בגרות במתמטיקה 472 - קיץ 2024 מועד ב'

נשתמש בנוסחת האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d$ עם $n=13$ ו-$d=6$:

בדיקה: $-52+12\cdot6=20$.

טעות נפוצה: לכתוב $a_{13}=a_1+13d$ ולקבל $a_1=-58$. מהאיבר הראשון לאיבר ה-13 יש רק 12 הוספות של ההפרש.

האיברים במקומות האי-זוגיים הם $a_1,a_3,a_5,\dots,a_{25}$.

כמה הם? המקומות $1,3,5,\dots,25$ - כלומר $\frac{25+1}{2}=13$ איברים.

הם יוצרים סדרה חשבונית חדשה: בין שני איברים סמוכים בה יש שתי הוספות של 6, ולכן ההפרש שלה הוא $2\cdot6=12$.

האיבר הראשון שלה $a_1=-52$, והאחרון $a_{25}=a_1+24d=-52+144=92$.

סכום 13 האיברים:

טעות נפוצה: לחשב את מספר האיברים כ-12 (חצי מ-25 בעיגול כלפי מטה) או להשאיר את ההפרש 6 בתת-הסדרה - ההפרש בין איברים במקומות האי-זוגיים הוא $2d=12$.

האיבר הראשון של הסדרה החדשה הוא סכום האיברים הראשונים של שתי הסדרות:

טעות נפוצה: לחבר את $a_{13}=20$ במקום $a_1$ - האיבר הראשון של הסדרה החדשה בנוי מהאיברים הראשונים בלבד.

ההפרש הוא ההפרש בין שני איברים סמוכים בסדרה החדשה:

בסוגריים הראשונים - ההפרש של A, שהוא 6. בסוגריים השניים - ההפרש של B, שהוא $d$.

לכן הפרש הסדרה החדשה הוא $6+d$ (והוא קבוע, ולכן הסדרה אכן חשבונית).

טעות נפוצה: לכפול את ההפרשים ($6d$) במקום לחבר אותם - כל איבר בסדרה החדשה הוא סכום, ולכן גם ההפרשים מתחברים.

בסדרה החדשה 25 איברים, האיבר הראשון $-50$ וההפרש $6+d$. נציב בנוסחת הסכום $S_n=\frac n2\left(2a_1+(n-1)d\right)$:

מכפילים ב-2 ומחלקים ב-25:

בדיקה: האיבר האחרון $-50+24\cdot15=310$, והסכום $\frac{25(-50+310)}{2}=3250$.

טעות נפוצה: להציב בנוסחה את $d$ כהפרש של הסדרה החדשה, כלומר לפתור $\frac{25}{2}(-100+24d)=3250$ ולקבל $d=15$ - זה ההפרש של הסדרה החדשה, וההפרש של B קטן ממנו ב-6.

הבסיס ריבוע, ולכן $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\underline u$ ו-$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\underline v+\underline u$.

$\overrightarrow{CE}$ הוא הפרש של שני וקטורים שיוצאים מ-$A$:

כדי להגיע מ-$A$ ל-$M$ הולכים מ-$A$ ל-$C$, ומשם שני שלישים מהדרך ל-$E$:

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AE}+\frac23\overrightarrow{CE}$ - הנתון $\frac23$ נמדד מ-$C$, ולכן יוצאים מ-$C$. (מ-$E$ צריך ללכת רק $\frac13$ מהמקצוע, בכיוון $\overrightarrow{EC}$.)

נסמן את אורך צלע הריבוע ב-$a$. אז $|\underline u|=|\underline v|=a$, ולפי הנתון גם $|\underline w|=a$.

$\underline u\perp\underline v$ (זווית של ריבוע), ו-$\underline w$ מאונך לבסיס ולכן לכל ישר בו: $\underline w\perp\underline u$, $\underline w\perp\underline v$. לכן כל המכפלות $\underline u\cdot\underline v$, $\underline u\cdot\underline w$, $\underline v\cdot\underline w$ שוות 0.

פותחים את המכפלה הסקלרית. נשארות רק המכפלות של וקטור בעצמו:

המכפלה הסקלרית שווה 0 ושני הווקטורים אינם וקטור האפס, ולכן $\overrightarrow{AM}\perp\overrightarrow{CE}$.

טעות נפוצה: להשתמש בנתון $|\underline w|=|\underline u|$ בלי לשים לב שגם $|\underline v|=|\underline u|$ (ריבוע) - בלי שוויון שלושת האורכים הסכום לא מתאפס.

$|\overrightarrow{AE}|=|\underline w|=|\underline u|=6$, ו-$E$ על החלק החיובי של ציר $z$: $E(0,0,6)$.

באותו אופן $B(6,0,0)$ ו-$D(0,6,0)$.

$C$ מתקבל מ-$B$ בהוספת $\overrightarrow{AD}=(0,6,0)$:

טעות נפוצה: לשכוח ש-$|\underline w|=|\underline u|$ ולהציב ל-$E$ גובה אחר, או לכתוב $C(6,0,6)$ - $C$ נמצא בבסיס, שבו $z=0$.

$\overrightarrow{CE}=E-C=(0,0,6)-(6,6,0)=(-6,-6,6)$.

בדיקה עם סעיף א(1): $\overrightarrow{AM}=\frac13(6,0,0)+\frac13(0,6,0)+\frac23(0,0,6)=(2,2,4)$.

טעות נפוצה: לחשב $E+\frac23\overrightarrow{EC}=(4,4,2)$ - הנקודה שהיחס $\frac23$ שלה נמדד מ-$E$, ולא $M$.

לפי סעיף א(2), $AM\perp CE$. $M$ נמצאת על $CE$, ולכן $AM\perp CM$: המשולש $AMC$ ישר-זווית ב-$M$, ו-$AM$, $CM$ הם הניצבים.

$\overrightarrow{CM}=M-C=(-4,-4,4)$:

טעות נפוצה: לקחת את $AC$ כאחד הניצבים ($\frac12\cdot AC\cdot AM$) - $AC$ הוא היתר, כי הזווית הישרה ב-$M$.

נסמן ב-$A_0$ את כמות הדבש בתחילת 2018 וב-$q$ את מנת הדעיכה החודשית. אחרי 8 חודשים הכמות היא $A_0q^8$.

הנתון "45% מהכמות ההתחלתית":

(הכמות ההתחלתית מצטמצמת - לא צריך לדעת אותה.)

בכל חודש נשאר 90.5% מהכמות, כלומר הכמות קטנה ב-$100\%-90.5\%=9.5\%$.

טעות נפוצה: לחלק את הירידה הכוללת במספר החודשים ($\frac{55\%}{8}\approx6.9\%$) - הירידה מצטברת בכפל, לא בחיבור.

אחרי 10 חודשים הכמות היא $A_0q^{10}$. נחשב את $q^{10}$ (עדיף מהערך המדויק, כדי לא לצבור שגיאת עיגול):

נשאר כ-36.86% מהכמות ההתחלתית, ולכן הכמות קטנה ב-$100\%-36.86\%=63.14\%$.

טעות נפוצה: לכפול את האחוז החודשי במספר החודשים ($10\cdot9.5\%=95\%$) - כל חודש הירידה היא מהכמות שנשארה, לא מהכמות ההתחלתית.

"קטנה ב-33%" פירושו שנשאר $100\%-33\%=67\%$ מהכמות:

מוציאים לוגריתם משני האגפים:

כמות הדבש קטנה ב-33% כעבור כ-4 חודשים.

טעות נפוצה: לפתור $q^t=0.33$ - 0.33 הוא החלק שירד, והמשוואה צריכה את החלק שנשאר (0.67).

קודם מוצאים את $k$ - הכמות בתחילת 2019. זה 12 חודשים של דעיכה מ-600 ק"ג:

מתחילת 2019 עד תחילת 2021 עברו שנתיים, כלומר $t=24$ חודשים (הזמן בפונקציה נמדד בחודשים):

בתחילת 2021 היו בכוורת כ-584.1 ק"ג דבש.

טעות נפוצה: להציב $t=2$ (שנים) בפונקציה שהזמן בה בחודשים, או להתחיל את הגדילה מ-600 ק"ג ולשכוח את שנת הדעיכה 2018.

המכנה $x^2$ מתאפס רק ב-$x=0$, והמונה $e^{ax-1}$ מוגדר לכל $x$.

תחום ההגדרה: $x\neq0$.

טעות נפוצה: לכתוב $x>0$ - המכנה $x^2$ מתאפס רק ב-0, וגם ערכים שליליים של $x$ בתחום.

ב-$x=0$ המכנה מתאפס והמונה $e^{ax-1}$ אינו מתאפס (חזקה של $e$ תמיד חיובית).

לכן כש-$x\to0$ ערכי הפונקציה שואפים לאינסוף, והישר $x=0$ הוא אסימפטוטה אנכית.

טעות נפוצה: לחפש אסימפטוטה אנכית במקום שבו המונה מתאפס - כאן המונה אף פעם לא מתאפס, והאסימפטוטה היא באפס של המכנה.

המונה $e^{ax-1}$ הוא חזקה של $e$, וחזקה של מספר חיובי חיובית לכל מעריך.

המכנה $x^2$ חיובי לכל $x\neq0$.

מנה של שני מספרים חיוביים חיובית, ולכן $f(x)>0$ לכל $x$ בתחום ההגדרה.

טעות נפוצה: לטעון שהמונה יכול להיות שלילי כשהמעריך שלילי - מעריך שלילי נותן מספר קטן מ-1, אבל עדיין חיובי.

מציבים $x=-1$ ו-$y=\frac1{e^3}=e^{-3}$:

הבסיסים שווים, ולכן המעריכים שווים:

טעות נפוצה: לכתוב $(-1)^2=-1$ ולקבל $e^{-a-1}=-e^{-3}$, משוואה בלי פתרון. ריבוע של מספר שלילי חיובי.

$f(x)=\frac{e^{2x-1}}{x^2}$. גוזרים לפי כלל המנה (הנגזרת של $e^{2x-1}$ היא $2e^{2x-1}$):

$f'(x)=0$ רק כש-$x-1=0$, כלומר $x=1$ (החזקה של $e$ לא מתאפסת).

הסימן של $f'$ נקבע על ידי $x-1$ ועל ידי $x^3$ במכנה, שמחליף סימן ב-0:

- $x<0$: $x-1<0$ ו-$x^3<0$, לכן $f'>0$ - עולה.

- $0<x<1$: $x-1<0$ ו-$x^3>0$, לכן $f'<0$ - יורדת.

- $x>1$: $f'>0$ - עולה.

ב-$x=1$ הפונקציה עוברת מירידה לעלייה: מינימום. $f(1)=\frac{e^{1}}{1}=e$.

נקודת הקיצון: $\min(1,e)$.

טעות נפוצה: להתעלם מ-$x^3$ במכנה ולקבוע שהפונקציה יורדת לכל $x<1$ - המכנה מחליף סימן ב-$x=0$, ולכן משמאל לאפס הפונקציה עולה.

אוספים את מה שמצאנו:

•אסימפטוטה אנכית $x=0$, והפונקציה חיובית (סעיף א), ולכן משני צדי האסימפטוטה הגרף עולה ל-$+\infty$.

•כש-$x\to-\infty$: $e^{2x-1}\to0$ ו-$x^2\to\infty$, ולכן $f(x)\to0$: הישר $y=0$ אסימפטוטה אופקית משמאל. הגרף לא חותך את ציר ה-$x$ (הפונקציה חיובית).

•עבור $x<0$ הפונקציה עולה: מתקרבת לציר ה-$x$ מלמעלה משמאל ועולה לאינסוף ליד $x=0$.

•עבור $x>0$: יורדת מאינסוף עד המינימום $(1,e)$, ומשם עולה (כש-$x\to\infty$ החזקה של $e$ גדלה מהר יותר מ-$x^2$).

טעות נפוצה: לסרטט את הענף השמאלי מתחת לציר ה-$x$ או חותך אותו - לפי סעיף א(3) הפונקציה חיובית בכל התחום.

גרף $g$ הוא גרף $f$ מוזז אנכית ב-$k$. לכן:

•הענף השמאלי של $g$ עולה ומקבל את כל הערכים הגדולים מ-$k$ (פעם אחת כל ערך).

•לענף הימני מינימום $(1,e+k)$; כל ערך גדול מ-$e+k$ מתקבל פעמיים, והערך $e+k$ פעם אחת.

הישר $y=-4e$ פוגש את הענף השמאלי בנקודה אחת אם $-4e>k$, ואחרת לא פוגש אותו.

בענף הימני: 0 נקודות אם $-4e<e+k$, נקודה אחת אם $-4e=e+k$, ושתיים אם $-4e>e+k$.

שתי נקודות בדיוק: או 1+1, או 0+2. המקרה 0+2 דורש $k\ge-4e$ וגם $e+k<-4e$ - סתירה, כי $e+k>k$.

לכן 1+1: הישר משיק לענף הימני במינימום וחותך את הענף השמאלי:

בדיקה: $-4e>-5e=k$, ולכן הישר אכן חותך גם את הענף השמאלי.

טעות נפוצה: לקבוע שהישר צריך לחתוך את הענף הימני פעמיים ולפתור $e+k<-4e$ - כך מתקבלות שלוש נקודות משותפות, כי הענף השמאלי נחתך תמיד כש-$k<-4e$.

בודקים את הקשר בין נקודות הקיצון של גרף אחד לאפסים של הגרף האחר.

לגרף II יש נקודת מינימום אחת. בדיוק ב-$x$ שלה גרף I חותך את ציר ה-$x$ (בנקודה $B$).

משמאל למינימום גרף II יורד - ושם גרף I מתחת לציר ה-$x$ (שלילי). מימין למינימום גרף II עולה - ושם גרף I מעל הציר (חיובי).

כלומר גרף I מתאר את הסימן של קצב השינוי של גרף II, ולכן גרף I הוא $f'(x)$ וגרף II הוא $f(x)$.

(בכיוון ההפוך זה לא עובד: למשל במינימום של גרף I, גרף II לא חותך את ציר ה-$x$.)

טעות נפוצה: לבחור את הגרף "התחתון" או את זה שחותך ראשון כנגזרת בלי נימוק - צריך להתאים בין קיצון של אחד לאפס של השני, ובין עלייה/ירידה לסימן.

$\ln x$ מוגדר רק למספרים חיוביים, והשאר (פולינום) מוגדר לכל $x$.

תחום ההגדרה: $x>0$.

טעות נפוצה: לכתוב $x\neq0$ - $\ln x$ לא מוגדר גם למספרים שליליים.

גוזרים לפי כלל המכפלה:

$f'(x)=0$: $4x\ln x=0$, כלומר $x=0$ או $\ln x=0$.

$x=0$ לא בתחום, ולכן $x=1$.

$f(1)=1\cdot(2\cdot0-1)=-1$.

לפי גרף II (גרף $f$), זו נקודת מינימום: $\min(1,-1)$.

טעות נפוצה: לגזור את $x^2\ln x$ כ-$2x\cdot\frac1x$ (מכפלת הנגזרות) - צריך כלל מכפלה.

גרף I הוא $f'$, ולכן $B$ היא האפס של $f'$ - מצאנו $x=1$: $B(1,0)$.

גרף II הוא $f$. האפס שלו: $x^2(2\ln x-1)=0$, ו-$x^2\neq0$ בתחום, לכן:

$C(\sqrt e,0)$.

טעות נפוצה: לפתור $\ln x=\frac12$ כ-$x=\frac e2$ - הפעולה ההפוכה ל-$\ln$ היא העלאה בחזקה: $x=e^{\frac12}$.

השטח ברביע הראשון נמצא בין $B$ ($x=1$), שם גרף I חותך את ציר ה-$x$, לבין הישר $x=\sqrt e$. בקטע זה $f'(x)\ge0$, ולכן השטח הוא האינטגרל של $f'$.

$f$ היא פונקציה קדומה של $f'$, ולכן אין צורך לבצע אינטגרל של $4x\ln x$:

$f(\sqrt e)=0$ (נקודה $C$ היא אפס של $f$), ו-$f(1)=-1$:

טעות נפוצה: לקחת את גבולות האינטגרל מ-0 עד $\sqrt e$ - בין 0 ל-1 גרף I מתחת לציר ה-$x$, וזה לא חלק מהשטח שברביע הראשון.