בגרות בפיזיקה שאלון חקר 36382 - קיץ 2019

מודדים על הסרגל המצויר באיור א' את המרחק מתחילת הליפופים העליונה (מתחת ללולאה העליונה, התלויה בחור הלוחית) ועד סוף הליפופים התחתון (מעל הוו התחתון). הלולאות עצמן אינן חלק מהאורך הפעיל.

הליפופים מתחילים בקריאה של כ־$4.3\,\text{cm}$ על הסרגל ומסתיימים בקריאה של כ־$8.3\,\text{cm}$, ולכן:

(קריאה בתחום $3.9$–$4.1\,\text{cm}$ סבירה, לפי דיוק הקריאה בקצוות הקפיץ.)

טעות נפוצה: לכלול את הלולאות שבקצות הקפיץ במדידה.

באיור ב' הליפופים של הקפיץ המתוח מתחילים בקריאה של כ־$4.7\,\text{cm}$ ומסתיימים בקריאה של כ־$34.8\,\text{cm}$ (שוב – ללא הלולאות שבקצוות):

ההתארכות ביחס למצב הרפוי:

שימו לב: אורכי הקפיצים נמדדים על־גבי האיורים שבחוברת האיורים, בעזרת הסרגל המצויר בכל איור (כל שנתה ממוספרת = $1\,\text{cm}$ בסרגל המצויר). הקפיצים מצוירים עם קצוות משופעים, ולכן קריאות של נבחנים שונים עשויות להיות שונות בכ־$0.1$–$0.2\,\text{cm}$; הערכים כאן הם מדידה זהירה של האיורים.

האורכים נמדדו בסרגל המסומן בסנטימטרים, ולכן בראש שתי העמודות רושמים $[\text{cm}]$: $L_T\,[\text{cm}]$ ו־$\Delta L=L_T-L_0\,[\text{cm}]$.

(אפשר גם להמיר למטרים ולרשום $[\text{m}]$ – העיקר שהיחידות יתאימו לערכים שבטבלה. בחישוב קבוע הכוח נמיר למטרים.)

בכל איור מודדים קפיץ אחד (כל הקפיצים באיור מתוחים באותה מידה, כי הלוחית התחתונה אופקית). קריאות הסרגל (תחילת הליפופים – סוף הליפופים) ואורך הקפיץ:

•איור ג' ($n=2$): $20.3-4.4$, כלומר $L_T\approx 15.9\,\text{cm}$

•איור ד' ($n=3$): $15.8-4.4$, כלומר $L_T\approx 11.4\,\text{cm}$

•איור ה' ($n=4$): $13.7-4.3$, כלומר $L_T\approx 9.4\,\text{cm}$

•איור ו' ($n=5$): $13.1-4.2$, כלומר $L_T\approx 8.9\,\text{cm}$

ההתארכות $\Delta L=L_T-L_0$ עם $L_0=4.0\,\text{cm}$. טבלה 1 המלאה (כולל העמודה $\frac1n$ של שאלה 4):

שימו לב: אורכי הקפיצים נמדדים על־גבי האיורים שבחוברת האיורים, בעזרת הסרגל המצויר בכל איור (כל שנתה ממוספרת = $1\,\text{cm}$ בסרגל המצויר). הקפיצים מצוירים עם קצוות משופעים, ולכן קריאות של נבחנים שונים עשויות להיות שונות בכ־$0.1$–$0.2\,\text{cm}$; הערכים כאן הם מדידה זהירה של האיורים.

ככל שמספר הקפיצים גדל – ההתארכות קטנה: אותו משקל מתחלק בין יותר קפיצים.

תרשים הכוחות (המערכת: טבעת + משקולות + לוחית תחתונה, כגוף אחד):

- $\vec W=(m+M)\vec g$ – כוח הכובד, שמפעיל כדור הארץ על המערכת; כיוונו אנכית כלפי מטה.

- $\vec F_1,\vec F_2,\dots,\vec F_n$ – $n$ כוחות אלסטיים, שמפעיל כל אחד מהקפיצים על הלוחית התחתונה; כיוונם אנכית כלפי מעלה.

(הכוח שהלוחית מפעילה על הטבעת והכוח שהטבעת מפעילה על הלוחית הם כוחות פנימיים של המערכת, ולכן אינם מופיעים בתרשים.)

הקפיצים זהים, ותלויים במקביל בין שתי לוחיות אופקיות – לכן כולם מתארכים באותה מידה $\Delta L$, ולפי חוק הוק כל אחד מהם מפעיל כוח שגודלו:

המערכת במנוחה, ולכן לפי החוק הראשון של ניוטון שקול הכוחות עליה אפס:

כנדרש.

לפי שאלה 3, $\Delta L=\frac{(m+M)g}{k}\cdot\frac{1}{n}$. הגודל $\frac{(m+M)g}{k}$ קבוע, ולכן $\Delta L$ נמצא ביחס ישר ל־$\frac{1}{n}$ – זה המשתנה שרושמים בראש העמודה (גודל חסר יחידות).

הצירים: ציר אופקי – המשתנה הבלתי־תלוי $\frac1n$ (חסר יחידות, מ־$0$ עד $1$); ציר אנכי – המשתנה התלוי $\Delta L$ (נוח להמיר למטרים, מ־$0$ עד כ־$0.28\,\text{m}$). רושמים על כל ציר את שם הגודל ואת יחידותיו, ובוחרים קנה מידה שמנצל את רוב הדף.

הנקודות $(\frac1n,\;\Delta L\,[\text{m}])$:

$(1,\,0.261)$, $(0.5,\,0.119)$, $(0.33,\,0.074)$, $(0.25,\,0.054)$, $(0.2,\,0.049)$

מעבירים קו ישר אחד כך שהנקודות מפוזרות סביבו משני צדיו בערך באופן שווה:

הנקודות מסתדרות היטב על קו ישר – כפי שצופה הקשר שהוכח בשאלה 3. הקו אינו עובר בדיוק בראשית (חותך את הציר האנכי בכ־$-0.012\,\text{m}$); סטייה כזו נובעת מאי־דיוקי הקריאה בקצוות הקפיצים, ובקפיצי מתיחה אמיתיים גם ממתיחות התחלתית של הליפופים (הקפיץ מתחיל להתארך רק מעל כוח מסוים). לחישוב $k$ משתמשים רק בשיפוע.

בוחרים שתי נקודות על הקו (לא מנקודות הטבלה), רחוקות זו מזו: $(0.2,\;0.0418\,\text{m})$ ו־$(1,\;0.2586\,\text{m})$:

יחידות: $\frac1n$ חסר יחידות, ולכן יחידות השיפוע הן יחידות $\Delta L$ – מטרים ($\text{m}$). (אם הגרף סורטט בסנטימטרים, השיפוע הוא כ־$27.1\,\text{cm}$.)

לפי שאלה 3 השיפוע שווה ל־$\frac{(m+M)g}{k}$.

לפי הקשר מהשאלה 3, $\Delta L=\frac{(m+M)g}{k}\cdot\frac1n$, ולכן:

המסה התלויה: $m+M=64.0+18.0=82.0\,\text{g}=0.082\,\text{kg}$, ו־$g=10\,\text{m/s}^2$:

(עם $g=9.8\,\text{m/s}^2$ מתקבל $k\approx 2.97\,\text{N/m}$. ערך שיפוע אחר, לפי הקריאות של כל נבחן, משנה את התוצאה בהתאם.)

טעות נפוצה: לשכוח להמיר גרמים לקילוגרמים, או להציב שיפוע בסנטימטרים ולקבל $k$ קטן פי 100.

הקפיץ השקול נושא לבדו את כל המשקל $(m+M)g$ ומתארך באותה מידה כמו הקפיצים המקבילים:

במדידות: $\Delta L_1\approx 26.1\,\text{cm}$ (קפיץ אחד) ו־$\Delta L_2\approx 11.9\,\text{cm}$ (שני קפיצים) – ההתארכות קטנה בערך פי 2, ולכן $k_T\approx 2k$. (גם מהשאלה 3: $\Delta L=\frac{(m+M)g}{2k}$, כלומר $k_T=2k$.)

עם שלושה קפיצים ההתארכות $\Delta L_3\approx 7.4\,\text{cm}$ – קטנה בערך פי 3 מזו של קפיץ אחד (כל קפיץ נושא שליש מהמשקל). לפי $k_T=\frac{(m+M)g}{\Delta L_3}=\frac{(m+M)g}{\frac{(m+M)g}{3k}}$ מתקבל $k_T=3k$.

בחיבור במקביל כל הקפיצים מתארכים באותה מידה, והכוחות שלהם מתחברים: $F=nk\Delta L$. הקפיץ השקול מקיים $F=k_T\Delta L$, ולכן:

בטבלה 2 רשום הזמן של עשרים תנודות עבור קפיץ אחד: $20T=21.81\,\text{s}$. זמן מחזור אחד הוא הזמן הכולל חלקי מספר התנודות:

(מדידת זמן של 20 תנודות וחלוקה ב־20 מקטינה את השפעת זמן התגובה בהפעלת שעון העצר ובעצירתו.)

בכל שורה מחלקים את הזמן של עשרים תנודות ב־20: $T=\frac{t_{20}}{20}$.

ביחידות: בראש עמודת זמן המחזור רושמים $[\text{s}]$.

זמן המחזור קטן ככל שמספר הקפיצים גדל – הקפיץ השקול "קשיח" יותר ($k_T=nk$), ולפי $T=2\pi\sqrt{\frac{m}{nk}}$ זמן המחזור קטן.

מעלים בריבוע את הקשר מהרקע העיוני:

הגודל $\frac{4\pi^2m}{k}$ קבוע (אותה מסה ואותם קפיצים), ולכן $T^2$ נמצא ביחס ישר ל־$\frac1n$ – קשר קווי. ($T$ עצמו תלוי ב־$\sqrt{\frac1n}$ – קשר שאינו קווי.)

בראש העמודה: $T^2\,[\text{s}^2]$. מעלים בריבוע את זמני המחזור (חישוב מהערכים המדויקים $T=\frac{t_{20}}{20}$):

המשתנה הבלתי־תלוי הוא $\frac1n$ – הנסיין קובע את מספר הקפיצים $n$.

המשתנה התלוי הוא $T^2$ – זמן המחזור נמדד ונקבע על־ידי מספר הקפיצים.

הצירים: ציר אופקי – $\frac1n$ (חסר יחידות, מ־$0$ עד $1$); ציר אנכי – $T^2$ ב־$\text{s}^2$ (מ־$0$ עד כ־$1.3$).

הנקודות $(\frac1n,\;T^2\,[\text{s}^2])$:

$(1,\,1.189)$, $(0.5,\,0.594)$, $(0.33,\,0.419)$, $(0.25,\,0.332)$, $(0.2,\,0.264)$

מעבירים קו ישר אחד שהנקודות מפוזרות סביבו משני צדיו:

הנקודות מסתדרות היטב על קו ישר, כצפוי מ־$T^2=\frac{4\pi^2m}{k}\cdot\frac1n$. החותך הקטן ($\approx 0.035\,\text{s}^2$) נובע מאי־דיוקי המדידה ומכך שמסת הקפיצים עצמם (שגם הם נעים) הוזנחה.

שתי נקודות על הקו: $(0.2,\;0.264\,\text{s}^2)$ ו־$(1,\;1.184\,\text{s}^2)$:

יחידות: $\frac1n$ חסר יחידות, ולכן יחידות השיפוע הן יחידות $T^2$ – $\text{s}^2$.

לפי שאלה 10, השיפוע שווה ל־$\frac{4\pi^2m}{k}$.

מהקשר $T=2\pi\sqrt{\frac{m}{nk}}$ קיבלנו $T^2=\frac{4\pi^2m}{k}\cdot\frac1n$, ולכן:

המסה המתנודדת היא הטבעת עם המשקולות והלוחית התחתונה: $m=64.0+18.0=82.0\,\text{g}=0.082\,\text{kg}$:

(בשיטה זו אין צורך בערך של $g$.)

טעות נפוצה: להציב רק את מסת המשקולות ($64\,\text{g}$) – גם הלוחית התחתונה מתנודדת יחד איתן.

עם $k_1\approx 3.03\,\text{N/m}$ (שאלה 6ב) ו־$k_2\approx 2.82\,\text{N/m}$ (שאלה 12ב):

(התוצאה תלויה בערכים שכל נבחן קיבל; עם $g=9.8\,\text{m/s}^2$ בשאלה 6, $k_1\approx 2.97\,\text{N/m}$ והסטייה כ־$5\%$.)

סטייה של כ־$7\%$ היא קטנה: שתי שיטות שונות לחלוטין (סטטית – לפי חוק הוק, ודינמית – לפי זמן המחזור) נתנו כמעט אותו קבוע כוח, וזה מאשש את התוצאה ואת הקשרים שבהם השתמשנו.

את הסטייה הקטנה אפשר לייחס לגורמי שגיאה, למשל: אי־דיוק בקריאת האורך בקצוות הקפיצים (בסעיף 1), זמן התגובה בהפעלת שעון העצר (בסעיף 2), הזנחת מסת הקפיצים בסעיף 2, ושימוש ב־$g=10\,\text{m/s}^2$ במקום $9.8\,\text{m/s}^2$ בסעיף 1.

לאחר ההתנגשות (או ביציאה מהמסילה) כל כדור עוזב את קצה המסילה במהירות אופקית ונע בזריקה אופקית מאותו גובה $h$ עד הרצפה.

- בציר האנכי: כל כדור מתחיל ממהירות אנכית אפס ונופל אותו גובה $h$, ולכן זמן הנפילה של כל הכדורים שווה:

- במישור האופקי: אין כוח אופקי (התנגדות האוויר זניחה), ולכן הכדור נע במהירות האופקית הקבועה שהייתה לו מיד אחרי ההתנגשות. ההעתק האופקי מנקודת ההתנגשות (ההיטל שלה על הרצפה) ועד נקודת הפגיעה הוא:

מכיוון ש־$t$ זהה לכל הכדורים, וקטורי ההעתק האופקיים פרופורציוניים לווקטורי המהירות – באותו כיוון ובאותו יחס גודל (מקדם $t$ משותף). לכן אפשר לחבר ולהשוות את וקטורי ההעתק על הנייר כאילו היו וקטורי המהירות, בלי למדוד מהירויות בפועל.

תנע של מערכת נשמר בציר מסוים כאשר שקול הכוחות החיצוניים בציר זה הוא אפס ($\Sigma F\cdot\Delta t=\Delta p$).

- ציר $x$ (אופקי, בכיוון התנועה ההתחלתי): במהלך הנפילה לא פועל על הכדורים כוח אופקי (התנגדות האוויר זניחה) – התנע נשמר.

- ציר $y$ (אופקי, ניצב לכיוון ההתחלתי): מאותה סיבה – אין כוח חיצוני אופקי – התנע נשמר. (לפני ההתנגשות התנע בציר זה אפס, ולכן גם אחריה סכום רכיבי התנע בציר זה אפס.)

- ציר $z$ (אנכי): פועל כוח חיצוני – כוח הכובד – על כל כדור, ולכן התנע אינו נשמר: רכיב המהירות האנכי של כל כדור גדל בקצב $g$ במהלך הנפילה.

לכן בניסוי בודקים שימור תנע במישור האופקי בלבד – ושם ההעתקים על הנייר מייצגים את המהירויות.

בהתנגשות אלסטית לא מצחית בין שני כדורים בעלי מסות שוות, כשאחד מהם נייח, הזווית בין וקטורי המהירות אחרי ההתנגשות היא $90^\circ$.

נימוק: משימור התנע (מסות שוות): $\vec v_1=\vec v_1'+\vec v_2'$. משימור האנרגייה הקינטית (התנגשות אלסטית): $v_1^2=v_1'^2+v_2'^2$. מעלים את המשוואה הווקטורית בריבוע: $v_1^2=v_1'^2+v_2'^2+2\vec v_1'\cdot\vec v_2'$, ולכן $\vec v_1'\cdot\vec v_2'=0$ – הווקטורים ניצבים (משפט פיתגורס במשולש המהירויות). בניסוי מתקבלת זווית קרובה ל־$90^\circ$ (מעט פחות, כי ההתנגשות אינה אלסטית לחלוטין).

כאשר גוף קל מתנגש במצחית בגוף כבד נייח, הגוף הקל ניתז לאחור – כיוון מהירותו מתהפך. (במצחית אלסטית: $v_1'=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1<0$ כאשר $m_1<m_2$.)

לכן הגולה הקלה תחזור לכיוון המסילה ותפגע בה, ולא תעוף מקצה המסילה בזריקה אופקית מגובה $h$ אל הנייר שעל הרצפה. כך לא ניתן לסמן את נקודת הפגיעה שלה ולמדוד את ההעתק האופקי שמייצג את מהירותה אחרי ההתנגשות – ואי אפשר לבדוק את שימור התנע בשיטה של הניסוי. (חוק שימור התנע עצמו מתקיים גם במקרה זה; הבעיה היא במדידה.)

- הסוללה (כא"מ $\varepsilon$ והתנגדות פנימית $r$), הנגד המשתנה $R$ והאמפרמטר מחוברים בטור בלולאה סגורה אחת – כך שהאמפרמטר מודד את הזרם $I$ העובר בסוללה ובנגד.

- הוולטמטר מחובר במקביל להדקי הסוללה (בין ההדק החיובי להדק השלילי שלה) – כך שהוא מודד את מתח ההדקים $V$.

- (רצוי מפסק בטור, כדי לא להשאיר את הסוללה מתפרקת בין המדידות.)

משנים את התנגדות הנגד המשתנה, ובכל מצב רושמים את הזוג $(I,V)$.

הנגד המשתנה $R$ וההתנגדות הפנימית $r$ מחוברים בטור (האמפרמטר אידיאלי – התנגדותו אפס, והוולטמטר אידיאלי – לא זורם בו זרם). לפי חוק אוהם למעגל שלם:

מתח ההדקים הוא הכא"מ פחות המתח על ההתנגדות הפנימית:

זו פונקציה קווית יורדת של $I$ (הגרף $V$ כפונקציה של $I$ הוא קו ישר ששיפועו שלילי):

- כא"מ הסוללה $\varepsilon$: נקודת החיתוך של הקו עם ציר המתח ($I=0$) – כשלא זורם זרם, מתח ההדקים שווה לכא"מ.

- זרם הקצר $I_{sc}$: נקודת החיתוך של הקו (בהמשכתו) עם ציר הזרם ($V=0$, מצב שבו $R=0$): $I_{sc}=\frac{\varepsilon}{r}$.

- ההתנגדות הפנימית $r$: מינוס השיפוע של הקו: $r=-\frac{\Delta V}{\Delta I}$, או $r=\frac{\varepsilon}{I_{sc}}$.

לסוללה יש התנגדות פנימית $r$. כאשר עובר בה זרם $I$, חלק מהכא"מ "נופל" על ההתנגדות הפנימית – מתח של $Ir$ (אנרגייה שמומרת לחום בתוך הסוללה). מתח ההדקים הוא מה שנשאר:

הכא"מ $\varepsilon$ והתנגדות $r$ קבועים, ולכן כשהזרם גדל (כשמקטינים את $R$) המתח על ההתנגדות הפנימית $Ir$ גדל, ומתח ההדקים קטן. (בסוללה אידיאלית, $r=0$, מתח ההדקים היה קבוע ושווה לכא"מ.)