מבחן לדוגמה: קשתות וגשרים: האם אפשר לעבור מתחת לקשת - כיתה י"ב 3 יח"ל

קשת של גשר מעל תעלה מתוארת על ידי הפונקציה $y=-0.2x^2+2x$, כאשר $x$ הוא המרחק האופקי (במטרים) מהרגל השמאלית של הקשת ו-$y$ הוא הגובה (במטרים) מעל המים. סירה שרוחבה $3$ מטרים וגובהה $4$ מטרים מעל המים, וגגה שטוח, שטה בדיוק מתחת לנקודה הגבוהה ביותר של הקשת, כך שאמצע הסירה נמצא מתחת לנקודה זו (ראו סרטוט).

גשר מעל תעלה בנוי כקשת בצורת פרבולה. רגלי הקשת נמצאות על מפלס המים בנקודות $x=0$ ו-$x=12$, כאשר $x$ הוא המרחק האופקי במטרים ו-$y$ הוא הגובה במטרים מעל המים. הנקודה הגבוהה ביותר של הקשת נמצאת $9$ מטר מעל המים (ראו סרטוט).

התקרה של מנהרה דו-סטרית היא קשת שמשוואתה $y=ax^2+6.4$, כאשר $x$ הוא המרחק האופקי (במטרים) מהקו המפריד שבאמצע הכביש ו-$y$ הוא הגובה (במטרים) מעל הכביש. הקשת פוגשת את הכביש בשני צדי המנהרה, ורוחב הכביש בתחתית המנהרה הוא $16$ מטרים (ראו סרטוט).

תקרת מנהרה חד-סטרית היא קשת שמשוואתה $y=-0.25x^2+9$, כאשר $x$ הוא המרחק האופקי (במטרים) ממרכז הכביש ו-$y$ הוא הגובה (במטרים) מעל הכביש. משאית שגובהה $5$ מטר, רוחבה $2$ מטר וגגה שטוח צריכה לסטות ממרכז הכביש כדי לעקוף רכב תקוע. המשאית יכולה לעבור כל עוד התקרה, מעל כל אחת מדופנות המשאית, נמצאת בגובה של $5$ מטר לפחות.

מהנדס מתכנן קשת לגשר מעל כביש. רגלי הקשת יעמדו על הקרקע בנקודות $x=0$ ו-$x=16$, והקשת תתואר על ידי $y=ax(x-16)$, כאשר $a$ מספר שלילי, $x$ הוא המרחק האופקי (במטרים) מהרגל השמאלית ו-$y$ הוא הגובה (במטרים) מעל הכביש. לפי הדרישה, משאית שרוחבה $4$ מטר, גובהה $6$ מטר וגגה שטוח, שנוסעת בדיוק באמצע שבין רגלי הקשת, צריכה לעבור מתחת לקשת: מעל כל אחת מדפנות המשאית גובה הקשת צריך להיות $6$ מטר לפחות.

מתכננים גשר מעל תעלה שרוחבה $16$ מטרים. קשת הגשר היא פרבולה שמשוואתה $y=ax^2+bx$, כאשר $x$ הוא המרחק האופקי (במטרים) מהגדה השמאלית ו-$y$ הוא הגובה (במטרים) מעל המים. רגלי הקשת נמצאות על פני המים, בשתי הגדות: ב-$x=0$ וב-$x=16$. הנקודה הגבוהה ביותר של הקשת נמצאת $8$ מטרים מעל המים (ראו סרטוט).