מתכונת במתמטיקה 472 - מתכונת 3 ברמת בגרות

ההכנסה גדלה בכל שבוע בסכום קבוע, לכן ההכנסות השבועיות יוצרות סדרה חשבונית. נסמן ב-$a_1$ את ההכנסה בשבוע הראשון וב-$d$ את ההפרש.

נתון ראשון - סכום השבוע השני והשלישי:

נתון שני - ההכנסה בשבוע השמיני גדולה פי 4 מבראשון:

מציבים במשוואה הראשונה:

ומכאן $d=\frac{3\cdot1050}{7}=450$.

בדיקה: $a_2+a_3=1500+1950=3450$, ו-$a_8=1050+7\cdot450=4200=4\cdot1050$.

ההכנסה בשבוע הראשון הייתה 1,050 שקלים.

טעות נפוצה: לכתוב את הנתון הראשון כ-$2a_1+d=3450$, כאילו מדובר בשבוע הראשון והשני.

סכום ההכנסות אחרי $n$ שבועות הוא סכום $n$ האיברים הראשונים, עם $a_1=1050$ ו-$d=450$:

כופלים ב-2 ופותחים סוגריים:

מחלקים ב-150: $3n^2+11n-410=0$.

$n=10$ או $n=-\frac{41}{3}$. מספר שבועות הוא מספר טבעי, לכן $n=10$.

בדיקה: $S_{10}=5\cdot(2100+9\cdot450)=5\cdot6150=30{,}750$.

סכום ההכנסות הגיע ל-30,750 שקלים לאחר 10 שבועות.

טעות נפוצה: לכתוב בסוגריים $450n$ במקום $450(n-1)$, ולקבל משוואה אחרת.

מחיר המקרר שווה להכנסה בשבוע ה-9:

מחיר המקרר 4,650 שקלים.

התשלומים יוצרים סדרה הנדסית עם $q=2$. נסמן ב-$p$ את התשלום הראשון. סכום חמשת התשלומים הוא מחיר המקרר:

בדיקה: $150+300+600+1200+2400=4650$.

התשלום הראשון היה 150 שקלים.

טעות נפוצה: לחשב את סכום התשלומים כ-$p\cdot2^5=32p$ - זה האיבר השישי, לא סכום חמשת האיברים.

במעוין $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\underline v$, ולכן $\overrightarrow{AC}=\underline u+\underline v$.

$M$ אמצע $SC$, ולכן:

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{AC}=\underline u-\underline v$. האלכסון $AC$ הוא סכום הצלעות היוצאות מ-$A$; ההפרש $\underline u-\underline v$ הוא האלכסון $\overrightarrow{DB}$.

נסמן $|\underline u|=a$. אז $|\underline v|=a$ (מעוין) ו-$|\underline w|=\sqrt3a$, כלומר $\underline w^2=3a^2$.

$AS$ מאונך לבסיס: $\underline u\cdot\underline w=\underline v\cdot\underline w=0$.

$\underline u\cdot\underline v=a\cdot a\cdot\cos120^\circ=-\frac12a^2$.

עם $\underline p=\underline u-\underline v$: $\overrightarrow{MB}=\frac12(\underline p-\underline w)$, $\overrightarrow{MD}=\frac12(-\underline p-\underline w)$, ולכן:

המכפלה הסקלרית 0, ולכן $\overrightarrow{MB}\perp\overrightarrow{MD}$.

טעות נפוצה: להציב $\cos120^\circ=+\frac12$ ולקבל $\underline p^2=a^2$. הקוסינוס של זווית קהה שלילי, ולכן $-2\underline u\cdot\underline v=+a^2$.

הבסיס במישור $xy$, ו-$AS$ מאונך לו ויוצא מהראשית, ולכן $S$ על ציר ה-$z$: $S(0,0,z)$ עם $z>0$.

לפי הנתון $|\underline w|=\sqrt3\cdot AB=6\sqrt3$, ולכן $S(0,0,6\sqrt3)$.

טעות נפוצה: לקחת $|\underline w|=AB=6$ מתוך הרגל. היחס כאן הוא $\sqrt3$.

$AS$ מאונך לבסיס, ולכן הגובה הוא $h=6\sqrt3$.

שטח המעוין לפי שתי צלעות והזווית ביניהן ($\sin120^\circ=\frac{\sqrt3}2$):

טעות נפוצה: לחשב את שטח המעוין כ-$\frac12\cdot6\cdot6\cdot\sin120^\circ=9\sqrt3$ (נוסחת שטח משולש) ולקבל $V=\frac13\cdot9\sqrt3\cdot6\sqrt3=54$. המעוין מורכב משני משולשים כאלה, ולכן אין חצי.

עלייה של 5% בשנה היא הכפלה במנה $q=1.05$. מתחילת 2024 עד תחילת 2030 עוברות 6 שנים:

בתחילת 2030 צפויות כ-160,811 מכוניות חשמליות בעיר A.

טעות נפוצה: להוסיף 5% מ-120 אלף בכל שנה ($120+6\cdot6=156$ אלף) - זו עלייה בכמות קבועה, לא באחוז קבוע.

מ-2024 עד 2029 עוברות 5 שנים. אם $B_0$ הוא המספר ההתחלתי ו-$q$ המנה:

כלומר עלייה של כ-15% בכל שנה. בהמשך משתמשים ב-$q=1.15$.

טעות נפוצה: לחלק את העלייה הכוללת (100%) ב-5 ולקבל 20% בשנה.

בעיר B המספר גדל בכ-15% בשנה, ובעיר A ב-5% בלבד - B גדל מהר יותר.

בסרטוט, גרף I מתחיל נמוך יותר, חותך את גרף II ונשאר מעליו - זה הגרף שגדל מהר יותר.

לכן גרף I מתאר את עיר B.

טעות נפוצה: לבחור בגרף שמתחיל גבוה יותר כי "B גדל מהר" - הקצב נקבע לפי הגרף שעוקף, לא לפי נקודת ההתחלה.

לפי סעיף א, בתחילת 2030 יהיו בעיר A כ-160.811 אלף מכוניות, ולכן בעיר B:

חוזרים 6 שנים אחורה במנה $1.15$:

בתחילת 2024 היו בעיר B כ-43,584 מכוניות חשמליות.

טעות נפוצה: לחלק ב-$1.15^5$ (5 השנים מסעיף ב) - ההפרש נתון לשנת 2030, שהיא 6 שנים אחרי 2024.

משווים את שני התהליכים ($t$ בשנים, באלפים):

המספרים ישתוו כעבור כ-11.13 שנים (במהלך שנת 2035).

טעות נפוצה: לכתוב $\left(1.15-1.05\right)^t$ במקום המנה $\frac{1.15}{1.05}$, או להפוך את השבר ולקבל $t$ שלילי.

המונה $e^{x-a}$ מוגדר לכל $x$; המכנה אסור שיתאפס:

טעות נפוצה: לדרוש $x>a$ בגלל המעריך $x-a$ - מעריך של $e$ יכול להיות כל מספר, גם שלילי.

המכנה מתאפס ב-$x=4$, והמונה שם $e^{4-a}>0$ (לא 0). לכן כש-$x\to4$ הפונקציה שואפת לאינסוף, והאסימפטוטה היא $x=4$.

טעות נפוצה: לכתוב $y=4$ - אסימפטוטה המאונכת לציר ה-$x$ היא ישר אנכי.

מציבים $x=8$:

משווים מעריכים:

טעות נפוצה: לפתור $8-a=6$ כ-$a=-2$ (טעות סימן בהעברת אגף). בדיקה בהצבה: $e^{8-2}=e^6$.

$f(x)=\frac{e^{x-2}}{x-4}$. לפי כלל המנה:

המונה $e^{x-2}$ והמכנה $(x-4)^2$ חיוביים, ולכן הסימן של $f'$ הוא הסימן של $x-5$. $f'=0\Rightarrow x=5$.

טבלת סימן: $x<4$: $f'<0$; $4<x<5$: $f'<0$; $x>5$: $f'>0$.

ב-$x=5$ מעבר ממינוס לפלוס - מינימום, ו-$f(5)=\frac{e^3}{1}=e^3$.

טעות נפוצה: לכתוב במונה $e^{x-2}(x-4)+e^{x-2}$ (פלוס במקום מינוס בכלל המנה) ולקבל קיצון ב-$x=3$.

לפי הטבלה $f'<0$ ב-$x<4$ וב-$4<x<5$. $x=4$ מחוץ לתחום, ולכן אלה שני תחומים נפרדים:

טעות נפוצה: לכתוב תחום אחד $x<5$ - הוא עובר דרך האסימפטוטה, שם הפונקציה קופצת מ-$-\infty$ ל-$+\infty$.

ציר ה-$y$: $f(0)=\frac{e^{-2}}{0-4}=-\frac1{4e^2}\approx-0.034$.

ציר ה-$x$: המונה $e^{x-2}$ חיובי תמיד, ולכן $f(x)\neq0$ - אין חיתוך.

טעות נפוצה: לכתוב $e^{-2}=-e^2$ - חזקה שלילית היא הופכי ($e^{-2}=\frac1{e^2}$), לא מספר שלילי.

אסימפטוטה אנכית $x=4$; מינימום $(5,e^3)\approx(5,20.1)$; ירידה ב-$x<4$ וב-$4<x<5$, עלייה ב-$x>5$; חיתוך $\left(0,-\frac1{4e^2}\right)$ קרוב מאוד לראשית.

כש-$x\to-\infty$: $e^{x-2}\to0$ והמכנה שלילי, ולכן $f\to0$ מלמטה ($y=0$ אסימפטוטה אופקית משמאל).

משמאל ל-4 $f<0$, ומימין ל-4 $f>0$.

טעות נפוצה: לחבר את שני הענפים בקו אחד דרך $x=4$ - הפונקציה לא מוגדרת שם.

$g(x)>0\iff f(x)<12$.

$x<4$: $f(x)<0<12$, ולכן $g>0$.

$x>4$: הערך הקטן ביותר של $f$ הוא $e^3\approx20.09$, ולכן $f(x)\ge e^3>12$ ו-$g<0$.

חיוביות: $x<4$; שליליות: $x>4$.

טעות נפוצה: לתרגם את $-f(x)+12>0$ ל-$f(x)>12$ (לשכוח שהמינוס מתהפך כשמעבירים אגף) ולהחליף בין תחומי החיוביות והשליליות.

$\ln x$ מוגדר עבור $x>0$, והמכנה מתאפס כאשר $\ln x=0$, כלומר ב-$x=1$.

תחום: $x>0$, $x\ne1$.

טעות נפוצה: לחשוב שבגלל $x^2$ במונה התחום כולל גם $x<0$. הלוגריתם במכנה מגביל ל-$x>0$.

ב-$x=1$ המכנה 0 והמונה $2\ne0$, ולכן $x=1$ אסימפטוטה אנכית.

טעות נפוצה: לענות $x=0$. כאשר $x\to0^+$ המונה $2x^2\to0$ והמכנה $\to\infty$, ולכן $f\to0$.

$x=0$ לא בתחום, ולכן אין חיתוך עם ציר ה-$y$.

$f(x)=0\iff2x^2=0\iff x=0$ - לא בתחום, ולכן אין חיתוך עם ציר ה-$x$.

טעות נפוצה: לפתור $\ln x=0$ ולענות שיש חיתוך ב-$x=1$ - שם המכנה מתאפס, לא הפונקציה.

כלל המנה, ונגזרת $(\ln x)^2$ היא $\frac{2\ln x}x$:

$f'=0\iff\ln x=1\iff x=e$.

סימנים ($4x>0$): ב-$0<x<1$ מונה שלילי ומכנה שלילי, $f'>0$; ב-$1<x<e$ מונה שלילי ומכנה חיובי, $f'<0$; ב-$x>e$ $f'>0$.

ב-$x=e$ מינימום: $f(e)=\frac{2e^2}{1}=2e^2\approx14.78$.

טעות נפוצה: לשכוח את הגורם $\frac1x$ בנגזרת של $(\ln x)^2$ ולקבל נקודת קיצון שגויה.

מטבלת הסימנים: $f'>0$ ב-$0<x<1$ וב-$x>e$.

טעות נפוצה: לכתוב $0<x<e$ כתחום ירידה אחד, ולהתעלם מכך ש-$x=1$ מפריד בין שני תחומים עם סימן שונה.

$2x^2>0$ ו-$(\ln x)^2>0$ בכל התחום, ולכן $f(x)>0$ - הגרף כולו מעל ציר ה-$x$.

בגרפים I ו-IV הענף השמאלי מתחת לציר, ובגרפים III ו-IV הענף הימני מתחת לציר. נשאר גרף II, שגם עולה ב-$0<x<1$ ויש לו מינימום מימין לאסימפטוטה.

טעות נפוצה: לבחור גרף שבו הענף השמאלי שלילי "כי $\ln x<0$ שם". הלוגריתם בריבוע, ולכן המכנה חיובי.

$g'(x)=0\iff f(x)=10$, וסימן $g'$ הוא סימן $f(x)-10$.

ב-$0<x<1$ $f$ עולה מ-0 לאינסוף, ולכן חוצה את $y=10$ פעם אחת, ו-$g'$ עוברת משלילית לחיובית: מינימום.

ב-$x>1$ הערך הקטן ביותר של $f$ הוא $2e^2\approx14.78>10$, ולכן $g'>0$ שם.

לכן ל-$g$ נקודת קיצון אחת - מינימום.

טעות נפוצה: להשוות את 10 לערך $e^2\approx7.39$ (שכחה של המקדם 2) ולמצוא בטעות שלוש נקודות קיצון.

צריך שלוש החלפות סימן של $f-c$: אחת ב-$0<x<1$ (קיימת לכל $c>0$) ושתיים מימין לאסימפטוטה - כשהישר $y=c$ מעל המינימום $2e^2\approx14.78$.

למשל $c=20$: מינימום של $g$ ב-$0<x<1$, מקסימום ב-$1<x<e$ (שם $f$ יורדת דרך 20) ומינימום ב-$x>e$ (שם $f$ עולה דרך 20).

טעות נפוצה: לבחור $c$ שלילי. אז $f-c>0$ בכל התחום, ואין ל-$g$ נקודות קיצון בכלל.