מתכונת במתמטיקה 471 - מתכונת 9 ברמת בגרות

18.41% מן התפוחים קלים מ-162 גרם, ולכן $\Phi(z)=0.1841$, כאשר $z$ הוא ציון התקן של 162.

ההסתברות קטנה מ-0.5, ולכן $z$ שלילי. בטבלה מחפשים את המשלים $1-0.1841=0.8159$, ומוצאים $\Phi(0.9)=0.8159$. לכן $z=-0.9$.

סטיית התקן היא 20 גרם.

טעות נפוצה: לפרש את 18.41% כשטח שבין הממוצע ל-162 ולחפש בטבלה $0.5+0.1841=0.6841$. מתקבל $z\approx0.48$ ו-$S=\frac{18}{0.48}=37.5$ גרם. 18.41% הם כל התפוחים שקלים מ-162 גרם - השטח משמאל ל-162.

בטבלה: $\Phi(1.3)=0.9032$ - החלק של התפוחים שקלים מ-206 גרם.

לייצוא נשלחים התפוחים הכבדים מ-206 גרם, ולכן:

9.68% מן התפוחים נשלחו לייצוא.

טעות נפוצה: לענות 90.32% - זה $\Phi(1.3)$, אחוז התפוחים הקלים מ-206 גרם, ולא הכבדים ממנו.

4,840 תפוחים הם 9.68% מכל התפוחים במטע:

התפוחים שלא נשלחו לייצוא ולא למפעל המיץ הם אלה שמשקלם בין 162 ל-206 גרם:

35,955 תפוחים לא נשלחו לייצוא ולא נשלחו למפעל המיץ.

טעות נפוצה: להחסיר רק את התפוחים שנשלחו לייצוא, $50{,}000-4{,}840=45{,}160$, ולשכוח את 18.41% שנשלחו למפעל המיץ.

החלק של התפוחים שנשלחו למפעל המיץ: $\frac{12000}{60000}=0.2$.

$\Phi(z)=0.2$, ולכן $z$ שלילי. בטבלה $\Phi(0.84)=0.7995\approx0.8$, ולכן $z=-0.84$.

המשקל הממוצע הוא 174.6 גרם.

טעות נפוצה: לטעות בסימן ולקבל $\bar x=162-12.6=149.4$ גרם. אם רק 20% מן התפוחים קלים מ-162 גרם, הממוצע גדול מ-162.

ההתפלגות נורמלית ולכן סימטרית סביב הממוצע: חצי מהכוורות מניבות פחות מ-25 ק"ג וחצי יותר.

טעות נפוצה: לבלבל בין החציון לבין האחוז שהוא מגדיר ולענות "50%". החציון הוא ערך של המשתנה (תפוקה בק"ג) - הערך שחצי מהכוורות מניבות פחות ממנו - ולא אחוז.

הנתון הוא על השטח מימין ל-33. הטבלה נותנת שטח משמאל, ולכן עוברים למשלים:

ציון התקן חיובי, כמו שצריך: 33 גדול מהממוצע.

טעות נפוצה: לחפש בטבלה את 0.0968 עצמו, לקבל $z=-1.30$ ומשם $\sigma=\frac{8}{-1.3}\approx-6.15$ - סטיית תקן שלילית, שאינה אפשרית.

ציון התקן של 15 ק"ג:

השטח משמאל ל-$z$ שלילי, מהסימטריה:

טעות נפוצה: לקחת את המשלים בלי צורך ולחשב $400\cdot0.9484\approx379$ - אלה הכוורות שמניבות יותר מ-15 ק"ג.

עלייה ב-12% פירושה 112% מהממוצע:

הגיוני: הממוצע עלה, ולכן פחות כוורות נמצאות מתחת ל-15 ק"ג (7 לעומת 21).

טעות נפוצה: להוסיף 12 ק"ג במקום 12% - ממוצע 37, $z=\frac{15-37}{6.15}\approx-3.58$, ולקבל שאף כוורת (0) לא קיבלה האכלה.

עץ: קורס (0.2) / בלי קורס (0.8), ואז קודם / לא קודם. סוכמים את שני המסלולים שמסתיימים בקידום:

טעות נפוצה: לחשב $\frac{0.85+0.3}{2}=0.575$ - ממוצע פשוט מתעלם מכך שרק חמישית מהעובדים השתתפו בקורס.

טעות נפוצה: לענות 0.3 - זו ההסתברות לקידום בתנאי שלא השתתף בקורס, ההתניה ההפוכה.

(1) מסעיף ב: $P(\text{קורס}\mid\text{קודם})=1-\frac{24}{41}=\frac{17}{41}\approx0.415<0.5$. הטענה אינה נכונה.

(2) $P(\text{לא קודם})=1-0.41=0.59$, ומתוכם בלי קורס: $0.8\cdot0.7=0.56$.

הטענה נכונה.

טעות נפוצה: לקבוע שטענה (1) נכונה כי "85% ממשתתפי הקורס קודמו" - זו ההתניה ההפוכה; רוב המקודמים באים מהקבוצה הגדולה שלא השתתפה.

לכל אחד מהם: קידום 0.3, בלי קידום 0.7, באופן בלתי תלוי.

טעות נפוצה: לחשב סדר אחד בלבד ולקבל 0.21.

במרובע חסום במעגל $\angle B+\angle D=180^\circ$. לפי הנתון הן שוות, ולכן $\angle B=\angle D=90^\circ$.

$\angle ABC$ היא זווית היקפית הנשענת על המיתר $AC$, והיא בת $90^\circ$ - ולכן $AC$ קוטר.

טעות נפוצה: להסיק ש-$BD$ הוא הקוטר, כי הזוויות השוות נמצאות ב-$B$ וב-$D$. הזווית ב-$B$ נשענת על המיתר שמולה, $AC$.

המרכז הוא אמצע הקוטר $AC$:

$AC=8-(-2)=10$, ולכן $R=5$.

טעות נפוצה: לכתוב $R^2=100$ (אורך הקוטר כרדיוס) ולקבל $(x-3)^2+(y-1)^2=100$.

$\angle B=90^\circ$, ולכן $BC\perp AB$:

הישר עובר דרך $C(8,1)$:

טעות נפוצה: להפוך את השיפוע בלי להחליף סימן, $m_{BC}=\frac13$, ולקבל $y=\frac13x-\frac53$.

$B$ על הישר $BC$ ועל המעגל. מהישר: $y-1=\frac{8-x}{3}$. מציבים במשוואת המעגל:

$x=8$ הוא הנקודה $C(8,1)$. לכן $x=-1$, $y=-\frac13\cdot(-1)+\frac{11}3=4$: $B(-1,4)$.

בדיקה: שיפוע $AB$ הוא $\frac{4-1}{-1+2}=3$, כנתון.

טעות נפוצה: לבחור את הפתרון $x=8$ ולענות $(8,1)$ - זו הנקודה $C$, שגם היא על הישר ועל המעגל.

הזווית $B$ ישרה, ולכן במשולש $ABE$ הניצבים הם $AB$ ו-$BE$:

טעות נפוצה: לקחת את כל הצלע $BC=3\sqrt{10}$ כניצב ולקבל 15 - זה שטח המשולש $ABC$.

במשולש $ABE$ (ישר-זווית ב-$B$), מול הזווית $AEB$ נמצא הניצב $AB$, וליד הזווית - הניצב $BE$:

טעות נפוצה: להחליף בין הניצב שמול הזווית לניצב שלידה, $\tan=\frac{BE}{AB}=1.5$, ולקבל $56.31^\circ$ - זו הזווית $BAE$.

$\angle CAE=\angle CAB-\angle EAB$, ושתי הזוויות נמצאות במשולשים ישרי-זווית ב-$B$.

במשולש $ABC$: $\tan\angle CAB=\frac{BC}{AB}=\frac{3\sqrt{10}}{\sqrt{10}}=3\ \Rightarrow\ \angle CAB\approx71.57^\circ$.

במשולש $ABE$: $\tan\angle EAB=\frac{BE}{AB}=1.5\ \Rightarrow\ \angle EAB\approx56.31^\circ$.

טעות נפוצה: לחשב $\tan\angle CAE=\frac{CE}{AE}$ כאילו המשולש $ACE$ ישר-זווית, ולקבל כ-$39.76^\circ$.

$R^2=MO^2=3^2+4^2=25$.

המשוואה: $(x-3)^2+(y-4)^2=25$.

טעות נפוצה: לקחת $R=4$ (שיעור ה-$y$ של המרכז) ולקבל $(x-3)^2+(y-4)^2=16$.

$x=0$: $9+(y-4)^2=25$, $(y-4)^2=16$, $y=0$ או $y=8$.

$y=0$ היא הראשית, ולכן $A(0,8)$.

טעות נפוצה: לענות $A(0,0)$ - זו הנקודה $O$.

$B$ על $y=8$: $(x-3)^2+16=25$, $(x-3)^2=9$, $x=0$ ($A$) או $x=6$. לכן $B(6,8)$.

ישר בשיפוע $\frac12$ דרך $B$: $y-8=\frac12(x-6)$, כלומר $y=\frac12x+5$.

טעות נפוצה: להעביר את הישר דרך $A$ ולקבל $y=\frac12x+8$.

מציבים $y=\frac12x+5$ במשוואת המעגל:

$(x-6)(x+2)=0$: $x=6$ היא $B$, ולכן $x=-2$, $y=\frac12\cdot(-2)+5=4$. $C(-2,4)$.

טעות נפוצה: לא לפסול את $x=6$ ולתת שתי אפשרויות ל-$C$: $(6,8)$ או $(-2,4)$.

לפי משפט הסינוסים במשולש החסום: $\frac{AB}{\sin\angle ACB}=2R$, עם $AB=6$ ו-$R=5$:

$C$ על הקשת הגדולה $AB$ (בצד של המרכז, הרחק מהמיתר $AB$), ולכן הזווית חדה: $\angle ACB\approx36.87^\circ$.

טעות נפוצה: לבחור את הזווית הקהה שהסינוס שלה 0.6, $143.13^\circ$. זווית היקפית קהה נשענת על הקשת הגדולה, כלומר רק אם $C$ על הקשת הקטנה - וזה לא המקרה.

$E\left(\frac{6-2}{2},\frac{8+4}{2}\right)=(2,6)$, ו-$AE=\sqrt{(2-0)^2+(6-8)^2}=\sqrt8$.

$E$ על $CB$, ולכן $\angle ACE=\angle ACB$ ו-$\sin\angle ACE=0.6$. הצלע שמולה במשולש $AEC$ היא $AE$:

טעות נפוצה: לענות $R'=5$ - זה הרדיוס של המעגל הנתון; $E$ אינה עליו, ולכן המעגל החוסם את $AEC$ שונה.

$f'$ מתאפסת רק ב-$x=0$. מהגרף: בין $-3$ ל-0 $f'<0$ ($f$ יורדת), ובין 0 ל-3 $f'>0$ ($f$ עולה).

ירידה ואחריה עלייה - ב-$x=0$ יש מינימום.

טעות נפוצה: לקבוע "מקסימום" כי גרף הנגזרת עולה דרך הראשית. הסוג נקבע לפי הסימן של $f'$ משני הצדדים.

מהגרף: $f'<0$ ב-$x<-3$ וב-$-3<x<0$; $f'>0$ ב-$0<x<3$ וב-$x>3$.

לכן $f$ יורדת ב-$x<-3$ וב-$-3<x<0$, ועולה ב-$0<x<3$ וב-$x>3$ (בלי $x=\pm3$).

טעות נפוצה: לקבוע לפי הכיוון של גרף $f'$: גרף $f'$ עולה בין $-3$ ל-3 ויורד מחוץ לתחום הזה, ומקבלים בטעות "עלייה ב-$-3<x<3$, ירידה ב-$x<-3$ וב-$x>3$".

ביטוי I מוגדר לכל $x$, ו-$f$ אינה מוגדרת ב-$x=\pm3$ - נפסל.

כש-$x\to\pm\infty$: $\frac{x^2}{x^2-9}\to1$. לכן ל-II אסימפטוטה $y=2-1=1$, ול-III אסימפטוטה $y=3-1=2$.

האסימפטוטה הנתונה $y=2$, ולכן $f(x)=3-\frac{x^2}{x^2-9}$ - ביטוי III.

טעות נפוצה: לבחור בביטוי II "כי המספר בו הוא 2". האסימפטוטה היא $2-1=1$, כי השבר שואף ל-1.

$f(0)=3-0=3$ - הנקודה $(0,3)$.

$x=\pm\sqrt{13.5}\approx\pm3.67$ (מחוץ ל-$\pm3$, בתחום ההגדרה): $(\pm\sqrt{13.5},0)$.

טעות נפוצה: לאפס את המונה $x^2$ ולענות $(0,0)$ - אבל $f(0)=3$.

אסימפטוטות: $x=\pm3$, $y=2$.

$x<-3$: $f$ יורדת; כש-$x\to-\infty$, $f\to2$ (מלמטה, כי השבר גדול מ-1), וכש-$x\to-3^-$, $f\to-\infty$. חותכת את ציר ה-$x$ ב-$-\sqrt{13.5}$.

$-3<x<3$: השבר שלילי, ולכן $f\ge3$. מינימום $(0,3)$, ו-$f\to+\infty$ ליד $\pm3$.

$x>3$: $f$ עולה מ-$-\infty$ ל-2 (מלמטה), וחותכת את ציר ה-$x$ ב-$\sqrt{13.5}$. הגרף סימטרי ביחס לציר ה-$y$.

טעות נפוצה: לצייר את הענף האמצעי מתחת לציר ה-$x$ (כמו כיפה). המינימום הוא $(0,3)$, ולכן הענף האמצעי כולו מעל $y=3$.

גרף $f'$ חותך את ציר ה-$x$ רק ב-0, ולכן השטח בין $x=-2$ ל-$x=0$. שם $f'<0$.

השטח הוא הערך המוחלט: $S=0.8$.

טעות נפוצה: להציב את הגבולות ב-$f'$ במקום ב-$f$: $f'(0)-f'(-2)=0-\left(-\frac{36}{25}\right)=1.44$. הפונקציה הקדומה של $f'$ היא $f$.

טעות נפוצה: לא להפוך את כיוון אי-השוויון בחילוק ב-$(-1)$ ולכתוב $x\ge13$.

ציר ה-$x$: $2x-2=0\Rightarrow x=1$, או $\sqrt{13-x}=0\Rightarrow x=13$.

ציר ה-$y$: $f(0)=-2\sqrt{13}\approx-7.21$.

טעות נפוצה: לשכוח את השורש ולקבל $f(0)=-2\cdot13=-26$.

$f'(x)=0$ ב-$x=9$; חיובית לפני, שלילית אחרי - מקסימום. $f(9)=16\cdot2=32$.

הפונקציה יורדת עד קצה התחום: מינימום קצה $(13,0)$.

טעות נפוצה: לשכוח את הנגזרת הפנימית $(-1)$ ולקבל $f'(x)=\frac{50-2x}{2\sqrt{13-x}}$, שמתאפסת ב-$x=25$ מחוץ לתחום.

$x\to-\infty$: $f\to-\infty$. עלייה דרך $(0,-7.21)$ ו-$(1,0)$ עד $(9,32)$, וירידה לנקודת הקצה $(13,0)$.

טעות נפוצה: לסיים את הגרף בחץ שממשיך ימינה אחרי $x=13$.

$g$ היא $f$ מוזזת 3 יחידות שמאלה: חיתוכים עם ציר ה-$x$ ב-$-2$ וב-10, נקודת קצה $(10,0)$, ו-

הגרף עולה, חותך את ציר ה-$x$ משמאל לציר ה-$y$ ואת ציר ה-$y$ בערך חיובי, מגיע למקסימום ויורד לקצה. גרפים I ו-III הם בצורת שקע - נפסלים; גרף II חותך את ציר ה-$x$ מימין לציר ה-$y$ (זה $f$). לכן גרף IV.

טעות נפוצה: להזיז ימינה ולבחור את גרף II - הוא חותך את ציר ה-$y$ בערך שלילי, כמו $f$ עצמה.

המקסימום $(9,32)$ זז 3 שמאלה: $\max(6,32)$.

טעות נפוצה: להזיז ימינה ולענות $(12,32)$ - מחוץ לתחום $x\le10$.