בגרות בפיזיקה שאלון חקר 36382 - קיץ 2024

קריאת המקבץ: בתרשים ד' חמש נקודות הפגיעה מפוזרות בין כ־$20.2\,\text{cm}$ לכ־$20.9\,\text{cm}$ לפי סרגל הנייר (הנקודה הקרובה ביותר מעט אחרי קו ה־$20$, והרחוקה ביותר קרוב לקו ה־$21$).

קביעת מרכז המקבץ: מרכז המקבץ הוא הנקודה שמייצגת את ממוצע מקומות הפגיעה. מקיפים את חמש הנקודות בעיגול הקטן ביותר שמכיל את כולן, ומסמנים את מרכזו (או – מעריכים את מיקום כל נקודה לאורך הסרגל ומחשבים ממוצע). את מרכז המקבץ מטילים בניצב על שנתות סרגל הנייר וקוראים את הערך לפי שנתות הסרגל, ולא בסרגל שברשותנו (סרגל הנייר אינו בקנה מידה אמיתי).

ממוצע מקומות הנקודות הוא כ־$20.5\,\text{cm}$, ולכן:

(קריאה של $20.4$–$20.6\,\text{cm}$ סבירה באותה מידה; הדיוק של קריאה לפי העין הוא כ־$\pm0.1\,\text{cm}$.)

טעות נפוצה: למדוד את המרחק בתרשים בסרגל שבקלמר – הסרגל המודפס אינו בקנה המידה, ויש לקרוא רק לפי השנתות של סרגל הנייר.

גם כאשר משחררים את הכדור "מאותו מקום", כל שחרור שונה מעט מקודמו: מקום השחרור המדויק של מרכז הכדור, דחיפה קלה לא מכוונת ביד, פגמים קטנים ולכלוך במסילה, רעידות של המסילה והקופסה, סיבוב לא אחיד של הכדור. כל אלה הם גורמי שגיאה אקראיים, ולכן נקודת הפגיעה משתנה מעט משחרור לשחרור – כפי שרואים בתרשים ד', שבו הנקודות מפוזרות על פני כ־$0.7\,\text{cm}$.

מדידה בודדת עלולה ליפול דווקא בקצה הפיזור ולתת ערך $x$ שגוי. כשחוזרים על המדידה כמה פעמים ולוקחים את מרכז המקבץ (כלומר ממוצע), השגיאות האקראיות לכיוונים שונים מקזזות זו את זו, והערך המתקבל קרוב יותר לערך האמיתי. בנוסף, גודל הפיזור של המקבץ מראה לנו מה מידת אי־הוודאות של המדידה, ומאפשר לזהות שחרור חריג (נקודה רחוקה מהשאר) ולפסול אותו.

הנתונים ביחידות SI: $y=10.2\,\text{cm}=0.102\,\text{m}$, $x=0.205\,\text{m}$, ולפי הוראות השאלון $g=9.8\,\text{m/s}^2$.

לפי נוסחה 1:

הצבה:

(בדיקת הגיון: זמן הנפילה מגובה $0.102\,\text{m}$ הוא $t=\sqrt{2y/g}\approx0.144\,\text{s}$, ואכן $x/t=0.205/0.144\approx1.42\,\text{m/s}$.)

טעות נפוצה: להציב $y$ ו־$x$ בסנטימטרים – חייבים להמיר למטרים כדי לקבל מהירות ב־$\text{m/s}$.

מסת הכדור: $m=13.6\,\text{g}=0.0136\,\text{kg}$; הגובה ביחס לתחתית המסילה: $h=0.2\,\text{m}$; $g=9.8\,\text{m/s}^2$.

טעות נפוצה: להציב את המסה בגרמים ($13.6$) – מקבלים תוצאה גדולה פי $1000$.

האנרגייה הקינטית (הקווית) של הכדור:

עם $v^2=2.02\,\text{m}^2/\text{s}^2$ משאלה 1 סעיף ג':

כלומר האנרגייה הקינטית הקווית בתחתית המסילה קטנה מהאנרגייה הפוטנציאלית בראש המסילה בכ־$0.0129\,\text{J}$ (אם מעגלים קודם את $U_p$ ו־$E_{k1}$ ל־$0.026$ ו־$0.014$, מתקבל $0.012\,\text{J}$ – אותה תוצאה בדיוק העיגול). היחס $\frac{E_{k1}}{U_p}=\frac{0.0137}{0.0267}\approx0.51$ – רק כמחצית מהאנרגייה הפוטנציאלית "נמצאה" כאנרגייה קינטית קווית.

(אפשר גם לרשום את ההפרש בסימן של נוסחה 3 שבשלב השני: $E_{k1}-U_p\approx-0.0129\,\text{J}$.)

1. אנרגיית סיבוב שלא נלקחה בחשבון: הכדור אינו מחליק אלא מתגלגל לאורך המסילה. לכן בתחתית המסילה יש לו, מלבד אנרגייה קינטית של תנועת מרכז המסה ($E_{k1}=\tfrac12mv^2$), גם אנרגייה קינטית של סיבוב סביב מרכזו. בחישוב $E_{k1}$ לא כללנו אותה, ולכן "חסרה" אנרגייה (אותה בודקים בשלב השני של הניסוי).

2. עבודת כוח החיכוך: בין הכדור למסילה פועל חיכוך, ועבודתו הופכת חלק מהאנרגייה המכנית לאנרגייה פנימית (חום).

גם אילו לא היה שום הפסד, כדור מתגלגל היה מגיע רק ל־$E_{k1}=\frac{5}{7}U_p\approx0.71\,U_p$ (לפי $E_k=0.7mv^2$ שבשלב השני). קיבלנו כ־$0.51\,U_p$ – לכן ההפרש נובע משתי הסיבות יחד: כ־$0.21\,U_p$ באנרגיית סיבוב וכ־$0.28\,U_p$ שהומרו לחום.

טעות נפוצה: לייחס את ההפרש לאי־ודאות במדידה או להתנגדות האוויר. ההפרש הוא כמחצית מ־$U_p$, ואילו אי־ודאות בקריאת $x$ (עשיריות סנטימטר) משנה את $E_{k1}$ רק באחוזים בודדים, והתנגדות האוויר על כדור פלדה קטן ואיטי כזה זניחה לעומת משקלו – הן אינן מסבירות הפרש כה גדול.

עובדים ביחידות SI כדי שהאנרגיות ייצאו בג'אול:

•הגובה $h$: $[\text{m}]$

•המרחק האופקי $x$: $[\text{m}]$

•ריבוע המרחק $x^2$: $[\text{m}^2]$

•ריבוע מהירות השיגור $v^2=\frac{g}{2y}x^2$: היחידות הן $\frac{\text{m/s}^2}{\text{m}}\cdot\text{m}^2=\left[\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}\right]$

•האנרגייה הפוטנציאלית $U_p=mgh$: $\text{kg}\cdot\frac{\text{m}}{\text{s}^2}\cdot\text{m}=[\text{J}]$

•האנרגייה הקינטית הכוללת $E_k=0.7mv^2$: $\text{kg}\cdot\frac{\text{m}^2}{\text{s}^2}=[\text{J}]$

טעות נפוצה: לרשום $[\text{m/s}]$ בעמודת $v^2$ – בעמודה רשום ריבוע המהירות.

מהשלב הראשון: $h=0.2\,\text{m}$, $x=0.205\,\text{m}$ (שאלה 1 סעיף א'), $y=0.102\,\text{m}$, $m=0.0136\,\text{kg}$, $g=9.8\,\text{m/s}^2$.

השורה הראשונה:

שימו לב שגם כשכוללים את אנרגיית הסיבוב, $E_k$ עדיין קטנה מ־$U_p$ – ההפרש $0.0267-0.0192\approx0.0075\,\text{J}$ הוא האנרגייה שהומרה לחום (נוסחה 3).

את הגבהים קוראים מכותרות התרשימים ה'–י"א, ורושמים אותם במטרים בעמודה הראשונה, מתחת ל־$0.2$:

•כדי לקבוע קשר בין שני גדלים (כאן $E_k$ כפונקציה של $U_p$) ולהעביר קו מגמה אמין, צריך מספר רב מספיק של נקודות. שתי נקודות תמיד יוצרות קו ישר, ולכן אינן מוכיחות שהקשר קווי; עם 7–8 נקודות אפשר לראות אם הנקודות אכן מסתדרות על קו ישר, לזהות נקודה חריגה, ולמצע את השגיאות האקראיות של הנקודות השונות בעזרת הקו.

•מצד שני, כל גובה דורש 5 שחרורים וחישובים, והזמן בבחינה מוגבל – 8 גבהים הם פשרה בין דיוק ובין זמן העבודה.

•הגבהים נבחרו במרווחים שווים של $0.025\,\text{m}$, כך שהנקודות בגרף יתפזרו באופן אחיד ולא יתרכזו באזור אחד – כך הקו המתאים ביותר מושפע מכל הטווח באופן שווה.

•הגבהים פרוסים על פני כל הטווח שהמסילה מאפשרת (מגובה קטן מאוד ועד הגובה המרבי $0.2\,\text{m}$): טווח רחב מקטין את השפעת השגיאה של כל נקודה על השיפוע, ומאפשר לבדוק שהקשר נשמר גם בגבהים קטנים וגם בגדולים.

•גובה נמוך מדי לא נבחר, כי שם המהירות קטנה מאוד והמרחק $x$ קטן – השגיאה היחסית במדידה גדולה (וייתכן שהכדור כמעט לא יגיע). גובה גבוה מ־$0.2\,\text{m}$ אינו אפשרי במסילה (וגם $x$ גדול עלול לחרוג מסרגל הנייר).

בכל תרשים מאתרים את מרכז המקבץ של 5 הנקודות (כמו בשאלה 1 סעיף א') וקוראים אותו לפי שנתות סרגל הנייר:

קריאה לפי העין בדיוק של כ־$\pm0.1\,\text{cm}$ מקובלת; ערכים מעט שונים יובילו לתוצאות מעט שונות בהמשך, אך המסקנות לא ישתנו.

בדיקת הגיון: ככל ש־$h$ קטן, המהירות בתחתית המסילה קטנה ולכן $x$ קטן – וזה אכן מה שמתקבל.

לכל שורה מחשבים (עם $y=0.102\,\text{m}$, $m=0.0136\,\text{kg}$, $g=9.8\,\text{m/s}^2$):

לדוגמה, עבור $h=0.1\,\text{m}$, $x=0.142\,\text{m}$:

הטבלה המלאה (שלוש ספרות משמעותיות):

בכל השורות $E_k<U_p$ (היחס $E_k/U_p$ נע בין כ־$0.66$ לכ־$0.75$) – כלומר בכל הגבהים חלק מהאנרגייה הפוטנציאלית לא הפך לאנרגייה קינטית.

טעות נפוצה: לעגל את $x^2$ או $v^2$ מוקדם מדי ולהמשיך לחשב עם הערך המעוגל – מעגלים רק את התוצאה הסופית שנרשמת בטבלה.

•הציר האופקי: $U_p\,[\text{J}]$ (המשתנה הבלתי תלוי – נקבע על ידי בחירת $h$), מ־$0$ עד $0.030\,\text{J}$, קנה מידה נוח: משבצת גדולה $=0.002\,\text{J}$.

•הציר האנכי: $E_k\,[\text{J}]$, מ־$0$ עד $0.020\,\text{J}$, משבצת גדולה $=0.002\,\text{J}$.

•לכל ציר כותבים שם גודל ויחידות, ומנצלים את רוב שטח הנייר.

הנקודות (מהטבלה):

מסמנים כל נקודה בנקודה ברורה (או $\times$) ואין מחברים את הנקודות בקו שבור.

הנקודות מסתדרות בקירוב על קו ישר – $E_k$ גדלה באופן קווי עם $U_p$.

מעבירים קו ישר אחד שעובר בין הנקודות, כך שמספר דומה של נקודות נמצא מעליו ומתחתיו ומרחקן ממנו קטן ככל האפשר. הקו אינו חייב לעבור דרך נקודה מסוימת, ואין לכפות עליו לעבור דרך הראשית.

הקו המתאים ביותר (בשיטת הריבועים הפחותים, כפי שמתקבל גם בגיליון אלקטרוני):

בוחרים שתי נקודות על הקו (לא נקודות מדידה), רחוקות זו מזו:

השיפוע חסר יחידות ($\text{J}/\text{J}$): הוא מבטא איזה חלק מכל תוספת של אנרגייה פוטנציאלית הופך לאנרגייה קינטית כוללת.

נקודת החיתוך עם הציר האופקי מתקבלת כאשר $E_k=0$:

(ערך קטן מאוד – הקו עובר כמעט דרך הראשית.)

(ערכי ה־$x$ שקראתם ייתכן שמעט שונים, ולכן השיפוע יכול לצאת מעט שונה – בסביבות $0.7$–$0.75$.)

טעות נפוצה: לחשב שיפוע משתי נקודות מדידה מהטבלה במקום משתי נקודות על הקו.

אם האנרגייה המכנית נשמרת, אין עבודה של כוחות חיכוך ($W_f=0$), ולפי נוסחה 3:

כלומר כל האנרגייה הפוטנציאלית הכובדית שהייתה לכדור בראש המסילה (ביחס לתחתיתה) הופכת במלואה לאנרגייה קינטית כוללת (קווית + סיבובית) בתחתית המסילה.

הגרף של $E_k$ כפונקציה של $U_p$ היה אז קו ישר מהצורה $E_k=1\cdot U_p$ – קו העובר דרך הראשית ששיפועו:

(בגרף שבו קנה המידה של שני הצירים זהה, זה קו בזווית $45^\circ$.)

קביעה: האנרגייה המכנית אינה נשמרת.

נימוק: אילו האנרגייה המכנית הייתה נשמרת, השיפוע היה $1$ (סעיף ב). השיפוע שהתקבל הוא כ־$0.73$ – קטן מ־$1$ בהרבה יותר ממה שאפשר לייחס לאי־דיוקי הקריאה של $x$ (שגיאה של $0.1\,\text{cm}$ ב־$x$ משנה את $E_k$ רק בכ־$1\%$).

משמעות השיפוע: על כל תוספת של $1\,\text{J}$ באנרגייה הפוטנציאלית מתקבלת תוספת של כ־$0.73\,\text{J}$ בלבד באנרגייה הקינטית הכוללת. כ־$27\%$ מהאנרגייה הפוטנציאלית הומרו – לפי נוסחה 3 – לאנרגייה פנימית (חום) בשל עבודת כוחות החיכוך וההתנגדות הפועלים על הכדור בזמן תנועתו לאורך המסילה (ובחלקו גם לרעידות המסילה ולקול).

מכיוון שהקו ישר, החלק היחסי של האנרגייה שהולך לאיבוד כמעט אינו תלוי בגובה השחרור: עבודת החיכוך גדלה ביחס ישר לגובה.

מהשורה הראשונה בטבלה: $E_k=0.0192\,\text{J}$, $U_p=0.0267\,\text{J}$.

(אם מחשבים מהערכים המעוגלים ל־3 ספרות אחרי הנקודה, $\frac{0.019}{0.027}\approx0.70$ – אותה תוצאה בדיוק העיגול.)

כלומר כ־$72\%$ מהאנרגייה הפוטנציאלית הפכו לאנרגייה קינטית כוללת, וכ־$28\%$ הומרו לחום. התוצאה קרובה לשיפוע שהתקבל בשאלה 7 ($\approx0.73$).

אפשר לראות שהיחס אינו תלוי במסה ובתאוצת הכובד:

קביעה: נכון יותר לקבוע על סמך שיפוע הקו.

- מדידה בודדת (גובה אחד, $h=0.2\,\text{m}$): היחס $E_k/U_p$ מחושב מנקודה אחת, ולכן כל השגיאות של אותה נקודה – בקריאת $x$ (שעולה בריבוע), במדידת $h$ ו־$y$ – נכנסות במלואן לתוצאה. אם דווקא בגובה זה הייתה שגיאה גדולה (למשל מקבץ שמרכזו נקבע לא נכון), נגיע למסקנה שגויה, ואין לנו דרך לזהות זאת. בנוסף, מנקודה אחת אי אפשר לדעת אם הקשר בין $E_k$ ל־$U_p$ הוא בכלל קשר של יחס קבוע.

- שיפוע הקו מתקבל משמונה מדידות בגבהים שונים: הקו המתאים ביותר "ממצע" את השגיאות האקראיות של הנקודות השונות (חלקן מעל הקו וחלקן מתחתיו), ונקודה חריגה בולטת ואפשר לזהות אותה. הגרף גם מראה שהקשר קווי לאורך כל טווח הגבהים, כלומר המסקנה תקפה באופן כללי ולא רק לגובה מסוים.

•השיפוע מבטא את היחס בין השינויים $\Delta E_k/\Delta U_p$, ולכן אינו מושפע משגיאה שיטתית קבועה (שגיאה שמזיזה את כל הנקודות באותה כמות) – היא משפיעה רק על נקודת החיתוך של הקו עם הצירים ולא על השיפוע. ביחס של נקודה בודדת שגיאה כזאת כן משנה את התוצאה.

לכן המסקנה מהשיפוע ($\approx0.73<1$, האנרגייה המכנית אינה נשמרת) אמינה יותר מהמסקנה של היחס בגובה יחיד – גם אם כאן שני הערכים יצאו קרובים.

בנקודת החיתוך עם הציר האופקי $E_k=0$:

משמעות: אם משחררים את הכדור מגובה שבו האנרגייה הפוטנציאלית שלו היא $0.00375\,\text{J}$, הכדור מגיע לתחתית המסילה ללא אנרגייה קינטית (נעצר שם). כל האנרגייה הפוטנציאלית שלו הומרה לחום על ידי עבודת כוחות החיכוך לאורך המסילה (לפי נוסחה 3: $W_f=E_k-U_p=-U_p$). זוהי האנרגייה הפוטנציאלית המינימלית הדרושה כדי שהכדור יגיע לקצה המסילה; בגבהים קטנים יותר הכדור לא יעזוב את המסילה (הגרף אינו תקף שם, כי $E_k$ אינה יכולה להיות שלילית).

בנקודת החיתוך עם הציר האנכי $U_p=0$ ו־$E_k=-0.003\,\text{J}$.

אנרגייה קינטית אינה יכולה להיות שלילית, ולכן הנקודה עצמה אינה מצב פיזיקלי אפשרי (בלי גובה – הכדור כלל אינו זז). זו נקודה שמתקבלת מהמשכת הקו מעבר לתחום המדידות.

המשמעות שלה מתבררת מנוסחה 3:

כלומר האנרגייה ההולכת לאיבוד (לחום) מורכבת משני חלקים: חלק יחסי לגובה ($20\%$ מ־$U_p$) ועוד חלק קבוע של $0.003\,\text{J}$ שאינו תלוי בגובה השחרור. ערך החיתוך עם הציר האנכי הוא (במינוס) החלק הקבוע הזה של עבודת כוחות החיכוך.

הכדור מגיע לתחתית ללא אנרגייה קינטית כאשר $E_k=0$, כלומר בנקודת החיתוך עם הציר האופקי (סעיף א):

מניחים שהתלמידה השתמשה באותו כדור, $m=0.0136\,\text{kg}$. מ־$U_p=mgh$:

כלומר בשחרור מגובה של כ־$2.8\,\text{cm}$ (או פחות) הכדור לא יגיע לקצה המסילה עם מהירות – כל האנרגייה הפוטנציאלית שלו תומר לחום.

קביעה: המרחק האופקי יקטן.

נימוק: מהירות הכדור בקצה המסילה כמעט אינה תלויה בכיוון הקצה (נקבעת לפי הגובה $h$ וההפסדים), אבל כעת היא מכוונת באלכסון כלפי מטה:

- רכיב המהירות האופקי $v\cos\alpha$ קטן מ־$v$.

- לכדור יש רכיב מהירות אנכי התחלתי כלפי מטה $v\sin\alpha$, ולכן הוא מגיע לשולחן (מאותו גובה $y$) בזמן קצר יותר מאשר בזריקה אופקית.

התנועה האופקית קצובה: $x=v\cos\alpha\cdot t$. גם רכיב המהירות האופקי קטן וגם זמן התנועה קצר – ולכן $x$ קטן.

קביעה: האנרגייה הקינטית הכוללת הנמדדת תקטן.

נימוק: את $E_k$ איננו מודדים ישירות – מחשבים אותה מ־$x$ בעזרת נוסחה 1, שמניחה זריקה אופקית:

לפי סעיף א, $x$ קטן, ולכן המהירות המחושבת והאנרגייה הקינטית המחושבת קטנות – גם אם האנרגייה הקינטית האמיתית של הכדור בקצה המסילה כמעט לא השתנתה. זוהי שגיאה שיטתית: הנוסחה אינה מתאימה עוד למצב הניסוי, והיא תמיד נותנת ערך נמוך מדי.

קביעה: שיפוע הגרף יקטן.

נימוק: לפי סעיף ב, בכל גובה $h$ האנרגייה הקינטית הנמדדת קטנה מהאמיתית, בעוד ש־$U_p=mgh$ לא משתנה – כל נקודה בגרף יורדת כלפי מטה.

ההקטנה אינה כמות קבועה אלא גדלה עם $U_p$: ככל שהגובה גדול יותר, המהירות בקצה המסילה גדולה יותר, וגם $E_k$ עצמה גדולה יותר – לכן גם ההפרש בין הערך האמיתי לנמדד גדול יותר (וגם החלק היחסי שלו גדל, כי במהירות גדולה רכיב המהירות האנכי ההתחלתי גדול ומקצר יותר את זמן הנפילה). הנקודות של $U_p$ גדולה יורדות יותר מהנקודות של $U_p$ קטנה, ולכן הקו המתאים להן משתפל פחות – השיפוע קטן.

בהשוואה למסילה שתחתיתה מקבילה לשולחן נקבל שיפוע קטן יותר, ועלולים להסיק בטעות שההפסדים לחיכוך גדולים ממה שהם באמת.