בגרות במתמטיקה 471 - קיץ 2023 מועד א'

לשבור את השיא פירושו לשחות בזמן קצר מ-51 שניות, כלומר מחפשים $P(X<51)$.

ממירים את 51 לציון תקן:

הטבלה המצטברת נותנת את השטח משמאל לציון התקן:

טעות נפוצה: לקרוא בטבלה $\Phi(3)=0.9987$ ולענות 0.9987 - זו ההסתברות לשחות לאט מהשיא. זמן קצר יותר הוא הצד השמאלי של העקומה.

ממוצע של כמה קבוצות = סכום כל הזמנים חלקי מספר כל השחיינים.

סכום הזמנים בכל קבוצה הוא מספר השחיינים כפול הממוצע:

הקבוצות שוות בגודלן, ולכן הממוצע הכללי הוא בדיוק באמצע בין 57 ל-58.

טעות נפוצה: לחלק את סכום כל הזמנים במספר השחיינים של קבוצה אחת ($\frac{17250}{150}=115$) ולקבל 115 שניות - צריך לחלק במספר כל השחיינים, 300.

השיעור של השחיינים שזמנם פחות מ-54 שניות:

מחפשים בתוך הטבלה את הערך 0.1667: $\Phi(-0.96)=0.1685$ ו-$\Phi(-0.97)=0.1660$, ולכן $z\approx-0.967$. ציון התקן שלילי כי 54 נמוך מהממוצע.

מהסעיף הקודם הממוצע של כל 300 השחיינים הוא 57.5. מציבים בנוסחת ציון התקן:

(עם $z=-0.965$ מתקבל 3.627, כמו במפתח.)

טעות נפוצה: להציב את הממוצע של הקבוצה הראשונה, 57, במקום הממוצע של כל השחיינים: $\sigma=\frac{3}{0.967}\approx3.10$.

עכשיו ההתפלגות היא של כל 300 השחיינים: ממוצע 57.5 וסטיית תקן 3.62 (סעיפים ב, ג).

(עם $\sigma=3.627$ מתקבל $z\approx-1.79$ ו-$\Phi(-1.79)=0.0367$, כמו במפתח.)

ההסתברות גדולה בהרבה מסעיף א: הפיזור של כל השחיינים גדול יותר, ולכן יותר שחיינים רחוקים מהממוצע.

טעות נפוצה: להשתמש בממוצע הישן 57 עם סטיית התקן החדשה: $z=\frac{51-57}{3.62}\approx-1.66$, ולקבל 0.0485.

סטיית התקן היא שורש הממוצע של ריבועי הסטיות מהממוצע. מחשבים לכל ערך את $(x_i-3.4)^2$:

$x=1$: $(-2.4)^2=5.76$; $x=2$: $(-1.4)^2=1.96$; $x=3$ (שלוש פעמים): $3\cdot(-0.4)^2=0.48$; $x=4$ (שלוש פעמים): $3\cdot0.6^2=1.08$; $x=5$ (פעמיים): $2\cdot1.6^2=5.12$.

טעות נפוצה: לספור כל ערך שחוזר פעם אחת בלבד (לסכם רק את חמשת הערכים השונים: $5.76+1.96+0.16+0.36+2.56=10.8$) ולחלק ב-5 (מספר הערכים השונים), ולקבל $\sigma=\sqrt{2.16}\approx1.47$.

כיוון הקשר: ככל שמנת המזון גדולה יותר, משקל העכבר גדול יותר - הקשר חיובי. לכן $0$ ו-$-0.123$ נפסלים.

עוצמת הקשר: הנקודות אינן על ישר אחד. למשל, לשלושה עכברים אותה מנה (3 גרם) ומשקלים שונים (14, 15, 16). לכן הקשר אינו מושלם, ו-$r\ne1$.

נשאר $r=0.923$: קשר חיובי חזק, אבל לא מושלם.

טעות נפוצה: לבחור $r=1$ "כי המשקל תמיד עולה כשהמנה עולה" - $r=1$ רק כשכל הנקודות מונחות בדיוק על ישר עולה.

מנבאים את Y מתוך X, ולכן השיפוע הוא:

ישר הרגרסיה עובר דרך נקודת הממוצעים $(3.4,\ 19.4)$:

טעות נפוצה: להפוך את היחס בין סטיות התקן, $b=0.923\cdot\frac{1.2}{6.086}\approx0.182$, ולקבל $y=0.182x+18.78$.

הפחתה של קבוע מכל ערכי Y:

הממוצע של Y יורד ב-2 ונהיה 17.4; סטיית התקן של Y לא משתנה (כל הנקודות זזות יחד); מקדם המתאם לא משתנה.

לכן השיפוע נשאר $4.681$, והישר עובר דרך $(3.4,\ 17.4)$ - כלומר כל הישר יורד ב-2:

טעות נפוצה: להפחית את 2 מ-$x$ במקום מ-$y$: $y=4.681(x-2)+3.484=4.681x-5.878$. התיקון היה במשקלי העכברים (Y), לא במנות המזון.

מציבים $x=3.5$ בישר החדש:

טעות נפוצה: להציב בישר מסעיף ג ולקבל 19.87 גרם - זה הניבוי לפני התיקון.

בונים עץ: בשלב הראשון הצטיינות (0.2) או ציונים רגילים (0.8); בשלב השני הישגים גבוהים או לא, לפי האחוזים המותנים.

יש שני מסלולים שמגיעים להישגים גבוהים, וסוכמים אותם (נוסחת ההסתברות השלמה):

טעות נפוצה: לחשב ממוצע של שני האחוזים המותנים, $\frac{0.8+0.25}{2}=0.525$ - בלי להתחשב בכך שרק 20% מהסטודנטים סיימו בהצטיינות.

זו הסתברות מותנית: התנאי הוא "הגיע להישגים גבוהים" (סעיף א: 0.36).

טעות נפוצה: לענות 0.25 - זו ההסתברות להישגים גבוהים בתנאי שסיים בציונים רגילים, כלומר ההתניה בכיוון ההפוך.

"מבין אלה ש..." הוא התנאי של ההסתברות המותנית.

(1) מסעיף ב: $P(\text{הצטיינות}\mid\text{גבוהים})=1-\frac59=\frac49\approx0.44<0.5$. הטענה אינה נכונה.

(2) ההסתברות לא להגיע להישגים גבוהים: $1-0.36=0.64$. מתוכם, בציונים רגילים: $0.8\cdot0.75=0.6$.

הטענה נכונה.

טעות נפוצה: לקבוע שטענה (1) נכונה כי "80% מהמצטיינים הגיעו להישגים גבוהים" - זו ההסתברות בכיוון ההפוך. בין בעלי ההישגים הגבוהים רוב הסטודנטים הם דווקא מהקבוצה הגדולה, בעלי הציונים הרגילים.

לכל אחת מהן (סיימה בציונים רגילים) ההסתברות להישגים גבוהים היא 0.25, ולא - 0.75. ההישגים של השתיים בלתי תלויים.

"בדיוק אחת" - שתי אפשרויות: רות כן וענבל לא, או רות לא וענבל כן:

טעות נפוצה: לחשב רק סדר אחד, $0.25\cdot0.75=0.1875$, ולשכוח שגם ענבל יכולה להיות זו שהגיעה להישגים הגבוהים.

$BD$ מונח על ציר ה-$x$, ו-$A$ על ציר ה-$y$, ולכן $AO$ הוא הגובה מ-$A$ לבסיס $BD$ במשולש $ABD$. $AO=6$.

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 בנוסחת השטח ($BD\cdot6=45$) ולקבל $BD=7.5$.

$OD=AO=6$ ו-$D$ על החלק השלילי של ציר ה-$x$: $D(-6,0)$.

$OB=BD-OD=15-6=9$, ו-$B$ על החלק החיובי: $B(9,0)$.

טעות נפוצה: להחליף בין הנקודות - $OB=6$ ו-$OD=9$ - ולקבל $B(6,0)$, $D(-9,0)$. הנתון $AO=OD$ קובע את $D$.

$CD\parallel AB$, ולכן השיפועים שווים:

ישר בשיפוע $-\frac23$ דרך $D(-6,0)$:

טעות נפוצה: לחשב את השיפוע כ-$\frac{6}{9}$ בלי סימן ולקבל $y=\frac23x+4$ - ישר עולה, שאינו מקביל ל-$AB$ ואינו חותך את ציר ה-$y$ השלילי.

$C$ הוא החיתוך של $CD$ עם ציר ה-$y$: $x=0$ נותן $y=-4$, כלומר $C(0,-4)$ ו-$OC=4$.

המשולש $OBC$ ישר-זווית ב-$O$ (הצירים מאונכים), עם ניצבים $OC=4$ (מול הזווית) ו-$OB=9$ (ליד הזווית):

טעות נפוצה: להפוך את היחס, $\tan\angle OBC=\frac94$, ולקבל $66.04^\circ$ - זו הזווית $OCB$.

הזווית $ABC$ מורכבת משתי זוויות משני צדי ציר ה-$x$: $\angle ABC=\angle OBA+\angle OBC$.

במשולש הישר-זווית $AOB$: $\tan\angle OBA=\frac{AO}{OB}=\frac69$, ולכן $\angle OBA\approx33.69^\circ$.

טעות נפוצה: לחסר במקום לחבר ($33.69^\circ-23.96^\circ=9.73^\circ$). $A$ מעל ציר ה-$x$ ו-$C$ מתחתיו, ולכן הזוויות נצמדות זו לזו.

$AB\parallel CD$ ו-$BC$ חותך אותם, ולכן $\angle ABC+\angle BCD=180^\circ$ (זוויות חד-צדדיות): $\angle BCD\approx122.35^\circ$.

$\angle DCE$ צמודה ל-$\angle BCD$: $\angle DCE=180^\circ-122.35^\circ=57.65^\circ$ (שווה ל-$\angle ABC$).

$DE=DC$, ולכן המשולש $CDE$ שווה-שוקיים וזוויות הבסיס שוות: $\angle DEC=57.65^\circ$, ו-$\angle CDE=180^\circ-2\cdot57.65^\circ=64.7^\circ$.

משפט הסינוסים במשולש $CDE$:

טעות נפוצה: לחבר רק $DC+CE\approx14.93$ ולשכוח את הצלע $DE$, ששווה ל-$DC$.

$\angle ABC=90^\circ$ - זווית היקפית הנשענת על הקוטר $AC$.

$\angle DCA=90^\circ$ - ציר ה-$y$ משיק למעגל ב-$C$, והרדיוס $MC$ מאונך למשיק בנקודת ההשקה; $AC$ עובר דרך $M$, ולכן $AC\perp CD$.

$\angle BAC=\angle ADC$ - נתון.

לפי משפט הדמיון ז.ז.: $\Delta ABC\sim\Delta DCA$ (התאמה: $A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow C$, $C\leftrightarrow A$).

טעות נפוצה: לכתוב את הדמיון בסדר $\Delta ABC\sim\Delta CDA$ - ההתאמה נקבעת לפי הזוויות השוות (הזווית הישרה $B$ מתאימה לזווית הישרה $C$), וסדר שגוי מוביל אחר כך ליחס $\frac{AB}{CD}=\frac{BC}{DA}$ שאינו נכון.

מהדמיון בסעיף א, זוויות מתאימות שוות: $C\leftrightarrow A$, ולכן $\angle ACB=\angle CAD$.

אלה זוויות מתחלפות בין הישרים $BC$ ו-$AD$ עם החותך $AC$ ($B$ מתחת ל-$AC$ ו-$D$ מעליו).

זוויות מתחלפות שוות, ולכן $BC\parallel AD$.

טעות נפוצה: לחפש זוויות מתחלפות בחותך $AB$ (בין $\angle ABC$ ל-$\angle BAD$), לא למצוא שוויון, ולענות "לא". החותך שמתאים לדמיון הוא $AC$.

$AB\perp BC$ ($\angle ABC=90^\circ$), ולכן $m_{AB}\cdot2=-1$, כלומר $m_{AB}=-\frac12$.

דרך $B(-2,0)$: $y=-\frac12(x+2)=-\frac12x-1$.

טעות נפוצה: לקחת שיפוע מאונך כ"הנגדי" בלבד ($-2$) ולקבל $y=-2x-4$. שיפוע מאונך הוא הנגדי וההופכי: $-\frac12$.

$AC\perp$ ציר ה-$y$ (סעיף א), ולכן $AC$ אופקי: הישר $y=4$.

$A$ הוא החיתוך של $y=4$ עם $AB$:

טעות נפוצה: לטעות בסימן בהעברת אגפים ($-\frac12x=5\Rightarrow x=10$) ולקבל $A(10,4)$ - מימין לציר ה-$y$, בצד שבו אין מעגל.

המרכז $M$ הוא אמצע הקוטר $AC$: $M\left(\frac{-10+0}{2},\frac{4+4}{2}\right)=(-5,4)$.

הרדיוס הוא חצי מהקוטר: $R=\frac{AC}{2}=\frac{10}{2}=5$ (וגם המרחק של $M$ מציר ה-$y$, כי המעגל משיק לו).

טעות נפוצה: להציב את אורך הקוטר כרדיוס ולכתוב $(x+5)^2+(y-4)^2=100$.

לפי ההתאמה $A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow C$, $C\leftrightarrow A$, הצלע $BC$ מתאימה לצלע $CA$.

טעות נפוצה: להשוות את שתי הצלעות של אותו משולש, $\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{80}}=\frac12$, ולענות $1:2$.

האלכסון $AC$ מחלק את המרובע למשולשים $ABC$ ו-$ACD$.

$ABC$ ישר-זווית ב-$B$: $AB=\sqrt{8^2+4^2}=\sqrt{80}$, $BC=\sqrt{20}$.

יחס השטחים של משולשים דומים הוא ריבוע יחס הדמיון: $\frac{S_{ABC}}{S_{DCA}}=\left(\frac1{\sqrt5}\right)^2=\frac15$, ולכן $S_{DCA}=100$.

טעות נפוצה: להשתמש ביחס הדמיון עצמו לשטחים: $S_{DCA}=20\sqrt5\approx44.72$, ולקבל שטח של כ-64.72.

אסור לחלק באפס, ולכן המכנה $x^2$ חייב להיות שונה מאפס.

$x^2=0$ רק כש-$x=0$. תחום ההגדרה: $x\ne0$.

טעות נפוצה: לכתוב $x>0$, כאילו יש שורש. הביטוי $\frac4{x^2}$ מוגדר גם בעבור $x$ שלילי.

פותרים $f(x)=0$ וכופלים ב-$x^2$ (מותר, כי $x\ne0$):

טעות נפוצה: לאבד את הסימן בהעברת אגפים ($x^3=4$) ולענות $(1.59,0)$. בעבור $x>0$ שני המחוברים חיוביים, ולכן אין שם אפס.

כותבים $\frac4{x^2}=4x^{-2}$ וגוזרים:

$f'(x)=0$: $x^3=8$, $x=2$. $f(2)=2+\frac44=3$.

בטבלת הסימנים חייבים לכלול גם את $x=0$ (שם הפונקציה אינה מוגדרת):

$x<0$: $x^3<0$, ולכן $-\frac8{x^3}>0$ ו-$f'(x)>0$ - עולה. $0<x<2$: למשל $f'(1)=-7<0$ - יורדת. $x>2$: למשל $f'(4)=0.875>0$ - עולה.

לכן ב-$x=2$ יש מינימום: $\min(2,3)$.

טעות נפוצה: לגזור את $\frac4{x^2}$ ל-$\frac8{x^3}$ בלי הסימן השלילי. אז $f'(x)=1+\frac8{x^3}=0$ נותן $x=-2$, ומתקבלת נקודה שגויה $(-2,-1)$.

מה ידוע על $f(x)$:

ליד $x=0$ המחובר $\frac4{x^2}$ גדל מאוד והוא חיובי משני הצדדים, ולכן הגרף עולה ל-$+\infty$ משני צדי ציר ה-$y$.

בעבור $x<0$ הפונקציה עולה (סעיף ג) וחותכת את ציר ה-$x$ ב-$-1.59$ (סעיף ב).

בעבור $x>0$ יש מינימום ב-$(2,3)$, מעל ציר ה-$x$.

גרף I: הענף השמאלי יורד ל-$-\infty$ ליד ציר ה-$y$ - נפסל. גרף II: הענף הימני מתחת לציר ה-$x$ - נפסל. גרף III מתאים לכל התכונות.

טעות נפוצה: לבחור בגרף I, כי בענף הימני שלו יש מינימום מעל ציר ה-$x$ - בלי לבדוק את הענף השמאלי, שאצלו יורד ל-$-\infty$ ליד ציר ה-$y$, בניגוד ל-$\frac4{x^2}>0$.

בקטע $1\le x\le2$ שני המחוברים חיוביים, ולכן הגרף מעל ציר ה-$x$ והשטח הוא האינטגרל עצמו.

פונקציה קדומה: ל-$x$ היא $\frac{x^2}2$, ול-$4x^{-2}$ היא $\frac{4x^{-1}}{-1}=-\frac4x$.

טעות נפוצה: לכתוב את הקדומה של $\frac4{x^2}$ כ-$+\frac4x$ (בלי המינוס): $\left[\frac{x^2}2+\frac4x\right]_1^2=4-4.5=-0.5$ - ושטח לא יכול להיות שלילי.

הנקודה $(8,0)$ על הגרף, ולכן $f(8)=0$:

בדיקה ש-$(8,0)$ היא נקודת החיתוך היחידה: $1+\frac x2=\sqrt{2x+9}$ בריבוע נותן $x^2-4x-32=0$, כלומר $x=8$ או $x=-4$; ב-$x=-4$ האגף השמאלי $-1<0$ ואינו יכול להיות שווה לשורש - נפסל.

טעות נפוצה: לשכוח להעלות בריבוע ($16+b=5$) ולקבל $b=-11$.

הביטוי שבתוך השורש חייב להיות אי-שלילי:

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 ולכתוב $x\ge-9$.

גזירה (כלל השרשרת: הנגזרת של $2x+9$ היא 2):

$f'(x)=0$: $\sqrt{2x+9}=2$, $2x+9=4$, $x=-2.5$. $f(-2.5)=1-1.25-2=-2.25$.

סימן הנגזרת: $-4.5<x<-2.5$: השורש קטן מ-2, ולכן $f'<0$ (יורדת); $x>-2.5$: $f'>0$ (עולה). מינימום: $(-2.5,-2.25)$.

קצה התחום $x=-4.5$: $f(-4.5)=1-2.25-0=-1.25$. מימין לקצה הפונקציה יורדת, ולכן הקצה הוא מקסימום: $(-4.5,-1.25)$.

טעות נפוצה: למצוא רק את הנקודה שבה $f'=0$ ולענות $\min(-2.5,-2.25)$ בלבד - קצה התחום הוא נקודת קיצון כשהפונקציה יורדת (או עולה) ממנו.

טעות נפוצה: לשכוח את השורש ($1-9$) ולענות $(0,-8)$.

מסמנים את הנקודות שנמצאו: נקודת הקצה $(-4.5,-1.25)$ (נקודה מלאה - שייכת לגרף), המינימום $(-2.5,-2.25)$, החיתוך עם ציר ה-$y$ $(0,-2)$ והחיתוך עם ציר ה-$x$ $(8,0)$.

הגרף מתחיל בקצה, יורד עד המינימום, ואחר כך עולה ללא הגבלה (המחובר $\frac12x$ גדל מהר יותר מהשורש). משמאל ל-$x=-4.5$ אין גרף.