text{Hz}^2}{1/\text{F}}=\text{Hz}^2\cdot\text{F}=\dfrac{\text{F}}{\text{s}^2}$. מכיוון ש־$\text{H}\cdot\text{F}=\text{s}^2$, יחידה זו שקולה ל־$\dfrac{1}{\text{H}}$ – בהתאם לכך שהשיפוע שווה ל־$\frac{1}{4\pi^2L}$.

טעות נפוצה: לשכוח את החזקות $10^6$ שבצירים – כאן הן מצטמצמות, אבל רק משום שבשני הצירים החזקה זהה.

מהקשר הליניארי שבשאלה 5:

מבודדים את $L$:

הצבה:

(בדיקה: הצבת כל אחת מהמדידות בנפרד בנוסחה (1) נותנת ערכים בין $10.2$ ל־$11.4\,\text{mH}$ – בהתאם לתוצאה מהגרף, שממצעת את כל המדידות.)

הגרף של $f_0$ כפונקציה של $C_T$ הוא עקומה יורדת ($f_0\propto\frac{1}{\sqrt{C_T}}$), ואילו הגרף של $f_0^{\,2}$ כפונקציה של $\frac{1}{C_T}$ הוא קו ישר. יתרונות הגרף הליניארי:

1. בדיקת התאוריה: קל לזהות בעין אם הנקודות מסתדרות על קו ישר (ואם הוא עובר דרך הראשית). בעקומה קשה לדעת אם היא באמת מהצורה $\frac{1}{\sqrt{C}}$ או מצורה יורדת אחרת (למשל $\frac{1}{C}$).

2. קו מגמה פשוט ומדויק: קל להעביר קו ישר אחד הממצע את כל המדידות ומקטין את השפעת השגיאות האקראיות של כל מדידה בודדת. העברת עקומה "בעין" אינה מדויקת.

3. חישוב ישיר של $L$: לשיפוע הקו יש משמעות פיזיקלית – $\frac{1}{4\pi^2L}$ – ולכן ממנו מחשבים את ההשראות בבת אחת, על סמך כל המדידות.

4. זיהוי חריגות: נקודה שסוטה מהקו הישר בולטת מייד, ואפשר לבדוק אם נפלה טעות במדידתה.

קביעה: גובה ה"פעמון" – הזרם המרבי, בתדירות התהודה – היה גדל.

נימוק: בתדירות התהודה $X_L=X_C$, ולכן העכבה שווה להתנגדות האוהמית הכוללת של המעגל בלבד:

בערכה, ההתנגדות האוהמית הכוללת היא $R+r$ (הנגד ועוד ההתנגדות הפנימית של המשרן), והזרם המרבי הוא:

אם הנגד $R=36\,\Omega$ מקוצר, נשארת רק ההתנגדות $r$, כלומר העכבה בתהודה קטנה ל־$Z=r$, והזרם המרבי גדל ל־$I_{\max}=\frac{V}{r}$.

תדירות התהודה $f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$ אינה תלויה ב־$R$, ולכן מקום הפעמון על ציר $f$ אינו משתנה – רק גובהו גדל (והפעמון נעשה צר וחד יותר).

טעות נפוצה: לחשוב שבלי הנגד הזרם יהיה אינסופי – למשרן יש התנגדות פנימית $r$, ולכן הזרם גדל אך נשאר סופי.

בשלב זה מעבירים משקולות מהעגלה אל הסל (או להפך), כך שהמסה הכוללת $M=m_{\text{עגלה}}+m_{\text{סל}}$ נשארת קבועה, אך הכוח המושך את המערכת משתנה.

- המשתנה הבלתי־תלוי: הכוח השקול $F$ הפועל על המערכת – משקל הסל ותכולתו, $F=m_{\text{סל}}\cdot g$ (בהזנחת החיכוך). את הגודל הזה הנסיין קובע ומשנה.

- המשתנה התלוי: התאוצה $a$ של המערכת, הנמדדת בניסוי (למשל ממדידת זמן ומרחק, או בחיישן/צילום).

המסה הכוללת היא הגודל הקבוע בשלב זה; לפי החוק השני $a=\frac{F}{M}$, ולכן מצפים לקשר קווי בין $a$ ל־$F$.

לא. על הסל פועלים שני כוחות: משקלו $m_{\text{סל}}g$ כלפי מטה, וכוח המתיחות $T$ של החוט כלפי מעלה. הסל נע בנפילה חופשית רק אם הכוח היחיד עליו הוא כוח הכובד – וזה לא המקרה, כי החוט מתוח (הוא מושך את העגלה).

לפי החוק השני של ניוטון למערכת כולה (בהזנחת החיכוך ומסת הגלגלת), הכוח השקול על המערכת הוא משקל הסל, והוא מאיץ את כל המסה:

מכיוון שהמכנה גדול מהמונה, $a<g$. משקל הסל צריך להאיץ גם את העגלה, ולכן התאוצה קטנה מ־$g$ (ומתיחות החוט $T=m_{\text{עגלה}}a>0$).

בגרף, הכוח בציר האופקי הוא משקל הסל $F=m_{\text{סל}}g$ (הכוח שהנסיין מחשב כ"כוח השקול"). כשיש כוח חיכוך $f$ על העגלה, הכוח השקול האמיתי הוא $F-f$, ולפי החוק השני:

זו משוואה של קו ישר שהשיפוע שלו $\frac{1}{M}$ – אותו שיפוע כמו בלי חיכוך ($a=\frac{1}{M}F$), כי המסה הכוללת $M$ קבועה. לכן השיפוע לא ישתנה – הגרף רק יוזז במקביל כלפי מטה.

(הערה: אם מתחשבים בכך שכוח החיכוך על העגלה קטן מעט כשמעבירים משקולות מהעגלה לסל, השיפוע גדל מעט; בניסוי עם עגלה על גלגלים, שבו החיכוך קטן, ההשפעה העיקרית היא ההזזה של הגרף, והשיפוע נשאר בקירוב $\frac{1}{M}$.)

בלי חיכוך $a=\frac{F}{M}$, והגרף עובר בראשית: $a=0$ כאשר $F=0$.

עם חיכוך: $a=\frac{F-f}{M}$. נקודת החיתוך עם הציר האופקי היא הנקודה שבה $a=0$:

כלומר נקודת החיתוך תזוז ימינה – מהראשית לערך חיובי השווה לגודל כוח החיכוך. פיזיקלית: כל עוד משקל הסל אינו גדול מכוח החיכוך, המערכת אינה מאיצה; רק מעבר לכך מתקבלת תאוצה.

המערכת: גלוונומטר טנגנטי הוא סליל מעגלי דק בעל $N$ כריכות ורדיוס $R$, העומד במישור אנכי, ובמרכזו מצפן (מחט מגנטית שיכולה להסתובב במישור אופקי). מחברים את הסליל בטור למקור מתח, לנגד משתנה ולמד־זרם.

כיוון המערכת: כשאין זרם, מחט המצפן מצביעה בכיוון הרכיב האופקי של השדה של כדור הארץ, $B_E$ (צפון–דרום). מסובבים את הסליל כך שמישורו יהיה מקביל למחט (במישור צפון–דרום). כך השדה שהסליל ייצור במרכזו, הניצב למישור הסליל, יהיה ניצב ל־$B_E$.

המדידה: מזרימים זרם $I$ בסליל. במרכז הסליל נוצר שדה מגנטי אופקי (מדף הנוסחאות – שדה במרכז סליל מעגלי דק):

המחט מסתובבת לכיוון השדה השקול – הסכום הווקטורי של $B_E$ ו־$B_c$ הניצבים זה לזה – ונוצרת זווית סטייה $\theta$ מכיוון צפון:

(מכאן שם המכשיר – "טנגנטי".)

עיבוד: מודדים את $\theta$ עבור כמה ערכי זרם (משנים בעזרת הנגד המשתנה, וכדאי למדוד גם בזרם בכיוון הפוך ולמצע את שתי הסטיות). משרטטים גרף של $\tan\theta$ כפונקציה של $I$ – קו ישר דרך הראשית ששיפועו $\frac{\mu_0N}{2RB_E}$. לכן:

דוגמה עם ערכים להמחשה בלבד (התוצאות תלויות במכשיר ובמדידות): לדוגמה, אם בסליל $N=10$ כריכות, $R=0.10\,\text{m}$, ובזרם $I=0.50\,\text{A}$ נמדדה סטייה $\theta=45^\circ$:

– סדר הגודל המוכר של הרכיב האופקי של השדה המגנטי של כדור הארץ בישראל.

המחט המגנטית של המצפן מותקנת על ציר אנכי, ולכן היא יכולה להסתובב רק במישור האופקי. מחט מגנטית מסתובבת כך שתתיישר עם השדה המגנטי, אבל כאן היא יכולה להתיישר רק עם ההיטל האופקי של השדה השקול.

הרכיב האנכי של השדה של כדור הארץ "מנסה" להטות את המחט מעלה/מטה – סיבוב סביב ציר אופקי, שהציר והמסגרת של המצפן אינם מאפשרים (הם מפעילים כוחות נגדיים). לכן רכיב זה אינו משפיע על זווית הסטייה הנמדדת.

גם שדה הסליל, באותו מקום, הוא אופקי (הסליל עומד אנכית), כך שבחישוב $\tan\theta=\frac{B_c}{B_E}$ משתתף רק הרכיב האופקי של שדה כדור הארץ.

המחט מצביעה בכיוון השדה האופקי השקול, שהוא הסכום הווקטורי של $B_E$ (צפון) ושל $B_c$ (ניצב לו). הזווית מקיימת:

כדי שהמחט תסטה ב־$90^\circ$ – כלומר תצביע בדיוק בכיוון שדה הסליל – הרכיב $B_E$ של השדה השקול צריך להתאפס ביחס ל־$B_c$: $\tan90^\circ$ אינו מוגדר (שואף לאינסוף), ולכן נדרש $B_c\to\infty$, כלומר זרם אינסופי.

בפועל, $B_E$ קיים תמיד ואינו תלוי בזרם, ולכל זרם סופי השדה השקול כולל גם את הרכיב $B_E$ – ולכן $\theta$ מתקרבת ל־$90^\circ$ ככל שהזרם גדל, אבל לעולם אינה מגיעה אליה.