בגרות בפיזיקה שאלון חקר 36382 - קיץ 2023

הזמן שנמדד הוא הזמן של עשרה מחזורים, ולכן זמן מחזור אחד הוא עשירית ממנו:

בטבלה 1, בשורה הראשונה (כדור), בעמודה "זמן מחזור $T$" כותבים $0.924$.

במדידה בשעון עצר ידני השגיאה העיקרית היא זמן התגובה של המודד בהפעלת השעון ובעצירתו – בערך $0.1$–$0.2\,\text{s}$, ושגיאה זו כמעט אינה תלויה במשך המדידה.

•אם מודדים מחזור אחד (כ־$0.9\,\text{s}$), שגיאה של כ־$0.2\,\text{s}$ היא כ־$20\%$ מהגודל הנמדד – שגיאה יחסית גדולה מאוד.

•אם מודדים 10 מחזורים (כ־$9\,\text{s}$), אותה שגיאה מוחלטת היא רק כ־$2\%$ מהזמן הנמדד. כשמחלקים ב־10 כדי לקבל $T$, גם השגיאה המוחלטת ב־$T$ קטנה פי 10.

לכן מדידת זמן של מספר רב של מחזורים וחלוקה במספרם מקטינה את השגיאה היחסית ומשפרת את דיוק זמן המחזור. בנוסף, קשה לזהות במדויק את רגע תחילתו וסופו של מחזור בודד, ומדידת זמן ארוך מצמצמת גם את השפעת אי־דיוק זה.

בשורה השנייה של טבלה 1 (פס מתכת) נתון הזמן של עשרה מחזורים, $10T=9.37\,\text{s}$. לכן:

בטבלה 1, בשורה השנייה, בעמודה "זמן מחזור $T$" כותבים $0.937$.

שורה 2 ($d=12\,\text{cm}$): הזמן של 10 מחזורים הוא $9.40\,\text{s}$, ולכן

שורה 1 ($d=8\,\text{cm}$): זו המדידה של שאלה 2 – הפס תלוי בחורים מספר 2. מעתיקים מטבלה 1: $10T=9.37\,\text{s}$, $T=0.937\,\text{s}$.

מטבלה 1: $T_1=0.924\,\text{s}$ (כדור – מטוטלת מתמטית), $T_2=0.937\,\text{s}$ (פס מתכת – מטוטלת דו־חוטית).

הצבה בביטוי:

קביעה: ההפרש היחסי, כ־$1.4\%$, קטן מ־$5\%$, ולכן לפי הקריטריון הנתון זמני המחזור של שני הגופים דומים.

הסבר: אף שמסת הפס ($195\,\text{g}$) גדולה פי כמעט 10 ממסת הכדור ($20\,\text{g}$) והפס אינו נקודתי, זמני המחזור כמעט שווים. בתנודה במישור האנכי (בניצב למישור המסגרת) שני החוטים המקבילים נעים יחד וכל נקודה בפס נעה כמו מסה התלויה על חוט באותו אורך – בהתאם לנוסחה 1, זמן המחזור תלוי רק באורך החוט ובתאוצת הכובד, ולא במסה. ההפרש הקטן שנמדד נובע משגיאות מדידה (זמן תגובה, אי־דיוק באורך האפקטיבי של כל מטוטלת).

מטבלה 2: עבור $d=8\,\text{cm}$: $T_1=0.937\,\text{s}$; עבור $d=12\,\text{cm}$: $T_2=0.940\,\text{s}$.

מחשבים את ההפרש היחסי באותו ביטוי:

קביעה: ההפרש היחסי, כ־$0.3\%$, קטן בהרבה מ־$5\%$, ולכן זמני המחזור בשתי המדידות דומים – לא ניתן לקבוע שהשינוי במרחק בין החוטים השפיע על זמן המחזור. ההפרש הזעיר בין שתי המדידות נמצא בתחום שגיאת המדידה.

זה מתאים לצפוי: בתנודה במישור האנכי החוטים נשארים מקבילים זה לזה, והפס כולו נע כמו מטוטלת מתמטית שאורכה אורך החוטים; זמן המחזור $T=2\pi\sqrt{L/g}$ אינו תלוי במרחק $d$ בין החוטים.

ממירים ליחידות SI:

נוסחה 3:

הצבה:

(שימו לב: $b^2$ קטן פי יותר מ־2000 מ־$a^2$, ולכן תרומת הרוחב למומנט ההתמד זניחה.)

טעות נפוצה: להציב את $a$ ו־$b$ בס"מ ובמ"מ או את המסה בגרמים – היחידות הנדרשות הן $\text{kg}\cdot\text{m}^2$.

אי־הוודאות היחסית היא היחס בין אי־הוודאות המוחלטת לבין הגודל הנמדד: $\frac{\Delta x}{x}$.

•שתי המדידות נעשו באותו סרגל, ולכן אי־הוודאות המוחלטת בשתיהן זהה ונקבעת לפי דיוק הסרגל – השנתה הקטנה ביותר, $1\,\text{mm}$ (או חצי ממנה).

•הרוחב קטן מאוד: $b=5\,\text{mm}$, ואילו האורך גדול: $a=240\,\text{mm}$.

לכן (בהנחה ש־$\Delta=1\,\text{mm}$):

אותה אי־ודאות מוחלטת היא חלק גדול מאוד מגודל קטן וחלק זעיר מגודל גדול – ולכן אי־הוודאות היחסית במדידת הרוחב גדולה בהרבה. (בנוסף, את הרוחב, עובי הפס, קשה יותר למקם מול שנתות הסרגל.)

במדידה 1 ($d=0.04\,\text{m}$) הזמן של עשרה מחזורים הוא $29.70\,\text{s}$:

בטבלה 3, במדידה 1, בעמודה "זמן מחזור" כותבים $2.970$.

שימו לב שזמן המחזור של תנודת הפיתול ($\approx 3\,\text{s}$) ארוך בהרבה מזמן המחזור של התנודה במישור האנכי ($\approx 0.94\,\text{s}$) – כאן החוטים קרובים מאוד זה לזה, ולכן כוחות המתיחות מפעילים מומנט מחזיר קטן.

בכל מדידה מחלקים את הזמן של 10 מחזורים ב־10: $T=\frac{10T}{10}$.

רואים שככל שהמרחק בין החוטים גדל, זמן המחזור קטן; כשהמרחק גדל פי 2 (מ־$0.04$ ל־$0.08\,\text{m}$) זמן המחזור קטן בערך פי 2 – רמז לכך ש־$T$ פרופורציוני ל־$\frac{1}{d}$.

בכל מדידה מחשבים את ההופכי של המרחק (ב־$\text{m}$):

- ציר אופקי (המשתנה הבלתי תלוי): $\frac{1}{d}\left[\frac{1}{\text{m}}\right]$, מ־$0$ עד כ־$26$. קנה מידה נוח: משבצת גדולה (1 ס"מ) $=2\,\tfrac{1}{\text{m}}$.

- ציר אנכי (המשתנה התלוי): $T\,[\text{s}]$, מ־$0$ עד כ־$3.2$. קנה מידה נוח: משבצת גדולה $=0.2\,\text{s}$.

•רושמים על כל ציר את שם הגודל ואת יחידותיו, ומסמנים את חמש הנקודות:

בדיאגרמת פיזור מסמנים את הנקודות בלבד, בלי לחבר אותן בקו שבור. (בגרף שלהלן מופיע גם קו המגמה שיועבר בשאלה 8ב.)

הנקודות מסודרות לאורך קו ישר שעובר קרוב מאוד לראשית הצירים – כלומר זמן המחזור פרופורציוני ל־$\frac{1}{d}$, כפי שצפוי מנוסחה 4 (שאלה 9).

טעות נפוצה: לבחור קנה מידה שבו הנקודות תופסות רק פינה קטנה של הדף, או להחליף בין הצירים ($T$ הוא המשתנה התלוי וצריך להיות על הציר האנכי).

- המשתנה הבלתי תלוי הוא המרחק בין החוטים, $d$. שימו לב: השאלה עוסקת בגדלים שנמדדו – $\frac{1}{d}$ שבדיאגרמה הוא גודל מחושב, ולכן התשובה היא $d$ ולא $\frac1d$. זה הגודל שאנחנו, הנסיינים, בחרנו ושינינו באופן מכוון ממדידה למדידה (חורים 1, 2, 3, 4, 5 – $d=4,8,12,16,20\,\text{cm}$).

- המשתנה התלוי הוא זמן המחזור, $T$ (שנמדד באמצעות הזמן של 10 מחזורים): זה הגודל שערכו נקבע כתוצאה מהשינוי שעשינו, ואותו מדדנו כדי לבדוק כיצד הוא תלוי ב־$d$.

כל שאר הגדלים – מסת הפס $M$, אורך החוטים $L$, הפס עצמו (ומכאן מומנט ההתמד $I$) ותאוצת הכובד $g$ – נשמרו קבועים (משתני בקרה), כך שהשינוי ב־$T$ נובע רק מהשינוי ב־$d$.

קו המגמה: מעבירים קו ישר אחד שעובר בין הנקודות כך שהן מפוזרות סביבו באופן שווה ככל האפשר (לא חייבים לעבור דרך נקודה מסוימת). הקו המתאים ביותר הוא בקירוב

והוא עובר קרוב מאוד לראשית, כצפוי מנוסחה 4 ($T$ פרופורציוני ל־$\frac1d$).

חישוב השיפוע – בוחרים שתי נקודות רחוקות זו מזו על הקו (לא נקודות מדידה):

יחידות: יחידות הציר האנכי חלקי יחידות הציר האופקי: $\frac{\text{s}}{1/\text{m}}=\text{s}\cdot\text{m}$.

(קו מגמה המסורטט ביד ייתן שיפוע מעט שונה, בסביבות $0.117$–$0.120\,\text{s}\cdot\text{m}$; כל ערך בתחום זה סביר.)

טעות נפוצה: לחשב שיפוע משתי נקודות מדידה במקום משתי נקודות על הקו, או לכתוב את היחידות $\text{s/m}$ – הציר האופקי הוא $\frac1d$ ויחידותיו $\frac1{\text{m}}$.

קביעה: אפשרות א' – מתחתית החור העליון עד לחלקו העליון של פס המתכת.

נימוק: $L$ בנוסחה 4 הוא האורך של החלק שמתחת לנקודת התלייה שנוטה (משנה את כיוונו) כשהפס מסתובב, עד לגוף הקשיח המסתובב – הפס. השאלה היא אם המהדק "קשיח" ונע כגוף אחד עם הפס, או שהוא חופשי לנוע מעט סביב הפס. במערכת הזו המהדקים מחוברים לפס בצורה שמאפשרת להם תנועה חופשית מסוימת: כשהפס מסתובב והחוט נוטה, החלק העליון של המהדק מתיישר עם כיוון החוט ונוטה יחד איתו. לכן בפועל הקטע שבין נקודת החיבור במהדק לבין שפת הפס העליונה מתנהג כהמשך של החוט, והאורך הנוטה מסתיים בשפת הפס – כלומר אפשרות א', $L=19.4\,\text{cm}$.

(הערה: אם המהדק היה קבוע בפס באופן קשיח לגמרי, החוט היה נוטה רק עד נקודת החיבור, והאורך הנכון היה לפי אפשרות ב'. נימוק כזה, המבוסס על קשיחות החיבור, מתקבל בשתי האפשרויות; בהמשך הפתרון נשתמש באפשרות א'.)

לפי אפשרות א' (סעיף א):

שלב 1 – זיהוי השיפוע בנוסחה. נוסחה 4 היא קשר ליניארי בין $T$ ל־$\frac1d$ (קו ישר דרך הראשית):

לכן שיפוע קו המגמה בגרף של $T$ כפונקציה של $\frac1d$ הוא

שלב 2 – בידוד $I$. מעלים בריבוע:

שלב 3 – הצבה ($k=0.1178\,\text{s}\cdot\text{m}$ משאלה 8ב, $M=0.195\,\text{kg}$, $g=10\,\text{m/s}^2$, $L=0.194\,\text{m}$ מסעיף ב):

בדיקת יחידות: $\frac{(\text{s}\cdot\text{m})^2\cdot\text{kg}\cdot\text{m/s}^2}{\text{m}}=\text{kg}\cdot\text{m}^2$ ✓.

(שיפוע אחר בתחום $0.117$–$0.120\,\text{s}\cdot\text{m}$ נותן $I$ בתחום כ־$8.7$–$9.2\cdot10^{-4}\,\text{kg}\cdot\text{m}^2$. מי שבחר בסעיף א באפשרות ב', $L=0.187\,\text{m}$, יקבל כ־$9.2\cdot10^{-4}\,\text{kg}\cdot\text{m}^2$. שימוש ב־$g=9.8\,\text{m/s}^2$ מקטין את התוצאה בכ־$2\%$.)

טעות נפוצה: לשכוח להעלות את השיפוע בריבוע, או להציב $L$ בס"מ ו־$M$ בגרמים.

$I_1=9.36\cdot10^{-4}\,\text{kg}\cdot\text{m}^2$ (שאלה 4, מממדי הפס), $I_2=8.83\cdot10^{-4}\,\text{kg}\cdot\text{m}^2$ (שאלה 9, משיפוע הקו).

ההפרש היחסי קטן יחסית – שתי השיטות השונות לגמרי נותנות תוצאות קרובות. הערך המדויק תלוי מאוד בשיפוע שקיבלתם בשאלה 8ב ובבחירת $L$: מאחר ש־$I_2$ תלוי בריבוע השיפוע, שיפוע של $0.120\,\text{s}\cdot\text{m}$ נותן $I_2\approx 9.17\cdot10^{-4}$ והפרש יחסי של כ־$2\%$ בלבד.

גורם בקביעת $I_1$ (מגודל הפס, נוסחה 3): נוסחה 3 מתארת פס מלבני אחיד בלבד. בפועל על הפס המסתובב היו גם ארבעה מהדקים ומוט עץ, שתורמים למומנט ההתמד של הגוף המסתובב ואינם נכללים ב־$I_1$; כמו כן לפס יש חורים/סימונים, ואי־הוודאות היחסית במדידת הממדים (בעיקר ב־$b$, כפי שראינו בשאלה 4ב) משפיעה על החישוב.

גורם בקביעת $I_2$ (משיפוע הקו, נוסחה 4): זמני המחזור נמדדו בשעון עצר ידני – זמן התגובה של המודד ואי־דיוק בזיהוי תחילת המחזור וסופו משפיעים על ערכי $T$ ולכן על השיפוע, ו־$I_2$ תלוי בריבוע השיפוע (שגיאה של $1\%$ בשיפוע גורמת לשגיאה של $2\%$ ב־$I_2$). גורמים נוספים: אי־ודאות במדידת אורך החוטים $L$ ובמרחק $d$ (מיקום החוטים בחורים ובמהדקים), זוויות פיתול שאינן קטנות מספיק, ושימוש ב־$g=10\,\text{m/s}^2$ במקום הערך המקומי ($\approx 9.8\,\text{m/s}^2$).

קביעה: כן – לפי התאוריה, גם זמן המחזור של מטוטלת הפיתול הדו־חוטית אינו תלוי במסת הגוף המתנודד (לממדים נתונים של הפס).

נימוק: בנוסחה 4 המסה מופיעה במכנה, אבל גם מומנט ההתמד $I$ שבמונה תלוי במסה. לפי נוסחה 3:

מציבים בנוסחה 4:

המסה $M$ מצטמצמת, וזמן המחזור תלוי רק באורך החוטים $L$, בממדי הפס $a,b$, במרחק בין החוטים $d$ ובתאוצת הכובד $g$.

הסבר פיזיקלי: גוף כבד יותר מתנגד יותר לשינוי בסיבובו (מומנט התמד גדול יותר באותו יחס), אבל באותו יחס גדלים גם כוחות המתיחות בחוטים (הם נושאים את משקלו), ולכן גם המומנט המחזיר. שתי ההשפעות מתקזזות – בדיוק כמו במטוטלת המתמטית, שבה הכוח המחזיר ו"ההתמדה" פרופורציוניים שניהם למסה.

התשובה תלויה בניסוי שאתם ביצעתם בפועל במעבדה. יש לכתוב את שם הניסוי ואת מטרתו – מה חוקרים (איזה קשר בין אילו גדלים) ומה רוצים למצוא.

- שם הניסוי: החוק השני של ניוטון – הקשר בין כוח לתאוצה.

- מטרה: לחקור את הקשר בין הכוח השקול הפועל על עגלה לבין תאוצתה כאשר המסה הכוללת של המערכת קבועה, לאשש שהתאוצה פרופורציונית לכוח ($F=ma$), ולמצוא את מסת המערכת משיפוע הגרף.

(ניסויים אחרים מתאימים באותה מידה, למשל: תנועה על מישור משופע – מציאת תאוצת הכובד או מקדם החיכוך; זריקה אופקית; שימור תנע בהתנגשות; תנועה הרמונית של קפיץ. העיקר הוא לנסח את הקשר הנחקר במדויק.)

יש לסרטט את המערכת שבה השתמשתם ולסמן בשם כל פריט ציוד.

דוגמה – החוק השני של ניוטון. התרשים כולל:

- מסילה אופקית (מסילת אוויר או מסילה מאוזנת עם חיכוך זניח) המונחת על השולחן;

- עגלה הנעה על המסילה;

- חוט קל הקשור לעגלה ועובר מעל גלגלת הקבועה בקצה המסילה;

- מחזיק משקולות ומשקולות התלויות בקצה השני של החוט – משקלן יוצר את הכוח המושך את המערכת;

- חיישן תנועה (או שני שערי אור לאורך המסילה עם מדיד זמן) המחובר למחשב/ממשק למדידת מהירות העגלה ותאוצתה;

- מאזניים (לשקילת העגלה והמשקולות) וסרגל (למרחקים).

בתרשים מסרטטים את המסילה בקו אופקי, את העגלה עליה, את החוט היוצא ממנה אופקית אל הגלגלת שבקצה השולחן ויורד אנכית אל המשקולות, ואת החיישן בקצה השני של המסילה.

- המשתנה הבלתי תלוי: הכוח המושך – נקבע לפי מסת המשקולות התלויות, $F=m_{\text{תלויה}}\,g$. משנים אותו על ידי העברת משקולות מהעגלה אל המחזיק התלוי (כך המסה הכוללת של המערכת נשמרת קבועה).

- המשתנה התלוי: תאוצת המערכת $a$ – נמדדת בחיישן התנועה כשיפוע גרף המהירות־זמן, או משני שערי אור: $a=\frac{v_2^2-v_1^2}{2\Delta x}$.

- גדלים קבועים שנמדדו: המסה הכוללת של המערכת (עגלה + משקולות) – בשקילה; המרחק בין שערי האור – בסרגל.

•מרכזים את התוצאות בטבלה: מסה תלויה, כוח $F$, תאוצה $a$ בכל מדידה.

•משרטטים דיאגרמת פיזור של התאוצה $a$ (ציר אנכי) כפונקציה של הכוח $F$ (ציר אופקי), ומעבירים קו מגמה ישר.

•הנקודות מסתדרות על קו ישר העובר (בקירוב) דרך הראשית – כלומר $a$ פרופורציונית ל־$F$, בהתאם ל־$a=\frac{F}{M_{\text{כוללת}}}$.

- שיפוע הקו הוא $\frac{1}{M_{\text{כוללת}}}$, ומשווים את המסה המחושבת ממנו למסה שנמדדה במאזניים (למשל באמצעות הפרש יחסי).

- המלבן העליון – ליד המד המחובר במקביל לסוללה (בין שתי נקודות ההסתעפות שמשני צידיה): וולטמטר – מודד את מתח ההדקים של הסוללה.

- המלבן השמאלי – ליד המד המחובר בטור בענף הראשי של המעגל: אמפרמטר – מודד את הזרם במעגל.

- המלבן האמצעי – ליד הסמל של שני קווים מקבילים (קו ארוך וקו קצר): סוללה (מקור המתח, שהכא"מ וההתנגדות הפנימית שלו נחקרים).

- המלבן התחתון – ליד המלבן שעליו מגע נייד (חץ): נגד משתנה (ריאוסטט) – משמש לשינוי ההתנגדות החיצונית ולכן לשינוי הזרם במעגל.

כשהגררה מנותקת מהנגד המשתנה, המעגל החיצוני פתוח – אין מסלול סגור לזרם דרך האמפרמטר והנגד.

- אמפרמטר: לא זורם זרם במעגל, ולכן הוריית האמפרמטר היא אפס: $I=0$.

- וולטמטר: הוא מחובר ישירות להדקי הסוללה, ולכן מראה את מתח ההדקים. לפי הקשר בין מתח ההדקים לכא"מ:

כאשר $I=0$ אין מפל מתח על ההתנגדות הפנימית $r$, ולכן $V=\varepsilon$ – הוולטמטר מראה את הכא"מ של הסוללה. (בהנחה שהוולטמטר אידאלי – התנגדותו גדולה מאוד והזרם דרכו זניח.)

קביעה: כן, יש חשיבות.

נימוק: הזרם במעגל הוא

כאשר $R$ ההתנגדות החיצונית (הנגד המשתנה, החלק שבין קצהו לגררה) ו־$r$ ההתנגדות הפנימית. אם בתחילת הניסוי הגררה ממוקמת בקצה שבו $R\approx 0$, המעגל כמעט מקוצר: הזרם $I\approx\frac{\varepsilon}{r}$ גדול מאוד – הוא עלול לחרוג מתחום האמפרמטר ולפגוע בו, לחמם את הסוללה ולרוקן אותה מהר, ולשנות את ההתנגדות הפנימית במהלך המדידות.

לכן מתחילים כשהגררה במצב של התנגדות מרבית (זרם קטן) – בתרשים 3 הנגד מחובר למעגל בקצהו הימני, ולכן יש למקם את הגררה בקצה השמאלי של הנגד המשתנה, כך שכל אורכו בטור במעגל – ואז מקטינים את ההתנגדות בהדרגה ומודדים זוגות של ערכי זרם ומתח הדקים.