בגרות בפיזיקה שאלון חקר 36382 - קיץ 2020

מדידה: במדידה בסרגל על הדף, אורך המלבן המצולם הוא $6.0\,\text{cm}$ ורוחבו $1.0\,\text{cm}$.

המרה לגודל האמיתי: "מוקטן ביחס של 2:3" פירושו שכל $2$ ס"מ בציור מייצגים $3$ ס"מ במציאות, כלומר:

•אורך אמיתי: $\frac{3}{2}\cdot 6.0=9.0\,\text{cm}$

•רוחב אמיתי: $\frac{3}{2}\cdot 1.0=1.5\,\text{cm}$

(בדיקה מול הדוגמה: בתצלום 1 נמדדו $9$ ס"מ במקום $12$, ו־$\frac{4}{3}\cdot 9=12$ – אותה שיטה.)

טעות נפוצה: להכפיל ב־$\frac{2}{3}$ במקום ב־$\frac{3}{2}$ – הציור מוקטן, ולכן הגודל האמיתי גדול מהמצולם.

מניחים את הסרגל לאורך קוטר של הכריכה הפנימית בנספח א' – קו ישר העובר דרך מרכז הפתח (נקודת החיתוך של הקווים המקווקווים) – ומודדים בין מרכז החוט בצד אחד למרכז החוט בצד הנגדי.

התוצאה: $2R_{\text{נמדד}}\approx 5.0\,\text{cm}=0.050\,\text{m}$.

(חשוב למדוד דרך המרכז: כל מיתר אחר קצר מהקוטר.)

ההקטנה היא ביחס 2:3, ולכן הגודל האמיתי הוא פי $\frac{3}{2}$ מהגודל הנמדד:

בכל תצלום ה־N של לוח המצפן ($0^\circ$) הוא כיוון הצפון, כלומר הכיוון שאליו מצביעה המחט כשאין זרם. זווית הסטייה היא הזווית בין קצה הצפון של המחט לבין השנתה $0$.

- בתצלום העליון קצה הצפון של המחט סוטה לכיוון ה־E ומצביע על השנתה של כ־$51^\circ$ (וקצה הדרום מצביע בהתאם על כ־$231^\circ$). לכן $\alpha_R\approx 51^\circ$.

- בתצלום התחתון (הזרם בכיוון ההפוך) קצה הצפון של המחט סוטה לכיוון ה־W ומצביע על כ־$299^\circ$, כלומר $360^\circ-299^\circ\approx 61^\circ$ מהצפון לצד השני. לכן $\alpha_L\approx 61^\circ$.

הערה על הקריאה מהתצלומים: התצלומים צולמו בזווית, והמחט נמצאת מעט מעל לוח השנתות, ולכן קריאת הזווית מדויקת בערך עד כ־$\pm 2^\circ$. כדי לבטל את השפעת הזווית שבה צולם המצפן, כדאי לקרוא את השנתה שמול שני קצות המחט (קצה הצפון וקצה הדרום) ולמצע. ערכים שקראתם וקרובים לערכים שלהלן בתחום של מעלות ספורות – תקינים.

ההבדל בין $\alpha_R$ ל־$\alpha_L$ נובע מאי־דיוק בכיוון לוח הכריכות לצפון ומשגיאות קריאה; לכן ממצעים את שתי הסטיות.

לכל כריכה חוזרים על אותם צעדים:

1. מודדים בנספח א' את הקוטר (דרך המרכז, ממרכז החוט למרכז החוט).

2. מכפילים ב־$\frac{3}{2}$ לקבלת הקוטר האמיתי, ומחלקים ב־2 לקבלת $R$ (במטרים).

3. קוראים מנספח ב' את הסטייה ימינה ושמאלה, ממצעים, ומחשבים $\tan\alpha_{ave}$.

טבלה 1 – מלאה (העמודה האחרונה, $\frac1R$, היא העמודה שמוסיפים בשאלה 5ג):

הערה על הקריאה מהתצלומים: התצלומים צולמו בזווית, והמחט נמצאת מעט מעל לוח השנתות, ולכן קריאת הזווית מדויקת בערך עד כ־$\pm 2^\circ$. כדי לבטל את השפעת הזווית שבה צולם המצפן, כדאי לקרוא את השנתה שמול שני קצות המחט (קצה הצפון וקצה הדרום) ולמצע. ערכים שקראתם וקרובים לערכים שלהלן בתחום של מעלות ספורות – תקינים.

בדיקת סבירות: ככל שהכריכה גדולה יותר, השדה שלה במרכז, $B_{\text{כריכה}}=\frac{\mu_0NI}{2R}$, קטן יותר, ולכן זווית הסטייה קטנה – כפי שאכן רואים בטבלה (מ־$56^\circ$ בכריכה 1 עד כ־$30^\circ$ בכריכה 5). יתר על כן, המכפלה $R\cdot\tan\alpha_{ave}$ כמעט קבועה (בין כ־$0.056$ ל־$0.063\,\text{m}$), כצפוי מהקשר $\tan\alpha\propto\frac1R$ שיוכח בשאלה 4.

קביעה: במבט על הכריכה מהצד של התושבת (הצד הקדמי של לוח הכריכות, כפי שהוא נראה בתצלום 2) – הזרם זורם עם כיוון השעון.

1. לוח הכריכות מכוון צפון־דרום, ולכן השדה של הכריכה במרכזה ניצב למישור הלוח – בכיוון מזרח־מערב – וניצב לשדה הארצי (שכיוונו צפונה).

2. בתצלום במבט על, קצה הצפון של המחט (הקצה הכהה) סטה מה־N לכיוון ה־E (כלפי מעלה בתצלום, הרחק מהמצלמה שעומדת בצד התושבת). גם באיור במבט צד קצה הצפון (המשולש הכהה) מצביע אל הצד של הלוח הרחוק מהתושבת. כלומר, השדה של הכריכה דוחף את קצה הצפון לצד הלוח שמנגד לתושבת.

3. המחט מתייצבת בכיוון השדה השקול, ולכן לשדה של הכריכה, $B_{\text{כריכה}}$, יש כיוון מהתושבת אל מעבר ללוח (מזרחה): עבור צופה העומד מול הלוח בצד התושבת, השדה במרכז הכריכה נכנס אל הלוח.

4. לפי כלל יד ימין לכריכה (האצבעות בכיוון הזרם, האגודל בכיוון השדה במרכז): שדה הנכנס אל הדף נוצר על־ידי זרם שזורם עם כיוון השעון במבט של הצופה.

(במבט מהצד האחורי של הלוח הזרם ייראה נגד כיוון השעון – התשובה תלויה בצד שממנו מסתכלים.)

- $\vec B_E$: חץ היוצא ממרכז המצפן לאורך הקו המקווקו האופקי אל ה־N (שמאלה בתרשים). זהו הכיוון שאליו הייתה מצביעה המחט ללא זרם.

- $\vec B_{\text{כריכה}}$: חץ היוצא ממרכז המצפן לאורך הקו המקווקו האנכי כלפי מעלה בתרשים – ניצב ל־$\vec B_E$, ולאותו צד שאליו סטה קצה הצפון (הכהה) של המחט.

- $\vec B_T$ (השדה השקול): אלכסון המלבן הבנוי על שני החצים – בכיוון הקצה הכהה של המחט (לאורך הקו המקווקו המשופע).

- $\alpha$: הקשת בין החץ $\vec B_E$ (הכיוון צפונה) לבין כיוון המחט $\vec B_T$.

השדה השקול הוא סכום וקטורי: $\vec B_T=\vec B_E+\vec B_{\text{כריכה}}$, ומאחר שהרכיבים ניצבים זה לזה – $\vec B_T$ הוא היתר במשולש ישר־זווית שניצביו $B_E$ ו־$B_{\text{כריכה}}$.

במשולש ישר־הזווית שבסעיף ב', $\alpha$ היא הזווית בין $\vec B_E$ ל־$\vec B_T$. הניצב שמול $\alpha$ הוא $B_{\text{כריכה}}$, והניצב שליד $\alpha$ הוא $B_E$:

מציבים את השדה במרכז כריכה מעגלית (מהרקע העיוני ומדף הנוסחאות):

ומקבלים:

- המשתנה הבלתי תלוי הוא מה שהנסיין משנה בכוונה: רדיוס הכריכה $R$ (מעבירים את החיבור מכריכה לכריכה).

- המשתנה התלוי הוא מה שנמדד כתוצאה: זווית הסטייה $\alpha$ של מחט המצפן (ובעיבוד הנתונים – $\tan\alpha$).

•הגדלים שנשמרו קבועים: הזרם $I=1\,\text{A}$, מספר הליפופים $N=3$, והשדה הארצי $B_E$.

לפי הקשר שהוכח בשאלה 4ג:

הגורם $\frac{\mu_0NI}{2B_E}$ קבוע בניסוי, ולכן $\tan\alpha$ יחסי ישר ל־$\frac1R$: גרף של $\tan\alpha$ כפונקציה של $\frac1R$ הוא קו ישר העובר בראשית. התשובה: 2.

כותרת העמודה: $\frac{1}{R}\,(\text{m}^{-1})$.

(הערכים נגזרים מהרדיוסים שמדדתם בשאלות 2–3.)

בחירת הצירים: בציר האופקי – המשתנה הבלתי תלוי לאחר הלינאריזציה, $\frac1R$ (ביחידות $\text{m}^{-1}$), ובציר האנכי – $\tan\alpha_{ave}$ (חסר יחידות). כדאי שהצירים יתחילו מ־0, כדי לראות אם הקו עובר בראשית: ציר $x$ עד $30\,\text{m}^{-1}$, ציר $y$ עד $1.6$. כותבים על כל ציר את שם הגודל ואת יחידותיו.

$(26.7,\ 1.48)$, $(18.3,\ 1.13)$, $(13.6,\ 0.854)$, $(11.0,\ 0.662)$, $(9.3,\ 0.566)$

לפי התאוריה ($\tan\alpha=\frac{\mu_0NI}{2B_E}\cdot\frac1R$) הקו צריך לעבור בראשית. מעבירים קו ישר דרך הראשית, כך שהנקודות מתפזרות סביבו משני צדיו באופן מאוזן. התאמה מיטבית לקו העובר בראשית נותנת:

הנקודה של כריכה 1 (הימנית) נמצאת מעט מתחת לקו – בגלל אי־דיוק בקריאת הזוויות הגדולות ובמדידת הקוטר הקטן. (קו מגמה שאינו מאולץ לעבור בראשית נותן שיפוע מעט קטן יותר, כ־$0.053\,\text{m}$, וחיתוך קטן עם ציר $y$, כ־$0.10$ – גם זו תשובה מקובלת.)

בוחרים שתי נקודות על הקו (לא נקודות מדידה), רחוקות זו מזו:

יחידות: $\tan\alpha$ חסר יחידות ו־$\frac1R$ ביחידות $\text{m}^{-1}$, ולכן יחידות השיפוע הן $\frac{1}{\text{m}^{-1}}=\text{m}$.

לפי הקשר $\tan\alpha=\frac{\mu_0NI}{2B_E}\cdot\frac1R$, השיפוע של הגרף $\tan\alpha$ כפונקציה של $\frac1R$ הוא:

הצבה ($\mu_0=4\pi\cdot10^{-7}\,\frac{\text{T}\cdot\text{m}}{\text{A}}$, $N=3$, $I=1\,\text{A}$):

יחידות: $\frac{\frac{\text{T}\cdot\text{m}}{\text{A}}\cdot\text{A}}{\text{m}}=\text{T}$ (טסלה).

נסמן תוצאה זו $B_{E_1}\approx 3.2\cdot10^{-5}\,\text{T}$ (לשאלה 13). זהו ערך סביר: הרכיב האופקי של השדה המגנטי של כדור הארץ בישראל הוא כ־$3\cdot10^{-5}\,\text{T}$.

תגובת המחט: המחט תסטה שוב ב־$45^\circ$ מכיוון הצפון, אבל לצד השני של הקו צפון־דרום.

•סיבוב הלוח ב־$180^\circ$ סביב ציר אנכי משאיר את מישור הכריכה בכיוון צפון־דרום, והמצפן נשאר במרכזה. הזרם עדיין זורם באותו כיוון בתוך החוט, אבל החוט עצמו "התהפך" – במרחב הזרם זורם עכשיו בכיוון ההפוך (עם כיוון השעון במקום נגדו, או להפך, במבט מאותה נקודה).

•לכן השדה של הכריכה במרכזה, $B_{\text{כריכה}}$, שומר על גודלו אך מתהפך – מצביע לצד המנוגד של הקו צפון־דרום.

•השדה הארצי $B_E$ לא השתנה, ולכן השדה השקול יוצר עם הצפון אותה זווית, $\tan\alpha=\frac{B_{\text{כריכה}}}{B_E}=\tan45^\circ$, אבל בצד הנגדי.

במצב החדש לוח הכריכות סובב ב־$90^\circ$, כך שמישור הכריכות ניצב לכיוון צפון־דרום, וציר הכריכה (הכיוון של $B_{\text{כריכה}}$ במרכזה) מקביל לכיוון צפון־דרום – כלומר מקביל לשדה הארצי $B_E$.

כאשר שני השדות באותו קו, השדה השקול $\vec B_T=\vec B_E+\vec B_{\text{כריכה}}$ נמצא גם הוא על הקו צפון־דרום. שינוי הזרם משנה רק את גודל $B_{\text{כריכה}}$ (ולכן את גודל השדה השקול), אבל לא את כיוונו. מחט המצפן מתייצבת בכיוון השדה השקול, ולכן היא נשארת צפון־דרום: אין רכיב שדה ניצב לצפון שיגרום לסטייה ($\tan\alpha=0$).

(הערה: אם $B_{\text{כריכה}}$ מכוון צפונה, באותו כיוון כמו $B_E$, המחט מצביעה צפונה בכל זרם. אילו היה מכוון דרומה, בזרם שבו $B_{\text{כריכה}}>B_E$ (בזרם $1.5\,\text{A}$ השדה במרכז כריכה 1 הוא כ־$7\cdot10^{-5}\,\text{T}$, יותר מכפליים מ־$B_E$) השדה השקול היה מתהפך והמחט הייתה מסתובבת ב־$180^\circ$, אבל גם אז הייתה נשארת על הקו צפון־דרום. בשני המקרים אין רכיב ניצב, ולכן אין סטייה הצידה.)

בנספח ג' מופיעים תשעה מצבים: $X=0,1,2,\dots,8\,\text{cm}$. בטבלה כותבים אותם ביחידות SI (מטרים), כנדרש בכותרת העמודה:

לכל מרחק יש שני תצלומים: באחד קצה הצפון של המחט סוטה לצד ה־E (זה $\alpha_R$), ובשני – לצד ה־W ($\alpha_L$ = $360^\circ$ פחות הקריאה). ממצעים ומחשבים טנגנס:

טבלה 2 – מלאה (העמודה האחרונה – מהגרף בסעיף ג):

הערה על הקריאה מהתצלומים: התצלומים צולמו בזווית, והמחט נמצאת מעט מעל לוח השנתות, ולכן קריאת הזווית מדויקת בערך עד כ־$\pm 2^\circ$. כדי לבטל את השפעת הזווית שבה צולם המצפן, כדאי לקרוא את השנתה שמול שני קצות המחט (קצה הצפון וקצה הדרום) ולמצע. ערכים שקראתם וקרובים לערכים שלהלן בתחום של מעלות ספורות – תקינים.

בדיקת סבירות: ככל שהמצפן מתרחק מהכריכה, השדה שלה נחלש (נוסחה (1)) והמחט סוטה פחות – מ־$56^\circ$ במרכז ועד כ־$6^\circ$ במרחק $8\,\text{cm}$. ב־$X=0$ התוצאה מתאימה לכריכה 1 בסעיף 1 (כ־$56^\circ$), כצפוי – זו אותה כריכה ואותו מצב.

טעות נפוצה: לרשום עבור $\alpha_L$ את הקריאה עצמה (למשל $299^\circ$) במקום את הסטייה מהצפון ($360^\circ-299^\circ=61^\circ$).

לכל ערך של $X$ עולים מנקודת ציר ה־$X$ אנכית עד העקומה, וממנה אופקית לציר ה־$B$:

(דיוק הקריאה מהגרף הוא כ־$\pm0.05\cdot10^{-5}\,\text{T}$.) שימו לב שהערכים בעמודה הם ביחידות של $10^{-5}\,\text{T}$; למשל ב־$X=0.03\,\text{m}$: $B_{\text{כריכה}}=2.45\cdot10^{-5}\,\text{T}$.

לפי נוסחה (3), $\tan\alpha=\frac{1}{B_E}\cdot B_{\text{כריכה}}$ – כלומר $\tan\alpha$ יחסי ישר ל־$B_{\text{כריכה}}$. לכן בציר האופקי שמים את $B_{\text{כריכה}}$ (ביחידות $10^{-5}\,\text{T}$, מ־0 עד 5), ובציר האנכי את $\tan\alpha_{ave}$ (מ־0 עד 1.6).

הנקודות $(B\cdot10^{5},\ \tan\alpha_{ave})$:

$(4.7,\ 1.48)$, $(4.35,\ 1.43)$, $(3.4,\ 1.23)$, $(2.45,\ 0.854)$, $(1.7,\ 0.510)$, $(1.15,\ 0.296)$, $(0.8,\ 0.185)$, $(0.6,\ 0.141)$, $(0.43,\ 0.105)$

לפי נוסחה (3) הקו עובר בראשית. התאמה מיטבית לקו העובר בראשית:

הנקודות מתפזרות משני צדי הקו. (קו מגמה חופשי, שאינו מאולץ לעבור בראשית, נותן שיפוע של כ־$0.35$ וחיתוך קטן של כ־$-0.06$ – גם זה מקובל.)

שתי נקודות על הקו (ערכי $B$ ביחידות של $10^{-5}\,\text{T}$):

יחידות: $\tan\alpha$ חסר יחידות, ו־$B$ בטסלה – לכן יחידות השיפוע הן $\frac{1}{\text{T}}$.

טעות נפוצה: לשכוח את הגורם $10^{-5}$ של ציר ה־$B$ ולכתוב שיפוע $0.33$.

לפי נוסחה (3): $\tan\alpha=\frac{1}{B_E}\cdot B_{\text{כריכה}}$, ולכן שיפוע הגרף הוא $\frac{1}{B_E}$:

יחידות: $\frac{1}{\text{T}^{-1}}=\text{T}$.

נסמן $B_{E_2}\approx 3.03\cdot10^{-5}\,\text{T}$ – קרוב מאוד לערך שהתקבל בסעיף 1 ($3.2\cdot10^{-5}\,\text{T}$).

קביעה: השגיאה היחסית גדולה יותר במדידת המרחק של 1 ס"מ.

נימוק: המרחק נמדד באותו סרגל (על המסילה), ולכן השגיאה המוחלטת זהה בשתי המדידות – כחצי שנתה, נניח $\Delta X\approx 0.1\,\text{cm}$ (תלוי בסרגל ובמיקום התושבת). השגיאה היחסית היא היחס בין השגיאה המוחלטת לגודל הנמדד:

ככל שהמרחק הנמדד קטן יותר, אותה שגיאה מוחלטת מהווה חלק גדול יותר ממנו.

קביעה: במרחק 6 ס"מ השגיאה היחסית במדידת הסטייה גדולה יותר.

•לפי נוסחה (1), השדה של הכריכה קטן מאוד עם המרחק (הביטוי $(R^2+X^2)^{3/2}$ במכנה גדל): ב־$1\,\text{cm}$ הוא כ־$4.35\cdot10^{-5}\,\text{T}$, וב־$6\,\text{cm}$ רק כ־$0.8\cdot10^{-5}\,\text{T}$.

•לפי נוסחה (3), $\tan\alpha=\frac{B_{\text{כריכה}}}{B_E}$, ומכיוון ש־$B_E$ קבוע – שדה קטן נותן זווית סטייה קטנה: כ־$55^\circ$ ב־$1\,\text{cm}$ לעומת כ־$10^\circ$ בלבד ב־$6\,\text{cm}$.

•השגיאה המוחלטת בקריאת הזווית ממצפן היא קבועה בערך (כ־$\pm1^\circ$–$2^\circ$, לפי השנתות ועובי המחט). לכן השגיאה היחסית היא בערך $\frac{2}{55}\approx4\%$ ב־$1\,\text{cm}$, לעומת $\frac{2}{10}=20\%$ ב־$6\,\text{cm}$.

מציבים את התוצאות משאלות 7ב ו־11ב: $B_{E_1}\approx3.21\cdot10^{-5}\,\text{T}$, $B_{E_2}\approx3.03\cdot10^{-5}\,\text{T}$:

(הגורם $10^{-5}$ מצטמצם.)

סטייה של כ־$6\%$ בין שתי השיטות – התאמה טובה, בהתחשב בשגיאות בקריאת הזוויות מהתצלומים ובמדידת הקטרים. (הערך המדויק תלוי בערכים שקיבלתם בשאלות 7 ו־11.)