מתכונת במתמטיקה 472 - מתכונת 5 ברמת בגרות

הכמויות של סניף "הדר" יוצרות סדרה הנדסית עם מנה $q$.

בשבוע השלישי: $a_3=a_1q^2$. לפי הנתון:

כמות נייר היא מספר חיובי, ולכן כל האיברים חיוביים. במנה שלילית האיברים מחליפים סימן, ולכן $q=2.5$.

טעות נפוצה: לכתוב $a_3=a_1q^3$, או להשאיר את $q=-2.5$ כתשובה אפשרית.

השבוע האחרון הוא החמישי: $a_5=a_1q^4=a_1\cdot2.5^4=39.0625a_1$.

בשבוע הראשון נאספו 32 ק"ג (ובשבוע האחרון $32\cdot39.0625=1250$ ק"ג).

טעות נפוצה: לחשב את השבוע האחרון כ-$a_1q^5$, כאילו יש בין הראשון לחמישי חמש הכפלות.

הכמויות של סניף "אלון" יוצרות סדרה חשבונית. שני נעלמים, $b_1$ ו-$d$, ושתי משוואות:

השבוע השלישי: $b_3=b_1+2d=150$, כלומר $b_1=150-2d$.

סכום 16 השבועות:

מציבים:

($b_1=130$, ובדיקה: $8(260+150)=3280$.)

טעות נפוצה: לכתוב $b_3=b_1+3d$. מהאיבר הראשון לשלישי מוסיפים את $d$ פעמיים.

הכמות של סניף "הדר" היא סכום 5 האיברים הראשונים בסדרה ההנדסית:

(בדיקה: $32+80+200+500+1250=2062$.)

סניף "אלון" אסף 3,280 ק"ג. יחד: $2062+3280=5342$ ק"ג.

$2671<2700$, ולכן הסכום לא יספיק - חסרים 29 שקלים.

טעות נפוצה: לכתוב במכנה $q$ במקום $q-1$, או לחשב רק את הכמות של סניף אחד.

$\vec{CC'}=\vec{AA'}=\underline w$, ולכן $\overrightarrow{CP}=\frac13\underline w$:

$M$ אמצע האלכסון $A'C'$, ו-$\vec{A'C'}=\overrightarrow{AC}=\underline u+\underline v$:

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{MP}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AP}$, שהוא $\overrightarrow{PM}$ - מקבלים את כל המקדמים עם סימן הפוך.

בתיבה $\underline u$, $\underline v$, $\underline w$ מאונכים זה לזה, ולכן כל המכפלות המעורבות הן 0.

ולכן $\overrightarrow{AP}\perp\overrightarrow{MP}$.

טעות נפוצה: להציב את האורך עצמו במקום ריבועו, למשל $\underline w^2=15$, ולקבל $18+32-\frac{10}3\ne0$. $\underline w^2=|\underline w|^2=225$.

לפי ב(1) המשולש ישר-זווית ב-$P$, והניצבים הם $AP$ ו-$MP$.

טעות נפוצה: לחשב $|\overrightarrow{MP}|^2$ עם $\frac23\underline w^2$ במקום $\frac49\underline w^2$ - מעלים בריבוע גם את המקדם.

$DA=|\underline v|=8$ (כי $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$), $DC=|\underline u|=6$ (כי $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}$), $DD'=|\underline w|=15$.

לכן $A(8,0,0)$, $C(0,6,0)$, $D'(0,0,15)$.

$B=A+\overrightarrow{DC}=(8,6,0)$, $C'=C+\vec{DD'}=(0,6,15)$.

טעות נפוצה: להחליף בין האורכים ולשים את $A$ ב-$(6,0,0)$ - $DA$ מקביל ל-$BC$, ולכן אורכו $|\underline v|=8$.

$M$ אמצע האלכסון $A'C'$. $A'(8,0,15)$ ו-$C'(0,6,15)$, ולכן:

טעות נפוצה: לחשב אמצע של $AC$ (בבסיס התחתון) ולקבל $(4,3,0)$ - $M$ נמצאת בפאה העליונה.

$CP=\frac13\cdot15=5$, ולכן $P(0,6,5)$.

$\overrightarrow{MP}=P-M=(-4,3,-10)$, $\overrightarrow{MB}=B-M=(4,3,-15)$.

טעות נפוצה: לשים את $P$ ב-$(0,6,10)$, כלומר למדוד $\frac13$ מלמעלה. הנתון $\overrightarrow{CP}=\frac13\vec{CC'}$ מודד מ-$C$ שבבסיס.

קצב מהיר יותר של התייבשות פירושו שהגרף יורד בתלילות רבה יותר.

גרף I מתחיל גבוה יותר, אבל חותך את גרף II ומשם והלאה נמצא מתחתיו. גרף שמתחיל גבוה ומגיע אל מתחת לגרף אחר חייב לרדת מהר יותר ממנו.

לכן גרף I מתאים לאגם שכמות המים בו קטנה בקצב מהיר יותר.

טעות נפוצה: לנמק לפי הגובה ("גרף II נמוך יותר בהתחלה, לכן יש בו פחות מים והוא מתייבש מהר") - קצב נקבע לפי תלילות הירידה, לא לפי הגובה.

בפונקציה $a\cdot q^t$ המקדם $a$ הוא הכמות ההתחלתית, והמנה $q<1$ קובעת את קצב הדעיכה: $q$ קטן יותר - דעיכה מהירה יותר.

$g$ מתחילה גבוה יותר, ו-$0.88<0.95$, כלומר $g$ דועכת מהר יותר (12% בשנה לעומת 5%).

גרף I מתחיל גבוה יותר ויורד מהר יותר, ולכן $g(t)$ מתוארת על ידי גרף I ו-$f(t)$ על ידי גרף II.

טעות נפוצה: לקבוע לפי המנה בלבד ולחשוב שהמנה הגדולה ($0.95$) מתאימה לדעיכה מהירה. המנה היא החלק שנשאר בכל שנה, ולכן מנה גדולה = דעיכה איטית.

מציבים $t=4$ בשתי הפונקציות:

$73.31>71.96$, ולכן לאחר 4 שנים כמות המים באגם A הייתה גדולה יותר.

טעות נפוצה: להניח שאגם B, שהתחיל עם יותר מים, עדיין "מוביל" ולא לחשב - ההפרש בין הכמויות קטן, והגרפים כבר נחתכו לפני השנה הרביעית.

משווים את שתי הפונקציות:

מחלקים את שני האגפים ב-$90\cdot0.88^t$ (חיובי):

מוציאים לוגריתם משני האגפים:

הכמויות היו שוות לאחר כ-3.759 שנים (מתאים לסעיף ג: לאחר 4 שנים באגם A כבר יש יותר מים).

טעות נפוצה: "לפתוח" את המשוואה כך: $90\cdot0.95=120\cdot0.88$ ולהשמיט את החזקה, או לכתוב $\frac{90}{120}\cdot\frac{0.95}{0.88}$ בחזקת $t$ - החזקה חלה רק על המנות, לא על המקדמים.

נסמן ב-$A_0$ את השטח בתחילת המדידות וב-$q$ את מנת הגדילה השנתית. לאחר 8 שנים השטח הוא $A_0\cdot q^8$.

מנה של 1.1036 פירושה גדילה של כ-10.36% בכל שנה.

טעות נפוצה: לחלק את הגדילה הכוללת (120%) ב-8 ולקבל 15% בשנה. הגדילה מצטברת בכפל, ולכן מוציאים שורש שמיני.

המכנה חייב להיות שונה מ-0:

טעות נפוצה: לכתוב $x\ne2$ במקום $x\ne\ln2$.

ב-$x=\ln2$ המכנה מתאפס והמונה שונה מ-0: $e^{3\ln2}=2^3=8$. לכן הישר $x=\ln2$ הוא אסימפטוטה אנכית.

טעות נפוצה: לחפש אסימפטוטה אנכית במקום שבו המונה מתאפס - אסימפטוטה אנכית נובעת מאיפוס המכנה.

חיתוך עם ציר ה-y:

חיתוך עם ציר ה-x: המונה $e^{3x}$ חיובי לכל $x$, ולכן $f(x)\ne0$ - אין חיתוך עם ציר ה-x.

נקודת החיתוך היחידה: $(0,-1)$.

טעות נפוצה: לכתוב $f(0)=\frac{0}{0-2}=0$ - $e^0=1$, לא 0.

נגזרת של מנה:

B היא נקודת החיתוך של גרף הנגזרת עם ציר ה-x: $f'(x)=0$. $e^{3x}>0$ והמכנה חיובי, ולכן:

טעות נפוצה: לפתוח את $3e^{3x}(e^x-2)$ כ-$3e^{3x}\cdot e^x-2$ (לשכוח לכפול את 2), או לכתוב $e^{3x}\cdot e^x=e^{3x^2}$ - מחברים מעריכים: $e^{4x}$.

הסימן של $f'(x)=\frac{2e^{3x}(e^x-3)}{(e^x-2)^2}$ נקבע לפי $e^x-3$ בלבד.

- $x<\ln3$, $x\ne\ln2$: $f'(x)<0$ - יורדת.

- $x>\ln3$: $f'(x)>0$ - עולה.

ירידה: $x<\ln2$ וגם $\ln2<x<\ln3$. עלייה: $x>\ln3$.

טעות נפוצה: לאחד את שני תחומי הירידה לתחום אחד $x<\ln3$, למרות ש-$x=\ln2$ אינו בתחום ההגדרה.

•אסימפטוטה אנכית $x=\ln2$.

•כאשר $x\to-\infty$: $e^{3x}\to0$ והמכנה שואף ל-$-2$, ולכן $f(x)\to0$ מלמטה.

•משמאל לאסימפטוטה $f<0$, יורדת, ועוברת דרך $(0,-1)$.

•מימין לאסימפטוטה $f>0$; יורדת עד מינימום ב-$x=\ln3$ ואז עולה: $f(\ln3)=\frac{27}{3-2}=27$.

טעות נפוצה: לסמן את נקודת המינימום ב-$(\ln3,0)$ - B היא נקודה על גרף הנגזרת; על גרף $f$ הנקודה המתאימה היא $(\ln3,27)$.

מימין ל-B ($x=\ln3$) גרף הנגזרת מעל ציר ה-x, ולכן:

טעות נפוצה: להציב את הגבולות בנגזרת $f'$ במקום בפונקציה $f$ - האינטגרל של $f'$ הוא $f$.

היגד I: הגרף שבסרטוט הוא גרף $f'$. יש לו נקודת מקסימום אחת ונקודת מינימום אחת, ונתון שכל נקודות הקיצון מופיעות בסרטוט. לכן ל-$f'$ יש בדיוק שתי נקודות קיצון - ההיגד נכון.

היגד II: נקודות הקיצון של $f$ הן נקודות החיתוך של גרף $f'$ עם ציר ה-$x$ שבהן מתחלף הסימן.

בחיתוך השמאלי $f'$ עוברת משלילית לחיובית: $f$ יורדת ואז עולה - מינימום.

בחיתוך הימני $f'$ עוברת מחיובית לשלילית: $f$ עולה ואז יורדת - מקסימום.

המינימום משמאל למקסימום, כלומר שיעור ה-$x$ של המקסימום גדול יותר - ההיגד לא נכון.

טעות נפוצה: לזהות את השיא של גרף $f'$ כנקודת המקסימום של $f$ - בשיא של $f'$ הפונקציה $f$ רק עולה הכי מהר.

$x=0$ אינו בתחום ההגדרה, ולכן אין חיתוך עם ציר ה-$y$.

חיתוך עם ציר ה-$x$: $27(\ln x)^2=0$, כלומר $\ln x=0$ ו-$x=1$.

נקודת החיתוך: $(1,0)$.

טעות נפוצה: לחפש חיתוך עם ציר ה-$y$ על ידי הצבת $x=0$ - $\ln0$ אינו מוגדר.

גוזרים לפי כלל המנה; נגזרת המונה היא $54\ln x\cdot\frac1x$ (כלל השרשרת):

$f'(x)=0$ כאשר $\ln x=0$ ($x=1$) או $\ln x=\frac23$ ($x=e^{\frac23}\approx1.95$).

סימן $f'$ (המכנה חיובי):

$0<x<1$: $\ln x<0$, $2-3\ln x>0$, ולכן $f'<0$.

$1<x<e^{\frac23}$: שני הגורמים חיוביים, $f'>0$.

$x>e^{\frac23}$: $2-3\ln x<0$, ולכן $f'<0$.

ב-$x=1$ מינימום, $f(1)=0$. ב-$x=e^{\frac23}$ מקסימום:

טעות נפוצה: לחשב $\left(e^{\frac23}\right)^3=e^{\frac{2}{9}}$ במקום $e^{2}$ - בחזקה של חזקה כופלים את המעריכים.

מטבלת הסימנים בסעיף ב(2):

עלייה ($f'>0$): $1<x<e^{\frac23}$.

ירידה ($f'<0$): $0<x<1$ ו-$x>e^{\frac23}$.

טעות נפוצה: לכלול בתחום הירידה ערכים שליליים של $x$ - התחום מתחיל ב-0.

כאשר $x\to0^+$: המונה $27(\ln x)^2\to\infty$ והמכנה $x^3\to0^+$, ולכן $f(x)\to\infty$ (ציר ה-$y$ אסימפטוטה אנכית).

כאשר $x\to\infty$: $x^3$ גדל מהר יותר מ-$(\ln x)^2$, ולכן $f(x)\to0$ ($y=0$ אסימפטוטה אופקית).

$f(x)\ge0$ לכל $x$, כך שהגרף נוגע בציר ה-$x$ ב-$(1,0)$ ולא חוצה אותו.

מחברים: יורדת מ-$+\infty$ אל $(1,0)$, עולה עד $(1.95,\,1.62)$, ויורדת לאט לכיוון ציר ה-$x$.

טעות נפוצה: לצייר את הגרף מתחת לציר ה-$x$ בתחום $0<x<1$ כי שם $\ln x<0$ - הלוגריתם מופיע בריבוע.

הקלט של $f$ הוא $x-2$, והוא חייב להיות חיובי:

טעות נפוצה: לענות $x>-2$ - הביטוי $x-2$ מזיז את הגרף ימינה.

גרף $g$ הוא גרף $f$ מוזז 2 יחידות ימינה: שיעורי ה-$x$ גדלים ב-2, שיעורי ה-$y$ וסוג הקיצון נשמרים.

טעות נפוצה: להוסיף 2 גם לשיעור ה-$y$ - הזזה אופקית לא משנה את הגובה של הנקודות.