בגרות במתמטיקה 472 - קיץ 2024 מועד א'

מספר הנוסעים בכל קרון גדול במספר קבוע מבקרון שלפניו, ולכן מספרי הנוסעים בקרונות יוצרים סדרה חשבונית בת 11 איברים. נסמן ב-$a_1$ את מספר הנוסעים בקרון הראשון.

הקרון האחרון הוא האיבר ה-11, ונתון $a_{11}=3a_1$.

סכום הסדרה לפי האיבר הראשון והאחרון:

בקרון הראשון היו 10 נוסעים.

טעות נפוצה: להציב $a_{11}=3$ או לכתוב $a_{11}=a_1+3$. "גדול פי 3" הוא כפל: $a_{11}=3a_1$.

יש 11 קרונות, ולכן הקרון האמצעי הוא השישי (5 קרונות לפניו ו-5 אחריו).

בסדרה חשבונית האיבר האמצעי הוא הממוצע של שני הקצוות:

דרך נוספת: $a_{11}=a_1+10d$, כלומר $30=10+10d$ ו-$d=2$. לכן $a_6=a_1+5d=10+10=20$.

בקרון האמצעי היו 20 נוסעים.

טעות נפוצה: לחשב $a_6=a_1+6d=22$. מהקרון הראשון לשישי יש רק 5 הוספות של $d$.

הקרונות האי-זוגיים הם 1, 3, 5, 7, 9, 11 - שישה קרונות.

מספרי הנוסעים בהם הם $a_1, a_3, \dots, a_{11}$. בין כל שניים סמוכים ברשימה יש שני צעדים של $d=2$, ולכן גם הם סדרה חשבונית עם הפרש $2d=4$: 10, 14, 18, 22, 26, 30.

סכום שישה איברים מ-10 עד 30:

בקרונות האי-זוגיים היו 120 נוסעים סך הכול.

טעות נפוצה: לספור 5 קרונות אי-זוגיים (חצי מ-11, מעוגל כלפי מטה). בין 1 ל-11 יש 6 מספרים אי-זוגיים, כי הקרון הראשון והאחרון שניהם אי-זוגיים.

ביום ב' היו $2\cdot220=440$ נוסעים. מספרי הנוסעים בקרונות הם סדרה חשבונית עם $b_1=5$ ו-$d=3$, ומספר הקרונות $n$ לא ידוע.

כופלים ב-2 ופותחים סוגריים:

$n=16$ או $n=-\frac{55}{3}$. מספר קרונות הוא מספר טבעי, ולכן $n=16$.

בדיקה: $S_{16}=8\cdot(10+45)=440$.

ביום ב' היו 16 קרונות, כלומר הוסיפו $16-11=5$ קרונות.

טעות נפוצה: לענות 16 - זה מספר הקרונות ביום ב', והשאלה היא כמה קרונות הוסיפו.

הולכים מ-$S$ ל-$D$ דרך $A$: מ-$S$ חוזרים ל-$A$ ומשם הולכים ל-$D$.

$\overrightarrow{SA}$ הוא הנגדי של $\overrightarrow{AS}$, ולכן $\overrightarrow{SA}=-\underline w$.

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{SD}=\underline w-\underline v$. זה הווקטור $\overrightarrow{DS}$ - הכיוון הפוך.

מציבים את סעיף א: $\overrightarrow{SD}=\underline v-\underline w$ ו-$\overrightarrow{AD}=\underline v$.

$\underline v\cdot\underline v=|\underline v|^2=AD^2=16$, ולכן

טעות נפוצה: להציב $\underline v\cdot\underline v=4$ - המכפלה הסקלרית של וקטור בעצמו היא ריבוע האורך, $4^2=16$.

מביעים את $\overrightarrow{SC}$: מ-$S$ ל-$A$, ומשם לאורך $\overrightarrow{AC}=\underline u+\underline v$ (אלכסון הריבוע):

מעלים בריבוע סקלרי:

נתונים: $\underline u^2=\underline v^2=16$; הבסיס ריבוע, ולכן $\underline u\cdot\underline v=0$; מסעיף ב ומהנתון $\underline u\cdot\underline w=\underline v\cdot\underline w=16$.

טעות נפוצה: לשכוח את הכפל ב-2 במכפלות המעורבות: $17=16+16+|\underline w|^2-16-16$, ולקבל $|\underline w|=\sqrt{17}$.

בריבוע $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=\underline v$ ו-$\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=\underline u$. בודקים שהמכפלות הסקלריות מתאפסות:

שתי המכפלות 0, ולכן $SC\perp BC$ ו-$SC\perp DC$.

טעות נפוצה: להסתפק בציור ("S נראה מעל C"). הוכחה בווקטורים דורשת מכפלה סקלרית ששווה 0.

$SC$ מאונך לשני ישרים נחתכים במישור הבסיס ($BC$ ו-$DC$, שנחתכים ב-$C$), ולכן $SC$ מאונך למישור הבסיס. מכאן ש-$SC$ הוא גובה הפירמידה: $h=\sqrt{17}$.

שטח הבסיס: $4^2=16$.

טעות נפוצה: לקחת כגובה את $|\underline w|=7$ (המקצוע $SA$). $SA$ אינו מאונך לבסיס; הגובה הוא $SC$.

ערך דירה א' גדל בכל שנה פי 1.07, וערך דירה ב' פי $q$.

בהתחלה דירה ב' שווה פחות מדירה א' (620,000 לעומת 980,000), ואחרי כמה שנים הערכים שווים. כלומר דירה ב' "סגרה פער".

אם $q\le1.07$, דירה ב' גדלה באותו קצב או לאט יותר, ולכן היחס בין הערכים לא יקטן: $\frac{620{,}000\cdot q^t}{980{,}000\cdot1.07^t}=\frac{620}{980}\left(\frac{q}{1.07}\right)^t\le\frac{620}{980}<1$ - הערכים לעולם לא ישתוו.

לכן חייב להתקיים $q>1.07$, והטענה הנכונה היא III.

טעות נפוצה: לבחור בטענה I מתוך מחשבה ש"הדירה הזולה גדלה לאט יותר". כדי שהכמות הקטנה תשיג את הגדולה, היא חייבת לגדול מהר יותר.

מתחילת 2014 עד תחילת 2024 עברו 10 שנים. גדילה של 7% בשנה פירושה הכפלה ב-1.07 בכל שנה:

בתחילת 2024 היה ערך דירה א' כ-1,927,808 שקלים.

טעות נפוצה: לחשב גדילה של $7\%\cdot10=70\%$ ($980{,}000\cdot1.7=1{,}666{,}000$). באחוז קבוע הגדילה מצטברת - כופלים ב-1.07 עשר פעמים.

בתחילת 2024 גם ערך דירה ב' הוא 1,927,808 שקלים, ולכן:

מנה $1.12$ פירושה גדילה של 12% בכל שנה.

טעות נפוצה: לחלק את $3.1094$ ב-10 במקום להוציא שורש עשירי, או לענות "112%" - האחוז הוא החלק שמעל 1.

אחוז הירידה: $\frac{12\%}{1.5}=8\%$, ולכן מנת הדעיכה היא $1-0.08=0.92$.

נסמן ב-$t$ את מספר השנים מתחילת 2024. מחפשים מתי הערך יקטן מהערך של 2014 (620,000):

מוציאים לוגריתם משני האגפים. $\log0.92<0$, ולכן בחלוקה בו כיוון אי-השוויון מתהפך:

המספר השלם הקטן ביותר הוא $t=14$: בתחילת 2037 ($t=13$) הערך עוד גבוה מ-620,000, ובתחילת 2038 ($t=14$) הוא כבר נמוך ממנו.

$2024+14=2038$.

טעות נפוצה: לשכוח להפוך את כיוון אי-השוויון כשמחלקים ב-$\log0.92$ השלילי, או לעגל 13.6 ל-13 ולענות 2037.

הפונקציה היא מנה, ולכן המכנה חייב להיות שונה מ-0:

תחום ההגדרה: כל $x$ חוץ מ-$x=\ln3$.

טעות נפוצה: לכתוב $x\ne3$. המכנה מתאפס כאשר $e^x=3$, כלומר ב-$x=\ln3\approx1.1$.

ב-$x=\ln3$ המכנה מתאפס, והמונה שונה מ-0: $e^{2\ln3}=3^2=9$.

לכן כש-$x$ מתקרב ל-$\ln3$, ערכי הפונקציה שואפים לאינסוף בערכם המוחלט, והישר $x=\ln3$ הוא אסימפטוטה אנכית.

טעות נפוצה: לכתוב $x=3$ במקום $x=\ln3$. המכנה מתאפס כש-$e^x=3$, לא כש-$x=3$.

חיתוך עם ציר ה-y: מציבים $x=0$ (0 בתחום ההגדרה):

חיתוך עם ציר ה-x: צריך שהמונה יתאפס, אבל $e^{2x}>0$ לכל $x$. לכן אין חיתוך עם ציר ה-x.

נקודת החיתוך היחידה: $(0,-\frac12)$.

טעות נפוצה: לחשב $f(0)=\frac{0}{0-3}=0$ - $e^0=1$, לא 0.

גוזרים לפי כלל הנגזרת של מנה (הנגזרת של $e^{2x}$ היא $2e^{2x}$):

$f'(x)=0$: $e^{2x}>0$, ולכן $e^x-6=0$, כלומר $x=\ln6$.

סימן הנגזרת נקבע לפי $e^x-6$ (המכנה ריבוע): שלילי משמאל ל-$\ln6$ (בתחום $\ln3<x<\ln6$) וחיובי מימין. ירידה ואחריה עלייה - מינימום.

נקודת מינימום: $(\ln6,12)$.

טעות נפוצה: לחשב $e^{2\ln6}=2\cdot6=12$ במקום $6^2=36$.

הסימן של $f'(x)=\frac{e^{2x}(e^x-6)}{(e^x-3)^2}$ נקבע רק לפי $e^x-6$.

- $x<\ln6$ ($x\ne\ln3$): $e^x<6$, ולכן $f'(x)<0$ - יורדת.

- $x>\ln6$: $f'(x)>0$ - עולה.

ירידה: $x<\ln3$ וגם $\ln3<x<\ln6$. עלייה: $x>\ln6$.

טעות נפוצה: לכתוב תחום ירידה אחד $x<\ln6$. הנקודה $x=\ln3$ אינה בתחום ההגדרה, ולכן אלה שני תחומים נפרדים.

מאספים את מה שמצאנו:

•אסימפטוטה אנכית $x=\ln3$.

•כאשר $x\to-\infty$: $e^{2x}\to0$ והמכנה שואף ל-$-3$, ולכן $f(x)\to0$ מלמטה - אסימפטוטה אופקית $y=0$ משמאל.

•משמאל לאסימפטוטה המכנה שלילי, ולכן $f<0$; הפונקציה יורדת ועוברת דרך $(0,-\frac12)$.

•מימין לאסימפטוטה $f>0$; יורדת עד המינימום $(\ln6,12)$ ואז עולה.

טעות נפוצה: לצייר את הענף השמאלי מעל ציר ה-x - שם המכנה שלילי והמונה חיובי, ולכן הפונקציה שלילית.

הגרף של $-f(x)$ הוא שיקוף של גרף $f$ ביחס לציר ה-x, והוספת 15 מזיזה אותו 15 יחידות למעלה.

בשיקוף נקודת הקיצון נשארת באותו $x$, ערך ה-y מחליף סימן והמינימום הופך למקסימום. ההזזה מוסיפה 15:

בדיקה בנגזרת: $g'(x)=-f'(x)$, מתאפסת רק ב-$x=\ln6$, ועוברת מחיובי לשלילי - מקסימום.

נקודת מקסימום: $(\ln6,3)$.

טעות נפוצה: להשאיר את סוג הקיצון "מינימום" - השיקוף הופך את סוג הקיצון.

$g(x)=0$ בדיוק כאשר $f(x)=15$. סופרים כמה פעמים הגרף של $f$ מגיע לגובה 15:

•בענף השמאלי ($x<\ln3$): $f(x)<0$, ולכן אין פתרון.

•בענף הימני: $f$ יורדת מ-$+\infty$ ל-12 ואז עולה ל-$+\infty$. $15>12$, ולכן הגובה 15 מתקבל פעם אחת בירידה ופעם אחת בעלייה.

סך הכול 2 נקודות חיתוך.

(אותו דבר רואים ב-$g$: המקסימום שלה $3>0$, והיא שואפת ל-$-\infty$ משני צדיו בענף הימני; בענף השמאלי $g=15-f>15$.)

טעות נפוצה: לענות "אין חיתוך" כי "המקסימום 3 חיובי, והגרף כולו מתחת לו". דווקא מקסימום חיובי עם ירידה ל-$-\infty$ משני צדיו נותן שני חיתוכים.

$\ln$ מוגדר רק לביטוי חיובי, ולכן צריך $2x>0$, כלומר $x>0$. הגורם $ax$ מוגדר לכל $x$.

תחום ההגדרה: $x>0$.

טעות נפוצה: לכתוב $x\ge0$ או $x>\frac12$. ב-$x=0$ הביטוי $\ln0$ אינו מוגדר, וב-$0<x<\frac12$ הלוגריתם שלילי אבל מוגדר.

גוזרים לפי כלל המכפלה. $(\ln(2x))'=\frac{2}{2x}=\frac1x$:

שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת בה. ב-$x=\frac e2$: $\ln\left(2\cdot\frac e2\right)=\ln e=1$:

טעות נפוצה: לגזור $\ln(2x)$ ל-$\frac{1}{2x}$ (בלי כלל השרשרת), ולקבל $f'=a\ln(2x)+\frac a2$.

$f(x)=3x\ln(2x)=0$: מכפלה מתאפסת כאשר אחד הגורמים מתאפס.

- $3x=0$, כלומר $x=0$ - לא בתחום ההגדרה, נפסל.

- $\ln(2x)=0$, כלומר $2x=1$ ו-$x=\frac12$.

נקודת החיתוך: $(0.5,0)$.

טעות נפוצה: להשאיר את $x=0$ כנקודת חיתוך - הפונקציה אינה מוגדרת בה (בגרף זו נקודה ריקה).

$f'(x)=3(\ln(2x)+1)$. משווים ל-0:

$f'$ עולה ($\ln$ עולה): שלילית משמאל ל-$\frac1{2e}$ וחיובית מימין. ירידה ואחריה עלייה - מינימום.

נקודת מינימום: $\left(\frac1{2e},-\frac3{2e}\right)$.

טעות נפוצה: לפתור $\ln(2x)=-1$ כ-$2x=-e$ - מעבירים לחזקה: $2x=e^{-1}$.

הגרף של $f$: תחום $x>0$ (נקודה ריקה בראשית), מינימום שלילי ב-$x=\frac1{2e}$, וחיתוך עם ציר ה-x ב-$x=0.5$ מימין למינימום. כך נראה גרף I. גרף II - יש לו מקסימום; גרפים III ו-IV אינם מתקרבים לראשית אלא שואפים לאינסוף ליד ציר ה-y.

הגרף של $f'$: $f'(x)=3\ln(2x)+3$ - גרף של $\ln$ אחרי מתיחה והזזה. כאשר $x\to0^+$, $f'\to-\infty$; היא עולה בכל התחום, ומתאפסת ב-$x=\frac1{2e}$ (נקודת הקיצון של $f$). שלילית לפני וחיובית אחרי - בהתאם לירידה ולעלייה של $f$. כך נראה גרף IV. גרף III יורד - הוא היה מתאים לנגזרת של פונקציה עם מקסימום.

טעות נפוצה: לבחור לנגזרת את גרף II או III כי "הם שונים מ-$f$". צריך לבדוק התאמה: הנגזרת שלילית איפה ש-$f$ יורדת, חיובית איפה שהיא עולה, ומתאפסת בקיצון.

גרף $f'$ חותך את ציר ה-x ב-$x=\frac1{2e}$, ומימין לנקודה זו הוא מעל הציר. לכן השטח הוא בין $x=\frac1{2e}$ ל-$x=e$:

($f$ היא פונקציה קדומה של $f'$, ולכן אין צורך לחשב אינטגרל של $\ln$.)

טעות נפוצה: לחשב את השטח מ-$x=0$ (שם $f'$ לא מוגדרת ושואפת ל-$-\infty$), או להחסיר $f(\frac1{2e})$ בלי לשים לב שהוא שלילי - ולקבל $13.807-0.552$.