מתכונת במתמטיקה 472 - מתכונת 10 ברמת בגרות

מספר ההורדות בכל שבוע גדול פי 3 מבשבוע שלפניו, לכן מספרי ההורדות יוצרים סדרה הנדסית עם $q=3$.

נסמן ב-$a_1$ את מספר ההורדות בשבוע הראשון. בשבוע השני היו $3a_1$ הורדות.

בשבוע הראשון הורידו את האפליקציה 120 פעמים.

טעות נפוצה: לחלק את 480 ב-3 (את המנה) במקום ב-$1+3=4$.

מספר ההורדות בכל 6 השבועות הוא סכום 6 האיברים הראשונים בסדרה:

על כל הורדה התקבלו 5 שקלים:

סך ההכנסות הוא 218,400 שקלים.

טעות נפוצה: לכתוב במכנה $q=3$ במקום $q-1=2$, או לחשב $3^5$ במקום $3^6$.

הסכום לפרסום הוא רבע מההכנסות: $\frac{218{,}400}{4}=54{,}600$ שקלים.

ההשקעות החודשיות יוצרות סדרה חשבונית עם $a_1=550$, $d=150$, ומספר האיברים $n$ לא ידוע:

מחלקים ב-50: $3n^2+19n-2184=0$.

$n=24$ או $n=-\frac{91}{3}$. מספר החודשים טבעי, לכן $n=24$.

טעות נפוצה: להציב כסכום הסדרה את כל ההכנסות (218,400) או את מספר ההורדות (43,680), במקום רבע מההכנסות.

יש 24 חודשים, ולכן שני החודשים האמצעיים הם ה-12 וה-13.

בדיקה: $a_{12}+a_{13}=a_1+a_{24}=\frac{2S_{24}}{24}=\frac{2\cdot54{,}600}{24}=4550$.

בשני החודשים האמצעיים הושקעו 4,550 שקלים.

טעות נפוצה: לחשב $a_{12}=550+12\cdot150$, כלומר להוסיף $d$ פעם אחת יותר מדי.

וקטור בין שתי נקודות הוא הסוף פחות ההתחלה, כששניהם יוצאים מ-$A$:

מ-$A$ הולכים ל-$B$ ואז שליש מהדרך מ-$B$ ל-$S$:

$F$ אמצע $BC$:

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{AE}=\frac13\underline u+\frac23\underline w$ - השליש הוא החלק מ-$B$, ולכן המקדם של $\underline u$ הוא $1-\frac13$.

$AS$ מאונך לבסיס, לכן הוא הגובה: $h=6$.

טעות נפוצה: לשכוח את $\frac13$, או לחשב את שטח הבסיס כ-$\frac12\cdot4\cdot8$ בלי הסינוס, כאילו הזווית ישרה.

טעות נפוצה: לקבל $+16$ בגלל $\cos120^\circ=\frac12$; בזווית קהה הקוסינוס שלילי.

$AS$ מאונך למישור הבסיס, ולכן $\underline w\cdot\underline u=0$ ו-$\underline w\cdot\underline v=0$. בנוסף $\underline u^2=16$.

לכן $\overrightarrow{AE}\perp\overrightarrow{AF}$.

טעות נפוצה: להציב $\underline u^2=4$ (האורך) במקום $|\underline u|^2=16$.

טעות נפוצה: לשכוח את האיבר $2\underline u\cdot\underline v$ ולקבל $\sqrt{20}$.

לפי סעיף ג(2) הזווית $EAF$ ישרה, ולכן השטח הוא חצי מכפלת הניצבים $AE$ ו-$AF$.

טעות נפוצה: לחשב את $|\overrightarrow{AE}|$ כ-$\frac23\cdot4+\frac13\cdot6$ - אורך של סכום וקטורים אינו סכום האורכים.

גרף II יורד - דעיכה, ושתי הפונקציות $P$ ו-$R$ עולות (בסיסים 1.15 ו-1.4). לכן גרף II אינו של מטע א' או ב'.

משווים ערכים התחלתיים: $P(0)=200$, $R(0)=40$. גרף III מתחיל גבוה יותר מגרף I, ולכן גרף III של מטע א' וגרף I של מטע ב'.

בדיקה: הבסיס של $R$ (1.4) גדול מזה של $P$ (1.15), ולכן גרף I עולה בתלילות ועוקף את גרף III - כמו בסרטוט.

טעות נפוצה: לשייך את מטע א' לגרף שגבוה בסוף הסרטוט (גרף I), כי המקדם שלו (200) גדול יותר, ואת מטע ב' לגרף III - התאמה הפוכה. בסוף הסרטוט גבוה דווקא הגרף של הבסיס הגדול (1.4), כלומר מטע ב'; ההתאמה נקבעת לפי הערך ההתחלתי.

מציבים $t=6$:

טעות נפוצה: לחשב $40\cdot1.4\cdot6$ - כאילו הגידול קבוע (קווי) ולא מעריכי.

המספרים השתוו לאחר כ-8.18 ימים, כלומר במהלך היום ה-9.

טעות נפוצה: לחסר בסיסים במקום לחלק אותם ($(1.4-1.15)^t$). מנה של שתי חזקות עם אותו מעריך היא חזקה של מנת הבסיסים.

בזמן הבדיקה הראשונית ($t=0$):

לאחר 6 ימים - שליש ממספר העצים במטע ב' (מסעיף ב):

בכל יום נשאר כ-66.13% מהעצים הנגועים, כלומר מספרם ירד בכ-33.87%.

טעות נפוצה: לקחת את "פי 30" כנתון על הערך לאחר 6 ימים, ולכתוב $Z(6)=30\cdot R(6)$. היחס "פי 30" מתאר את הבדיקה הראשונית.

במטעים א' וב' המספר עולה, ולכן הערך הגדול ביותר בתוך 9 הימים הוא ב-$t=9$:

במטע ג' המספר יורד, ולכן הערך הגדול ביותר הוא בהתחלה: $Z(0)=1200\ge800$.

לכן ירססו במטע ב' (כעבור $t=\frac{\ln20}{\ln1.4}\approx8.9$ ימים) ובמטע ג' (כבר בבדיקה הראשונית), ולא במטע א'.

טעות נפוצה: לבדוק את מטע ג' רק בסוף 9 הימים ($Z(9)\approx29$) ולפסול אותו. בתהליך יורד הערך הגדול ביותר הוא בתחילת התקופה.

$f(e^3)=0$ ו-$\ln e^3=3$:

טעות נפוצה: לכתוב $\ln e^3=e^3$ או $\ln e^3=1$ - לוגריתם בבסיס $e$ של $e^3$ הוא המעריך 3.

הביטוי $\ln x$ מוגדר רק ל-$x>0$. תחום ההגדרה: $x>0$.

טעות נפוצה: לכתוב "כל $x$" כי $(\ln x)^2$ "תמיד חיובי". הריבוע לא מרחיב את תחום ההגדרה של $\ln x$.

$t=\ln x$: $t^2-2t-3=0$, כלומר $(t-3)(t+1)=0$, $t=3$ או $t=-1$.

$t=3$ היא הנקודה הנתונה $(e^3,0)$. $t=-1$: $\ln x=-1$, $x=e^{-1}=\frac1e$.

נקודת החיתוך האחרת: $(\frac1e,0)$.

טעות נפוצה: לפסול את $t=-1$ כי "לוגריתם לא יכול להיות שלילי". $\ln x$ שלילי לכל $0<x<1$ - פוסלים רק $x\le0$.

$f'=0$ כש-$\ln x=1$, כלומר $x=e$.

ל-$0<x<e$: $f'<0$; ל-$x>e$: $f'>0$. לכן ב-$x=e$ מינימום.

טעות נפוצה: לגזור $-2\ln x$ כ-$-\frac{2}{\ln x}$ במקום $-\frac2x$.

כש-$x\to0^+$: $\ln x\to-\infty$, ולכן $(\ln x)^2-2\ln x\to+\infty$. ציר ה-$y$ הוא אסימפטוטה אנכית.

הגרף יורד, חוצה את ציר ה-$x$ ב-$(\frac1e,0)$ (משמאל ל-$x=1$), עובר ב-$(1,-3)$, מגיע למינימום $(e,-4)$, עולה וחוצה ב-$(e^3,0)$.

טעות נפוצה: לסמן את $(\frac1e,0)$ מימין ל-$x=1$. $\frac1e\approx0.37$.

היכן ש-$f\ge0$ ($0<x\le\frac1e$ ו-$x\ge e^3$): $g=f$.

היכן ש-$f<0$ ($\frac1e<x<e^3$): משקפים ביחס לציר ה-$x$. המינימום $(e,-4)$ הופך למקסימום $(e,4)$.

בנקודות החיתוך הגרף נוגע בציר בחוד (מינימום של $g$).

טעות נפוצה: לשקף את כל הגרף, כולל החלקים שכבר מעל הציר, ולקבל גרף הפוך.

$\ln\frac x3$ מוגדר כאשר $\frac x3>0$, כלומר $x>0$.

טעות נפוצה: לכתוב $x>3$ - הלוגריתם מוגדר גם כשהוא שלילי ($0<\frac x3<1$); הדרישה היא רק שהביטוי שבתוכו חיובי.

$\left(\ln\frac x3\right)'=\frac{1/3}{x/3}=\frac1x$, ולכן לפי כלל המכפלה:

ב-$x=3e$: $\ln e=1$, ולכן $f'(3e)=2a$.

טעות נפוצה: לגזור $\ln\frac x3$ ל-$\frac3x$ (הופכי של הביטוי שבתוך ה-$\ln$ בלי כלל השרשרת).

$f(x)=-3x\ln\frac x3=0$:

- $-3x=0$, כלומר $x=0$ - מחוץ לתחום, נפסל.

- $\ln\frac x3=0$, כלומר $\frac x3=1$ ו-$x=3$.

נקודת החיתוך: $(3,0)$.

טעות נפוצה: לפתור $\ln\frac x3=0$ כ-$x=0$ - $\ln$ מתאפס כשהביטוי שבתוכו שווה 1.

$f'(x)=-3\left(\ln\frac x3+1\right)=0$:

$\ln\frac x3+1$ עולה, והמקדם $-3$ שלילי, ולכן $f'$ חיובית משמאל ל-$\frac3e$ ושלילית מימין: עלייה ואחריה ירידה - מקסימום.

טעות נפוצה: לקבוע "מינימום" כמו בפונקציה $x\ln x$ - המקדם השלילי $a=-3$ הופך את סימן הנגזרת.

הגרף של $f$: תחום $x>0$ עם נקודה ריקה בראשית, מקסימום חיובי ב-$x=\frac3e$, וחיתוך עם ציר ה-x ב-$x=3$ מימין למקסימום. כך נראה גרף IV. בגרף II יש מינימום, וגרפים I ו-III שואפים לאינסוף ליד ציר ה-y.

הגרף של $f'$: $f'(x)=-3\ln\frac x3-3$. כאשר $x\to0^+$, $\ln\frac x3\to-\infty$ ולכן $f'\to+\infty$; היא יורדת בכל התחום ומתאפסת ב-$x=\frac3e$ - חיובית איפה ש-$f$ עולה ושלילית איפה שהיא יורדת. כך נראה גרף I. גרף III עולה - הוא מתאים לנגזרת של פונקציה עם מינימום.

טעות נפוצה: לבחור בגרף III לנגזרת כי "נגזרת של $\ln$ נראית כמו $\ln$ עולה". המקדם השלילי הופך אותה ליורדת.

גרף $f'$ חותך את ציר ה-x ב-$x=\frac3e$, ומימין לנקודה זו הוא מתחת לציר. לכן השטח הוא הערך המוחלט של האינטגרל בין $\frac3e$ ל-$3e$:

טעות נפוצה: לענות שטח שלילי ($-27.78$). כשהגרף מתחת לציר האינטגרל שלילי, והשטח הוא הערך המוחלט שלו.