מתכונת במתמטיקה 471 - מתכונת 8 ברמת בגרות

מחפשים $P(X<48)$. ציון התקן של 48:

טעות נפוצה: לענות $1-\Phi(-2.5)=0.9938$ - זו ההסתברות לרוץ לאט מהשיא.

סכום הזמנים בכל קבוצה = מספר הרצים כפול הממוצע. מחלקים את סכום כל הזמנים במספר כל הרצים:

הממוצע קרוב יותר ל-52, כי בקבוצה הזאת יש יותר רצים.

טעות נפוצה: לחשב ממוצע של שני הממוצעים, $\frac{52+54.5}{2}=53.25$ - זה נכון רק כשהקבוצות שוות בגודלן.

בטבלה: $\Phi(-0.84)=0.2005$, הערך הקרוב ביותר ל-0.2, ולכן $z=-0.84$.

הממוצע של כל הרצים הוא 53 (סעיף ב):

טעות נפוצה: להציב את הממוצע של הקבוצה הראשונה, 52: $\sigma=\frac{1.1}{0.84}\approx1.31$.

ההתפלגות של כל הרצים: ממוצע 53, סטיית תקן 2.5.

טעות נפוצה: להשתמש בסטיית התקן של הקבוצה הראשונה, 1.6: $z=\frac{48-53}{1.6}\approx-3.13$, ולקבל 0.0009.

ישר הרגרסיה עובר דרך נקודת הממוצעים, ולכן מציבים $x=\bar{x}=6$:

טעות נפוצה: לאבד את הסימן השלילי של השיפוע ולקבל $2.05\cdot6+72.4=84.7$.

הסימנים מתבטלים: השיפוע ומקדם המתאם תמיד באותו סימן, וסטיית התקן חיובית.

טעות נפוצה: להפוך את היחס בנוסחת השיפוע ($b=r\cdot\frac{s_x}{s_y}$) ולקבל $s_y=\frac{0.82\cdot2.4}{2.05}=0.96$.

"אינו מתאמן כלל" פירושו 0 שעות אימון בשבוע: $x=0$.

טעות נפוצה: להציב $y=0$ במקום $x=0$ ולקבל $x=\frac{72.4}{2.05}\approx35.3$.

הצבה בישר נותנת $y=-2.05\cdot10+72.4=51.9$.

מקדם המתאם הוא $-0.82$: הקשר חזק אך אינו מושלם, והנקודות אינן נמצאות כולן על הישר.

לכן 51.9 הוא הערכה של הדופק לפי הישר, ולא ערך מדויק.

טעות נפוצה: לענות "כן, כי הנקודה $(10,51.9)$ נמצאת על ישר הרגרסיה". הניבוי נמצא על הישר, אבל הרץ עצמו לא חייב להיות עליו - כל הנקודות נמצאות על הישר רק כש-$|r|=1$.

נסמן ב-$p$ את ההסתברות שאיתי ינצח בסיבוב; ההסתברות שנועה תנצח היא $4p$.

סכום ההסתברויות של שלוש התוצאות הוא 1:

ההסתברות שנועה תנצח: $4\cdot0.17=0.68$.

טעות נפוצה: לשכוח את התיקו, $4p+p=1$, ולקבל $p=0.2$ והסתברות 0.8 לניצחון של נועה.

ההסתברות שסיבוב לא יסתיים בתיקו: $1-0.15=0.85$.

שני הסיבובים בלתי תלויים:

טעות נפוצה: לחשב $1-0.15^2=0.9775$ - ההסתברות שלא שני הסיבובים בתיקו, ולא ששום סיבוב לא בתיקו.

המשלים: נועה לא ניצחה באף סיבוב. בסיבוב אחד: $1-0.68=0.32$, ובשניהם: $0.32^2=0.1024$.

טעות נפוצה: לחשב רק "בדיוק ניצחון אחד", $2\cdot0.68\cdot0.32=0.4352$, ולשכוח שני ניצחונות.

$B$ - נועה ניצחה לפחות פעם אחת, $P(B)=0.8976$ (סעיף ג). $A$ - אחד הסיבובים הסתיים בתיקו.

החיתוך: ניצחון של נועה בסיבוב אחד ותיקו בשני, בשני סדרים:

טעות נפוצה: לספור סדר אחד בלבד ולקבל $\frac{0.102}{0.8976}=\frac{5}{44}\approx0.1136$.

$\angle FOB=90^\circ$ (הצירים מאונכים), ולכן $\angle COF+\angle COB=90^\circ$.

במשולש $OCF$, ישר הזווית ב-$F$: $\angle OCF+\angle COF=90^\circ$.

לכן $\angle OCF=\angle COB$, ולפי הנתון $\angle COB=\angle AOE$: $\angle AOE=\angle OCF$.

טעות נפוצה: "להוכיח" ש-$\angle AOE=\angle COF$ - אלה זוויות שמשלימות זו את זו ל-$90^\circ$, לא זוויות שוות.

$\angle OFC=\angle AEO=90^\circ$, ו-$\angle OCF=\angle AOE$ (א(1)).

לפי ז.ז. $\triangle OCF\sim\triangle AOE$, בהתאמה $O\leftrightarrow A$, $C\leftrightarrow O$, $F\leftrightarrow E$.

טעות נפוצה: להתאים $O\leftrightarrow O$. ההתאמה הזאת תיתן בהמשך $CF=3\cdot AE$ במקום $CF=3\cdot OE$.

טעות נפוצה: לענות $9:1$ - זה יחס השטחים.

$E(6,0)$, ולכן $OE=6$.

$CF$ מתאימה ל-$OE$ (לפי $C\leftrightarrow O$, $F\leftrightarrow E$): $CF=3\cdot6=18$.

טעות נפוצה: להפוך את היחס ולכתוב $CF=\frac63=2$.

$F(-6,0)$, $OF=6$, ו-$C$ מעל $F$ במרחק 18: $C(-6,18)$.

$OF$ מתאימה ל-$AE$ (לפי $O\leftrightarrow A$, $F\leftrightarrow E$): $AE=\frac{6}{3}=2$, ולכן $A(6,2)$.

טעות נפוצה: לכפול, $AE=3\cdot6=18$, ולקבל $A(6,18)$.

אמצע האלכסון $AC$: $\left(\frac{6-6}{2},\frac{2+18}{2}\right)=(0,10)$.

זה גם אמצע $OB$, ולכן $B(0,20)$.

טעות נפוצה: לענות $B(0,10)$ - זו נקודת מפגש האלכסונים.

$\frac13\cdot(-3)=-1$, ולכן $OA\perp OC$. מקבילית עם זווית ישרה היא מלבן.

טעות נפוצה: לחשב $m_{OC}=3$ (בלי הסימן של $-6$), לקבל מכפלה 1 ולהסיק שאין זווית ישרה.

האלכסונים מחלקים את המלבן לארבעה משולשים שווי שטח: $S_{BCM}=\frac{120}{4}=30$.

$6+54=60=2\cdot30$ - הטענה נכונה.

טעות נפוצה: לקחת את $S_{BCM}$ כמחצית המלבן (60), ולענות שהטענה לא נכונה.

$A$, $O$, $B$ על ישר אחד: $\angle AOE+\angle EOC+\angle BOC=180^\circ$, ו-$\angle EOC=90^\circ$ (בין הצירים). לכן $\angle AOE+\angle BOC=90^\circ$.

במשולש $AOE$, $\angle A=90^\circ$ (זווית של מלבן), ולכן $\angle AEO+\angle AOE=90^\circ$.

שתי הזוויות משלימות את $\angle AOE$ ל-$90^\circ$, ולכן $\angle AEO=\angle BOC$.

טעות נפוצה: לטעון ש-$\angle AOE=\angle BOC$ כזוויות קודקודיות - הן אינן קודקודיות, ומכאן מגיעים לטענה השגויה $\angle AEO=90^\circ-\angle BOC$.

$\angle OAE=\angle CBO=90^\circ$ (זוויות המלבן), ו-$\angle AEO=\angle BOC$ (סעיף א(1)).

לפי ז.ז.: $\Delta OAE\sim\Delta CBO$, בהתאמה $O\leftrightarrow C$, $A\leftrightarrow B$, $E\leftrightarrow O$.

טעות נפוצה: לכתוב $\Delta OAE\sim\Delta BCO$ - סדר קודקודים שגוי, שמוביל ליחסים הפוכים בסעיפים הבאים.

נסמן $AB=2t$, ואז $BC=3t$. $O$ אמצע $AB$: $OA=BO=t$.

טעות נפוצה: להשתמש ביחס של ריבוע ($OA=\frac12CB$) ולענות 2 - כאן $CB$ גדולה מ-$AB$ פי 1.5.

מהדמיון: $\frac{OE}{CO}=\frac{OA}{CB}=\frac13$.

$OE=10$, ולכן $OC=3\cdot10=30$, ו-$C(30,0)$.

טעות נפוצה: להפוך את היחס ולחשב $OC=\frac{10}{3}$ - $OC$ הוא היתר במשולש הגדול.

$BC$ עוברת דרך $C(30,0)$: $y=-\frac13(x-30)=-\frac13x+10$.

$AB\perp BC$, ולכן שיפוע $AB$ הוא 3, דרך $O$: $y=3x$.

טעות נפוצה: לתת ל-$AB$ שיפוע $-3$ ולקבל $-3x=-\frac13x+10$, כלומר $B\left(-\frac{15}4,\frac{45}4\right)$.

$O$ אמצע $AB$, ולכן $AB=2\cdot OB=2\sqrt{3^2+9^2}=2\sqrt{90}=6\sqrt{10}$.

טעות נפוצה: לחשב $BC^2=810$ כאילו המרובע ריבוע - במלבן השטח הוא מכפלת שתי צלעות שונות.

במשולש $OBC$ (ישר-זווית ב-$B$): $\tan\angle BCO=\frac{OB}{BC}=\frac{3\sqrt{10}}{9\sqrt{10}}=\frac13$.

במשולש $OCE$ (ישר-זווית ב-$O$): $\tan\angle OCE=\frac{OE}{OC}=\frac{10}{30}=\frac13$.

אותו טנגנס לשתי זוויות חדות - הזוויות שוות (כ-$18.43^\circ$).

טעות נפוצה: לכתוב $\tan\angle BCO=\frac{BC}{OB}=3$ ולענות שהזוויות אינן שוות.

בשבר $\frac{x^2-33}{x^2+3}$ מעלת המונה שווה למעלת המכנה, ולכן כש-$x\to\pm\infty$ השבר שואף ליחס המקדמים המובילים, $\frac11=1$.

האסימפטוטה: $y=3$.

טעות נפוצה: לענות $y=1$ - לשכוח את ה-$+2$ שנוסף לשבר.

גוזרים את השבר בכלל המנה (הנגזרת של 2 היא 0):

$f'(x)=0$ רק ב-$x=0$. המכנה חיובי תמיד, ולכן הסימן של $f'$ הוא הסימן של $72x$:

נקודת מינימום: $(0,-9)$.

טעות נפוצה: להפוך את הסדר במונה של כלל המנה, לקבל $f'(x)=\frac{-72x}{(x^2+3)^2}$ ולקבוע "מקסימום ב-$(0,-9)$".

מטבלת הסימנים בסעיף ב(1): $f'(x)<0$ ב-$x<0$ - הפונקציה יורדת; $f'(x)>0$ ב-$x>0$ - הפונקציה עולה.

טעות נפוצה: לקבוע את התחומים לפי הסימן של $f$ עצמה (שלילית בין $-3$ ל-3) ולכתוב "ירידה ב-$-3<x<3$" - עלייה וירידה נקבעות לפי הסימן של הנגזרת.

מביאים למכנה משותף:

$f(x)=0$ כשהמונה מתאפס: $3x^2=27$, $x=\pm3$.

נקודות החיתוך: $(3,0)$, $(-3,0)$.

טעות נפוצה: לאפס רק את המונה של השבר המקורי, $x^2-33=0$, ולקבל $x=\pm\sqrt{33}\approx\pm5.74$ - בלי להתחשב ב-$+2$.

מרכזים את הנתונים: אסימפטוטה $y=3$, מינימום $(0,-9)$, חיתוכים $(\pm3,0)$, ירידה ב-$x<0$ ועלייה ב-$x>0$.

הפונקציה זוגית ($f(-x)=f(x)$), ולכן הגרף סימטרי לציר ה-$y$.

$f(x)=3-\frac{36}{x^2+3}<3$ לכל $x$, ולכן הגרף מתקרב לאסימפטוטה מלמטה ואינו חוצה אותה.

טעות נפוצה: לסרטט את הגרף חוצה את $y=3$ ומתקרב אליה מלמעלה - הפונקציה תמיד קטנה מ-3.

מסעיף ב: $f$ יורדת ב-$x<0$ ועולה ב-$x>0$, ולכן $f'(x)<0$ משמאל לראשית, $f'(x)>0$ מימינה, ו-$f'(0)=0$.

גרפים I ו-IV חיוביים משמאל - נפסלים. גרף II מתאפס מימין לראשית, ולא בה - נפסל.

גרף III שלילי משמאל לראשית, חיובי מימינה ועובר בראשית - זה הגרף של $f'(x)$.

טעות נפוצה: לבחור את גרף II - לבדוק רק "שלילי משמאל, חיובי מימין" בלי לבדוק שהנגזרת מתאפסת בדיוק ב-$x=0$.

$f(x)$ היא פונקציה קדומה של $f'(x)$. בין $-3$ ל-0 הנגזרת שלילית (השטח מתחת לציר), ובין 0 ל-3 חיובית - מפצלים ב-0:

טעות נפוצה: לחשב אינטגרל אחד מ-$-3$ עד 3: $f(3)-f(-3)=0$ - החלק שמתחת לציר מקזז את החלק שמעליו, ושטח אינו יכול להיות 0.

טעות נפוצה: לטעות בסימן ולכתוב $x\ge3$.

ציר ה-$x$: $x-6=0$ או $\sqrt{x+3}=0$, כלומר $x=6$ או $x=-3$ (שניהם בתחום).

ציר ה-$y$: $f(0)=(0-6)\sqrt3=-6\sqrt3$.

טעות נפוצה: לאפס רק את $x-6$ ולשכוח את $(-3,0)$, שבה השורש מתאפס.

$\left(\sqrt{x+3}\right)'=\frac{1}{2\sqrt{x+3}}$. לפי כלל המכפלה:

$f'(x)=0$ ב-$x=0$, ו-$f(0)=-6\sqrt3$.

עבור $-3<x<0$: $f'<0$; עבור $x>0$: $f'>0$. לכן $\left(0,-6\sqrt3\right)$ מינימום.

בקצה $x=-3$: $f(-3)=0$, ומיד אחריו הפונקציה יורדת - מקסימום קצה $(-3,0)$.

טעות נפוצה: לשכוח את ה-2 במכנה של נגזרת השורש ולכתוב $f'=\sqrt{x+3}+\frac{x-6}{\sqrt{x+3}}=\frac{2x-3}{\sqrt{x+3}}$ - ומינימום שגוי ב-$x=1.5$.

מסכמים: תחום $x\ge-3$; מקסימום קצה $(-3,0)$; מינימום $\left(0,-6\sqrt3\right)\approx(0,-10.39)$; חיתוך נוסף $(6,0)$.

הגרף מתחיל ב-$(-3,0)$, יורד עד ציר ה-$y$, עולה דרך $(6,0)$ וממשיך לעלות.

טעות נפוצה: לצייר את הגרף ממשיך שמאלה מ-$x=-3$. משמאל ל-$-3$ השורש לא מוגדר.

$g(x)=-f(x)$ - שיקוף ביחס לציר ה-$x$. נקודות החיתוך עם ציר ה-$x$ נשארות, והמינימום של $f$ הופך למקסימום של $g$: $\left(0,6\sqrt3\right)$.

טעות נפוצה: לשקף ביחס לציר ה-$y$ (הגרף של $f(-x)$, שמוגדר עבור $x\le3$) במקום ביחס לציר ה-$x$.

הגרפים נחתכים כש-$f(x)=0$: ב-$x=-3$ וב-$x=6$. ביניהם $f$ מתחת לציר ה-$x$ ו-$g$ מעליו.

השטח בין הגרפים הוא השטח בין $f$ לציר ($S$) ועוד השטח בין הציר ל-$g$, שהוא השיקוף שלו ($S$): סך הכול $2S$.