בגרות בפיזיקה שאלון חקר 36382 - קיץ 2022 מועד מיוחד

במצב 0 אף נגד אינו מחובר לסוללה, כך שלא מתפתח חום במערכת, והיא נמצאת בשיווי משקל תרמי עם הסביבה. לכן החיישן מודד את טמפרטורת הסביבה.

הקשר בין המתח לטמפרטורה לינארי: $10\,\text{mV}$ לכל $1^\circ\text{C}$ (ו־$0\,\text{mV}$ מתאים ל־$0^\circ\text{C}$, כפי שמראה הדוגמה $200\,\text{mV}\to 20^\circ\text{C}$). לכן:

הצבה:

לפי הקשר הלינארי של החיישן ($10\,\text{mV}$ לכל $1^\circ\text{C}$):

לדוגמה, ב־$t=20\,\text{s}$: $T=\frac{455}{10}=45.5^\circ\text{C}$.

כבר כאן רואים שהטמפרטורה עולה מהר בהתחלה ולאט יותר ויותר, עד שהיא מתייצבת על $87.0^\circ\text{C}$.

הטמפרטורה ברגע $t=0$ היא $T_0=27.3^\circ\text{C}$, ולכן לכל מדידה:

לדוגמה, ב־$t=40\,\text{s}$: $\Delta T=60.9-27.3=33.6^\circ\text{C}$.

באותו קשר של החיישן:

לדוגמה, ב־$t=20\,\text{s}$: $T=\frac{710}{10}=71.0^\circ\text{C}$.

הטמפרטורה יורדת מהר בהתחלה ולאט יותר ויותר, ומתקרבת לטמפרטורת הסביבה ($27.3^\circ\text{C}$).

הטמפרטורה הסופית (במדידה האחרונה, $t=300\,\text{s}$) היא $T_{\text{סופית}}=27.4^\circ\text{C}$, ולכן:

לדוגמה, ב־$t=0$: $\Delta T=87.0-27.4=59.6^\circ\text{C}$.

הטמפרטורה הסופית קרובה מאוד לטמפרטורת הסביבה, ולכן $\Delta T$ כאן הוא בקירוב הפרש הטמפרטורה בין המערכת לסביבה.

צירים: ציר אופקי – הזמן $t\,(\text{s})$, מ־$0$ עד $300$ (למשל $1\,\text{cm}$ לכל $20\,\text{s}$). ציר אנכי – $\Delta T\,(^\circ\text{C})$, מ־$0$ עד $60$ (למשל $1\,\text{cm}$ לכל $5^\circ\text{C}$). רושמים שם וגודל ויחידות לכל ציר.

הנקודות (מתוצאות שאלה 3): $(0,0)$, $(20,18.2)$, $(40,33.6)$, $(60,43.2)$, $(80,49.7)$, $(100,53.8)$, $(120,56.2)$, $(140,57.7)$, $(160,58.7)$, $(180,59.2)$, $(200,59.5)$, ומ־$t=220\,\text{s}$ ואילך $59.7$.

מה רואים: הנקודות אינן על קו ישר. בתחילה $\Delta T$ גדל מהר (כ־$18^\circ\text{C}$ ב־$20$ השניות הראשונות), ובהמשך העלייה בכל פרק זמן של $20\,\text{s}$ קטנה והולכת, עד שהעקומה נעשית אופקית בערך $59.7^\circ\text{C}$ (טמפרטורה $87.0^\circ\text{C}$). ככל שהמערכת חמה יותר, היא מאבדת יותר חום לסביבה בכל שנייה, ולכן קצב ההתחממות קטן.

טעות נפוצה: לחבר את הנקודות בקו ישר אחד או בקווים שבורים – בדיאגרמת פיזור מסמנים את הנקודות בלבד (ואם מעבירים קו, זה קו מגמה חלק).

צירים: ציר אופקי – $t\,(\text{s})$ מ־$0$ עד $300$; ציר אנכי – $\Delta T\,(^\circ\text{C})$ מ־$0$ עד $60$.

הנקודות (מתוצאות שאלה 5): $(0,59.6)$, $(20,43.6)$, $(40,29.6)$, $(60,20.8)$, $(80,14.6)$, $(100,10.1)$, $(120,6.6)$, $(140,4.9)$, $(160,3.5)$, $(180,2.4)$, $(200,1.6)$, $(220,1.0)$, $(240,0.6)$, $(260,0.3)$, $(280,0.1)$, $(300,0)$.

מה רואים: עקומה יורדת שתלילותה קטנה והולכת – בהתחלה $\Delta T$ יורד ב־$16^\circ\text{C}$ ב־$20$ שניות, ובסוף רק בעשיריות המעלה. זו צורה של דעיכה (מעריכית), כפי שמנבא חוק ההתקררות של ניוטון.

קביעה: היגד ב נכון.

נימוק מתוך התוצאות (שאלה 5): קצב ההתקררות הוא ירידת הטמפרטורה ביחידת זמן.

•בין $t=0$ ל־$t=20\,\text{s}$, כשההפרש מהסביבה גדול (כ־$50^\circ\text{C}$ בממוצע), הטמפרטורה ירדה ב־$16.0^\circ\text{C}$ – קצב של $0.80\,^\circ\text{C/s}$.

•בין $t=60$ ל־$t=80\,\text{s}$ (הפרש כ־$18^\circ\text{C}$) הירידה $6.2^\circ\text{C}$ – קצב $0.31\,^\circ\text{C/s}$.

•בין $t=120$ ל־$t=140\,\text{s}$ (הפרש כ־$6^\circ\text{C}$) הירידה $1.7^\circ\text{C}$ – קצב $0.085\,^\circ\text{C/s}$.

הקצב אינו קבוע (היגד א שגוי), והוא קטן ככל שהגוף מתקרב לטמפרטורת הסביבה (היגד ג הפוך למציאות). היחס בין הקצב להפרש הטמפרטורה כמעט קבוע (כ־$0.015$–$0.018$ לשנייה בשלושת המקטעים), בהתאם לחוק ההתקררות של ניוטון: הקצב פרופורציוני להפרש הטמפרטורה בין הגוף לסביבה.

לפי חוק שימור האנרגייה, השינוי באנרגייה הפנימית של המערכת בכל שנייה שווה לאנרגייה שהנגד מספק בשנייה פחות האנרגייה שהמערכת מוסרת לסביבה בשנייה:

הנגד מספק הספק קבוע $P$. קצב איבוד החום לסביבה פרופורציוני להפרש הטמפרטורה בין המערכת לסביבה (חוק ניוטון), ולכן הוא גדל ככל שהמערכת מתחממת.

בהתחלה המערכת בטמפרטורת הסביבה, כמעט אין איבוד, וכמעט כל האנרגייה מחממת אותה. בסוף ההתחממות (כ־$87^\circ\text{C}$, הפרש של כ־$60^\circ\text{C}$ מהסביבה) קצב איבוד החום גדל עד שהשתווה להספק הנגד. אז כל האנרגייה שהנגד מספק יוצאת מיד לסביבה דרך קופסת הקלקר (שמקטינה את מעבר החום אך אינה מונעת אותו), האנרגייה הפנימית של המערכת לא משתנה, והטמפרטורה נשארת קבועה. האנרגייה לא "נעלמה" – היא עברה לסביבה.

קביעה: כן, הדיאגרמה תשתנה.

הסבר: בבידוד טוב יותר, באותו הפרש טמפרטורה בין המערכת לסביבה עובר לסביבה פחות חום בכל שנייה (מקדם מעבר החום קטן). הנגד מספק אותו הספק.

- בתחילת החימום המערכת בטמפרטורת הסביבה וכמעט אין איבוד חום בשני המקרים, ולכן השיפוע ההתחלתי של הדיאגרמה כמעט אינו משתנה.

- בהמשך האיבוד קטן יותר, ולכן חלק גדול יותר מהאנרגייה מחמם את המערכת: $\Delta T$ בכל רגע גדול יותר, והעקומה מתכופפת פחות.

- ההתייצבות מתרחשת כשקצב איבוד החום משתווה להספק הנגד. כשהבידוד טוב יותר, צריך הפרש טמפרטורה גדול יותר כדי להגיע לאותו קצב איבוד – לכן הערך הסופי של $\Delta T$ גבוה יותר, ומגיעים אליו אחרי זמן ארוך יותר.

במקרה הקיצוני של בידוד מושלם לא היה איבוד חום כלל, והנקודות היו מסתדרות על קו ישר עולה (קצב התחממות קבוע).

קביעה: החימום מ־$30^\circ\text{C}$ ל־$40^\circ\text{C}$ קצר יותר.

נימוק: בשני המקרים צריך להעלות את טמפרטורת אותם מים ב־$10^\circ\text{C}$, כלומר להוסיף להם אותה כמות אנרגייה. גוף החימום של הקומקום מספק הספק קבוע. אבל המים גם מאבדים חום לסביבה, ולפי חוק ההתקררות של ניוטון קצב איבוד החום פרופורציוני להפרש הטמפרטורה בין המים לחדר:

•בין $30^\circ\text{C}$ ל־$40^\circ\text{C}$ ההפרש מהחדר הוא $10$–$20^\circ\text{C}$ – איבוד קטן.

•בין $80^\circ\text{C}$ ל־$90^\circ\text{C}$ ההפרש הוא $60$–$70^\circ\text{C}$ – איבוד גדול פי כמה.

ההספק נטו שמחמם את המים (הספק הגוף פחות קצב האיבוד) קטן יותר בטמפרטורות הגבוהות, ולכן אותה תוספת של $10^\circ\text{C}$ דורשת זמן רב יותר.

הסתמכות על הניסוי: בשלב ההתחממות עלתה הטמפרטורה ב־$18.2^\circ\text{C}$ ב־$20$ השניות הראשונות (מ־$27.3$ ל־$45.5^\circ\text{C}$), אך רק ב־$4.1^\circ\text{C}$ בין $t=80$ ל־$t=100\,\text{s}$ (מ־$77.0$ ל־$81.1^\circ\text{C}$), אף שהנגד סיפק אותו הספק כל הזמן. כלומר ככל שהגוף חם יותר, הוא מתחמם לאט יותר.

שתי הנקודות הראשונות בדיאגרמת ההתחממות (שאלה 6א): $(0\,\text{s},\,0^\circ\text{C})$ ו־$(20\,\text{s},\,18.2^\circ\text{C})$.

שיפוע הישר:

אם קצב החימום היה נשאר קבוע, אחרי $120\,\text{s}$:

ולכן הטמפרטורה:

לפי המדידה, ב־$t=120\,\text{s}$ המתח היה $835\,\text{mV}$, כלומר $T=83.5^\circ\text{C}$ ($\Delta T=56.2^\circ\text{C}$) – הרבה פחות מ־$136.5^\circ\text{C}$ שקיבלנו בסעיף א.

ההסבר: בסעיף א הנחנו שקצב החימום קבוע ($0.91\,^\circ\text{C/s}$), כאילו כל אנרגיית הנגד מחממת את המערכת. בפועל, ככל שהמערכת מתחממת, הפרש הטמפרטורה בינה לבין הסביבה גדל, ולפי חוק ההתקררות של ניוטון גדל גם קצב איבוד החום לסביבה. לכן קצב החימום נטו קטן עם הזמן – הנקודות בדיאגרמה נמצאות מתחת לישר, והעקומה מתיישרת עד שהטמפרטורה מתייצבת ($87.0^\circ\text{C}$). ההנחה "קצב החימום לא השתנה" אינה נכונה, והחיזוי הלינארי מתאים רק לזמנים קצרים מאוד בתחילת החימום.

המרת נתוני $R_2$ לטמפרטורות ($T=V/10$):

השוואה: עם $R_2$ המערכת מתחממת לאט יותר (ב־$40$ השניות הראשונות עלייה של $16.9^\circ\text{C}$ לעומת $33.6^\circ\text{C}$ עם $R_1$) ומתייצבת בטמפרטורה נמוכה יותר ($59.7^\circ\text{C}$ לעומת $87.0^\circ\text{C}$). מכאן שההספק שמתפתח ב־$R_2$ קטן מההספק שמתפתח ב־$R_1$.

הקשר להתנגדות: שני הנגדים מחוברים (כל אחד בתורו) לאותו בית סוללות, כלומר לאותו מתח $V$ (בהנחה שההתנגדות הפנימית של הסוללות זניחה). מדף הנוסחאות $P=VI$ ו־$V=IR$, ולכן:

במתח קבוע ההספק קטן כשההתנגדות גדלה. ההספק ב־$R_2$ קטן יותר – לכן $R_2>R_1$.

הערכה כמותית: בטמפרטורה המתייצבת הספק הנגד שווה לקצב איבוד החום, שפרופורציוני להפרש מהסביבה. ההפרשים: $87.0-27.3=59.7^\circ\text{C}$ ו־$59.7-27.3=32.4^\circ\text{C}$, ולכן

טעות נפוצה: להשתמש ב־$P=I^2R$ ולהסיק שהתנגדות גדולה יותר מחממת יותר – הזרם אינו קבוע; מה שקבוע הוא מתח המקור.

בשאלה זו כל תלמיד עונה על ניסוי מכניקה שהוא עצמו ביצע, ולכן אין תשובה אחת. להלן תשובה מלאה לדוגמה עבור ניסוי נפוץ.

שם הניסוי: מטוטלת מתמטית (פשוטה).

מטרת הניסוי: לחקור את התלות של זמן המחזור $T$ של מטוטלת מתמטית באורך החוט $L$ (בתנודות בזווית קטנה), לאשש את הקשר מדף הנוסחאות $T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$, ולחשב מתוצאות הניסוי את תאוצת הכובד $g$.

(לדוגמה, עבור ניסוי המטוטלת.)

- כן (מעמד) עם מלחציים – נקודת תלייה יציבה וקבועה לחוט.

- חוט דק וקל, שאורכו ניתן לשינוי – מחבר את המשקולת לנקודת התלייה; מסתו זניחה.

- משקולת קטנה וכבדה – הגוף המתנודד; קטנה כדי שתיחשב לגוף נקודתי.

- סרט מדידה / סרגל מטר – למדידת אורך המטוטלת, מנקודת התלייה ועד מרכז המשקולת.

- שעון־עצר – למדידת זמן של מספר תנודות.

- מד־זווית – כדי לוודא שזווית ההסטה ההתחלתית קטנה (פחות מ־$10^\circ$ בערך).

(לדוגמה, עבור ניסוי המטוטלת.)

1. קובעים אורך חוט $L$ ומודדים אותו מנקודת התלייה ועד מרכז המשקולת.

2. מסיטים את המשקולת בזווית קטנה ומשחררים ממנוחה. מודדים בשעון־העצר את הזמן $t_{10}$ של $10$ תנודות שלמות, וחוזרים על המדידה כמה פעמים.

3. מחשבים את זמן המחזור: $T=\frac{t_{10}}{10}$.

4. חוזרים על שלבים 1–3 לחמישה עד שישה אורכים שונים (למשל מ־$0.3\,\text{m}$ עד $1.2\,\text{m}$).

5. עיבוד: מעלים בריבוע את נוסחת זמן המחזור $T=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$ ומקבלים $T^2=\frac{4\pi^2}{g}L$. משרטטים דיאגרמת פיזור של $T^2$ כפונקצייה של $L$; אם הנקודות על קו ישר העובר בראשית – הקשר מאושש. מהשיפוע $m=\frac{4\pi^2}{g}$ מחשבים $g=\frac{4\pi^2}{m}$.

דוגמה מספרית (ערכים להמחשה בלבד, לא נתוני הבחינה): לדוגמה, אם באורך $L=0.50\,\text{m}$ מדדתם $10$ תנודות ב־$14.2\,\text{s}$, אז $T=1.42\,\text{s}$ ו־

(לדוגמה, עבור ניסוי המטוטלת.)

1. זמן התגובה של המודד בהפעלת שעון־העצר ובעצירתו (כ־$0.1$–$0.2\,\text{s}$). הקטנה: מודדים זמן של $10$ (או $20$) תנודות ומחלקים – השגיאה מתחלקת במספר התנודות; חוזרים על המדידה כמה פעמים ומחשבים ממוצע; מתחילים למדוד כשהמשקולת עוברת בנקודה הנמוכה (שם היא נעה מהר וקל לזהות את הרגע).

2. זווית הסטה גדולה מדי – הנוסחה $T=2\pi\sqrt{L/g}$ נכונה רק לזוויות קטנות, ובזווית גדולה זמן המחזור ארוך יותר. הקטנה: מסיטים בזווית קטנה מ־$10^\circ$ בעזרת מד־זווית.

(גורם נוסף אפשרי: מדידת $L$ עד קצה המשקולת במקום עד מרכזה – מודדים עד מרכז המסה של המשקולת.)

- סוללה בעלת כא"מ $\varepsilon$ והתנגדות פנימית $r$ (בתרשים: סמל סוללה, ולידו נגד קטן $r$ בטור בתוכה).

- נגד משתנה $R$ (ראוסטט) מחובר בטור לסוללה.

- אמפרמטר מחובר בטור באותה לולאה (בין הסוללה לנגד המשתנה), ומודד את הזרם $I$ במעגל.

- וולטמטר מחובר במקביל להדקי הסוללה $a$ ו־$b$, ומודד את מתח ההדקים $V_{ab}$.

כלומר: הדק חיובי של הסוללה ← אמפרמטר ← נגד משתנה ← בחזרה להדק השלילי; הוולטמטר מחובר ישירות בין שני הדקי הסוללה.

המכשירים אידאליים: לאמפרמטר התנגדות אפס (אינו משנה את הזרם), ולוולטמטר התנגדות אינסופית (אינו מושך זרם). משנים את $R$ ומקבלים זוגות ערכים $(I,V_{ab})$.

טעות נפוצה: לחבר את האמפרמטר במקביל או את הוולטמטר בטור – אמפרמטר תמיד בטור, וולטמטר תמיד במקביל.

לפי חוק המתחים של קירכהוף בלולאה היחידה של המעגל: הכא"מ שווה לסכום מפלי המתח על הנגד החיצוני ועל ההתנגדות הפנימית:

ולכן:

(האמפרמטר האידאלי אינו מוסיף התנגדות, והוולטמטר האידאלי אינו מושך זרם.)

מדף הנוסחאות, מתח ההדקים:

זו פונקצייה קווית של $I$: הגרף של $V_{ab}$ (ציר אנכי) כפונקצייה של $I$ (ציר אופקי) הוא קו ישר יורד.

- כא"מ הסוללה: נקודת החיתוך של הישר עם ציר המתח ($I=0$): $V_{ab}=\varepsilon$.

- זרם הקצר: נקודת החיתוך עם ציר הזרם ($V_{ab}=0$, כלומר $R=0$): $0=\varepsilon-I_{\text{קצר}}r\Rightarrow I_{\text{קצר}}=\frac{\varepsilon}{r}$.

- ההתנגדות הפנימית: שיפוע הישר הוא $-r$, ולכן $r=-\frac{\Delta V}{\Delta I}$, מחושב משתי נקודות על הישר (או $r=\frac{\varepsilon}{I_{\text{קצר}}}$).

בפועל אין מגיעים בניסוי ל־$I=0$ או לקצר; מעבירים קו ישר מיטבי דרך נקודות המדידה ומאריכים אותו (אקסטרפולציה) עד שני הצירים.

מתח ההדקים הוא הכא"מ פחות מפל המתח על ההתנגדות הפנימית של הסוללה:

הכא"מ $\varepsilon$ וההתנגדות הפנימית $r$ הם תכונות של הסוללה ואינם משתנים. כשמקטינים את ההתנגדות של הנגד המשתנה, הזרם $I=\frac{\varepsilon}{R+r}$ גדל, ולכן גדל מפל המתח $Ir$ בתוך הסוללה (יותר אנרגייה ליחידת מטען "מתבזבזת" בתוך הסוללה). מה שנשאר להדקים – $\varepsilon-Ir$ – קטן.