דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

מתכונת במתמטיקה 472 - מתכונת 4 ברמת בגרות

4 יח"ל · שאלון 035472 · 5 שאלות · פתרון מלא לכל סעיף

מבחן מתכונת במבנה של שאלון 472 (4 יח"ל), ברמת בגרות: 5 שאלות, כל אחת בנויה כמו השאלה באותו מקום בבחינת הבגרות. לכל סעיף יש תשובה סופית ופתרון מלא, מוסבר צעד אחרי צעד. נסו לפתור לבד, ואז פתחו את הפתרון של השאלה.

הורדה ב-PDF: שאלון תשובות סופיות פתרון מלא

שאלה 1 · סדרה חשבונית והנדסית: ייצור ומכירה של משחקים

במפעל צעצועים החלו לייצר ערכות משחק. בכל שבוע כמות הערכות שייצרו הייתה גדולה במספר קבוע מכמות הערכות שייצרו בשבוע שלפניו. בשבוע הראשון ייצרו 700 ערכות. הייצור נמשך 40 שבועות. בתקופה זו ייצרו 74,800 ערכות סך הכול.

א.

בכמה הייתה גדולה כמות הערכות שייצרו בכל שבוע מן הכמות שייצרו בשבוע שלפניו?

בגמר הייצור מכר המפעל את הערכות במשך כמה חודשים. כמות הערכות שנמכרו בכל חודש הייתה גדולה פי qq מכמות הערכות שנמכרו בחודש שלפניו. בחודש ה-3 נמכרו 120 ערכות, ובחודש ה-7 נמכרו 1,920 ערכות.

ב.

כמה ערכות נמכרו בחודש הראשון?

החודש ה-6 היה החודש האמצעי של חודשי המכירה.

ג.

כמה חודשים נמשכה המכירה?

ד.

כמה מן הערכות שייצרו במפעל לא נמכרו?

◂ פתרון מלא לשאלה 1

סעיף א

תשובה:

60

הכמויות השבועיות הן סדרה חשבונית: a1=700a_1=700, n=40n=40, S40=74800S_{40}=74800. מחפשים את ההפרש dd.

Sn=n2(2a1+(n−1)d)S_n=\frac{n}{2}\left(2a_1+(n-1)d\right)
74800=402(2⋅700+39d)=20(1400+39d)74800=\frac{40}{2}\left(2\cdot700+39d\right)=20\left(1400+39d\right)
3740=1400+39d⇒39d=2340⇒d=603740=1400+39d\quad\Rightarrow\quad 39d=2340\quad\Rightarrow\quad d=60

בכל שבוע ייצרו 60 ערכות יותר מבשבוע שלפניו.

טעות נפוצה: לכתוב 40d40d במקום 39d39d בנוסחת הסכום, ולקבל d=58.5d=58.5 - מספר שאינו שלם, סימן שמשהו השתבש.

סעיף ב

תשובה:

30

הכמויות החודשיות הן סדרה הנדסית עם מנה qq.

מהחודש ה-3 לחודש ה-7 כופלים 4 פעמים ב-qq:

a7=a3⋅q4⇒1920=120q4⇒q4=16a_7=a_3\cdot q^4\quad\Rightarrow\quad 1920=120q^4\quad\Rightarrow\quad q^4=16

למשוואה שני פתרונות, q=2q=2 או q=−2q=-2. כמויות של ערכות שנמכרו הן חיוביות, ומנה שלילית הייתה נותנת חודשים עם כמות שלילית, ולכן q=2q=2.

מהחודש הראשון לחודש ה-3 כופלים פעמיים ב-qq:

a1=a3q2=1204=30a_1=\frac{a_3}{q^2}=\frac{120}{4}=30

בחודש הראשון נמכרו 30 ערכות.

טעות נפוצה: לחלק a3a_3 ב-q3q^3 במקום ב-q2q^2 (לבלבל בין מקום האיבר למספר הצעדים), ולקבל 15.

סעיף ג

תשובה:

11

לפני החודש האמצעי ואחריו יש אותו מספר חודשים.

לפני החודש ה-6 יש 5 חודשים, ולכן גם אחריו 5 חודשים (7 עד 11).

n=5+1+5=11n=5+1+5=11

המכירה נמשכה 11 חודשים.

טעות נפוצה: לחשב 2⋅6=122\cdot6=12 חודשים ולספור את החודש האמצעי פעמיים.

סעיף ד

תשובה:

13,390

מספר הערכות שנמכרו הוא סכום 11 האיברים הראשונים של הסדרה ההנדסית, עם a1=30a_1=30 ו-q=2q=2:

S11=a1(q11−1)q−1=30(211−1)2−1=30⋅2047=61410S_{11}=\frac{a_1\left(q^{11}-1\right)}{q-1}=\frac{30\left(2^{11}-1\right)}{2-1}=30\cdot2047=61410

ייצרו 74,800 ערכות, ולכן לא נמכרו:

74800−61410=1339074800-61410=13390

טעות נפוצה: לשכוח את ה-1 שמחסירים מ-2112^{11}, לקבל שנמכרו 30⋅2048=6144030\cdot2048=61440 ערכות ולענות 13,360.

שאלה 2 · וקטורים בתיבה: גובה התיבה ושטח משולש

בסרטוט שלפניכם תיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' שבסיסה ABCDABCD הוא ריבוע. הנקודה FF נמצאת על המקצוע ABAB, כך ש-AF=13ABAF=\frac13AB. הנקודה EE נמצאת על האלכסון D′B′D'B', כך שמתקיים D′E⃗=23D′B′⃗\vec{D'E}=\frac23\vec{D'B'}. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline v, AA′⃗=w‾\vec{AA'}=\underline w.

ABCDA'B'C'D'FE
א.

הביעו באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w את הווקטורים D′E⃗\vec{D'E} ו-FE→\overrightarrow{FE}.

נתון כי אורך מקצוע הבסיס הוא 6.

ב.

חשבו את האורך של הווקטור D′E⃗\vec{D'E}.

נתון: ∣FE→∣=∣D′B′⃗∣|\overrightarrow{FE}|=|\vec{D'B'}|.

ג.

הראו כי גובה התיבה הוא 8.

ד(1).

הראו כי FE→\overrightarrow{FE} מאונך ל-D′B′⃗\vec{D'B'}.

ד(2).

חשבו את שטח המשולש D′FB′D'FB'.

◂ פתרון מלא לשאלה 2

סעיף א

תשובה:

D′E⃗=23u‾−23v‾\vec{D'E}=\frac23\underline u-\frac23\underline v, FE→=13u‾+13v‾+w‾\overrightarrow{FE}=\frac13\underline u+\frac13\underline v+\underline w

בפאה העליונה D′A′⃗=−v‾\vec{D'A'}=-\underline v ו-A′B′⃗=u‾\vec{A'B'}=\underline u, ולכן:

D′B′⃗=D′A′⃗+A′B′⃗=u‾−v‾⇒D′E⃗=23u‾−23v‾\vec{D'B'}=\vec{D'A'}+\vec{A'B'}=\underline u-\underline v\quad\Rightarrow\quad\vec{D'E}=\frac23\underline u-\frac23\underline v

מסלול מ-FF ל-EE: ל-AA, עולים ל-A′A', ל-D′D' ומשם ל-EE:

FE→=FA→+AA′⃗+A′D′⃗+D′E⃗=−13u‾+w‾+v‾+23u‾−23v‾\overrightarrow{FE}=\overrightarrow{FA}+\vec{AA'}+\vec{A'D'}+\vec{D'E}=-\frac13\underline u+\underline w+\underline v+\frac23\underline u-\frac23\underline v
FE→=13u‾+13v‾+w‾\overrightarrow{FE}=\frac13\underline u+\frac13\underline v+\underline w

טעות נפוצה: לכתוב D′B′⃗=v‾−u‾\vec{D'B'}=\underline v-\underline u - זה הווקטור B′D′⃗\vec{B'D'}, בכיוון ההפוך.

סעיף ב

תשובה:

32=42\sqrt{32}=4\sqrt2

∣u‾∣=∣v‾∣=6|\underline u|=|\underline v|=6 ו-u‾⋅v‾=0\underline u\cdot\underline v=0 (בסיס ריבוע).

∣u‾−v‾∣2=u‾2−2u‾⋅v‾+v‾2=36+36=72⇒∣D′B′⃗∣=62|\underline u-\underline v|^2=\underline u^2-2\underline u\cdot\underline v+\underline v^2=36+36=72\quad\Rightarrow\quad|\vec{D'B'}|=6\sqrt2
∣D′E⃗∣=23⋅62=42=32|\vec{D'E}|=\frac23\cdot6\sqrt2=4\sqrt2=\sqrt{32}

טעות נפוצה: לחשב ∣u‾−v‾∣=6−6=0|\underline u-\underline v|=6-6=0. חיסור וקטורים אינו חיסור אורכים.

סעיף ג

תשובה:

הוכחה: ∣w‾∣=8|\underline w|=8

בתיבה u‾\underline u, v‾\underline v, w‾\underline w ניצבים זה לזה, ולכן בריבוע של FE→\overrightarrow{FE} נשארים רק ריבועי האיברים:

∣FE→∣2=19⋅36+19⋅36+∣w‾∣2=8+∣w‾∣2|\overrightarrow{FE}|^2=\frac19\cdot36+\frac19\cdot36+|\underline w|^2=8+|\underline w|^2

לפי הנתון ∣FE→∣2=∣D′B′⃗∣2=72|\overrightarrow{FE}|^2=|\vec{D'B'}|^2=72:

8+∣w‾∣2=72⇒∣w‾∣2=64⇒∣w‾∣=88+|\underline w|^2=72\quad\Rightarrow\quad|\underline w|^2=64\quad\Rightarrow\quad|\underline w|=8

גובה התיבה הוא 8.

טעות נפוצה: להשוות את ∣FE→∣|\overrightarrow{FE}| ל-∣D′E⃗∣|\vec{D'E}| במקום לכל האלכסון ∣D′B′⃗∣|\vec{D'B'}|.

סעיף ד(1)

תשובה:

הוכחה: המכפלה הסקלרית היא 0

FE→⋅D′B′⃗=(13u‾+13v‾+w‾)⋅(u‾−v‾)\overrightarrow{FE}\cdot\vec{D'B'}=\left(\frac13\underline u+\frac13\underline v+\underline w\right)\cdot(\underline u-\underline v)

המכפלות המעורבות הן 0 (u‾\underline u, v‾\underline v, w‾\underline w ניצבים זה לזה):

=13u‾2−13v‾2=13⋅36−13⋅36=0=\frac13\underline u^2-\frac13\underline v^2=\frac13\cdot36-\frac13\cdot36=0

לכן FE→⊥D′B′⃗\overrightarrow{FE}\perp\vec{D'B'}.

טעות נפוצה: לשכוח את הסימן השלילי שמגיע מ-−v‾-\underline v ולקבל 12+12=2412+12=24.

סעיף ד(2)

תשובה:

36

EE נמצאת על הצלע D′B′D'B' ו-FE⊥D′B′FE\perp D'B', ולכן FEFE הוא הגובה לצלע D′B′D'B' במשולש D′FB′D'FB'.

∣D′B′∣=62|D'B'|=6\sqrt2 (סעיף ב), ו-∣FE∣=∣D′B′∣=62|FE|=|D'B'|=6\sqrt2 (נתון).

SD′FB′=62⋅622=722=36S_{D'FB'}=\frac{6\sqrt2\cdot6\sqrt2}{2}=\frac{72}{2}=36

טעות נפוצה: לקחת כצלע את D′ED'E בלבד (424\sqrt2) במקום את כל הצלע D′B′D'B'.

שאלה 3 · דעיכה של שני בלונים וניפוח מחדש

נועה קנתה בלון כחול ובלון אדום. ביום הקנייה נפח הבלון הכחול היה 3,000 סמ"ק ונפח הבלון האדום היה 7,500 סמ"ק. עקב איבוד אוויר, הנפח של כל אחד מן הבלונים קטן באחוז קבוע בכל יום (כל אחד מהם באחוז אחר). כעבור 6 ימים מיום הקנייה היה נפח הבלון הכחול שווה לנפח הבלון האדום.

א.

קבעו בעבור כל אחת מן הטענות I-II אם היא נכונה או לא נכונה. I. כעבור 5 ימים מיום הקנייה היה נפח הבלון האדום גדול מנפח הבלון הכחול. II. כעבור 9 ימים מיום הקנייה היה נפח הבלון האדום גדול מנפח הבלון הכחול.

נתון כי נפח הבלון הכחול קטן ב-8% בכל יום.

ב.

מצאו את האחוז שבו נפח הבלון האדום קטן בכל יום.

כעבור tt ימים מיום הקנייה היה נפח הבלון האדום 14\frac14 מנפח הבלון הכחול.

ג.

מצאו את הערך של tt.

לאחר כמה ימים החליטה נועה לנפח מחדש את הבלון האדום. במהלך הניפוח גדל נפח הבלון בכל שנייה ב-18%. בסיום הניפוח היה נפח הבלון גדול פי 5 מן הנפח שלו בתחילת הניפוח.

ד.

מצאו את מספר השניות שנמשך הניפוח.

◂ פתרון מלא לשאלה 3

סעיף א

תשובה:

I נכונה, II לא נכונה

האדום התחיל גדול פי 2.5 מהכחול, וכעבור 6 ימים הם השתוו. לכן האדום מאבד אחוז גדול יותר בכל יום: מנת הדעיכה שלו q2q_2 קטנה ממנת הכחול q1q_1.

Vאדום(t)Vכחול(t)=2.5(q2q1)t\frac{V_{\text{אדום}}(t)}{V_{\text{כחול}}(t)}=2.5\left(\frac{q_2}{q_1}\right)^t

היחס יורד כל הזמן ושווה 1 ב-t=6t=6: לפני יום 6 האדום גדול, ואחריו הכחול גדול.

I: אחרי 5 ימים האדום עוד גדול - נכונה. II: אחרי 9 ימים הכחול גדול - לא נכונה.

טעות נפוצה: להניח שהבלון שמאבד אחוז גדול יותר "מגיע לאפס" ולכן כבר ביום 5 הוא קטן מהכחול. עד יום 6 היתרון ההתחלתי שלו עוד לא נמחק.

סעיף ב

תשובה:

כ-21.03%

מנת הכחול 0.920.92. נסמן ב-qq את מנת האדום. כעבור 6 ימים הנפחים שווים:

3000⋅0.926=7500⋅q6⇒q6=0.4⋅0.9263000\cdot0.92^6=7500\cdot q^6\quad\Rightarrow\quad q^6=0.4\cdot0.92^6
q=0.92⋅0.46≈0.92⋅0.8584≈0.7897q=0.92\cdot\sqrt[6]{0.4}\approx0.92\cdot0.8584\approx0.7897

האדום קטן בכל יום ב-1−0.7897≈0.21031-0.7897\approx0.2103, כלומר כ-21.03%.

טעות נפוצה: לחלק את הנפחים בסדר הפוך ולקבל q6=2.5⋅0.926q^6=2.5\cdot0.92^6, כלומר q>1q>1 - מנה של גדילה, שלא מתאימה לבלון שמאבד אוויר.

סעיף ג

תשובה:

t≈15.08t\approx15.08

7500⋅qt=14⋅3000⋅0.92t⇒(q0.92)t=7507500=0.17500\cdot q^t=\frac14\cdot3000\cdot0.92^t\quad\Rightarrow\quad\left(\frac q{0.92}\right)^t=\frac{750}{7500}=0.1

לפי סעיף ב, q0.92=0.46=0.416\frac q{0.92}=\sqrt[6]{0.4}=0.4^{\frac16}, ולכן:

0.4t6=0.1⇒t6=log⁡0.1log⁡0.4⇒t≈15.080.4^{\frac t6}=0.1\quad\Rightarrow\quad\frac t6=\frac{\log0.1}{\log0.4}\quad\Rightarrow\quad t\approx15.08

טעות נפוצה: לשכוח את היחס בין הנפחים ההתחלתיים ולפתור (q0.92)t=14\left(\frac q{0.92}\right)^t=\frac14; מתקבל t≈9.08t\approx9.08.

סעיף ד

תשובה:

כ-9.72 שניות

מנת הגדילה 1.181.18. אם V0V_0 הנפח בתחילת הניפוח ו-nn מספר השניות:

V0⋅1.18n=5V0⇒1.18n=5V_0\cdot1.18^n=5V_0\quad\Rightarrow\quad1.18^n=5
n=log⁡5log⁡1.18≈9.72n=\frac{\log5}{\log1.18}\approx9.72

טעות נפוצה: לחשב 40.18≈22.2\frac{4}{0.18}\approx22.2 שניות, כאילו בכל שנייה מתווספים 18% מהנפח ההתחלתי (גדילה קבועה, כמו בסדרה חשבונית). בגדילה באחוז קבוע הנפח מוכפל ב-1.181.18 בכל שנייה, ולכן פותרים בלוגריתם.

שאלה 4 · חקירת מכפלה של פונקציה קווית ומעריכית, ושטח מתחת לגרף (מעריך 3x-2)

נתונה הפונקציה f(x)=(a−6x)⋅e3x−2f(x)=(a-6x)\cdot e^{3x-2}, המוגדרת לכל xx. aa הוא פרמטר. נתון כי שיפוע המשיק לגרף הפונקציה f(x)f(x) בנקודה שבה x=0x=0 הוא 12e2\frac{12}{e^2}.

א.

מצאו את הערך של aa.

הציבו a=6a=6 בפונקציה f(x)f(x), וענו על הסעיפים ב-ו.

ב(1).

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם הצירים.

ב(2).

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

ג.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x).

נתונה הפונקציה g(x)=3⋅e3x−2g(x)=3\cdot e^{3x-2}, המוגדרת לכל xx.

ד.

הסבירו מדוע הפונקציה g(x)g(x) חיובית לכל xx.

הנקודה A היא נקודת החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם גרף הפונקציה g(x)g(x).

ה.

מצאו את שיעורי הנקודה A.

דרך הנקודה A העבירו אנך לציר ה-xx.

ו.

חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה g(x)g(x), על ידי האנך, על ידי ציר ה-xx ועל ידי ציר ה-yy.

◂ פתרון מלא לשאלה 4

סעיף א

תשובה:

a=6a=6

גוזרים לפי כלל המכפלה, ואת e3x−2e^{3x-2} לפי כלל השרשרת (נגזרת המעריך היא 3):

f′(x)=−6e3x−2+(a−6x)⋅3e3x−2=(3a−6−18x) e3x−2f'(x)=-6e^{3x-2}+(a-6x)\cdot3e^{3x-2}=(3a-6-18x)\,e^{3x-2}
f′(0)=(3a−6) e−2=3a−6e2=12e2f'(0)=(3a-6)\,e^{-2}=\frac{3a-6}{e^2}=\frac{12}{e^2}
3a−6=12⇒a=63a-6=12\quad\Rightarrow\quad a=6

טעות נפוצה: לשכוח את המקדם 3 מכלל השרשרת ולקבל a−6=12a-6=12, כלומר a=18a=18.

סעיף ב(1)

תשובה:

(0,6e2)≈(0,0.81)\left(0,\frac{6}{e^2}\right)\approx(0,0.81), (1,0)(1,0)

כעת f(x)=(6−6x)e3x−2f(x)=(6-6x)e^{3x-2}.

f(0)=6e−2=6e2≈0.81f(0)=6e^{-2}=\frac{6}{e^2}\approx0.81

f(x)=0f(x)=0: הגורם e3x−2e^{3x-2} לא מתאפס, ולכן 6−6x=06-6x=0, כלומר x=1x=1.

נקודות החיתוך: (0,6e2)\left(0,\frac6{e^2}\right) ו-(1,0)(1,0).

טעות נפוצה: לכתוב f(0)=6e2f(0)=6e^{2} - המעריך ב-x=0x=0 הוא −2-2.

סעיף ב(2)

תשובה:

max⁡(23, 2)\max\left(\frac23,\,2\right)

עם a=6a=6: f′(x)=(12−18x) e3x−2f'(x)=(12-18x)\,e^{3x-2}.

f′(x)=0f'(x)=0 כאשר 12−18x=012-18x=0, כלומר x=23x=\frac23.

הנגזרת חיובית עבור x<23x<\frac23 ושלילית עבור x>23x>\frac23 (הסימן לפי 12−18x12-18x), ולכן זהו מקסימום.

f(23)=(6−4)e2−2=2⋅e0=2f\left(\tfrac23\right)=\left(6-4\right)e^{2-2}=2\cdot e^0=2

נקודת הקיצון: max⁡(23, 2)\max\left(\frac23,\,2\right).

טעות נפוצה: לטעות במעריך: 3⋅23−2=03\cdot\frac23-2=0, ולכן e0=1e^0=1 - לא e2e^{2}.

סעיף ג

תשובה:

סקיצה: משמאל הגרף שואף ל-0 מעל ציר ה-xx (אסימפטוטה y=0y=0), עובר דרך (0,0.81)(0,0.81), עולה עד המקסימום (23,2)\left(\frac23,2\right), יורד, חותך את ציר ה-xx ב-(1,0)(1,0) ושואף ל-−∞-\infty

כאשר x→−∞x\to-\infty, e3x−2→0e^{3x-2}\to0 מהר יותר משהגורם הקווי גדל, ולכן f(x)→0f(x)\to0; בתחום זה 6−6x>06-6x>0, כך שהגרף מתקרב לציר ה-xx מלמעלה (y=0y=0 אסימפטוטה משמאל).

הגרף עולה דרך (0,0.81)(0,0.81) עד המקסימום (23,2)\left(\frac23,2\right), ואז יורד, חותך את ציר ה-xx ב-(1,0)(1,0), ושואף ל-−∞-\infty כאשר x→∞x\to\infty.

טעות נפוצה: לצייר אסימפטוטה y=0y=0 גם מימין - מימין הגורם המעריכי גדל והגרף יורד בלי חסם.

סעיף ד

תשובה:

הסבר: e3x−2>0e^{3x-2}>0 לכל xx, ו-3 חיובי

חזקה של ee חיובית לכל מעריך, ולכן e3x−2>0e^{3x-2}>0 לכל xx. כפל בקבוע החיובי 3 שומר על הסימן, ולכן g(x)>0g(x)>0 לכל xx.

טעות נפוצה: לחשוב שכאשר המעריך 3x−23x-2 שלילי גם הביטוי שלילי - מעריך שלילי נותן מספר קטן מ-1, אבל חיובי.

סעיף ה

תשובה:

A(0.5, 3e−0.5)≈A(0.5, 1.82)A\left(0.5,\,3e^{-0.5}\right)\approx A(0.5,\,1.82)

(6−6x) e3x−2=3 e3x−2(6-6x)\,e^{3x-2}=3\,e^{3x-2}

מחלקים ב-e3x−2≠0e^{3x-2}\neq0:

6−6x=3⇒x=0.56-6x=3\quad\Rightarrow\quad x=0.5
g(0.5)=3e1.5−2=3e−0.5=3e≈1.82g(0.5)=3e^{1.5-2}=3e^{-0.5}=\frac{3}{\sqrt e}\approx1.82

A(0.5, 3e−0.5)A\left(0.5,\,3e^{-0.5}\right).

טעות נפוצה: להציב את x=0.5x=0.5 ב-f′f' במקום ב-ff או ב-gg כדי למצוא את שיעור ה-yy.

סעיף ו

תשובה:

e−0.5−e−2≈0.47e^{-0.5}-e^{-2}\approx0.47

השטח הוא בין x=0x=0 ל-x=0.5x=0.5, מתחת לגרף gg החיובית (סעיף ד):

S=∫00.53e3x−2 dxS=\int_0^{0.5}3e^{3x-2}\,dx

פונקציה קדומה של 3e3x−23e^{3x-2} היא e3x−2e^{3x-2} (מחלקים במקדם של xx, 3):

S=[e3x−2]00.5=e−0.5−e−2≈0.607−0.135=0.47S=\left[e^{3x-2}\right]_0^{0.5}=e^{-0.5}-e^{-2}\approx0.607-0.135=0.47

טעות נפוצה: לכתוב את הקדומה 9e3x−29e^{3x-2} - בגזירה כופלים במקדם, באינטגרציה מחלקים.

שאלה 5 · פונקציה לוגריתמית: חקירה, גרף הנגזרת ושטח

נתונה הפונקציה: f(x)=(3+ln⁡x)⋅(ln⁡x−1)f(x)=(3+\ln x)\cdot(\ln x-1).

בסוף השאלה מופיעים שלושה גרפים I-III (לסעיף ה):

גרף I
גרף II
גרף III
א.

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

ב.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

ג.

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

ד.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x).

ה(1).

אחד מן הגרפים I-III שבסוף השאלה מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x). קבעו איזה מהם, ונמקו את קביעתכם.

ה(2).

חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x), על ידי הישר x=ex=\sqrt e ועל ידי ציר ה-xx.

◂ פתרון מלא לשאלה 5

סעיף א

תשובה:

x>0x>0

ln⁡x\ln x מוגדר רק עבור x>0x>0, ולכן התחום: x>0x>0.

טעות נפוצה: לכתוב x>1x>1 כי "ln⁡x\ln x חייב להיות חיובי" - ln⁡x\ln x יכול להיות כל מספר; רק xx חייב להיות חיובי.

סעיף ב

תשובה:

(e−3,0)(e^{-3},0), (e,0)(e,0); אין חיתוך עם ציר ה-yy

ציר ה-yy: x=0x=0 מחוץ לתחום - אין חיתוך.

ציר ה-xx:

3+ln⁡x=0⇒x=e−3,ln⁡x−1=0⇒x=e3+\ln x=0\Rightarrow x=e^{-3},\qquad \ln x-1=0\Rightarrow x=e

נקודות החיתוך: (e−3,0)(e^{-3},0) ו-(e,0)(e,0).

טעות נפוצה: לכתוב ln⁡x=−3⇒x=−e3\ln x=-3\Rightarrow x=-e^3 - ההפך של ln⁡\ln הוא חזקה של ee: x=e−3x=e^{-3}, מספר חיובי.

סעיף ג

תשובה:

מינימום (1e,−4)\left(\frac1e,-4\right)

לפי כלל המכפלה:

f′(x)=1x(ln⁡x−1)+(3+ln⁡x)⋅1x=2ln⁡x+2xf'(x)=\frac1x(\ln x-1)+(3+\ln x)\cdot\frac1x=\frac{2\ln x+2}x

הסימן של f′f' הוא הסימן של 2ln⁡x+22\ln x+2 (כי x>0x>0).

f′=0⇒ln⁡x=−1⇒x=e−1=1ef'=0\Rightarrow\ln x=-1\Rightarrow x=e^{-1}=\frac1e

0<x<1e0<x<\frac1e: ln⁡x<−1\ln x<-1, f′<0f'<0; x>1ex>\frac1e: f′>0f'>0 - מינימום.

f(1e)=(3−1)(−1−1)=−4f\left(\frac1e\right)=(3-1)(-1-1)=-4

טעות נפוצה: לקבל ln⁡x=−1\ln x=-1 ולפסול כי "\ln שלילי" - x=1ex=\frac1e בתחום.

סעיף ד

תשובה:

סקיצה: יורדת מ-+∞+\infty (ליד x=0x=0), חותכת ב-(e−3,0)(e^{-3},0), מינימום (1e,−4)\left(\frac1e,-4\right), ואחריו עולה וחותכת ב-(e,0)(e,0)

כש-x→0+x\to0^+: ln⁡x→−∞\ln x\to-\infty, שני הגורמים שליליים, ולכן f→+∞f\to+\infty.

כש-x→∞x\to\infty: שני הגורמים חיוביים, f→+∞f\to+\infty.

(1/e, -4)(e, 0)

טעות נפוצה: לצייר את המינימום מימין לנקודה (e,0)(e,0) - המינימום ב-1e\frac1e נמצא בין שתי נקודות החיתוך.

סעיף ה(1)

תשובה:

גרף II

f′f' מוגדרת רק עבור x>0x>0, שלילית ב-0<x<1e0<x<\frac1e, מתאפסת ב-1e\frac1e וחיובית אחר כך.

גרף III חיובי ליד ציר ה-yy ושלילי אחר כך - סימן הפוך. נפסל.

גרף I ממשיך גם משמאל לציר ה-yy (ושם הוא חוצה את ציר ה-xx), ואילו f′f' אינה מוגדרת עבור x≤0x\le0. נפסל.

גרף II: רק עבור x>0x>0, שלילי ואחר כך חיובי - מתאים.

טעות נפוצה: לבחור את גרף III כי הוא "יורד ואז עולה" כמו ff - זה תיאור של ff עצמה; לגרף הנגזרת בודקים את הסימן.

סעיף ה(2)

תשובה:

2.25

הגבולות: נקודת החיתוך של f′f' עם ציר ה-xx, x=1ex=\frac1e, והישר x=ex=\sqrt e.

בתחום 1e<x<e\frac1e<x<\sqrt e מתקיים f′>0f'>0 - השטח מעל הציר.

S=∫1/eef′(x) dx=f(e)−f(1e)S=\int_{1/e}^{\sqrt e}f'(x)\,dx=f(\sqrt e)-f\left(\frac1e\right)

ln⁡e=12\ln\sqrt e=\frac12:

f(e)=(3+12)(12−1)=3.5⋅(−0.5)=−1.75f(\sqrt e)=\left(3+\frac12\right)\left(\frac12-1\right)=3.5\cdot(-0.5)=-1.75
S=−1.75−(−4)=2.25S=-1.75-(-4)=2.25

טעות נפוצה: לקחת את הגבול התחתון x=0x=0 (ציר ה-yy) במקום נקודת האפס של הנגזרת 1e\frac1e - השטח מוגבל על ידי ציר ה-xx, ולכן מתחיל במקום שבו הגרף חוצה אותו.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.