דילוג לתוכן המרכזי
GuyAI

מתכונת במתמטיקה 472 - מתכונת 9 ברמת בגרות

4 יח"ל · שאלון 035472 · 5 שאלות · פתרון מלא לכל סעיף

מבחן מתכונת במבנה של שאלון 472 (4 יח"ל), ברמת בגרות: 5 שאלות, כל אחת בנויה כמו השאלה באותו מקום בבחינת הבגרות. לכל סעיף יש תשובה סופית ופתרון מלא, מוסבר צעד אחרי צעד. נסו לפתור לבד, ואז פתחו את הפתרון של השאלה.

הורדה ב-PDF: שאלון תשובות סופיות פתרון מלא

שאלה 1 · וקטורים במנסרה ישרה שבסיסה מקבילית: טענות על ניצבות ושטח משולש

במנסרה ישרה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D' הבסיס ABCDABCD הוא מקבילית.

נתון: AB=2AB=2, AD=22AD=2\sqrt2, ∠BAD=45∘\angle BAD=45^\circ, נפח המנסרה הוא 12.

הנקודה FF היא אמצע המקצוע B′C′B'C'.

נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline u, AD→=v‾\overrightarrow{AD}=\underline v, AA′⃗=w‾\vec{AA'}=\underline w.

ABCDA'B'C'D'F
א.

הביעו את D′A⃗\vec{D'A} ו-D′F⃗\vec{D'F} באמצעות u‾\underline u, v‾\underline v ו-w‾\underline w.

ב.

לפניכם שלוש טענות (1)-(3). קבעו אילו מהטענות נכונות. נמקו.

(1) u‾⋅v‾=0\underline u\cdot\underline v=0

(2) v‾⋅w‾=0\underline v\cdot\underline w=0

(3) D′A⃗\vec{D'A} מאונך ל-D′F⃗\vec{D'F}.

ג.

חשבו את אורך הגובה של המנסרה.

ד(1).

חשבו את אורך הווקטור D′F⃗\vec{D'F}.

ד(2).

חשבו את שטח המשולש AD′FAD'F.

◂ פתרון מלא לשאלה 1

סעיף א

תשובה:

D′A⃗=−v‾−w‾\vec{D'A}=-\underline v-\underline w, D′F⃗=u‾−12v‾\vec{D'F}=\underline u-\frac12\underline v

מבטאים כל וקטור כמסלול לאורך מקצועות המנסרה.

מ-D′D' יורדים ל-DD ומשם הולכים ל-AA:

D′A⃗=D′D⃗+DA→=−w‾−v‾\vec{D'A}=\vec{D'D}+\overrightarrow{DA}=-\underline w-\underline v

מ-D′D' הולכים ל-C′C': D′C′⃗=AB→=u‾\vec{D'C'}=\overrightarrow{AB}=\underline u. FF אמצע B′C′B'C', ו-C′B′⃗=DA→=−v‾\vec{C'B'}=\overrightarrow{DA}=-\underline v, ולכן C′F⃗=−12v‾\vec{C'F}=-\frac12\underline v:

D′F⃗=D′C′⃗+C′F⃗=u‾−12v‾\vec{D'F}=\vec{D'C'}+\vec{C'F}=\underline u-\frac12\underline v

טעות נפוצה: לכתוב C′F⃗=+12v‾\vec{C'F}=+\frac12\underline v. מ-C′C' אל B′B' הולכים נגד הכיוון של AD→\overrightarrow{AD}.

סעיף ב

תשובה:

(1) אינה נכונה, (2) נכונה, (3) נכונה

(1) הזווית בין u‾\underline u ל-v‾\underline v היא הזווית BADBAD:

u‾⋅v‾=∣u‾∣⋅∣v‾∣⋅cos⁡45∘=2⋅22⋅22=4≠0\underline u\cdot\underline v=|\underline u|\cdot|\underline v|\cdot\cos45^\circ=2\cdot2\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}2=4\ne0

הטענה אינה נכונה.

(2) המנסרה ישרה, ולכן AA′AA' מאונך למישור הבסיס ובפרט ל-ADAD: v‾⋅w‾=0\underline v\cdot\underline w=0. הטענה נכונה.

(3) גם u‾⋅w‾=0\underline u\cdot\underline w=0 (אותה סיבה), ו-v‾2=(22)2=8\underline v^2=(2\sqrt2)^2=8:

D′A⃗⋅D′F⃗=(−v‾−w‾)⋅(u‾−12v‾)=−u‾⋅v‾+12v‾2−u‾⋅w‾+12v‾⋅w‾\vec{D'A}\cdot\vec{D'F}=(-\underline v-\underline w)\cdot\left(\underline u-\frac12\underline v\right)=-\underline u\cdot\underline v+\frac12\underline v^2-\underline u\cdot\underline w+\frac12\underline v\cdot\underline w
=−4+12⋅8−0+0=0=-4+\frac12\cdot8-0+0=0

המכפלה הסקלרית 0, ולכן D′A⃗⊥D′F⃗\vec{D'A}\perp\vec{D'F}. הטענה נכונה.

טעות נפוצה: להציב v‾2=22\underline v^2=2\sqrt2 במקום ∣v‾∣2=8|\underline v|^2=8, ולקבל שהמכפלה אינה 0.

סעיף ג

תשובה:

3

נפח מנסרה = שטח הבסיס ×\times הגובה. שטח המקבילית לפי שתי צלעות והזווית ביניהן:

SABCD=AB⋅AD⋅sin⁡45∘=2⋅22⋅22=4S_{ABCD}=AB\cdot AD\cdot\sin45^\circ=2\cdot2\sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}2=4
4⋅h=12⇒h=34\cdot h=12\quad\Rightarrow\quad h=3

טעות נפוצה: לחשב את שטח הבסיס כ-2⋅222\cdot2\sqrt2 בלי הסינוס ולקבל h=32h=\frac{3}{\sqrt2}.

סעיף ד(1)

תשובה:

∣D′F⃗∣=2|\vec{D'F}|=\sqrt2

∣D′F⃗∣2=(u‾−12v‾)2=u‾2−u‾⋅v‾+14v‾2=4−4+14⋅8=2|\vec{D'F}|^2=\left(\underline u-\frac12\underline v\right)^2=\underline u^2-\underline u\cdot\underline v+\frac14\underline v^2=4-4+\frac14\cdot8=2
∣D′F⃗∣=2|\vec{D'F}|=\sqrt2

טעות נפוצה: לכתוב את האיבר המעורב כ-−12u‾⋅v‾-\frac12\underline u\cdot\underline v (בלי הכפל ב-2 של נוסחת הכפל המקוצר) ולקבל ∣D′F⃗∣2=4|\vec{D'F}|^2=4.

סעיף ד(2)

תשובה:

SAD′F=342≈2.92S_{AD'F}=\frac{\sqrt{34}}2\approx2.92

לפי טענה (3), D′A⃗⊥D′F⃗\vec{D'A}\perp\vec{D'F}, ולכן המשולש AD′FAD'F ישר-זווית ב-D′D'.

לפי סעיף ג ∣w‾∣=3|\underline w|=3:

∣D′A⃗∣2=(−v‾−w‾)2=v‾2+2v‾⋅w‾+w‾2=8+0+9=17⇒∣D′A⃗∣=17|\vec{D'A}|^2=(-\underline v-\underline w)^2=\underline v^2+2\underline v\cdot\underline w+\underline w^2=8+0+9=17\quad\Rightarrow\quad|\vec{D'A}|=\sqrt{17}
SAD′F=12⋅17⋅2=342≈2.92S_{AD'F}=\frac12\cdot\sqrt{17}\cdot\sqrt2=\frac{\sqrt{34}}2\approx2.92

טעות נפוצה: לחשב את ∣D′A⃗∣|\vec{D'A}| כ-∣v‾∣+∣w‾∣=22+3|\underline v|+|\underline w|=2\sqrt2+3. אורך סכום וקטורים אינו סכום האורכים; מחשבים דרך הריבוע הסקלרי.

שאלה 2 · וקטורים בפירמידה נמוכה: ניצבות של וקטור למישור ושטח משולש

בסרטוט שלפניכם פירמידה ABCSABCS. הנקודה DD היא אמצע המקצוע BCBC. הנקודה NN נמצאת על SDSD כך ש-SN→=13SD→\overrightarrow{SN}=\frac13\overrightarrow{SD}. המקצוע ASAS הוא גובה בפירמידה. נתון: ∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ. נסמן: AB→=u‾\overrightarrow{AB}=\underline{u}, AC→=v‾\overrightarrow{AC}=\underline{v}, AS→=w‾\overrightarrow{AS}=\underline{w}.

ABCSDN
א.

הביעו באמצעות u‾\underline{u}, v‾\underline{v} ו-w‾\underline{w} את הווקטורים BC→\overrightarrow{BC}, SD→\overrightarrow{SD} ו-AN→\overrightarrow{AN}.

נתון: ∣u‾∣=∣v‾∣=6|\underline{u}|=|\underline{v}|=6, ∣w‾∣=3|\underline{w}|=3.

ב(1).

הוכיחו כי AN→\overrightarrow{AN} מאונך ל-SD→\overrightarrow{SD}.

ב(2).

הוכיחו כי AN→\overrightarrow{AN} מאונך למישור BSC.

נתון: A(0,0,0)A(0,0,0). הקודקוד B נמצא על החלק החיובי של ציר ה-x, הקודקוד C נמצא על החלק החיובי של ציר ה-y, והקודקוד S נמצא על החלק החיובי של ציר ה-z.

ג(1).

מה הם שיעורי הנקודות B, C ו-S?

ג(2).

מצאו את שיעורי הנקודות D ו-N.

ד.

חשבו את שטח המשולש AND.

◂ פתרון מלא לשאלה 2

סעיף א

תשובה:

BC→=−u‾+v‾\overrightarrow{BC}=-\underline{u}+\underline{v}, SD→=12u‾+12v‾−w‾\overrightarrow{SD}=\frac12\underline{u}+\frac12\underline{v}-\underline{w}, AN→=16u‾+16v‾+23w‾\overrightarrow{AN}=\frac16\underline{u}+\frac16\underline{v}+\frac23\underline{w}

BC→=BA→+AC→=−u‾+v‾\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}=-\underline u+\underline v

D אמצע BC, ולכן AD→=12u‾+12v‾\overrightarrow{AD}=\frac12\underline u+\frac12\underline v, ו:

SD→=SA→+AD→=−w‾+12u‾+12v‾\overrightarrow{SD}=\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AD}=-\underline w+\frac12\underline u+\frac12\underline v

N נמצאת שליש מהדרך מ-S ל-D:

AN→=AS→+13SD→=w‾+16u‾+16v‾−13w‾=16u‾+16v‾+23w‾\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AS}+\frac13\overrightarrow{SD}=\underline w+\frac16\underline u+\frac16\underline v-\frac13\underline w=\frac16\underline u+\frac16\underline v+\frac23\underline w

טעות נפוצה: לכפול ב-13\frac13 רק את 12u‾+12v‾\frac12\underline u+\frac12\underline v ולשכוח את −w‾-\underline w שבתוך SD→\overrightarrow{SD}, ולקבל AN→=16u‾+16v‾+w‾\overrightarrow{AN}=\frac16\underline u+\frac16\underline v+\underline w.

סעיף ב(1)

תשובה:

הוכחה: AN→⋅SD→=0\overrightarrow{AN}\cdot\overrightarrow{SD}=0

∠BAC=90∘\angle BAC=90^\circ, ולכן u‾⋅v‾=0\underline u\cdot\underline v=0. AS גובה, כלומר מאונך למישור הבסיס ולכל ישר בו, ולכן w‾⋅u‾=w‾⋅v‾=0\underline w\cdot\underline u=\underline w\cdot\underline v=0.

u‾⋅u‾=v‾⋅v‾=36\underline u\cdot\underline u=\underline v\cdot\underline v=36, w‾⋅w‾=9\underline w\cdot\underline w=9.

AN→⋅SD→=16⋅12⋅36+16⋅12⋅36+23⋅(−1)⋅9=3+3−6=0\overrightarrow{AN}\cdot\overrightarrow{SD}=\frac16\cdot\frac12\cdot36+\frac16\cdot\frac12\cdot36+\frac23\cdot(-1)\cdot9=3+3-6=0

לכן AN→⊥SD→\overrightarrow{AN}\perp\overrightarrow{SD}.

טעות נפוצה: להציב 36 גם עבור w‾⋅w‾\underline w\cdot\underline w, כאילו כל המקצועות שווים; מתקבל 3+3−24≠03+3-24\ne0 והמסקנה השגויה שאין ניצבות.

סעיף ב(2)

תשובה:

הוכחה: AN→⋅BC→=0\overrightarrow{AN}\cdot\overrightarrow{BC}=0 וגם AN→⋅SD→=0\overrightarrow{AN}\cdot\overrightarrow{SD}=0

מספיק להראות ש-AN→\overrightarrow{AN} מאונך לשני ישרים נחתכים במישור BSC. אחד מהם, SD, טופל בסעיף ב(1). השני - BC:

AN→⋅BC→=(16u‾+16v‾+23w‾)⋅(−u‾+v‾)=−16⋅36+16⋅36=0\overrightarrow{AN}\cdot\overrightarrow{BC}=\left(\frac16\underline u+\frac16\underline v+\frac23\underline w\right)\cdot(-\underline u+\underline v)=-\frac16\cdot36+\frac16\cdot36=0

SD ו-BC נחתכים ב-D, ולכן AN→\overrightarrow{AN} מאונך למישור BSC.

טעות נפוצה: להסתפק בניצבות ל-SD בלבד. ניצבות לישר אחד במישור אינה מספיקה - צריך שני ישרים נחתכים.

סעיף ג(1)

תשובה:

B(6,0,0)B(6,0,0), C(0,6,0)C(0,6,0), S(0,0,3)S(0,0,3)

AB, AC ו-AS מאונכים זה לזה ויוצאים מהראשית, ולכן הם מונחים על הצירים, כל אחד באורכו:

B(6,0,0),C(0,6,0),S(0,0,3)B(6,0,0),\qquad C(0,6,0),\qquad S(0,0,3)

טעות נפוצה: לתת ל-S את השיעור 6 כמו לשאר הקודקודים. אורך הגובה AS הוא 3.

סעיף ג(2)

תשובה:

D(3,3,0)D(3,3,0), N(1,1,2)N(1,1,2)

D=(6+02,0+62,0)=(3,3,0)D=\left(\frac{6+0}{2},\frac{0+6}{2},0\right)=(3,3,0)

N: מסעיף א, AN→=16u‾+16v‾+23w‾\overrightarrow{AN}=\frac16\underline u+\frac16\underline v+\frac23\underline w:

N=16(6,0,0)+16(0,6,0)+23(0,0,3)=(1,1,2)N=\frac16(6,0,0)+\frac16(0,6,0)+\frac23(0,0,3)=(1,1,2)

(בדיקה: S+13(D−S)=(0,0,3)+13(3,3,−3)=(1,1,2)S+\frac13(D-S)=(0,0,3)+\frac13(3,3,-3)=(1,1,2).)

טעות נפוצה: לחשב D+13(S−D)=(2,2,1)D+\frac13(S-D)=(2,2,1) - הנקודה שבשליש הקטע מ-D, ולא מ-S.

סעיף ד

תשובה:

32≈4.243\sqrt2\approx4.24

לפי סעיף ב(1) AN→⊥SD→\overrightarrow{AN}\perp\overrightarrow{SD}, ו-D על הישר SD, ולכן הזווית ב-N במשולש AND ישרה.

AN→=(1,1,2),∣AN→∣=6\overrightarrow{AN}=(1,1,2),\quad|\overrightarrow{AN}|=\sqrt6
ND→=(3−1, 3−1, 0−2)=(2,2,−2),∣ND→∣=12=23\overrightarrow{ND}=(3-1,\,3-1,\,0-2)=(2,2,-2),\quad|\overrightarrow{ND}|=\sqrt{12}=2\sqrt3
S=12⋅6⋅23=18=32≈4.24S=\frac12\cdot\sqrt6\cdot2\sqrt3=\sqrt{18}=3\sqrt2\approx4.24

טעות נפוצה: לחשב 12⋅∣AN→∣⋅∣AD→∣\frac12\cdot|\overrightarrow{AN}|\cdot|\overrightarrow{AD}| - AD הוא היתר של המשולש, לא ניצב.

שאלה 3 · גדילה ודעיכה: שתי תרופות בדם

נועה נטלה שתי תרופות - תרופה א ותרופה ב - באותו הרגע. הכמות של כל אחת מן התרופות בדם נמדדה במיליגרמים (מ"ג). הכמות ההתחלתית של תרופה א בדם הייתה גדולה מזו של תרופה ב. בכל שעה קטנה הכמות של כל אחת מן התרופות בדם באחוז קבוע (כל אחת באחוז שונה). נתון כי לאחר זמן מסוים מרגע נטילת התרופות, הייתה הכמות של תרופה ב בדם גדולה מזו של תרופה א.

א.

האם האחוז שבו קטנה בכל שעה הכמות של תרופה ב היה גדול מן האחוז שבו קטנה בכל שעה הכמות של תרופה א? נמקו את תשובתכם.

נתון שהכמות ההתחלתית של תרופה א בדם הייתה 500 מ"ג, ובכל שעה היא קטנה ב-15%.

ב.

מצאו כעבור כמה זמן מרגע נטילת התרופות הייתה הכמות של תרופה א בדם 120 מ"ג.

לאחר 4 שעות מרגע נטילת התרופות, הייתה הכמות של תרופה ב בדם 72% מן הכמות ההתחלתית שלה.

ג.

מצאו בכמה אחוזים קטנה הכמות של תרופה ב בדם בכל שעה.

לאחר 10 שעות מרגע נטילת התרופות, הייתה הכמות של תרופה ב בדם 180 מ"ג.

ד.

מצאו כעבור כמה זמן מרגע נטילת התרופות הייתה הכמות של שתי התרופות בדם שווה.

◂ פתרון מלא לשאלה 3

סעיף א

תשובה:

לא

נסמן את הכמויות ההתחלתיות A0>B0A_0>B_0 ואת המנות qAq_A, qBq_B.

אילו הכמות של תרופה ב הייתה קטנה באחוז גדול יותר או שווה, אז qB≤qAq_B\le q_A, ולכל זמן tt:

B0qBt<A0qAtB_0q_B^t<A_0q_A^t

כלומר תרופה ב הייתה נשארת תמיד בכמות קטנה יותר - בסתירה לנתון שבשלב מסוים יש ממנה יותר.

לכן qB>qAq_B>q_A: תרופה ב קטנה באחוז קטן יותר, והתשובה היא לא.

טעות נפוצה: לענות "כן" כי תרופה ב "עקפה" את תרופה א. היא עקפה דווקא משום שהיא קטנה לאט יותר.

סעיף ב

תשובה:

כעבור כ-8.78 שעות

ירידה של 15% בשעה: qA=0.85q_A=0.85, והכמות אחרי tt שעות היא 500⋅0.85t500\cdot0.85^t.

500⋅0.85t=120⇒0.85t=0.24500\cdot0.85^t=120\quad\Rightarrow\quad0.85^t=0.24
t=log⁡0.24log⁡0.85≈8.78t=\frac{\log0.24}{\log0.85}\approx8.78

הכמות של תרופה א הייתה 120 מ"ג כעבור כ-8.78 שעות.

טעות נפוצה: לחשב 500⋅0.15t500\cdot0.15^t - המנה היא החלק שנשאר (85%), לא החלק שירד.

סעיף ג

תשובה:

בכ-7.884%

B0qB4=0.72B0⇒qB4=0.72B_0q_B^4=0.72B_0\quad\Rightarrow\quad q_B^4=0.72
qB=0.724≈0.92116q_B=\sqrt[4]{0.72}\approx0.92116

בכל שעה נשאר כ-92.116% מהכמות, ולכן היא קטנה בכ-100%−92.116%=7.884%100\%-92.116\%=7.884\%.

בדיקה מול סעיף א: 7.884%<15%7.884\%<15\% - תרופה ב קטנה לאט יותר, כמו שהסקנו.

טעות נפוצה: לחלק 28% ב-4 ולענות 7%.

סעיף ד

תשובה:

כעבור כ-2.49 שעות

מוצאים את הכמות ההתחלתית של תרופה ב: qB10=0.9211610≈0.43988q_B^{10}=0.92116^{10}\approx0.43988 (או 0.722.50.72^{2.5}).

B0⋅0.43988=180⇒B0≈409.2B_0\cdot0.43988=180\quad\Rightarrow\quad B_0\approx409.2

(בדיקה: 409.2<500409.2<500, כמו שנתון.)

משווים את הכמויות באותו זמן tt:

500⋅0.85t=409.2⋅0.92116t500\cdot0.85^t=409.2\cdot0.92116^t
(0.850.92116)t=409.2500⇒0.92275t≈0.8184\left(\frac{0.85}{0.92116}\right)^t=\frac{409.2}{500}\quad\Rightarrow\quad0.92275^t\approx0.8184
t=log⁡0.8184log⁡0.92275≈2.49t=\frac{\log0.8184}{\log0.92275}\approx2.49

הכמויות של שתי התרופות היו שוות כעבור כ-2.49 שעות.

טעות נפוצה: להשתמש ב-180 כאילו זו הכמות ההתחלתית של תרופה ב. 180 מ"ג נמדדו אחרי 10 שעות.

שאלה 4 · חקירת פונקציה מעריכית שהיא מנה, ושיקוף והזזה של הגרף

נתונה הפונקציה f(x)=2e2xex−2f(x)=\frac{2e^{2x}}{e^x-2}.

א(1).

מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

א(2).

מצאו את משוואת האסימפטוטה האנכית לציר ה-x של הפונקציה f(x)f(x).

ב.

מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

ג.

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

ד.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)f(x).

ה.

סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x).

נתונה הפונקציה g(x)g(x), המקיימת g(x)=−f(x)−4g(x)=-f(x)-4. הפונקציות f(x)f(x) ו-g(x)g(x) מוגדרות באותו התחום.

ו(1).

מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה g(x)g(x), וקבעו את סוגה.

ו(2).

כמה נקודות חיתוך יש לגרף הפונקציה g(x)g(x) עם ציר ה-x? נמקו.

◂ פתרון מלא לשאלה 4

סעיף א(1)

תשובה:

x≠ln⁡2x\ne\ln2

המכנה חייב להיות שונה מ-0:

ex−2≠0⇒x≠ln⁡2e^x-2\ne0\quad\Rightarrow\quad x\ne\ln2

טעות נפוצה: לכתוב x≠2x\ne2 במקום x≠ln⁡2x\ne\ln2.

סעיף א(2)

תשובה:

x=ln⁡2x=\ln2

ב-x=ln⁡2x=\ln2 המכנה מתאפס והמונה שונה מ-0: 2e2ln⁡2=2⋅4=82e^{2\ln2}=2\cdot4=8. לכן x=ln⁡2x=\ln2 אסימפטוטה אנכית.

טעות נפוצה: לחפש אסימפטוטה אנכית במקום שבו המונה מתאפס. אסימפטוטה אנכית נובעת מאיפוס המכנה.

סעיף ב

תשובה:

(0,−2)(0,-2)

חיתוך עם ציר ה-y:

f(0)=2e0e0−2=21−2=−2f(0)=\frac{2e^0}{e^0-2}=\frac{2}{1-2}=-2

חיתוך עם ציר ה-x: המונה 2e2x>02e^{2x}>0 לכל xx, ולכן אין.

נקודת החיתוך היחידה: (0,−2)(0,-2).

טעות נפוצה: לכתוב f(0)=2−2⋅0f(0)=\frac{2}{-2}\cdot0 או לשכוח את המקדם 2 ולקבל −1-1.

סעיף ג

תשובה:

מינימום (ln⁡4,16)(\ln4,16)

f′(x)=4e2x(ex−2)−2e2x⋅ex(ex−2)2=4e3x−8e2x−2e3x(ex−2)2=2e2x(ex−4)(ex−2)2f'(x)=\frac{4e^{2x}(e^x-2)-2e^{2x}\cdot e^x}{(e^x-2)^2}=\frac{4e^{3x}-8e^{2x}-2e^{3x}}{(e^x-2)^2}=\frac{2e^{2x}(e^x-4)}{(e^x-2)^2}

f′(x)=0f'(x)=0 כאשר ex=4e^x=4, כלומר x=ln⁡4x=\ln4.

f(ln⁡4)=2e2ln⁡4eln⁡4−2=2⋅164−2=16f(\ln4)=\frac{2e^{2\ln4}}{e^{\ln4}-2}=\frac{2\cdot16}{4-2}=16

סימן f′f' לפי ex−4e^x-4: שלילי משמאל ל-ln⁡4\ln4, חיובי מימין - מינימום.

נקודת מינימום: (ln⁡4,16)(\ln4,16).

טעות נפוצה: לגזור את המונה 2e2x2e^{2x} ל-2e2x2e^{2x} (בלי כלל השרשרת) - הנגזרת היא 4e2x4e^{2x}.

סעיף ד

תשובה:

עלייה: x>ln⁡4x>\ln4; ירידה: x<ln⁡2x<\ln2, ln⁡2<x<ln⁡4\ln2<x<\ln4

הסימן של f′(x)=2e2x(ex−4)(ex−2)2f'(x)=\frac{2e^{2x}(e^x-4)}{(e^x-2)^2} נקבע לפי ex−4e^x-4:

- x<ln⁡4x<\ln4, x≠ln⁡2x\ne\ln2: יורדת.

- x>ln⁡4x>\ln4: עולה.

ירידה: x<ln⁡2x<\ln2 וגם ln⁡2<x<ln⁡4\ln2<x<\ln4. עלייה: x>ln⁡4x>\ln4.

טעות נפוצה: לאחד את שני תחומי הירידה, אף ש-x=ln⁡2x=\ln2 אינו בתחום ההגדרה.

סעיף ה

תשובה:

משמאל לאסימפטוטה: יורדת מ-0 (כש-x→−∞x\to-\infty) דרך (0,−2)(0,-2) אל −∞-\infty; מימין: יורדת מ-+∞+\infty למינימום (ln⁡4,16)(\ln4,16) ועולה

•אסימפטוטה אנכית x=ln⁡2x=\ln2.

•כאשר x→−∞x\to-\infty: המונה שואף ל-0 והמכנה ל-−2-2, ולכן f→0f\to0 מלמטה (אסימפטוטה אופקית y=0y=0 משמאל).

•משמאל לאסימפטוטה f<0f<0, יורדת, ועוברת דרך (0,−2)(0,-2).

•מימין לאסימפטוטה f>0f>0; יורדת עד המינימום (ln⁡4,16)(\ln4,16) ואז עולה.

(0,-2)(ln4,16)

טעות נפוצה: לצייר את הענף השמאלי כעולה - בכל התחום x<ln⁡2x<\ln2 הנגזרת שלילית.

סעיף ו(1)

תשובה:

מקסימום (ln⁡4,−20)(\ln4,-20)

−f-f הוא שיקוף ביחס לציר ה-x (המינימום הופך למקסימום, ה-y מחליף סימן), ו-−4-4 מזיז 4 יחידות למטה:

g(ln⁡4)=−16−4=−20g(\ln4)=-16-4=-20

נקודת מקסימום: (ln⁡4,−20)(\ln4,-20).

טעות נפוצה: לחשב −(16−4)=−12-(16-4)=-12 - ההזזה מתבצעת אחרי השיקוף: −16−4-16-4.

סעיף ו(2)

תשובה:

נקודת חיתוך אחת

g(x)=0g(x)=0 בדיוק כאשר f(x)=−4f(x)=-4.

•בענף הימני f(x)≥16f(x)\ge16, ולכן אין שם פתרון.

•בענף השמאלי ff יורדת מ-0 (כש-x→−∞x\to-\infty) אל −∞-\infty (ליד האסימפטוטה), ועוברת בכל ערך שלילי פעם אחת בדיוק. לכן הערך −4-4 מתקבל פעם אחת.

סך הכול נקודת חיתוך אחת (בענף השמאלי).

טעות נפוצה: לבדוק רק את סביבת נקודת הקיצון: "המקסימום של gg שלילי, ולכן אין חיתוך". בענף השמאלי g=−f−4g=-f-4 עולה מ-−4-4 אל +∞+\infty וחוצה את הציר.

שאלה 5 · פונקציה מעריכית לפי נגזרתה: קיצון, פונקציה קדומה ושטח

הפונקציה f(x)f(x) ופונקציית הנגזרת שלה, f′(x)f'(x), מוגדרות לכל xx. נתון: f′(x)=2e2x−2e2−2xf'(x)=2e^{2x}-2e^{2-2x}.

א.

מצאו את שיעור ה-xx של נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבעו את סוגה.

נתון כי הפונקציה f(x)f(x) חיובית לכל xx.

ב.

סרטטו סקיצה אפשרית של גרף הפונקציה f(x)f(x).

ג.

קבעו איזו מן האפשרויות (1)-(4) שלפניכם יכולה לתאר את הפונקציה f(x)f(x). נמקו.

(1) f(x)=e2x−e2−2x+cf(x)=e^{2x}-e^{2-2x}+c

(2) f(x)=4e2x+4e2−2x+cf(x)=4e^{2x}+4e^{2-2x}+c

(3) f(x)=e2x+e2−2x+cf(x)=e^{2x}+e^{2-2x}+c

(4) f(x)=e2x−4e2−2x+cf(x)=e^{2x}-4e^{2-2x}+c

cc הוא פרמטר.

דרך נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x) העבירו אנך לציר ה-xx.

נתון: השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x)f(x), על ידי האנך, ועל ידי הצירים הוא e2+12\frac{e^2+1}2.

ד(1).

מצאו את cc.

ד(2).

מצאו את ערך ה-yy של נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x).

◂ פתרון מלא לשאלה 5

סעיף א

תשובה:

x=12x=\frac12, מינימום

2e2x−2e2−2x=0⇒e2x=e2−2x⇒2x=2−2x⇒x=122e^{2x}-2e^{2-2x}=0\quad\Rightarrow\quad e^{2x}=e^{2-2x}\quad\Rightarrow\quad2x=2-2x\quad\Rightarrow\quad x=\frac12

סימן הנגזרת: f′(0)=2−2e2<0f'(0)=2-2e^2<0, ו-f′(1)=2e2−2>0f'(1)=2e^2-2>0. הנגזרת עוברת משלילית לחיובית - מינימום.

טעות נפוצה: להשוות 2x=22x=2 ולקבל x=1x=1 - שוכחים שגם באגף ימין יש xx במעריך.

סעיף ב

תשובה:

גרף בצורת U מעל ציר ה-xx, עם מינימום ב-x=12x=\frac12

ff יורדת עבור x<12x<\frac12 ועולה עבור x>12x>\frac12, עם מינימום יחיד. מאחר ש-ff חיובית, נקודת המינימום מעל ציר ה-xx.

סקיצה: גרף שיורד, מגיע למינימום מעל ציר ה-xx ב-x=12x=\frac12, ועולה.

טעות נפוצה: לצייר את הגרף חוצה את ציר ה-xx - זה סותר את הנתון שהפונקציה חיובית לכל xx.

סעיף ג

תשובה:

אפשרות (3)

גוזרים כל אפשרות; (e2x)′=2e2x\left(e^{2x}\right)'=2e^{2x} ו-(e2−2x)′=−2e2−2x\left(e^{2-2x}\right)'=-2e^{2-2x}:

(1) 2e2x+2e2−2x2e^{2x}+2e^{2-2x} - לא מתאים (סימן).

(2) 8e2x−8e2−2x8e^{2x}-8e^{2-2x} - לא מתאים (מקדם).

(3) 2e2x−2e2−2x2e^{2x}-2e^{2-2x} - בדיוק f′(x)f'(x).

(4) 2e2x+8e2−2x2e^{2x}+8e^{2-2x} - לא מתאים.

לכן אפשרות (3).

טעות נפוצה: לבחור את (2) - "מכפילים במקדם של המעריך" במקום לחלק בו. בפונקציה קדומה של eax+be^{ax+b} מחלקים ב-aa.

סעיף ד(1)

תשובה:

c=2c=2

האנך: x=12x=\frac12; ציר ה-yy: x=0x=0. ff חיובית, ולכן:

∫012(e2x+e2−2x+c)dx=[12e2x−12e2−2x+cx]012\int_0^{\frac12}\left(e^{2x}+e^{2-2x}+c\right)dx=\left[\frac12e^{2x}-\frac12e^{2-2x}+cx\right]_0^{\frac12}
=(e2−e2+c2)−(12−e22)=e2−12+c2=\left(\frac e2-\frac e2+\frac c2\right)-\left(\frac12-\frac{e^2}2\right)=\frac{e^2-1}2+\frac c2
e2−1+c2=e2+12⇒c=2\frac{e^2-1+c}2=\frac{e^2+1}2\quad\Rightarrow\quad c=2

טעות נפוצה: לשכוח שהאינטגרל של cc על קטע באורך 12\frac12 הוא c2\frac c2, ולכתוב e2−12+c\frac{e^2-1}2+c - ואז c=1c=1.

סעיף ד(2)

תשובה:

ymin=2e+2y_{min}=2e+2

f(x)=e2x+e2−2x+2f(x)=e^{2x}+e^{2-2x}+2, והקיצון ב-x=12x=\frac12:

f(12)=e1+e2−1+2=2e+2≈7.44f\left(\frac12\right)=e^1+e^{2-1}+2=2e+2\approx7.44

טעות נפוצה: להציב x=12x=\frac12 רק במעריך הראשון ולכתוב e+e2+2e+e^2+2 - גם במעריך 2−2x2-2x מציבים: 2−1=12-1=1.

כל האתר במבט אחד

קיצורי דרך לכל הכלים, הבגרויות והקורסים

GuyAI הוא המורה הפרטי המתקדם בישראל, המבוסס על מודלי הבינה המלאכותית החזקים בעולם בשילוב הידע הפדגוגי של GOOL. המערכת מספקת פתרונות לכל המקצועות ולכל הרמות - מיסודי ועד אקדמיה, וממתמטיקה ועד היסטוריה.