בגרות במתמטיקה 471 - חורף 2024

96.41% מהתינוקות נולדים במשקל נמוך מ-5.02, כלומר השטח המצטבר משמאל לציון התקן של 5.02 הוא 0.9641.

מחפשים את 0.9641 בתוך טבלת ההתפלגות הנורמלית: $\Phi(1.8)=0.9641$, ולכן ציון התקן של 5.02 הוא $z=1.8$.

מציבים בנוסחת ציון התקן:

טעות נפוצה: להציב את השטח 0.9641 במקום ציון התקן: $\sigma=\frac{1.62}{0.9641}\approx1.68$. 0.9641 הוא אחוז (שטח), וציון התקן נקרא בשולי הטבלה.

"נמוך ממשקלם של 9%" פירושו ש-9% מהתינוקות כבדים מאורי, ולכן 91% מהתינוקות קלים ממנו: השטח משמאל לציון התקן של אורי הוא 0.91.

בטבלה: $\Phi(1.34)=0.9099$ ו-$\Phi(1.35)=0.9115$. הערך הקרוב ביותר ל-0.91 הוא 0.9099, ולכן $z=1.34$.

מחזירים לערך גולמי:

טעות נפוצה: לחפש בטבלה את 0.09 במקום 0.91, לקבל $z=-1.34$ ו-$x=3.4-1.206=2.194$ ק"ג - זה המשקל שגבוה רק מ-9% מהתינוקות.

ציון התקן של 1.5 ק"ג:

הטבלה המצטברת נותנת ישירות את השטח משמאל, כלומר את אחוז התינוקות שמשקלם נמוך מ-1.5:

1.74% מהתינוקות נולדים במשקל נמוך מאוד.

טעות נפוצה: לחשב משלים שלא צריך: $1-0.0174=0.9826$, ולענות 98.26%. השאלה שואלת על משקל נמוך מ-1.5, וזה בדיוק השטח שהטבלה נותנת.

לפי סעיף ג(1), 1.74% מהתינוקות נולדים במשקל נמוך מאוד. מכפילים את השבר העשרוני במספר התינוקות:

טעות נפוצה: לכפול באחוז עצמו ולא בשבר: $1.74\cdot20000=34{,}800$ - יותר תינוקות ממספר כל התינוקות שנולדו.

לפי סעיף ב, ציון התקן של אורי הוא $z=1.34$, ולכן גם ציון התקן של שחר בעירו הוא 1.34. המשקל של שחר הוא 4.606 ק"ג.

מציבים בנוסחת ציון התקן של העיר של שחר, שבה הממוצע $\mu$ לא ידוע:

טעות נפוצה: להעביר אגף עם סימן שגוי ולקבל $\mu=4.606+1.072=5.678$ - ממוצע גבוה ממשקל של שחר, אף על פי שציון התקן שלו חיובי.

ישר הרגרסיה עובר תמיד דרך נקודת הממוצעים $(\bar{x},\bar{y})$. לכן מציבים $x=\bar{x}$ במשוואת הישר:

טעות נפוצה: להציב את סטיית התקן $s_x=0.683$ במקום הממוצע: $11.3\cdot0.683+16.3\approx24.02$.

שיפוע ישר הרגרסיה של $y$ לפי $x$ הוא:

השיפוע הוא 11.3, ולכן:

טעות נפוצה: להפוך את היחס בנוסחת השיפוע ($b=r\cdot\frac{s_x}{s_y}$) ולקבל $s_y=\frac{0.871\cdot0.683}{11.3}\approx0.053$.

"אין גידול שנתי" פירושו שאחוז הגידול הוא 0, כלומר $x=0$.

על פי ישר הרגרסיה, כ-16.3% מהאוכלוסייה במדינה זו הם ילדים.

טעות נפוצה: להציב $y=0$ במקום $x=0$ ולקבל $x=-\frac{16.3}{11.3}\approx-1.44$.

הצבה בישר הרגרסיה נותנת $y=11.3\cdot2+16.3=38.9$.

אבל מקדם המתאם הוא 0.871 ולא 1: הקשר בין המשתנים חזק אך אינו מושלם, והנקודות אינן נמצאות כולן על הישר.

לכן 38.9 הוא ניבוי - הערך הצפוי לפי הישר - ולא ערך מדויק. אחוז הילדים במדינה עשוי להיות שונה ממנו.

טעות נפוצה: לענות "כן, כי הצבה של 2 בישר נותנת בדיוק 38.9". ניבוי מדויק אפשרי רק כשהקשר מושלם ($r=\pm1$).

בונים עץ הסתברויות דו-שלבי. בשלב הראשון: קליעה $\frac35$, החטאה $\frac25$.

בשלב השני ההסתברויות תלויות בענף: אחרי קליעה - קליעה $\frac23$ והחטאה $\frac13$; אחרי החטאה - קליעה $\frac{7}{16}$ והחטאה $\frac{9}{16}$.

המסלול "החטאה ואז קליעה" - כופלים לאורך המסלול:

טעות נפוצה: לכפול בענף הלא נכון בשלב השני - $\frac25\cdot\frac{9}{16}=\frac{9}{40}$ (זו ההסתברות להחטיא פעמיים).

"פעם אחת לפחות" הוא המשלים של "החטיא בשני הניסיונות":

טעות נפוצה: לחשב את המשלים עם ההסתברות של הענף הלא נכון - $1-\frac25\cdot\frac{7}{16}=\frac{33}{40}$.

"פעם אחת בדיוק" הוא שני מסלולים: קליעה-החטאה והחטאה-קליעה:

זו הסתברות מותנית. כל מי שקלע בדיוק פעם אחת קלע גם פעם אחת לפחות, ולכן החיתוך הוא "בדיוק אחת":

טעות נפוצה: לענות $\frac{15}{40}=\frac38$ - זו ההסתברות לקלוע בדיוק פעם אחת בלי המידע שחנן קלע לפחות פעם אחת.

אצל דני ההסתברות לקלוע זהה בשני הניסיונות. "בדיוק פעם אחת" הוא קליעה-החטאה או החטאה-קליעה:

לפי סעיף ב(2), אצל חנן ההסתברות היא $\frac{15}{40}=\frac38$:

$p=\frac34$ או $p=\frac14$. שני הערכים בין 0 ל-1, ולכן שניהם אפשריים.

טעות נפוצה: לכתוב $p(1-p)=\frac38$ - לשכוח שיש שני סדרים. מקבלים $8p^2-8p+3=0$, שהדיסקרימיננטה שלה שלילית, ומסיקים בטעות שאין $p$ כזה.

$M$ נמצאת על ציר ה-$y$ ועל הישר $AC$, ולכן היא נקודת החיתוך של $AC$ עם ציר ה-$y$: מציבים $x=0$ ומקבלים $M(0,8)$.

$BD\perp AC$, ולכן מכפלת השיפועים היא $-1$:

$BD$ עובר דרך $M(0,8)$, ולכן $y=\frac12x+8$.

טעות נפוצה: להפוך את השיפוע בלי להחליף סימן ולקבל $y=-\frac12x+8$ - ישר שאינו מאונך ל-$AC$ (מכפלת השיפועים 1).

$A$ היא נקודת החיתוך של $AC$ עם ציר ה-$x$: $0=-2x+8$, $x=4$, ולכן $A(4,0)$.

$B$ היא נקודת החיתוך של $BD$ עם ציר ה-$x$: $0=\frac12x+8$, $x=-16$, ולכן $B(-16,0)$.

$AD\perp AB$ ו-$AB$ על ציר ה-$x$, ולכן $AD$ אנכי: הישר $x=4$. $D$ על $BD$: $y=\frac12\cdot4+8=10$, ולכן $D(4,10)$.

$DC\parallel AB$, ולכן $DC$ אופקי: הישר $y=10$. $C$ על $AC$: $10=-2x+8$, $x=-1$, ולכן $C(-1,10)$.

טעות נפוצה: לחשוב ש-$C$ נמצאת בדיוק מעל $M$ ולכתוב $C(0,10)$. $C$ היא קצה האלכסון $AC$, ולכן צריכה לקיים את משוואת $AC$.

הזווית $ABD$ היא הזווית בין הישר $BD$ לציר ה-$x$ (הצלע $BA$ על ציר ה-$x$, ו-$BD$ עולה ימינה מ-$B$).

הטנגנס של הזווית שישר יוצר עם הכיוון החיובי של ציר ה-$x$ שווה לשיפוע שלו:

טעות נפוצה: להשתמש בשיפוע של $AC$: $\tan\alpha=2$, $\alpha\approx63.43^\circ$ - זו הזווית $BAC$ (המשלימה ל-$90^\circ$ במשולש $ABM$), לא $ABD$.

קודם מוצאים את הזווית $CBA$. השיפוע של $BC$:

$DC\parallel AB$, ולכן הזוויות $CBA$ ו-$BCD$ הן זוויות חד-צדדיות בין ישרים מקבילים, וסכומן $180^\circ$:

טעות נפוצה: לעצור ב-$33.69^\circ$ ולענות שזו הזווית $BCD$. בסרטוט רואים שהזווית ב-$C$ קהה.

בוחרים את $CD$ כבסיס. $CD$ אופקי, ולכן אורכו הוא הפרש שיעורי ה-$x$: $CD=4-(-1)=5$.

הגובה לבסיס $CD$ הוא המרחק של $B$ מהישר $y=10$, כלומר 10.

טעות נפוצה: לקחת כגובה את שיעור ה-$y$ של $M$ (8) ולקבל $\frac{5\cdot8}{2}=20$.

למשולשים $BFC$ ו-$BCD$ יש אותו גובה מ-$B$ לישר $y=10$ (10), והבסיסים שלהם $FC$ ו-$CD$ על אותו ישר.

לכן יחס השטחים שווה ליחס הבסיסים: $FC=2\cdot CD=10$.

$F$ על הישר $y=10$ במרחק 10 מ-$C(-1,10)$: $x=-1+10=9$ או $x=-1-10=-11$.

$F(9,10)$ (על ההמשך מעבר ל-$D$) או $F(-11,10)$ (על ההמשך מעבר ל-$C$).

טעות נפוצה: למדוד את המרחק 10 מ-$D$ במקום מ-$C$ ולקבל $F(14,10)$. אז $FC=15$ ושטח $BFC$ הוא 75, פי 3 ולא פי 2.

$A$ על ציר ה-$y$: מציבים $x=0$ - $3y=40$, $A(0,\frac{40}{3})$.

$B$ על ציר ה-$x$: מציבים $y=0$ - $4x=40$, $B(10,0)$.

טעות נפוצה: לחבר את אורכי הניצבים במקום משפט פיתגורס: $10+\frac{40}{3}=23\frac13$.

$MO=MD$ - שניהם רדיוסים במעגל.

המעגל משיק לציר ה-$x$, ומרכזו על ציר ה-$y$, ולכן נקודת ההשקה היא $O$. כלומר $BO$ הוא קטע משיק מ-$B$ למעגל.

גם $BD$ הוא קטע משיק מ-$B$ (על המשיק הנתון). שני קטעי משיקים היוצאים מאותה נקודה שווים: $BO=BD$.

במרובע $OMDB$ יש שני זוגות של צלעות סמוכות שוות ($MO=MD$, $BO=BD$), ולכן הוא דלתון.

טעות נפוצה: לזווג צלעות נגדיות ($MO=DB$, $MD=OB$) ולהסיק שהמרובע מקבילית. בדלתון הצלעות השוות סמוכות, וכאן $MO=5$ ו-$OB=10$ אינן שוות.

$MD$ רדיוס לנקודת ההשקה, ומשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה: $\angle ADM=90^\circ$.

$\angle AOB=90^\circ$ - הזווית בין הצירים.

הזווית $A$ משותפת לשני המשולשים ($D$ על $AB$ ו-$M$ על $AO$).

לכן $\triangle ADM\sim\triangle AOB$ (ז.ז.), כאשר $D$ מתאים ל-$O$ ו-$M$ מתאים ל-$B$.

טעות נפוצה: להתאים את הקודקודים לפי הסדר הלא נכון ($D$ ל-$B$). אז כותבים $\frac{AD}{AB}=\frac{DM}{OB}$, ובסעיף הבא מקבלים משוואה שגויה.

נסמן את הרדיוס $r$. אז $MD=r$, ו-$AM=AO-MO=\frac{40}{3}-r$.

מהדמיון (סעיף ג(1)): $\frac{AM}{AB}=\frac{MD}{BO}$:

טעות נפוצה: להשתמש ב-$AO$ במקום ב-$AM$: $\frac{40/3}{50/3}=\frac{r}{10}$, ולקבל $r=8$.

המרכז על החלק החיובי של ציר ה-$y$, והמעגל משיק לציר ה-$x$ ב-$O$, ולכן המרחק של המרכז מציר ה-$x$ הוא הרדיוס: $M(0,5)$.

טעות נפוצה: לכתוב ברדיוס ולא בריבוע הרדיוס: $x^2+(y-5)^2=5$.

$\angle MOB=90^\circ$ (הצירים), ו-$\angle MDB=90^\circ$ (רדיוס מאונך למשיק).

אלה זוויות נגדיות במרובע, וסכומן $180^\circ$ - לכן המרובע בר חסימה במעגל.

הזווית $MOB$ היא זווית היקפית ישרה במעגל החוסם, ולכן היא נשענת על קוטר: $MB$ הוא קוטר המעגל החוסם.

המרכז הוא אמצע הקוטר $MB$, בין $M(0,5)$ ל-$B(10,0)$:

טעות נפוצה: לקחת את אמצע האלכסון השני, $OD$, בין $O(0,0)$ ל-$D(4,8)$, ולקבל $(2,4)$. $OD$ אינו קוטר - הזוויות הישרות נשענות על $MB$.

בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת ומחליפה סימן. $f'(x)$ מתאפסת רק ב-$x=0$.

מהגרף: משמאל ל-0 (בין $-4$ ל-0) הגרף של $f'$ מעל ציר ה-$x$, כלומר $f'>0$ ו-$f$ עולה. מימין ל-0 (בין 0 ל-4) הגרף מתחת לציר, $f'<0$ ו-$f$ יורדת.

עלייה ואחריה ירידה - ב-$x=0$ יש מקסימום.

טעות נפוצה: לקבוע "מינימום" כי גרף הנגזרת יורד דרך הראשית. סוג הקיצון נקבע לפי הסימן של $f'$ משני הצדדים, לא לפי הכיוון של גרף $f'$.

$f$ עולה היכן ש-$f'>0$ (הגרף מעל ציר ה-$x$), ויורדת היכן ש-$f'<0$.

מהגרף: $f'>0$ ב-$x<-4$ וב-$-4<x<0$; $f'<0$ ב-$0<x<4$ וב-$x>4$.

את $x=\pm4$ לא כוללים - שם $f$ אינה מוגדרת, ולכן התחומים נכתבים בנפרד משני צדי כל אסימפטוטה.

טעות נפוצה: לקבוע עלייה וירידה לפי הכיוון של גרף $f'$ (עולה או יורד) במקום לפי הסימן שלו. מקבלים "עלייה ב-$x<-4$ וב-$x>4$, ירידה ב-$-4<x<4$" - שגוי.

ביטוי I מוגדר לכל $x$ (המכנה $x^2+16$ לעולם אינו מתאפס), אבל $f$ אינה מוגדרת ב-$x=\pm4$. לכן I נפסל.

בביטויים II ו-III, כש-$x\to\pm\infty$: $\frac{x^2}{x^2-16}\to1$ (מחלקים מונה ומכנה ב-$x^2$).

לכן ל-II אסימפטוטה אופקית $y=1+2=3$, ול-III אסימפטוטה $y=1+1=2$.

האסימפטוטה הנתונה היא $y=2$, ולכן $f(x)=\frac{x^2}{x^2-16}+1$ - ביטוי III.

(לביטויים II ו-III אותה נגזרת - הם נבדלים בקבוע - ולכן גרף הנגזרת לבדו לא מבחין ביניהם.)

טעות נפוצה: לבחור בביטוי II "כי מופיע בו $+2$" - האסימפטוטה היא הגבול של כל הביטוי, ו-$\frac{x^2}{x^2-16}$ שואף ל-1, לא ל-0.

עם ציר ה-$y$: $f(0)=\frac{0}{-16}+1=1$ - הנקודה $(0,1)$.

עם ציר ה-$x$: $f(x)=0$:

$x=\pm\sqrt8$ (שני הערכים בתחום ההגדרה): $(\sqrt8,0)$, $(-\sqrt8,0)$.

טעות נפוצה: לאפס רק את המונה של השבר ($x^2=0$) ולענות שהחיתוך היחיד הוא $(0,0)$ - אבל $f(0)=1$, בגלל ה-$+1$.

מסמנים את האסימפטוטות $x=\pm4$ ו-$y=2$.

$x<-4$: $f$ עולה (סעיף ב). כש-$x\to-\infty$, $f\to2$; כש-$x\to-4^-$, $\frac{x^2}{x^2-16}\to+\infty$. הענף עולה מ-2 (מעל האסימפטוטה) ל-$+\infty$.

$-4<x<4$: המכנה שלילי, ולכן $\frac{x^2}{x^2-16}\le0$ ו-$f\le1$. $f$ עולה עד המקסימום $(0,1)$ ויורדת אחריו; ליד $x=\pm4$ היא שואפת ל-$-\infty$. היא חותכת את ציר ה-$x$ ב-$\pm\sqrt8\approx\pm2.83$.

$x>4$: $f$ יורדת מ-$+\infty$ ושואפת ל-2 מלמעלה.

הגרף סימטרי ביחס לציר ה-$y$ ($f$ זוגית).

טעות נפוצה: לצייר את הענפים החיצוניים מתחת לאסימפטוטה $y=2$. משמאל ל-$-4$ הפונקציה עולה ומגיעה ל-$+\infty$, ולכן היא חייבת להיות מעל 2.

גרף $f'$ חותך את ציר ה-$x$ רק ב-0, ולכן השטח הוא בין $x=0$ ל-$x=2$. בתחום זה $f'<0$ (הגרף מתחת לציר).

$f$ היא פונקציה קדומה של $f'$, ולכן:

האינטגרל שלילי כי השטח מתחת לציר ה-$x$; השטח הוא הערך המוחלט: $S=\frac13$.

טעות נפוצה: לענות $-\frac13$ - שטח הוא תמיד חיובי. כשהגרף מתחת לציר, השטח הוא מינוס האינטגרל.

הביטוי שבתוך השורש חייב להיות אי-שלילי:

טעות נפוצה: לא להפוך את סימן אי-השוויון בחלוקה ב-$-2$ ולענות $x\ge5$.

עם ציר ה-$y$: $f(0)=0\cdot\sqrt{10}=0$ - הנקודה $(0,0)$.

עם ציר ה-$x$: מכפלה מתאפסת כשאחד הגורמים מתאפס: $x^2=0$ או $\sqrt{-2x+10}=0$.