בגרות בפיזיקה שאלון חקר 36382 - קיץ 2021 מועד מיוחד

איך קוראים את המרחק. אפס הסרגל נמצא במרכז המצפן (שנתות הסרגל מתחילות ב־3 בשפת המצפן, ואם ממשיכים את הסקלה כלפי מעלה ב־3 ס"מ מגיעים בדיוק למרכז המחט). לכן הקריאה על הסרגל במקום שבו נמצא המגנט היא ישירות המרחק שלו מן המצפן. קוראים את הסרגל בפאה של המגנט הפונה אל המצפן (פאת הקוטב N), ברזולוציה של מילימטר (חצי השנתה הקטנה ביותר הוא אי־הוודאות: $\pm0.05\,\text{cm}$ בערך), וממירים למטרים.

איך קוראים את הזווית. כשהמגנט רחוק, המחט מצביעה על $0^\circ$ (הכיוון N של המצפן). כשהמגנט קרוב, קצה N של המחט נוטה לכיוון W, וזווית הסטייה $\theta$ נקראת ישירות על סקלת המעלות במקום שאליו מצביע קצה המחט (או, באותה מידה, ההפרש בין קריאת הקצה השני ל־$180^\circ$).

ככל שהמגנט קרוב יותר, הסטייה גדולה יותר – כצפוי, כי השדה של המגנט במקום המחט חזק יותר.

הערה – איזו נקודה במגנט קוראים? ברקע התיאורטי $r$ מוגדר כמרחק ממרכז המגנט, ואילו השאלה מורה "לקרוא את הערכים של המרחקים מן הסרגל". באיורים פאת המגנט הפונה למצפן עומדת בדיוק על שנתה (19.0, 15.0, 13.0, 11.3, 10.0, 9.0, 7.6, 6.0), ואורך המגנט באיורים הוא $1.3\,\text{cm}$, כך שמרכזו רחוק ממנה ב־$0.65\,\text{cm}$ נוסף. האיורים נבנו כך שקריאות הפאה הן שמקיימות את הקשר התיאורטי: עבורן המכפלה $r^3\tan\theta$ כמעט קבועה (ראו שאלה 7), ואילו אם מוסיפים לכל קריאה $0.65\,\text{cm}$ (מרכז המגנט) המכפלה גדלה בהדרגה בכ־25% מן הנקודה הרחוקה לקרובה. לכן הקריאה המתאימה לכוונת השאלה היא קריאת הסרגל בפאה הקרובה, ובה נשתמש בהמשך. כמו ברקע התיאורטי (ההנחה $d\ll r$), מתייחסים למגנט כאל קטן ביחס למרחק, ו־$r$ הוא "המרחק של המגנט מן המצפן" כפי שנקרא על הסרגל.

טעות נפוצה: לרשום את המרחקים בסנטימטרים בטבלה שבה העמודה מוגדרת "במטרים".

מחשבים במחשבון (במצב מעלות) את $\tan\theta$ לכל זווית שנמדדה:

שימו לב: $\tan\theta$ גדל מהר מאוד כש־$\theta$ מתקרב ל־$90^\circ$, ולכן אי־ודאות קטנה בקריאת הזווית הגדולה ($80^\circ$) גורמת לאי־ודאות גדולה יחסית ב־$\tan\theta$.

טעות נפוצה: מחשבון שמכוון לרדיאנים נותן, למשל, $\tan 10=0.648$ – ערך שגוי לגמרי.

על מחט המצפן משפיעים שני שדות מגנטיים (במישור האופקי):

1. $\vec B_E$ – השדה המגנטי של כדור הארץ (הרכיב האופקי שלו): בכיוון צפון, כלומר לאורך הכיוון N–S של המצפן, לעבר N. זה הכיוון שאליו הצביעה המחט לפני שקירבו את המגנט.

2. $\vec B_M$ – השדה המגנטי של המגנט במקום המחט: המחט נמצאת על ציר המגנט, ולכן שדה המגנט מכוון לאורך הציר, כלומר לאורך הסרגל (הכיוון E–W של המצפן). קוטב N של המגנט פונה אל המצפן, וקווי השדה יוצאים מקוטב N, ולכן במקום המחט $\vec B_M$ מכוון מן המגנט אל המצפן – לכיוון W. לכן $\vec B_M\perp\vec B_E$.

התרשים: מנקודת מרכז המחט משרטטים חץ $\vec B_E$ לכיוון N (לאורך הקו N–S), ומאותה נקודה חץ $\vec B_M$ ניצב לו, לכיוון W (לאורך הסרגל, מן המגנט והלאה). משלימים למלבן; האלכסון היוצא מן הנקודה הוא השדה השקול $\vec B=\vec B_E+\vec B_M$. הזווית בין $\vec B$ ובין $\vec B_E$ היא $\theta$.

מחט המצפן מתייצבת בכיוון השדה השקול, ולכן קצה N של המחט סוטה בזווית $\theta$ מכיוון N לעבר W – בדיוק כמו באיורים שבנספח.

בתרשים, $\vec B_E$ ו־$\vec B_M$ ניצבים זה לזה, והשקול $\vec B$ הוא היתר במשולש ישר־זווית שניצביו $B_E$ ו־$B_M$. הזווית $\theta$ היא בין $\vec B$ ובין $\vec B_E$, ולכן $B_M$ הוא הניצב שמול הזווית ו־$B_E$ הניצב שליד הזווית:

השדה של כדור הארץ, $B_E$, זהה בכל המדידות (הניסוי נערך באותו מקום, והמצפן לא הוזז; רק המגנט הוזז לאורך הסרגל). לכן $\frac{1}{B_E}$ הוא קבוע, ו־$\tan\theta$ פרופורציוני ל־$B_M$:

מכאן שאפשר להשתמש ב־$\tan\theta$ כמדד לעוצמת השדה של המגנט במקום המחט.

צירים: ציר אופקי – $r\,(\text{m})$, מ־$0$ עד $0.20$ (למשל $1\,\text{cm}$ בנייר לכל $0.02\,\text{m}$). ציר אנכי – $\tan\theta$ (ללא יחידות), מ־$0$ עד $6$ (למשל $1\,\text{cm}$ לכל $0.5$). מסמנים את שמות הצירים, היחידות והשנתות.

הנקודות (מטבלה 1): $(0.190,\,0.176)$, $(0.150,\,0.364)$, $(0.130,\,0.577)$, $(0.113,\,0.839)$, $(0.100,\,1.192)$, $(0.090,\,1.732)$, $(0.076,\,2.747)$, $(0.060,\,5.671)$.

מסמנים את הנקודות בלבד (דיאגרמת פיזור); אם מעבירים קו, זה קו עקום חלק דרך אזור הנקודות – לא קו ישר.

הגרף יורד: ככל שהמגנט רחוק יותר, $\tan\theta$ (ולכן השדה של המגנט) קטן, והירידה תלולה מאוד במרחקים קטנים ומתמתנת במרחקים גדולים.

לפי שאלה 3ב, $\tan\theta\propto B_M$, ולפי קשר (1), $B_M\propto\frac{1}{r^3}$. לכן לפי התיאוריה $\tan\theta\propto\frac{1}{r^3}$: גרף של $\tan\theta$ כפונקציה של $r$ צריך להיות עקומה יורדת (לא קו ישר), שערכיה גדלים מאוד כש־$r$ קטן ושואפים לאפס כש־$r$ גדל.

הגרף שהתקבל אכן כזה: יורד, קעור כלפי מעלה, ותלול מאוד במרחקים הקטנים. לכן יש התאמה איכותית בין צורת הגרף לקשר (1).

עם זאת, עקומות רבות נראות כך (למשל $\frac{1}{r}$, $\frac{1}{r^2}$, $\frac{1}{r^3}$), ולכן מצורת הגרף בלבד אי אפשר לאשש שהחזקה היא דווקא 3. כדי לבדוק זאת כמותית יש לבצע ליניאריזציה: לשרטט את $\tan\theta$ כפונקציה של $\frac{1}{r^3}$ ולבדוק אם מתקבל קו ישר העובר בראשית (שאלות 6–8). בדיקה מהירה: עבור שתי נקודות, $r$ קטן פי $\frac{0.190}{0.090}\approx2.1$ ו־$\tan\theta$ גדל פי $\frac{1.732}{0.176}\approx9.8$, קרוב ל־$2.1^3\approx9.4$ (ורחוק מ־$2.1$ או מ־$2.1^2\approx4.5$) – תואם לחזקה 3.

לפי שאלה 3ב, $\tan\theta=\frac{B_M}{B_E}$, כלומר $\tan\theta\propto B_M$. לפי קשר (1), $B_M\propto\frac{1}{r^3}$. משני הקשרים:

לכן הגודל המקיים קשר ישר (יחס ישר) עם $\tan\theta$ הוא $\frac{1}{r^3}$ – סעיף ב.

מחשבים $\frac{1}{r^3}$ עם $r$ במטרים. לדוגמה, באיור 1:

טבלה 1 המלאה:

בדיקה: המכפלה $r^3\tan\theta$ יוצאת בכל השורות בין $1.19\cdot10^{-3}$ ל־$1.27\cdot10^{-3}\,\text{m}^3$ – כמעט קבועה, כפי שהתיאוריה צופה.

טעות נפוצה: לחשב $\frac{1}{r^3}$ עם $r$ בסנטימטרים ולרשום יחידות של $\text{m}^{-3}$ (הפרש של פי $10^6$).

צירים: ציר אופקי – $\frac{1}{r^3}\,(\text{m}^{-3})$, מ־$0$ עד $5000$ (למשל $1\,\text{cm}$ לכל $500\,\text{m}^{-3}$). ציר אנכי – $\tan\theta$, מ־$0$ עד $6$ (למשל $1\,\text{cm}$ לכל $0.5$).

הנקודות: $(146,\,0.176)$, $(296,\,0.364)$, $(455,\,0.577)$, $(693,\,0.839)$, $(1000,\,1.192)$, $(1372,\,1.732)$, $(2278,\,2.747)$, $(4630,\,5.671)$.

קו מגמה: הנקודות מסתדרות לאורך קו ישר; מעבירים קו ישר אחד שעובר קרוב ככל האפשר לכל הנקודות (חלקן מעליו וחלקן מתחתיו). הקו עובר כמעט בדיוק בראשית – כצפוי מקשר של יחס ישר ($\tan\theta\propto\frac{1}{r^3}$; כשהמגנט רחוק מאוד, $\frac{1}{r^3}\to0$ ואין סטייה).

הגרף הליניארי מאשש את התיאוריה: $\tan\theta$ נמצא ביחס ישר ל־$\frac{1}{r^3}$, ולכן (לפי 3ב) $B_M\propto\frac{1}{r^3}$.

בוחרים שתי נקודות על קו המגמה (לא נקודות מדידה), רחוקות זו מזו: $(0,\ 0)$ ו־$(4000\,\text{m}^{-3},\ 4.88)$.

יחידות: $\tan\theta$ חסר יחידות, ו־$\frac{1}{r^3}$ ביחידות $\text{m}^{-3}$; לכן יחידות השיפוע הן $\frac{1}{\text{m}^{-3}}=\text{m}^3$.

משמעות: לפי $\tan\theta=\frac{B_M}{B_E}$ ו־$B_M=\frac{C}{r^3}$ (כאשר $C$ קבוע האופייני למגנט), $\tan\theta=\frac{C}{B_E}\cdot\frac{1}{r^3}$; כלומר השיפוע הוא $\frac{C}{B_E}$.

(ערך שיפוע בתחום של כ־$1.2\cdot10^{-3}$ עד $1.25\cdot10^{-3}\,\text{m}^3$ סביר, בהתאם לקו שהועבר.)

טעות נפוצה: לחשב את השיפוע משתי נקודות מדידה במקום משתי נקודות על הקו, או לשכוח את היחידות $\text{m}^3$.

מן הגרף (שאלה 8): $\tan\theta=k\cdot\frac{1}{r^3}$, עם $k\approx1.22\cdot10^{-3}\,\text{m}^3$.

מן התרשים (שאלה 3ב): $\tan\theta=\frac{B_M}{B_E}\;\Rightarrow\;B_M=B_E\tan\theta$.

משלבים:

שלב 1: $\tan\theta$ ב־$r=0.12\,\text{m}$:

(כלומר המחט הייתה סוטה בכ־$35^\circ$; ואכן הערך נופל בין המדידות באיורים 3 ו־4.)

שלב 2: השדה של המגנט:

הערה: הנתון $3\cdot10^{-5}\,\text{T}$ משמש כאן כשדה של כדור הארץ שהמחט האופקית "מרגישה" (כפי שהשאלה מנחה). את המרחק $12\,\text{cm}$ מציבים כ־$r$ בקשר שהתקבל מן הגרף, כלומר באותו אופן שבו הוגדר $r$ במדידות (קריאת הסרגל, ראו ההערה בשאלה 1). זו כוונת השאלה: במודל של הרקע התיאורטי המגנט קטן ביחס למרחק ($d\ll r$), ולכן לא מבחינים בין המרחק ממרכז המגנט לבין המרחק מפאתו.

כשהופכים את המגנט, הכיוון של $\vec B_M$ במקום המחט מתהפך (לכיוון E במקום W), וגודלו (באותו מרחק) נשאר זהה. לכן המחט סוטה באותה זווית $\theta$ לצד השני של הכיוון N.

1. ביטול שגיאות שיטתיות. אם הסרגל אינו ניצב בדיוק לשדה של כדור הארץ (המצפן לא כוון בדיוק ל־N), או שהאפס של סקלת המצפן מוסט, או שהמחט מתחילה בזווית קטנה שאינה אפס – אז בכיוון אחד הזווית הנמדדת גדולה מהאמיתית ובכיוון השני קטנה ממנה באותו שיעור (בקירוב). הממוצע של שתי הזוויות מבטל את ההסטה. כך גם לגבי מגנט שאינו סימטרי לחלוטין (מרכזו המגנטי אינו במרכזו הגיאומטרי, או שקוטב אחד חזק מעט מהאחר).

2. הקטנת השגיאה המקרית. במקום מדידה אחת יש שתי מדידות לכל מרחק; ממוצע של שתי מדידות פחות רגיש לשגיאת קריאה בודדת (וגם לחיכוך בציר המחט, שיכול לעצור אותה מעט לפני מצב שיווי המשקל).

לכן ערכי $\theta$ (ו־$\tan\theta$) מדויקים יותר, הנקודות בגרף קרובות יותר לקו, והשיפוע – ולכן גם $B_M$ המחושב – אמינים יותר.

מחט המצפן חופשית להסתובב רק במישור האופקי, ולכן היא מושפעת רק מן הרכיב האופקי של השדה המגנטי.

בקטבים המגנטיים של כדור הארץ קווי השדה המגנטי של כדור הארץ אנכיים (נכנסים אל כדור הארץ או יוצאים ממנו בניצב לפני הקרקע). לכן שם הרכיב האופקי של שדה כדור הארץ הוא (כמעט) אפס: $B_E\approx0$.

לפני קירוב המגנט: אין כמעט כוח מכוון על המחט, והיא לא תתייצב בכיוון מסוים (תישאר בכל כיוון שבו תונח, או תנוע באקראי).

כשמקרבים את המגנט: השדה האופקי היחיד הוא שדה המגנט $\vec B_M$, ולכן המחט תתייצב לאורך הסרגל, בכיוון $\vec B_M$ – כלומר בזווית של $90^\circ$ בערך לכיוון N–S של המצפן, בכל מרחק שבו שדה המגנט מורגש. מבחינה מתמטית: $\tan\theta=\frac{B_M}{B_E}\to\infty$, כלומר $\theta\to90^\circ$.

לכן במקום כזה אי אפשר לבצע את הניסוי: הזווית אינה תלויה במרחק, ואין ממנה מידע על $B_M$.