בגרות בפיזיקה שאלון חקר 36382 - קיץ 2022

במצב 1 המפסק סגור ומחובר במקביל לנגד $R_2$, ולכן הנגד $R_2$ מקוצר: הזרם עובר דרך המפסק (שהתנגדותו זניחה) ולא דרך $R_2$, והמתח בין P ל־B הוא אפס.

לפי חוק המתחים של קירכהוף, סכום המתחים על רכיבי המעגל שווה למתח ההדקים של הארדואינו:

ומכיוון ש־$V_{PB}=0$:

כל מתח ההדקים של הארדואינו נופל על הנגד $R_1$.

על הצג בתצלום 2ב' מופיע: $V_{pb}=0.84\,\text{V}$.

זהו המתח בין הנקודות P ו־B, כלומר המתח על הנגד $R_2$:

במצב 2 שני הנגדים מחוברים בטור לארדואינו. לפי חוק המתחים של קירכהוף, סכום המתחים על הנגדים שווה למתח ההדקים:

בחיבור טורי אותו זרם עובר בשני הנגדים. את הזרם מחשבים מהנגד הידוע $R_2$ לפי חוק אוהם:

טעות נפוצה: להציב $R_2=2$ במקום $2000\,\Omega$ – צריך להמיר $\text{k}\Omega$ לאוהם.

דרך $R_1$ עובר אותו זרם $I=4.2\cdot10^{-4}\,\text{A}$, והמתח עליו $4.16\,\text{V}$. לפי חוק אוהם:

(בדרך נוספת: בחיבור טורי המתחים מתחלקים ביחס ההתנגדויות, $\frac{R_1}{R_2}=\frac{V_{R_1}}{V_{R_2}}=\frac{4.16}{0.84}\approx 4.95$, ולכן $R_1\approx 4.95\cdot 2000\approx 9.9\,\text{k}\Omega$.)

במצב 1 הנגד $R_2$ מקוצר, ולכן במעגל יש רק את הנגד $R_1$, וכל מתח ההדקים $V_{AB}=5\,\text{V}$ נופל עליו (שאלה 1).

לפי חוק אוהם, עם $R_1\approx 9{,}905\,\Omega$ שחישבנו בשאלה 2ד:

הזרם גדול מהזרם במצב 2 ($0.42\,\text{mA}$), כי ההתנגדות הכוללת במעגל קטנה (רק $R_1$ במקום $R_1+R_2$).

הזרם במעגל זורם מהדק A (ההדק החיובי של הארדואינו) דרך $R_1$, דרך הנקודה P ודרך $R_2$ אל B. בכיוון הזרם הפוטנציאל יורד על כל נגד, ולכן הפוטנציאל ב־P גבוה מהפוטנציאל ב־B בשיעור המתח על $R_2$.

המתח בין P ל־B הוא המתח שמופיע על הצג (שאלה 2א):

(ובהתאם, הפוטנציאל ב־A: $V_A=V_B+5=5.9\,\text{V}$, וגם $V_A-V_P=5.9-1.74=4.16\,\text{V}$ – המתח על $R_1$, כפי שחישבנו.)

טעות נפוצה: להחסיר במקום לחבר ($0.9-0.84$) – הנקודה P קרובה יותר להדק החיובי, ולכן הפוטנציאל בה גבוה יותר.

ההודעה המופיעה על הצג בתצלום 3:

כלומר, הארדואינו מנחה להעביר את המפסק למצב 2 – רק אז הקיצור על הקבל מוסר, הזרם מתחיל לזרום דרך $R_1$ והקבל מתחיל להיטען (במצב 1 הקבל מקוצר על־ידי המפסק, ולכן המתח עליו נשאר אפס).

מעתיקים מכל תצלום את הזמן הרשום מתחתיו ואת הערך $V_{pb}$ שעל הצג. המתח בין P ל־B הוא כעת המתח על הקבל, $V_C$:

המתח על הקבל עולה עם הזמן ושואף ל־$5\,\text{V}$ (מתח ההדקים של הארדואינו), כפי שנאמר ברקע העיוני.

הצירים: ציר אופקי – הזמן $t$ בשניות (מ־$0$ עד $90\,\text{s}$, למשל $1\,\text{cm}$ לכל $10\,\text{s}$); ציר אנכי – המתח על הקבל $V_C$ בוולט (מ־$0$ עד $5\,\text{V}$, למשל $2\,\text{cm}$ לכל $1\,\text{V}$). רושמים על כל ציר את שם הגודל ואת יחידותיו, ובוחרים קנה מידה שינצל את רוב שטח הדף.

הנקודות $(t\,[\text{s}],\,V_C\,[\text{V}])$:

$(0,0)$, $(10,1.83)$, $(20,2.87)$, $(30,3.46)$, $(40,3.85)$, $(50,4.11)$, $(60,4.29)$, $(70,4.42)$, $(80,4.52)$, $(90,4.59)$.

הנקודות אינן מסתדרות על קו ישר: המתח עולה מהר בהתחלה ולאט יותר ויותר בהמשך.

מעבירים קו חלק ורציף (לא שבור) דרך הנקודות העוקבות, מן הראשית $(0,0)$ ועד הנקודה $(90,4.59)$. העקומה עולה כל הזמן, אבל שיפועה קטן בהדרגה – היא "מתכופפת" ונעשית כמעט אופקית, ומתקרבת לאסימפטוטה $V_C=V_{AB}=5\,\text{V}$ (קו מקווקו).

זו הצורה האופיינית לטעינת קבל דרך נגד: $V_C(t)=V_{AB}\left(1-e^{-t/\tau}\right)$.

העקומה עולה לאורך כל הניסוי: המתח על הקבל גדל מ־$0$ ב־$t=0$ ועד $4.59\,\text{V}$ ב־$t=90\,\text{s}$. הקבל נטען – המטען בו גדל, ולפי $C=\frac{Q}{V_C}$ (קיבול קבוע) גדל גם המתח עליו.

קצב השינוי של המתח הוא שיפוע העקומה $\frac{\Delta V_C}{\Delta t}$. השיפוע הולך וקטן: בעשר השניות הראשונות המתח עלה ב־$1.83\,\text{V}$, בין $10$ ל־$20\,\text{s}$ ב־$1.04\,\text{V}$, ובין $80$ ל־$90\,\text{s}$ רק ב־$0.07\,\text{V}$. העקומה נעשית כמעט אופקית.

קביעה: הזרם קטן.

נימוק: לפי משוואה (2), $V_R(t)=V_{AB}-V_C(t)$. מתח ההדקים $V_{AB}=5\,\text{V}$ קבוע, והמתח על הקבל גדל – לכן המתח על הנגד קטן. לפי חוק אוהם, הזרם דרך הנגד:

$R_1$ קבוע ו־$V_R$ קטן, ולכן הזרם קטן (מ־$\frac{5}{9905}\approx 0.50\,\text{mA}$ ברגע $t=0$ ועד כ־$\frac{0.41}{9905}\approx 0.04\,\text{mA}$ ב־$t=90\,\text{s}$).

(זה גם מתאים לסעיף ב: הזרם הוא קצב הטעינה $I=\frac{\Delta Q}{\Delta t}=C\frac{\Delta V_C}{\Delta t}$, ולכן כשקצב עליית המתח על הקבל קטן – גם הזרם קטן.)

לפי הרקע העיוני, בזמן $t=\tau$ המתח על הקבל מגיע לכ־63% מערכו המקסימלי. הערך המקסימלי שאליו שואף המתח על הקבל הוא מתח ההדקים של הארדואינו, $V_{AB}=5\,\text{V}$:

מסמנים על הציר האנכי $V_C=3.15\,\text{V}$, מעבירים קו אופקי עד העקומה, ומשם קו אנכי עד ציר הזמן. נקודה זו נמצאת בין המדידה ב־$t=20\,\text{s}$ ($2.87\,\text{V}$) למדידה ב־$t=30\,\text{s}$ ($3.46\,\text{V}$), קרוב יותר ל־$20\,\text{s}$:

הקריאה מהעקומה נותנת:

(העקומה קעורה – היא עוברת מעל הקו הישר המחבר את שתי המדידות, ולכן היא חוצה את $3.15\,\text{V}$ מעט לפני הערך $24.7\,\text{s}$ שמתקבל מאינטרפולציה קווית בין שתי הנקודות. ערכים בתחום של כ־$24$–$25\,\text{s}$ סבירים, לפי דיוק הסרטוט והקריאה מהגרף.)

טעות נפוצה: לחשב 63% מהמתח האחרון שנמדד ($4.59\,\text{V}$) במקום מהערך המקסימלי $5\,\text{V}$ שאליו שואף המתח.

הקבל נטען דרך הנגד $R_1$, ולכן לפי משוואה (3) (וכן בדף הנוסחאות, "קבוע הזמן האופייני"):

עם $R_1\approx 9{,}905\,\Omega$ משאלה 2ד ו־$\tau\approx 24\,\text{s}$:

(עם $\tau=25\,\text{s}$ מתקבל $C\approx 2{,}520\,\mu\text{F}$; ערך הקיבול הנקוב של הקבל הוא $2{,}200\,\mu\text{F}$.)

טעות נפוצה: לשכוח להמיר $\text{F}$ ל־$\mu\text{F}$ ($1\,\text{F}=10^6\,\mu\text{F}$).

לפי משוואה (2), $V_{AB}=V_C(t)+V_R(t)$, ולכן:

לדוגמה, במדידה 2: $V_R=5-1.83=3.17\,\text{V}$. כך עבור כל המדידות:

מחשבים במחשבון את הלוגריתם הטבעי של כל ערך $V_R$ (בוולט). לדוגמה: $\ln 3.17\approx 1.15$, $\ln 0.89\approx -0.12$ (לוגריתם של מספר קטן מ־1 שלילי). הטבלה המלאה מופיעה בסעיף א, בעמודה הימנית.

הצירים: ציר אופקי – הזמן $t$ בשניות (מ־$0$ עד כ־$35\,\text{s}$); ציר אנכי – $\ln(V_R)$ (גודל חסר יחידות, מ־$0$ עד כ־$1.8$). בוחרים קנה מידה שינצל את רוב הדף, למשל $1\,\text{cm}$ לכל $2.5\,\text{s}$ ו־$1\,\text{cm}$ לכל $0.1$.

הנקודות (ארבע המדידות הראשונות):

$(0,\,1.61)$, $(10,\,1.15)$, $(20,\,0.76)$, $(30,\,0.43)$.

הנקודות מסתדרות בקירוב על קו ישר יורד – כפי שצופה משוואה (4), שבה $\ln[V_R]$ הוא פונקציה קווית של $t$.

מעבירים קו ישר אחד, כך שהנקודות מפוזרות סביבו משני צדיו בערך באופן שווה (לא בהכרח עובר דרך אף אחת מהן):

הקו חותך את הציר האנכי ב־$\approx 1.58$, קרוב ל־$\ln 5=1.61$, כפי שצופה משוואה (4) ($\ln V_{AB}$).

הערה: במדידות המאוחרות יותר המתח על הנגד קטן, והשגיאה היחסית בו (המתח נמדד בדיוק של $0.01\,\text{V}$) גדלה; לכן השאלה מגבילה את הקו לארבע המדידות הראשונות.

בוחרים שתי נקודות על הקו (לא מנקודות הטבלה), רחוקות זו מזו, למשל $(0\,\text{s},\,1.58)$ ו־$(30\,\text{s},\,0.40)$:

יחידות: $\ln(V_R)$ הוא גודל חסר יחידות, והזמן נמדד בשניות, לכן יחידות השיפוע הן $\frac{1}{\text{s}}=\text{s}^{-1}$.

המשמעות: לפי משוואה (4), $\ln[V_R(t)]=\ln(V_{AB})-\frac{1}{\tau}\,t$ – זו משוואת קו ישר שבה המשתנה הבלתי תלוי הוא $t$, החותך הוא $\ln(V_{AB})$ והשיפוע הוא:

ולפי משוואה (3) $\tau=RC$ נמדד בשניות – בהתאם ליחידות $\text{s}^{-1}$ של השיפוע.

(התאמה בשיטת הריבועים הפחותים לארבע הנקודות נותנת אותו שיפוע, $-0.0393\,\text{s}^{-1}$.)

מהשיפוע:

לפי משוואה (3):

התוצאה קרובה לתוצאה של שאלה 7ב ($\approx 2{,}420\,\mu\text{F}$).

הסטייה היחסית מחושבת ביחס לערך הנתון $C_0=2{,}200\,\mu\text{F}$:

(עם ערך $\tau$ אחר שנקרא מהעקומה הסטייה משתנה בהתאם; למשל עם $\tau=25\,\text{s}$ מתקבל $C\approx 2{,}520\,\mu\text{F}$ וסטייה של כ־$15\%$.)

בשתי השיטות התקבל קיבול גדול בכ־10%–17% מהערך הנקוב. סטייה כזו סבירה: לקבלים אלקטרוליטיים יש סבולת ייצור גדולה (לרוב $\pm 20\%$), וגם ההתנגדות $R_1$ חושבה ממדידה בודדת של מתח.

התשובה תלויה בניסוי שבחרתם לתאר. כאן מוצגת תשובה מלאה לדוגמה עבור ניסוי המטוטלת המתמטית.

שם הניסוי: המטוטלת המתמטית.

מטרת הניסוי: לחקור את הקשר בין זמן המחזור $T$ של מטוטלת מתמטית ובין אורכה $L$ (בתנודות בזווית קטנה), ולמצוא באמצעות הקשר את גודל תאוצת הנפילה החופשית $g$, לפי:

(לדוגמה, בניסוי המטוטלת המתמטית)

- חוט דק וקל (כמעט חסר מסה ובלתי מתיח) – תולים עליו את המשקולת; אורכו קובע את אורך המטוטלת.

- משקולת קטנה (כדור מתכת) – הגוף המתנודד; קטנה וכבדה ביחס לחוט, כדי שהמטוטלת תתנהג כגוף נקודתי וההשפעה של התנגדות האוויר תהיה קטנה.

- מעמד עם תפסן – נקודת תלייה קבועה ויציבה לחוט.

- סרגל או סרט מדידה – למדידת אורך המטוטלת, מנקודת התלייה ועד מרכז המשקולת.

- שעון עצר – למדידת זמן של מספר תנודות.

- מד־זווית – לוודא שזווית ההסטה ההתחלתית קטנה (עד כ־$10^\circ$).

(לדוגמה, בניסוי המטוטלת המתמטית)

1. קובעים אורך מטוטלת $L$ ומודדים אותו מנקודת התלייה ועד מרכז המשקולת.

2. מסיטים את המשקולת בזווית קטנה (פחות מ־$10^\circ$) ומשחררים ממנוחה.

3. מודדים בשעון העצר את הזמן $t_{10}$ של 10 תנודות שלמות, וחוזרים על המדידה כ־3 פעמים; זמן המחזור הוא $T=\frac{t_{10}}{10}$ (מהממוצע).

4. חוזרים על שלבים 1–3 עבור כ־6 אורכים שונים (למשל מ־$0.3$ עד $1.2\,\text{m}$).

5. מעבדים: מעלים את המשוואה בריבוע, $T^2=\frac{4\pi^2}{g}L$, ומשרטטים דיאגרמת פיזור של $T^2$ כפונקציה של $L$. אם הנקודות מסתדרות על קו ישר העובר דרך הראשית – הקשר מאושש, ומשיפוע קו המגמה מחשבים:

לדוגמה, אם מתקבל שיפוע של $4.0\,\frac{\text{s}^2}{\text{m}}$, אז $g=\frac{4\pi^2}{4.0}\approx 9.9\,\frac{\text{m}}{\text{s}^2}$.

(לדוגמה, בניסוי המטוטלת המתמטית)

1. זמן התגובה של הנסיין בהפעלה ובעצירה של שעון העצר (כ־$0.2\,\text{s}$). הקטנה: מודדים זמן של 10 תנודות (או יותר) ומחלקים ב־10 – השגיאה מתחלקת על פני 10 מחזורים; חוזרים על כל מדידה כמה פעמים ומחשבים ממוצע; מתחילים ועוצרים את המדידה כשהמשקולת עוברת בנקודה הנמוכה (שם היא מהירה וקל לזהות את הרגע).

2. מדידה לא מדויקת של אורך המטוטלת (מדידה עד קצה המשקולת במקום עד מרכזה). הקטנה: מודדים את אורך החוט ומוסיפים את רדיוס המשקולת (חצי הקוטר), או מודדים ישירות עד מרכזה.

(גורם נוסף: זווית הסטה גדולה – הנוסחה נכונה רק לזוויות קטנות; מקפידים על זווית של פחות מ־$10^\circ$ ובודקים במד־זווית.)

מטרת הניסוי היא למדוד את גודל הרכיב האופקי של השדה המגנטי של כדור הארץ, $B_E$, בעזרת מצפן הנמצא במרכז סליל מעגלי שזורם בו זרם.

השדה של הסליל במרכזו (דף הנוסחאות, סליל מעגלי דק):

כשהשדה של הסליל ניצב לשדה הארץ, מחט המצפן מסתובבת אל כיוון השדה השקול, בזווית $\theta$ שמקיימת $\tan\theta=\frac{B_{coil}}{B_E}$. כך ניתן גם לאשש שהשדה של הסליל במרכזו עומד ביחס ישר לזרם ($\tan\theta\propto I$).

הכיוון: לפני הזרמת הזרם מניחים את המצפן במרכז הסליל ומסובבים את הסליל כך שמישור הכריכות יהיה בכיוון צפון–דרום המגנטי, כלומר מקביל למחט המצפן (המחט מצביעה בכיוון הרכיב האופקי של שדה כדור הארץ, $B_E$).

ההסבר: השדה המגנטי של הסליל במרכזו ניצב למישור הכריכות. לכן כשמישור הסליל מקביל ל־$B_E$, שדה הסליל $B_{coil}$ ניצב לשדה הארץ (מזרח–מערב).

כשזורם זרם, המחט מתייצבת בכיוון השדה השקול, $\vec B=\vec B_E+\vec B_{coil}$, ונוצר משולש ישר־זווית שבו $B_E$ ו־$B_{coil}$ הם הניצבים. זווית הסטת המחט $\theta$ (מכיוון הצפון) מקיימת:

ומכאן:

כל הגדלים באגף ימין ידועים או נמדדים ($N$, $R$, $I$, $\theta$), ולכן ניתן לחשב את $B_E$. אילו הסליל לא היה מוצב כך, השדות לא היו ניצבים והקשר הפשוט עם $\tan\theta$ לא היה מתקיים.

1. הזרם $I$ בסליל – במד־זרם (אמפרמטר) המחובר בטור לסליל, עבור כ־6–8 ערכי זרם שונים (משנים בעזרת נגד משתנה או מתח הספק).

2. זווית ההסטה $\theta$ של מחט המצפן עבור כל ערך זרם (רצוי לקרוא את שני קצות המחט, ולהפוך את כיוון הזרם ולמצע את שתי הזוויות).

3. רדיוס הסליל $R$ (למשל מדידת הקוטר בסרגל וחלוקה ב־2) ומספר הכריכות $N$ (רשום על הסליל).

הגרף: $\tan\theta$ כפונקציה של $I$. לפי $\tan\theta=\frac{\mu_0 N}{2R\,B_E}\,I$ מתקבל קו ישר דרך הראשית, ששיפועו $\frac{\mu_0 N}{2RB_E}$, ולכן:

מצפן בעל מחט ארוכה: קצות המחט רחוקים מהציר ועוברים על פני סקלה גדולה, ולכן קל יותר לקרוא את זווית ההסטה בדיוק – השגיאה בקריאת הזווית קטנה.

מצפן בעל מחט קצרה: כל המחט נמצאת קרוב מאוד למרכז הסליל, באזור שבו השדה המגנטי של הסליל כמעט אחיד ושווה לערך במרכז, $\frac{\mu_0 N I}{2R}$ – הנוסחה שבה משתמשים בחישוב. מחט ארוכה "מרגישה" גם שדה באזורים רחוקים מהמרכז, שבהם השדה שונה, וזה גורם לשגיאה שיטתית.