מתכונת במתמטיקה 472 - מתכונת 2 ברמת בגרות

מבטאים כל וקטור כמסלול לאורך מקצועות ידועים.

$\underline w=\overrightarrow{SB}$ מכוון מ-$S$ אל $B$ (כלפי מטה).

$ABCD$ מלבן, ולכן $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{BA}=\underline v$ ו-$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}=\underline u$.

$E$ אמצע $SD$, ולכן $\overrightarrow{ES}=-\frac12(\underline u+\underline v+\underline w)$.

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{ES}=+\frac12\overrightarrow{SD}$. הווקטור מ-$E$ אל $S$ הפוך בכיוון ל-$\overrightarrow{SD}$, ולכן יש מינוס.

המכפלות הסקלריות הידועות: הבסיס מלבן, ולכן $\underline u\cdot\underline v=0$. $SB$ מאונך לבסיס, ולכן $\underline u\cdot\underline w=0$ ו-$\underline v\cdot\underline w=0$.

מסדרים את הווקטורים מסעיף א:

הניצבות נותנת מכפלה סקלרית 0, במבנה $(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2$:

לכן $\underline w^2=100$, ו-$|\underline w|=10$.

טעות נפוצה: לפתוח $(\underline v-\underline u)^2=\underline v^2-\underline u^2=28$ ולקבל $|\underline w|=\sqrt{28}$.

$B$ על החלק החיובי של ציר ה-$x$, במרחק $CB=|\underline u|=6$: $B(6,0,0)$.

$D$ על החלק החיובי של ציר ה-$y$. $CD$ שווה לצלע הנגדית $BA$, ולכן $CD=|\underline v|=8$: $D(0,8,0)$.

$A$ הקודקוד הרביעי של המלבן: $\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD}$, ולכן $A(6,8,0)$.

$SB$ מאונך לבסיס, כלומר מקביל לציר ה-$z$, באורך 10 וכלפי מעלה: $S(6,0,10)$.

טעות נפוצה: לשים את $S$ מעל הראשית $C$, כלומר $S(0,0,10)$ - המקצוע המאונך יוצא מ-$B$, לא מ-$C$.

$E$ אמצע $SD$, עם $S(6,0,10)$ ו-$D(0,8,0)$:

לפי סעיף ב הזווית $AEC$ ישרה (בדיקה: $-9-16+25=0$), ולכן $EA$ ו-$EC$ הם הניצבים:

טעות נפוצה: לשכוח לחלק ב-2 בחישוב נקודת האמצע ולקבל $E(6,8,10)$ - זו הנקודה $S+D$, לא האמצע של $SD$.

וקטור בין שתי נקודות הוא הסוף פחות ההתחלה, כששניהם יוצאים מ-$A$:

מ-$A$ הולכים ל-$B$ ואז שליש מהדרך מ-$B$ ל-$S$:

$F$ אמצע $BC$:

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{AE}=\frac13\underline u+\frac23\underline w$ - השליש הוא החלק מ-$B$, ולכן המקדם של $\underline u$ הוא $1-\frac13$.

$AS$ מאונך לבסיס, לכן הוא הגובה: $h=6$.

טעות נפוצה: לשכוח את $\frac13$, או לחשב את שטח הבסיס כ-$\frac12\cdot4\cdot8$ בלי הסינוס, כאילו הזווית ישרה.

טעות נפוצה: לקבל $+16$ בגלל $\cos120^\circ=\frac12$; בזווית קהה הקוסינוס שלילי.

$AS$ מאונך למישור הבסיס, ולכן $\underline w\cdot\underline u=0$ ו-$\underline w\cdot\underline v=0$. בנוסף $\underline u^2=16$.

לכן $\overrightarrow{AE}\perp\overrightarrow{AF}$.

טעות נפוצה: להציב $\underline u^2=4$ (האורך) במקום $|\underline u|^2=16$.

טעות נפוצה: לשכוח את האיבר $2\underline u\cdot\underline v$ ולקבל $\sqrt{20}$.

לפי סעיף ג(2) הזווית $EAF$ ישרה, ולכן השטח הוא חצי מכפלת הניצבים $AE$ ו-$AF$.

טעות נפוצה: לחשב את $|\overrightarrow{AE}|$ כ-$\frac23\cdot4+\frac13\cdot6$ - אורך של סכום וקטורים אינו סכום האורכים.

מספר החיידקים בתרבית Q גדל באחוז גדול יותר, ולכן הגרף של Q עולה מהר יותר.

שני הגרפים נפגשים. אילו הגרף שעולה מהר יותר היה מתחיל גבוה יותר, הוא היה נשאר מעל השני והם לא היו נפגשים. לכן הגרף של Q הוא זה שמתחיל נמוך יותר - גרף I - ומשיג את השני.

מכאן שתרבית P מתאימה לגרף II, שמתחיל ב-8,000 חיידקים ועולה לאט יותר.

טעות נפוצה: לבחור את גרף I כי "הוא מסומן ראשון", או לבחור את הגרף התלול יותר בשביל P - התלול שייך לתרבית שגדלה באחוז הגדול.

מגרף II: בתחילת הניסוי היו בתרבית P 8,000 חיידקים. נסמן ב-$q$ את מנת הגדילה לשעה:

מנה 1.04 פירושה גדילה של 4% בכל שעה.

טעות נפוצה: להוציא שורש חמישי או שביעי - מספר ההכפלות שווה למספר השעות שעברו, 6.

האחוז של Q גדול פי 3 מהאחוז של P: $3\cdot4\%=12\%$, ולכן מנת הגדילה של Q היא $1.12$.

מגרף I: בתחילת הניסוי היו בתרבית Q 3,814 חיידקים.

לאחר 6 שעות היו בתרבית P בכ-2,595 חיידקים יותר מבתרבית Q.

טעות נפוצה: לקחת את מנת הגדילה של Q כ-$1.04^3\approx1.125$ - פי 3 הוא על האחוז, לא על המנה.

מספר החיידקים בשתי התרביות היה שווה לאחר 10 שעות.

טעות נפוצה: לכתוב $\left(\frac{1.04}{1.12}\right)^t=\frac{8000}{3814}$ - כשהשבר של המנות הפוך, צריך להפוך גם את השבר של המספרים.

מספר החיידקים בתרבית P כשהחלה הירידה (לאחר 10 שעות):

מכאן המספר קטן ב-4% בכל שעה, ומנת הדעיכה היא $0.96$. נסמן ב-$n$ את מספר שעות הירידה:

הזמן מתחילת הניסוי: $10+15=25$ שעות.

טעות נפוצה: להשתמש במנה $1-0.12=0.88$ (האחוז של Q) או לענות 15 בלי להוסיף את 10 השעות הראשונות.

כלל המכפלה, עם $(e^{-x})'=-e^{-x}$:

טעות נפוצה: לכתוב $(e^{-x})'=e^{-x}$ ולשכוח את המינוס מהנגזרת הפנימית.

$e^{-x}>0$, ולכן הסימן הוא סימן $-(x-4)(x+2)$:

- $x<-2$: $f'<0$ (יורדת)

- $-2<x<4$: $f'>0$ (עולה)

- $x>4$: $f'<0$ (יורדת)

טעות נפוצה: לשכוח את המינוס שלפני הטרינום ולהפוך את סוגי הקיצון.

$f(0)=-8\cdot e^0=-8$: הנקודה $(0,-8)$.

$e^{-x}>0$, ולכן $f(x)=0$ רק כאשר $x^2-8=0$, כלומר $x=\pm\sqrt8=\pm2\sqrt2$.

טעות נפוצה: לכתוב $x=\pm4$ (לבלבל בין $\sqrt8$ ל-$8:2$).

התנהגות בקצוות:

- $x\to\infty$: $e^{-x}\to0$ מהר יותר מש-$x^2-8$ גדל, ולכן $f\to0$; שם $x^2-8>0$, ולכן מלמעלה (אסימפטוטה $y=0$ מימין).

- $x\to-\infty$: $x^2-8\to\infty$ ו-$e^{-x}\to\infty$, ולכן $f\to\infty$.

משמאל לימין: ירידה מאינסוף דרך $(-2\sqrt2,0)$ למינימום $(-2,-29.56)$, עלייה דרך $(0,-8)$ ו-$(2\sqrt2,0)$ למקסימום הנמוך $(4,0.147)$, ואז ירידה איטית לכיוון ציר ה-x.

טעות נפוצה: להעתיק את ההתנהגות של $e^x$ ולשים את האסימפטוטה משמאל.

$g=|f|$: החלק השלילי של $f$ (בין $-2\sqrt2$ ל-$2\sqrt2$) משתקף מעל ציר ה-x, והשאר נשאר.

לכן ל-$g$: משמאל עלייה לאינסוף, נגיעה בציר ב-$-2\sqrt2$, שיא גבוה ($4e^2\approx29.56$) ב-$x=-2$, נגיעה שנייה ב-$2\sqrt2$, גבעה זעירה ב-$x=4$, ומימין התקרבות ל-0.

גרף III מתאים. בגרף I הגרף מתקרב ל-0 משמאל ועולה לאינסוף מימין (תמונת ראי); בגרפים II ו-IV הגרף מתקרב לקבוע שאינו 0 ונוגע בציר פעם אחת בלבד.

טעות נפוצה: לבחור את גרף I - זהו $|f(-x)|$, תמונת ראי של התשובה.

•המינימום של $f$ ב-$(-2,-4e^2)$ שלילי ומשתקף: מקסימום של $g$ ב-$(-2,4e^2)$.

•המקסימום של $f$ ב-$(4,0.147)$ חיובי ונשאר מקסימום של $g$.

•באפסים $g=0$ וסביבם $g>0$: מינימום ב-$(-2\sqrt2,0)$ וב-$(2\sqrt2,0)$.

טעות נפוצה: להשאיר את $(-2,-4e^2)$ כמינימום של $g$ - ל-$g$ אין ערכים שליליים.

$\ln x$ מוגדר עבור $x>0$.

המכנה אינו אפס:

תחום ההגדרה: $x>0$, $x\neq\sqrt e$ (בערך $1.65$).

טעות נפוצה: לכתוב $x\neq\frac12$ - זה הערך של $\ln x$, לא של $x$.

המונה $x^2$ מתאפס רק ב-$x=0$, וזו נקודה שאינה בתחום ההגדרה.

לכן $f(x)\neq0$ לכל $x$ בתחום, והגרף לא חותך את ציר ה-$x$.

טעות נפוצה: לבדוק אם המכנה מתאפס כדי למצוא חיתוך עם ציר ה-$x$. איפוס המכנה נותן אסימפטוטה, לא אפס של הפונקציה.

המכנה מתאפס ב-$x=\sqrt e$, ושם המונה $e\neq0$.

לכן ליד $x=\sqrt e$ הערך $|f(x)|$ גדל לאינסוף, והאסימפטוטה היא $x=\sqrt e$.

ליד $x=0$ המונה שואף ל-0 והמכנה ל-$-\infty$, ולכן $f(x)\to0$ - אין שם אסימפטוטה.

טעות נפוצה: לכתוב את האסימפטוטה כ-$y=\sqrt e$. אסימפטוטה מאונכת לציר ה-$x$ היא ישר מהצורה $x=c$.

כלל המנה, עם $(x^2)'=2x$ ו-$(2\ln x-1)'=\frac2x$:

$f'(x)=0$: $x=0$ (לא בתחום) או $\ln x=1$, כלומר $x=e$.

$4x$ והמכנה חיוביים בתחום, ולכן סימן $f'$ הוא סימן $\ln x-1$:

נקודת הקיצון: $\min(e,e^2)$.

טעות נפוצה: לפשט את המונה ל-$4x\ln x-2x+2x$ (טעות סימן בחיסור $x^2\cdot\frac2x$) ולקבל $x=1$ כנקודת קיצון.

מהטבלה בסעיף ב: $f'(x)>0$ כש-$x>e$, ו-$f'(x)<0$ כש-$0<x<e$ פרט ל-$x=\sqrt e$.

עלייה: $x>e$. ירידה: $0<x<\sqrt e$ וגם $\sqrt e<x<e$.

טעות נפוצה: לאחד את שני תחומי הירידה ל-$0<x<e$. הפונקציה לא מוגדרת ב-$x=\sqrt e$, ולכן אלה שני קטעים נפרדים.

סימן הפונקציה: המונה $x^2$ חיובי. בקטע $0<x<\sqrt e$ מתקיים $\ln x<\frac12$, ולכן המכנה שלילי ו-$f(x)<0$. מימין לאסימפטוטה $f(x)>0$.

גרפים II ו-III חיוביים משמאל לאסימפטוטה - נפסלים.

מימין לאסימפטוטה יש מינימום $(e,e^2)$ מעל ציר ה-$x$. בגרף IV הענף הימני שלילי עם מקסימום - נפסל.

גרף I: שלילי ויורד משמאל לאסימפטוטה, ומימין יש לו מינימום מעל הציר. זה גרף הפונקציה.

טעות נפוצה: להתעלם מהענף השמאלי, ואז גרף III נראה מתאים באותה מידה.

הישר $y=t$ מקביל לציר ה-$x$, ולכן הוא משיק בנקודה שבה $f'(x)=0$ - נקודת המינימום. לכן $t=e^2$.

הישר הנבדק: $y=e^2-5\approx2.39$, ישר מעל ציר ה-$x$.

בענף השמאלי $f(x)<0$, ולכן אין שם נקודה עם $y\approx2.39$.

בענף הימני $f(x)\geq e^2\approx7.39$ (המינימום), ו-$2.39<7.39$, ולכן גם שם אין נקודה כזו.