בגרות בפיזיקה שאלון חקר 36382 - קיץ 2020 מועד מיוחד

גליל הפלסטיק: אינו מגנטי, ולכן אינו משרה זרמים במסילה. פועלים עליו רק כוח הכובד, הכוח הנורמלי וחיכוך קטן. רכיב כוח הכובד במקביל למסילה, $mg\sin\theta$, גדול מהחיכוך, ולכן הגליל נע בתאוצה לאורך כל המסילה ומגיע לקצה מהר.

המגנט: האלומיניום אינו נמשך למגנט, אבל הוא מוליך חשמלי טוב. כשהמגנט נע, השטף המגנטי דרך קטעי המסילה שלידו משתנה (לפניו הוא גדל ומאחוריו קטן). לפי חוק פאראדיי נוצר בקטעים אלה כא"מ מושרה, ובמסילה זורמים זרמים מושרים (זרמי ערבולת). לפי חוק לנץ הזרמים המושרים מתנגדים לשינוי שיצר אותם, כלומר הם מפעילים על המגנט כוח מגנטי נגד כיוון תנועתו – כוח בלימה.

ככל שהמגנט מהיר יותר, השטף משתנה מהר יותר, הכא"מ והזרמים המושרים גדולים יותר, וכוח הבלימה גדול יותר. מיד אחרי השחרור המהירות קטנה וכוח הבלימה קטן, והמגנט מאיץ. המהירות גדלה עד שכוח הבלימה (יחד עם החיכוך) משתווה לרכיב כוח הכובד $mg\sin\theta$; מאותו רגע הכוח השקול אפס והמגנט נע בתנועה קצובה, במהירות קבועה קטנה (מהירות סופית). לכן הוא מגיע לקצה המסילה זמן רב אחרי הגליל.

(בטקסט השאלה נכתב "הגליל המגנטי" – הכוונה למגנט.)

טעות נפוצה: לטעון שהמגנט "נמשך" למסילה ולכן החיכוך גדל – אלומיניום אינו חומר פרומגנטי; הבלימה נובעת מזרמים מושרים, והיא קיימת רק כשהמגנט נע.

צירים: ציר אופקי – הזמן $t\,(\text{s})$, מ־$0$ עד $13$ (למשל $1\,\text{cm}$ על הנייר לכל $1\,\text{s}$). ציר אנכי – המרחק $x\,(\text{cm})$, מ־$0$ עד $45$ (למשל $1\,\text{cm}$ על הנייר לכל $5\,\text{cm}$). לכל ציר כותבים שם הגודל ויחידותיו, ובוחרים קנה מידה שבו הנקודות מנצלות את רוב שטח הנייר.

הנקודות $(t\,;\,x)$: $(1.55\,;5)$, $(3.07\,;10)$, $(4.54\,;15)$, $(6.23\,;20)$, $(7.85\,;25)$, $(9.48\,;30)$, $(10.85\,;35)$, $(12.2\,;40)$.

מה רואים: הנקודות מסודרות בקירוב על קו ישר: בכל פרק זמן של כ־$1.5$–$1.6\,\text{s}$ המגנט עובר כ־$5\,\text{cm}$. כלומר המגנט נע בתנועה קצובה כמעט מרגע השחרור – שלב ההאצה קצר מאוד.

טעות נפוצה: להחליף בין הצירים – "$x$ כפונקציה של $t$" פירושו $t$ בציר האופקי ו־$x$ בציר האנכי.

הנקודות מסתדרות לאורך קו ישר, ולכן העקומה המתאימה ביותר היא קו ישר שמעבירים בסרגל כך שהנקודות מפוזרות סביבו באופן שווה משני צדדיו (לא מחברים נקודה לנקודה). הישר המתאים ביותר עובר כמעט דרך ראשית הצירים – ברגע $t=0$ המגנט היה בנקודת האפס:

העובדה שהקו ישר מראה שהמהירות קבועה – המגנט נע בתנועה קצובה.

בוחרים שתי נקודות רחוקות זו מזו על הקו (לא נקודות מדידה):

השיפוע:

הגודל הפיזיקלי: בתנועה קצובה $x=x_0+vt$ (מדף הנוסחאות, עם $a=0$), ולכן השיפוע של גרף המקום כפונקציה של הזמן הוא המהירות של המגנט לאורך המסילה – המהירות הקבועה (הסופית) שאליה הגיע המגנט בגובה $h=6.5\,\text{cm}$.

(הקו מועבר ביד, ולכן שיפוע של כ־$3.1$–$3.4\,\text{cm/s}$, בהתאם לקו שהועבר, הוא תוצאה סבירה.)

טעות נפוצה: לחשב את השיפוע מנקודת מדידה אחת, למשל $\frac{40}{12.2}$ – יש לקחת שתי נקודות על הקו המיטבי.

- ההעתק $\Delta x$ הוא הפרש בין שני מיקומים הנמדדים בסנטימטרים, ולכן יחידתו $[\text{cm}]$.

- פרק הזמן $\Delta t$ נמדד בשעון־העצר בשניות: $[\text{s}]$.

- המהירות $v=\frac{\Delta x}{\Delta t}$, ולכן יחידתה $[\text{cm/s}]$ (אפשר גם להמיר ל־$\text{m/s}$, ואז יש להמיר בהתאם את כל הערכים).

ההעתק לאורך המסילה הוא:

•עבור $h=6.5,\ 9.5,\ 13.0,\ 15.5,\ 18.5\,\text{cm}$: $\Delta x=45-5=40\,\text{cm}$.

•עבור $h=21.0,\ 26.5\,\text{cm}$: $\Delta x=45-10=35\,\text{cm}$.

המגנט נע בקטע הנמדד במהירות קבועה (ראו חלק א), ולכן מהירותו שווה למהירות הממוצעת בקטע:

לדוגמה, בשורה הראשונה: $v=\frac{40}{13.4}\approx 2.99\,\text{cm/s}$.

(בגובה $h=6.5\,\text{cm}$ התקבלה כאן מהירות $2.99\,\text{cm/s}$, קרובה לשיפוע $3.2\,\text{cm/s}$ שמצאנו בשאלה 4 באותו גובה – ההפרש נובע מפיזור המדידות.)

טעות נפוצה: לחלק את $x_2=45\,\text{cm}$ בזמן במקום את ההעתק $\Delta x$ – הזמן נמדד רק מהנקודה $x_1$.

צירים: ציר אופקי – הגובה $h\,(\text{cm})$, מ־$0$ עד $30$ (למשל $1\,\text{cm}$ על הנייר לכל $2\,\text{cm}$). ציר אנכי – המהירות $v\,(\text{cm/s})$, מ־$0$ עד $15$ (למשל $1\,\text{cm}$ לכל $1\,\text{cm/s}$). מתחילים את שני הצירים מאפס, כדי שאפשר יהיה לבדוק אם הקשר יחס ישר.

הנקודות (מטבלה 2): $(6.5\,;2.99)$, $(9.5\,;4.70)$, $(13.0\,;5.96)$, $(15.5\,;7.97)$, $(18.5\,;10.5)$, $(21.0\,;11.1)$, $(26.5\,;13.8)$.

ככל שהגובה (והשיפוע) גדול יותר, מהירות המגנט גדולה יותר, והנקודות מסודרות בקירוב לאורך קו ישר.

מעבירים קו ישר אחד בסרגל, כך שהנקודות מפוזרות סביבו משני צדדיו. הישר המיטבי:

שתי נקודות על הישר: $(5\,;\,2.11)$ ו־$(25\,;\,13.31)$, ולכן שיפועו $\frac{13.31-2.11}{25-5}=0.56\,\text{s}^{-1}$.

הישר חותך את ציר $h$ בערך ב־$h\approx 1.2\,\text{cm}$ – קרוב מאוד לראשית בהשוואה לטווח המדידות. (אם מעבירים ישר דרך הראשית מתקבל $v\approx 0.52\,h$, גם הוא מתאים לנקודות היטב.)

הנקודות מסתדרות על קו ישר עולה, ולכן הקשר בין $v$ ל־$h$ הוא קווי (ליניארי): $v=a h+b$ עם $a\approx 0.56\,\text{s}^{-1}$.

הישר עובר קרוב מאוד לראשית ($b\approx -0.7\,\text{cm/s}$, קטן לעומת המהירויות הנמדדות), ולכן בקירוב טוב זהו יחס ישר: הכפלת הגובה מכפילה את המהירות. לדוגמה, $h$ גדל מ־$6.5$ ל־$13.0\,\text{cm}$ (פי $2$), והמהירות גדלה מ־$2.99$ ל־$5.96\,\text{cm/s}$ (פי $1.99$).

החיתוך השלילי הקטן מוסבר בחיכוך בין המגנט למסילה: בשיפוע קטן מאוד רכיב כוח הכובד אינו מתגבר על החיכוך, והמגנט אינו זז כלל.

נסמן ב־$L$ את המרחק לאורך המסילה מנקודת האפס ועד קצה המסילה התחתון, שמונח על בסיס הלוח שעל השולחן (באיור 1 – בסיס דק, ולכן בקירוב טוב בגובה השולחן). מרחק זה קבוע – משנים רק את השלב שעליו נשען הקצה העליון.

המסילה, השולחן והאנך מנקודת האפס אל השולחן יוצרים משולש ישר־זווית שבו $h$ הוא הניצב שמול הזווית $\theta$ ו־$L$ הוא היתר:

כלומר $h$ נמצא ביחס ישר ל־$\sin\theta$.

בשאלה 6 מצאנו ש־$v$ נמצאת (בקירוב) ביחס ישר ל־$h$: $v\approx a h$. הצבה:

ומכיוון ש־$aL$ קבוע – מהירות המגנט נמצאת ביחס ישר לסינוס זווית השיפוע (הקשר קווי בדיוק כמו הקשר בין $v$ ל־$h$; גרף של $v$ כפונקציה של $\sin\theta$ ייראה כמו גרף שאלה 6, רק בקנה מידה אחר על הציר האופקי).

מסמנים את המגנט כנקודה (או כמלבן קטן) על קו משופע, ומשרטטים ממנו את החצים:

1. $mg$ – כוח הכובד (משקל): מופעל על־ידי כדור הארץ, אנכית כלפי מטה.

2. $N$ – הכוח הנורמלי: מופעל על־ידי המסילה, ניצב למסילה וכלפי מעלה (מתרחק ממשטח המסילה).

3. $F_B$ – הכוח המגנטי (כוח הבלימה): מופעל על־ידי הזרמים המושרים במסילת האלומיניום, במקביל למסילה, במעלה המסילה – נגד כיוון התנועה.

4. $f$ – כוח החיכוך הקינטי: מופעל על־ידי המסילה, במקביל למסילה, במעלה המסילה – נגד כיוון התנועה (קטן; לעיתים מזניחים אותו).

נוח לפרק את $mg$ לשני רכיבים: $mg\sin\theta$ במורד המסילה ו־$mg\cos\theta$ ניצב למסילה (כלפי המסילה).

טעות נפוצה: לשרטט "כוח תנועה" בכיוון התנועה – אין כוח כזה; התנועה במורד נגרמת על־ידי רכיב כוח הכובד.

מתוצאות חלק א (דיאגרמת המקום–זמן היא קו ישר) המגנט נע לאורך המסילה במהירות קבועה – תנועה קצובה בקו ישר, כלומר תאוצתו אפס.

לפי החוק השני של ניוטון $\Sigma\vec F=m\vec a$, ולכן:

הכוח השקול הפועל על המגנט הוא אפס (פרט לשבריר הזמן הקצר מיד אחרי השחרור, שבו המגנט מאיץ ממנוחה עד למהירותו הסופית).

בפירוט: בכיוון הניצב למסילה $N=mg\cos\theta$, ובמקביל למסילה $F_B+f=mg\sin\theta$.

נפרק את כוח הכובד לשני רכיבים:

•במקביל למסילה (במורדה): $mg\sin\theta$

•ניצב למסילה: $mg\cos\theta$

בשאלה 7 הראינו מתוצאות הניסוי ש־$v$ נמצאת ביחס ישר ל־$\sin\theta$:

המסה $m$ של המגנט ותאוצת הכובד $g$ לא השתנו בין המדידות, ולכן אפשר לכתוב:

כלומר מהירות המגנט נמצאת ביחס ישר לרכיב של כוח הכובד במקביל למסילה, $mg\sin\theta$.

(הרכיב השני, $mg\cos\theta$, דווקא קטן כשהזווית גדלה, בעוד שהמהירות גדלה – לכן אין יחס ישר בינו לבין המהירות.)

משמעות: לפי סעיף ב, בתנועה הקצובה הכוח המעכב שווה ל־$mg\sin\theta$. לכן גם הכוח המעכב נמצא ביחס ישר למהירות – ראו שאלה 9.

מהחוק השני של ניוטון (שאלה 8ב): בתנועה הקצובה הכוח השקול אפס, ולכן הכוח המעכב שווה בגודלו לרכיב כוח הכובד במקביל למסילה (בהזנחת החיכוך):

מתוצאות הניסוי (שאלה 8ג): $v=C\cdot mg\sin\theta$.

משילוב שני הקשרים:

הכוח המעכב נמצא ביחס ישר למהירות המגנט: במהירות כפולה – כוח בלימה כפול.

הסבר פיזיקלי: הכא"מ המושרה במסילה פרופורציוני לקצב שינוי השטף, כלומר למהירות המגנט; הזרמים המושרים פרופורציוניים לכא"מ, והכוח המגנטי שהם מפעילים על המגנט פרופורציוני לזרמים – ולכן לכוח בלימה פרופורציוני ל־$v$.

(אם מתחשבים בחיכוך: $F_B+f=mg\sin\theta$, ו־$f=\mu mg\cos\theta$ כמעט קבוע בזוויות הקטנות שבניסוי. לכן $v=\frac{mg}{k}\sin\theta-\frac{f}{k}$ – קו ישר שחותך את הציר מעט מימין לראשית, בדיוק כפי שהתקבל בשאלה 6.)

קביעה: האנרגיה הקינטית אינה משתנה.

הסבר: בדיאגרמת המקום–זמן (שאלות 2–4) הנקודות נמצאות על קו ישר – המגנט נע במהירות קבועה (כ־$3.2\,\text{cm/s}$ בגובה $h=6.5\,\text{cm}$). האנרגיה הקינטית תלויה רק במסה ובגודל המהירות:

המסה והמהירות קבועות, ולכן גם $E_k$ קבועה עד ההגעה למעצור.

קביעה: האנרגיה הפוטנציאלית הכובדית קטנה.

הסבר: האנרגיה הפוטנציאלית הכובדית היא $U=mgy$, כאשר $y$ הגובה מעל רמת ייחוס (למשל השולחן). במורד המסילה המגנט יורד: לאחר שעבר מרחק $\Delta x$ לאורך המסילה, גובהו קטן ב־$\Delta x\sin\theta$, ולכן:

מכיוון שהמגנט נע במהירות קבועה, האנרגיה הפוטנציאלית קטנה בקצב קבוע.

האנרגיה הקינטית קבועה והאנרגיה הפוטנציאלית קטנה – כלומר האנרגיה המכנית של המגנט קטנה. זה אינו סותר את שימור האנרגיה, כי על המגנט פועלים כוחות שאינם משמרים: הכוח המגנטי המעכב (וחיכוך קטן), שעושים עבודה שלילית.

האנרגיה הפוטנציאלית שהמגנט מאבד הופכת לאנרגיה חשמלית של הזרמים המושרים (זרמי הערבולת) במסילת האלומיניום, וזו הופכת לאנרגיה תרמית (חום) בהתנגדות החשמלית של המסילה (חום ג'אול); חלק קטן הופך לחום בגלל החיכוך. האנרגיה הכוללת של המערכת (מגנט + מסילה) נשמרת:

בכל שנייה הופכת לחום אנרגיה בשיעור $P=mg\,v\sin\theta$.

המגנט משוחרר ממנוחה. בתחילת התנועה מהירותו קטנה, כוח הבלימה המגנטי קטן מ־$mg\sin\theta$, והמגנט מאיץ. רק כשהמהירות גדלה מספיק כדי שכוח הבלימה ישתווה לרכיב כוח הכובד, המגנט עובר לתנועה קצובה במהירות סופית קבועה.

בחלק ב רוצים למדוד את המהירות הסופית בכל גובה, ומחשבים אותה כ־$v=\frac{\Delta x}{\Delta t}$. נוסחה זו נותנת את המהירות האמיתית רק אם המהירות קבועה לאורך כל הקטע. אילו הופעל השעון ברגע השחרור, היה הזמן כולל גם את שלב ההאצה, שבו המגנט איטי יותר, והמהירות המחושבת (מהירות ממוצעת) הייתה קטנה מהמהירות הסופית.

לכן מפעילים את השעון רק כשהמגנט עובר את $x_1$ – אחרי שכבר הגיע למהירותו הסופית. בשיפועים הגדולים ($h=21.0$ ו־$26.5\,\text{cm}$) המהירות הסופית גדולה יותר ונדרש זמן ומרחק רב יותר כדי להגיע אליה, ולכן שם נבחר $x_1=10\,\text{cm}$ במקום $5\,\text{cm}$.

את הזמנים מדד אדם בשעון־עצר ידני, והמדידה תלויה בתגובותיו:

1. זמן תגובה: בין הרגע שהמודד רואה את המגנט עובר את השנתה ובין הרגע שהוא לוחץ על הכפתור חולף זמן תגובה של כ־$0.1$–$0.3\,\text{s}$, והוא אינו זהה בהפעלה ובעצירה ומשתנה ממדידה למדידה.

2. זיהוי רגע המעבר: המודד צריך להחליט בעין מתי המגנט עובר את השנתה $x_1$ ואת $x_2$; זווית ההסתכלות (פרלקסה) ותשומת הלב משפיעות על הרגע שנבחר.

השפעה על התוצאות: שגיאה של כ־$0.2\,\text{s}$ היא כ־$\frac{0.2}{13.4}\approx 1.5\%$ מפרק הזמן בגובה הקטן, אבל כ־$\frac{0.2}{2.53}\approx 8\%$ בגובה הגדול – ככל שהמגנט מהיר יותר ופרק הזמן קצר יותר, ההשפעה של המודד גדלה.

הקטנת ההשפעה: לחזור על כל מדידה כמה פעמים ולמצע; למדוד לאורך קטע ארוך ככל האפשר; להשתמש בשערים אופטיים (פוטו־גייטים) או בצילום וידאו במקום שעון ידני.