בגרות במתמטיקה 471 - קיץ 2024 מועד ב'

65.5% מהפרחים קצרים מ-22 ס"מ, כלומר השטח המצטבר משמאל ל-22 הוא 0.655.

מחפשים בתוך הטבלה את הערך הקרוב ביותר ל-0.655: $\Phi(0.4)=0.6554$, ולכן ציון התקן של 22 ס"מ הוא $z=0.4$.

מציבים בהגדרת ציון התקן:

טעות נפוצה: להציב את השטח 0.655 במקום ציון התקן: $\sigma=\frac{2}{0.655}\approx3.05$. 0.655 הוא אחוז (שטח), וציון התקן נקרא בשוליים של הטבלה.

בקבוצה ג' נמצאים הפרחים שגבעולם ארוך מ-26 ס"מ. ציון התקן של 26:

הטבלה נותנת את השטח משמאל: $\Phi(1.2)=0.8849$. אנחנו צריכים את השטח מימין, ולכן משתמשים במשלים:

כלומר 11.51% מהפרחים בקבוצה ג'.

טעות נפוצה: לענות 88.49% - זה אחוז הפרחים שקצרים מ-26 ס"מ (קבוצות א' ו-ב' יחד), ולא אחוז הארוכים.

מסעיף א: $\sigma=5$. שיעור הפרחים שאורכם קצר מ-26 ס"מ: $z=\frac{26-20}{5}=1.2$, ולפי הטבלה $\Phi(1.2)=0.8849$.

שיעור הפרחים בקבוצה ב': $0.8849-0.655=0.2299$.

מספר הפרחים בקבוצה ב': $2000\cdot0.2299=459.8\approx460$ פרחים.

בכל זר 10 פרחים: $\frac{460}{10}=46$ זרים.

הערה: אם לא מעגלים את 459.8 כלפי מעלה (459 פרחים שלמים), אפשר להכין רק 45 זרים מלאים.

במשתלה האחרת $P(Y>24)=0.2299$ (אחוז קבוצה ב' מסעיף ג), ולכן השטח משמאל ל-24 הוא:

בטבלה: $\Phi(0.74)=0.7704$, הערך הקרוב ביותר, ולכן ציון התקן של 24 הוא $z\approx0.74$.

סטיית התקן זהה: $\sigma=5$. מציבים:

טעות נפוצה: לחפש בטבלה את 0.2299 עצמו, לקבל $z=-0.74$ ומשם $\mu=24+3.7=27.7$. הטבלה נותנת שטח משמאל, ו-0.2299 הוא השטח מימין ל-24.

$r=\pm1$ רק כשכל הנקודות על ישר אחד, כלומר כשלתוספת קבועה ב-$x$ מתאים שינוי קבוע ב-$y$.

טבלה 1: $x$ גדל ב-1 ו-$y$ גדל תמיד ב-2 ($y=2x$). קשר לינארי מושלם חיובי: $r=1$.

טבלה 3: $x$ גדל ב-1 ו-$y$ קטן תמיד ב-1 ($y=51-x$). קשר לינארי מושלם שלילי: $r=-1$.

טבלה 2: $y$ עולה במגמה כללית (מ-9 עד 22) אבל השינויים לא קבועים ($+2,+8,+3,-5$). קשר חיובי לא מושלם: $0<r<1$.

לכן: I - טבלה 2, II - טבלה 1, III - טבלה 3.

טעות נפוצה: לשייך את טבלה 3 ל-$r=1$ כי ה-$y$ משתנה בה בקצב קבוע ("קשר מושלם"), ולקבל II - טבלה 3. $r=1$ דורש קשר מושלם וגם עולה; בטבלה 3 $y$ יורד.

ספורטאי מתאמן בממוצע 6 פעמים בשבוע, 15.6 שעות בשבוע.

טעות נפוצה: לקחת כממוצע של $y$ את הערך שליד $\bar x=6$ בטבלה, 19 שעות. נקודת הממוצעים אינה בהכרח אחת מנקודות הטבלה.

ישר הרגרסיה עובר תמיד דרך נקודת הממוצעים $(\bar x,\bar y)=(6,15.6)$. מציבים:

טעות נפוצה: להחליף בין הממוצעים ולהציב $x=15.6$, $y=6$: $6=2.7\cdot15.6+b$, ולקבל $b=-36.12$.

שיפוע ישר הרגרסיה לניבוי $y$ על פי $x$ הוא:

השיפוע הנתון $a=2.7$:

התוצאה בין 0 ל-1, כמו שקבענו לטבלה 2 בסעיף א.

טעות נפוצה: לכפול במקום לחלק, $r=2.7\cdot3.45\approx9.3$. מקדם מתאם תמיד בין $-1$ ל-1, ולכן תוצאה כזאת מסגירה טעות.

נסמן ב-$p$ את ההסתברות שרועי ינצח בסיבוב. אז ההסתברות שגלית תנצח היא $3p$.

שלוש התוצאות מכסות את כל האפשרויות ואינן חופפות, ולכן סכום ההסתברויות שלהן 1:

ההסתברות שגלית תנצח: $3\cdot0.17=0.51$.

טעות נפוצה: לשכוח את התיקו ולכתוב $3p+p=1$. כך $p=0.25$ וההסתברות שגלית תנצח יוצאת 0.75.

ההסתברות שסיבוב אחד לא יסתיים בתיקו: $1-0.32=0.68$.

צריך שגם הסיבוב הראשון וגם השני לא יסתיימו בתיקו. הסיבובים בלתי תלויים, ולכן כופלים:

טעות נפוצה: לחשב $1-0.32^2=0.8976$ - זו ההסתברות שלא שני הסיבובים יסתיימו בתיקו, כלומר שלכל היותר סיבוב אחד יסתיים בתיקו.

המאורע המשלים ל"גלית ניצחה לפחות פעם אחת" הוא "גלית לא ניצחה באף סיבוב".

ההסתברות שגלית לא תנצח בסיבוב: $1-0.51=0.49$, ובשני הסיבובים: $0.49^2=0.2401$.

טעות נפוצה: לחשב רק את "בדיוק סיבוב אחד": $2\cdot0.51\cdot0.49=0.4998$, ולשכוח את המקרה שבו גלית ניצחה בשני הסיבובים.

זו הסתברות מותנית: $P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$, כאשר $B$ - גלית ניצחה לפחות פעם אחת ($P(B)=0.7599$ מסעיף ג), ו-$A$ - אחד הסיבובים הסתיים בתיקו.

בחיתוך: גלית ניצחה באחד הסיבובים והשני הסתיים בתיקו. יש שני סדרים - (ניצחון של גלית, תיקו) ו-(תיקו, ניצחון של גלית):

טעות נפוצה: לספור רק סדר אחד ולקבל $\frac{0.51\cdot0.32}{0.7599}=\frac{32}{149}\approx0.2148$. התיקו יכול להיות בסיבוב הראשון או בשני.

$D$ על ציר ה-$y$, ולכן $D(0,d)$. משתמשים בנוסחת המרחק עם $AD=\sqrt{10}$:

$d=6$ או $d=12$. נתון ששיעור ה-$y$ של $D$ קטן מ-9, ולכן $D(0,6)$.

טעות נפוצה: לבחור את הפתרון $d=12$ בלי לבדוק את התנאי, ולקבל $D(0,12)$.

בדלתון האלכסונים מאונכים זה לזה. שיפוע האלכסון $AC$:

ולכן $m_{BD}=1$ (מכפלת השיפועים $-1$).

הישר עובר דרך $D(0,6)$: $y=x+6$.

טעות נפוצה: לתת ל-$BD$ את השיפוע של $AC$ ולקבל $y=-x+6$ - ישר שמקביל ל-$AC$ ולא מאונך לו.

משוואת $AC$: שיפוע $-1$ דרך $A(1,9)$: $y-9=-(x-1)$, כלומר $y=-x+10$.

חיתוך עם $BD$:

$E(2,8)$.

טעות נפוצה: להניח ש-$E$ היא אמצע $AC$ ולקבל $(3.5,6.5)$. בדלתון האלכסון הראשי $AC$ חוצה את $BD$, אבל $BD$ לא חוצה את $AC$.

$\triangle ABC\cong\triangle ADC$ לפי צ.צ.צ: $AB=AD$, $CB=CD$ (נתון), $AC$ צלע משותפת. לכן $\angle BAC=\angle DAC$ - האלכסון הראשי חוצה את זווית הראש $A$.

$F$ על $AC$, ולכן $\angle BAF=\angle DAF$.

במשולשים $ABF$ ו-$ADF$: $AB=AD$ (נתון), $\angle BAF=\angle DAF$ (הוכח), $AF$ צלע משותפת.

לכן $\triangle ABF\cong\triangle ADF$ לפי צ.ז.צ.

טעות נפוצה: להשתמש ב-$BF=DF$ כנימוק ולקבל חפיפה לפי צ.צ.צ - את השוויון הזה עוד לא הוכחנו, הוא מסקנה של החפיפה.

במעוין $FBAD$ האלכסונים הם $AF$ ו-$BD$, והם חוצים זה את זה.

$BD$ מאונך ל-$AF$ (הוא על $AC$), ו-$E$ היא אמצע $BD$ (האלכסון הראשי של הדלתון חוצה את $BD$). לכן צריך ש-$E$ תהיה גם אמצע $AF$.

$F$ אכן על הקטע $EC$ (על הישר $y=-x+10$, בין $x=2$ ל-$x=6$).

טעות נפוצה: לקחת את $F$ כאמצע הקטע $EC$, $(4,6)$. אז $E$ אינה אמצע $AF$, והמרובע הוא דלתון ולא מעוין.

$E$ אמצע $BD$, ולכן $B=2E-D=(4,10)$.

I: $m_{BA}=\frac{10-9}{4-1}=\frac13$, $m_{BC}=\frac{4-10}{6-4}=-3$. מכפלת השיפועים $-1$, ולכן $\angle ABC=90^\circ$. הטענה נכונה.

II: $\triangle ABC\cong\triangle ADC$ (סעיף ג), ולכן $\angle ADC=\angle ABC=90^\circ$. סכום זוג זוויות נגדיות $\angle B+\angle D=180^\circ$, ולכן הדלתון בר חסימה במעגל. הטענה נכונה.

טעות נפוצה: לקבוע ש-II לא נכונה כי "דלתון אינו בר חסימה". דלתון חסום במעגל בדיוק כשזוויות הצד שלו ישרות - וזה המקרה כאן.

המעגל עובר דרך $O(0,0)$, ולכן הרדיוס הוא המרחק מ-$M$ ל-$O$:

המשוואה: $(x-4)^2+(y-8)^2=80$.

טעות נפוצה: לקחת כרדיוס את שיעור ה-$y$ של המרכז, $R=8$, ולקבל $(x-4)^2+(y-8)^2=64$ - מעגל שאינו עובר דרך הראשית.

על ציר ה-$y$, $x=0$:

$y=0$ היא הראשית $O$, ולכן $A(0,16)$.

טעות נפוצה: לענות $A(0,0)$ - זו הנקודה $O$, שהיא נקודת החיתוך השנייה של המעגל עם ציר ה-$y$.

$AB$ מקבילה לציר ה-$x$, ולכן $B$ על הישר $y=16$. מציבים במשוואת המעגל:

$x=0$ היא $A$, ולכן $B(8,16)$.

ישר בשיפוע 1 דרך $B$: $y-16=x-8$, כלומר $y=x+8$.

טעות נפוצה: להעביר את הישר בשיפוע 1 דרך $A$ במקום דרך $B$ ולקבל $y=x+16$.

$C$ היא נקודת החיתוך השנייה של הישר $y=x+8$ עם המעגל. מציבים:

$(x-8)(x+4)=0$: $x=8$ היא הנקודה $B$, ולכן $x=-4$, $y=-4+8=4$.

$C(-4,4)$.

טעות נפוצה: לא לפסול את $x=8$ ולענות שיש שתי אפשרויות ל-$C$: $(8,16)$ או $(-4,4)$. הפתרון $x=8$ הוא $B$ עצמה.

הזווית $ACB$ מול הצלע $AB$ במשולש שחסום במעגל. לפי משפט הסינוסים $\frac{AB}{\sin\angle ACB}=2R$.

$AB=8-0=8$, $R=\sqrt{80}$:

$C$ נמצאת מתחת למרכז, על הקשת הגדולה $AB$, ולכן הזווית חדה: $\angle ACB\approx26.565^\circ$.

טעות נפוצה: לשכוח את ה-2 ב-$2R$: $\sin\angle ACB=\frac{8}{\sqrt{80}}\approx0.894$, ומתקבל $63.43^\circ$.

$E$ אמצע $BC$: $E\left(\frac{8-4}{2},\frac{16+4}{2}\right)=(2,10)$.

$E$ על הצלע $CB$, ולכן במשולש $AEC$ הזווית שליד $C$ היא אותה זווית: $\angle ACE=\angle ACB$, ו-$\sin\angle ACE\approx0.4472$ (סעיף ג). הצלע שמולה היא $AE$.

טעות נפוצה: לחשוב שהמעגל החוסם את $AEC$ הוא המעגל הנתון (כי $A$ ו-$C$ עליו) ולענות $\sqrt{80}\approx8.94$. $E$ אינה על המעגל הנתון, ולכן זה מעגל אחר.

פונקציה רציונלית מוגדרת כשהמכנה שונה מאפס. מפרקים את המכנה:

טעות נפוצה: לפסול גם את $x=-8$, שבו המונה מתאפס. אפס של המונה הוא נקודה רגילה בתחום (שם הפונקציה שווה ל-$-b$).

הפרמטר $b$ קבוע, ונגזרתו 0. גוזרים את המנה לפי $\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ עם $u=x+8$, $v=10x-x^2$:

$f'(x)=0$: $x^2+16x-80=0$, $(x+20)(x-4)=0$, $x=4$ או $x=-20$.

המכנה חיובי, ולכן הסימן של $f'$ הוא הסימן של $(x+20)(x-4)$: חיובי עבור $x<-20$, שלילי עבור $-20<x<4$ (פרט ל-$x=0$), וחיובי עבור $x>4$ (פרט ל-$x=10$).

ב-$x=-20$ הנגזרת עוברת מחיובי לשלילי - מקסימום; ב-$x=4$ משלילי לחיובי - מינימום.

טעות נפוצה: להפוך את הסדר במונה של כלל המנה ($uv'-u'v$). כל הסימנים מתהפכים, ומתקבל בטעות $\max\left(4,\frac12-b\right)$ ו-$\min\left(-20,\frac1{50}-b\right)$.

בנקודת קיצון המשיק אופקי, וגובהו הוא ערך הפונקציה בנקודה. לכן ערך המינימום הוא $-0.5$:

טעות נפוצה: להשוות את ערך המקסימום ל-$-0.5$: $\frac1{50}-b=-0.5$, ולקבל $b=0.52$.

$f(x)=\frac{x+8}{10x-x^2}-1$.

אסימפטוטות אנכיות באפסי המכנה, שבהם המונה אינו מתאפס ($8\neq0$, $18\neq0$): $x=0$, $x=10$.

מעלת המונה (1) קטנה ממעלת המכנה (2), ולכן השבר שואף ל-0 כאשר $x\to\pm\infty$, ו-$f(x)\to-1$: אסימפטוטה אופקית $y=-1$.

טעות נפוצה: לכתוב $y=0$ כי "מעלת המונה קטנה" - ולשכוח את האיבר $-1$ שמזיז את כל הגרף כלפי מטה.

ציר ה-$y$: $x=0$ אינו בתחום ההגדרה, ולכן אין חיתוך.

ציר ה-$x$: $f(x)=0$:

$x=1$ או $x=8$, שניהם בתחום: $(1,0)$, $(8,0)$.

טעות נפוצה: לאפס רק את המונה, $x+8=0$, ולקבל $(-8,0)$. בגלל ה-$-1$ יש להשוות את השבר ל-1, ו-$f(-8)=-1\neq0$.

מסכמים: אסימפטוטות $x=0$, $x=10$, $y=-1$; מינימום $(4,-0.5)$; מקסימום $(-20,-0.98)$; חיתוך עם ציר ה-$x$ ב-$(1,0)$ ו-$(8,0)$.

בין 0 ל-10: המכנה חיובי והשבר שואף ל-$+\infty$ ליד שני הקצוות. יורדת עד $(4,-0.5)$ ועולה - "קערה" שחותכת את ציר ה-$x$ ב-1 וב-8.

עבור $x<0$: כש-$x\to-\infty$ השבר חיובי וקטן, ולכן הגרף מעל $y=-1$; עולה עד $(-20,-0.98)$, יורד, חוצה את $y=-1$ ב-$x=-8$ (שם השבר מתאפס) וצולל ל-$-\infty$ ליד $x=0$.

עבור $x>10$: המונה חיובי והמכנה שלילי, ולכן $f(x)<-1$; הגרף עולה מ-$-\infty$ ליד $x=10$ ומתקרב ל-$y=-1$ מלמטה.

טעות נפוצה: לצייר את הענף השמאלי כולו מתחת ל-$y=-1$. לפי סעיף ב יש לו מקסימום בגובה $-0.98$ - מעל האסימפטוטה.

לנקודת קיצון של $g$ (בתוך התחום) צריך ש-$g'$ תתאפס ותחליף סימן.

$g'(x)=0$ כאשר $f(x)=-0.5$. הישר $y=-0.5$ נוגע בגרף רק בנקודת המינימום $x=4$ (סעיף ג): בין 0 ל-10 $f(x)\ge-0.5$, ובשני הענפים האחרים $f(x)\le-0.98$.

לכן $g'(x)\ge0$ בכל הקטע $(0,10)$ ומתאפסת רק ב-$x=4$ בלי להחליף סימן, ומחוץ לקטע $g'(x)<0$. החלפות הסימן קורות רק ב-$x=0$ וב-$x=10$, שאינם בתחום.

לכן ל-$g(x)$ אין נקודות קיצון.

טעות נפוצה: לראות ש-$g'(4)=0$ ולקבוע שיש ל-$g$ מינימום ב-$x=4$. נגזרת שמתאפסת בלי להחליף סימן אינה נותנת קיצון.