בגרות במתמטיקה 472 - חורף 2026

בכל יום נמכרו פי 2 ספרים מאשר ביום שלפניו, לכן מספרי הספרים בימי היריד יוצרים סדרה הנדסית עם מנה $q=2$.

נסמן ב-$a_1$ את מספר הספרים שנמכרו ביום הראשון. ביום השני נמכרו $2a_1$ וביום השלישי $4a_1$.

סכום שלושת הימים הראשונים נתון, ולכן:

(אפשר גם בנוסחת הסכום: $S_3=\frac{a_1(2^3-1)}{2-1}=7a_1$.)

ביום הראשון נמכרו 70 ספרים.

טעות נפוצה: לחלק את 490 ב-3, כאילו בכל יום נמכרה אותה כמות, או להציב בנוסחת הסכום $n=7$ במקום $n=3$.

קודם מוצאים כמה ספרים נמכרו בכל 7 הימים: זה סכום 7 האיברים הראשונים בסדרה ההנדסית.

נמכרו 8,890 ספרים, וכל ספר נמכר ב-45 שקלים:

סך ההכנסות הוא 400,050 שקלים.

טעות נפוצה: לכפול ב-45 רק את מספר הספרים של היום השביעי ($a_7=4480$) במקום את הסכום של כל הימים.

התרומה כולה היא מחצית ההכנסות: $\frac{400{,}050}{2}=200{,}025$ שקלים.

הסכומים החודשיים יוצרים סדרה חשבונית: $a_1=3144$, $d=243$. מספר החודשים $n$ לא ידוע, וסכום כל האיברים הוא 200,025:

כופלים ב-2 ופותחים סוגריים:

מחלקים ב-3 כדי להקטין את המקדמים: $81n^2+2015n-133{,}350=0$.

$n=30$ או $n\approx-54.9$. מספר חודשים הוא מספר טבעי, לכן $n=30$.

טעות נפוצה: להציב בנוסחת הסכום את כל ההכנסות (400,050) ולא את מחציתן, או לשכוח לכפול ב-2 את $a_1$ בתוך הסוגריים.

יש 30 חודשים - מספר זוגי, ולכן יש שני חודשים אמצעיים: החודש ה-15 והחודש ה-16 (לפני כל אחד מהם 14 ו-15 חודשים, ואחריו 15 ו-14).

לפי האיבר הכללי $a_n=a_1+(n-1)d$:

בדיקה: בסדרה חשבונית סכום שני איברים שמרחקם מהקצוות שווה הוא $a_1+a_{30}$, ולכן $a_{15}+a_{16}=\frac{2S_{30}}{30}=\frac{2\cdot200{,}025}{30}=13{,}335$.

בשני החודשים האמצעיים תרם 13,335 שקלים.

טעות נפוצה: לבחור את החודשים 14 ו-15, או לחשב רק איבר אחד ($a_{15}$) כאילו יש חודש אמצעי אחד.

קודם מתרגמים את מיקום הנקודות לחלקים של וקטורי הבסיס.

$\overrightarrow{AP}=\frac34\underline w$, ולכן מ-$P$ עד $A'$ נשאר רבע מהמקצוע: $\vec{PA'}=\frac14\underline w$.

$M$ אמצע $C'D'$. הפאה העליונה היא מקבילית שווה לבסיס, ולכן $\vec{D'C'}=\overrightarrow{AB}=\underline u$. מכאן $\vec{D'M}=\frac12\underline u$ ו-$\vec{C'M}=-\frac12\underline u$.

הולכים מ-$P$ ל-$M$ לאורך מקצועות: מ-$P$ עד $A'$, משם ל-$D'$ ומשם ל-$M$:

מ-$C$ עולים ל-$C'$ וממשיכים לאורך המקצוע העליון ל-$M$:

טעות נפוצה: לכתוב $\vec{C'M}=+\frac12\underline u$. הכיוון מ-$C'$ אל $D'$ הפוך לכיוון של $\overrightarrow{AB}$, ולכן הסימן מינוס.

הזווית בין $\underline u$ ל-$\underline v$ היא הזווית $DAB$, ולכן לפי הגדרת המכפלה הסקלרית:

המנסרה ישרה, ולכן המקצוע הצדדי $AA'$ מאונך למישור הבסיס, ובפרט ל-$AB$ ול-$AD$.

וקטורים מאונכים - המכפלה הסקלרית שלהם 0: $\underline v\cdot\underline w=0$ ו-$\underline u\cdot\underline w=0$.

טעות נפוצה: להניח שגם $\underline u\cdot\underline v=0$ כאילו הבסיס מלבן, או להשתמש ב-$\sin60^\circ$ במקום ב-$\cos60^\circ$.

נפח מנסרה = שטח הבסיס כפול הגובה. במנסרה ישרה הגובה הוא המקצוע הצדדי, כלומר $|\underline w|$.

שטח המקבילית $ABCD$ לפי שתי צלעות והזווית ביניהן:

טעות נפוצה: לחשב את שטח המקבילית כ-$4\cdot5=20$ (בלי הסינוס), או כ-$\frac12\cdot4\cdot5\cdot\sin60^\circ$ - זה שטח של משולש, חצי מהמקבילית.

שני וקטורים (שאינם וקטור האפס) מאונכים אם ורק אם המכפלה הסקלרית שלהם היא 0. מחשבים לפי חוק הפילוג:

מציבים $\underline u^2=|\underline u|^2=16$, $\underline w^2=36$, $\underline u\cdot\underline v=10$ ו-$\underline u\cdot\underline w=\underline v\cdot\underline w=0$:

המכפלה הסקלרית 0, ולכן $\overrightarrow{PM}\perp\overrightarrow{CM}$.

טעות נפוצה: לאפס גם את האיבר $-\frac12\underline u\cdot\underline v$, כאילו כל המכפלות המעורבות הן 0. רק המכפלות עם $\underline w$ מתאפסות.

אורך וקטור מחשבים דרך הריבוע הסקלרי שלו: $|\overrightarrow{PM}|^2=\overrightarrow{PM}\cdot\overrightarrow{PM}$.

ולכן $|\overrightarrow{PM}|=\sqrt{41.25}$.

טעות נפוצה: לשכוח את הכפל ב-2 במכפלות המעורבות ולקבל $5$ במקום $10$ עבור האיבר של $\underline u\cdot\underline v$.

לפי סעיף ד הזווית $PMC$ ישרה, ולכן המשולש $PMC$ ישר-זווית ב-$M$ והניצבים שלו הם $PM$ ו-$CM$.

אורך $CM$:

שטח משולש ישר-זווית הוא חצי מכפלת הניצבים:

טעות נפוצה: לקחת את $PC$ כאחד הניצבים. הזווית הישרה היא ב-$M$, ולכן $PC$ הוא היתר.

נסמן את המנות: $q_1$ לריבת התות ו-$q_2$ לריבת השזיפים, ואת הטמפרטורות ההתחלתיות $T_1>T_2$.

אילו אחוז הירידה של ריבת התות היה קטן או שווה לזה של ריבת השזיפים, אז $q_1\ge q_2$, ולכל זמן $t$:

כלומר ריבת התות הייתה נשארת חמה יותר כל הזמן. אבל נתון שבשלב מסוים ריבת השזיפים חמה יותר - סתירה.

לכן ריבת התות, שהתחילה חמה יותר והפכה לקרה יותר, התקררה מהר יותר: האחוז שבו ירדה הטמפרטורה שלה גדול יותר. התשובה: כן.

טעות נפוצה: לבלבל בין אחוז הירידה למנה. אחוז ירידה גדול יותר פירושו מנה $q$ קטנה יותר (למשל 4% ירידה היא $q=0.96$).

ירידה של 4% בכל דקה היא כפל במנה $q=1-0.04=0.96$, ולכן הטמפרטורה אחרי $t$ דקות היא $45\cdot0.96^t$.

מוציאים לוגריתם משני האגפים:

הטמפרטורה של ריבת התות הייתה 18 מעלות כעבור כ-22.45 דקות.

טעות נפוצה: להשתמש במנה $q=0.04$ או $q=1.04$. ירידה של 4% משאירה 96% מהערך.

הטמפרטורה ההתחלתית של ריבת השזיפים לא ידועה, ונסמן אותה $T_2$. אחרי 6 דקות היא $T_2q^6$, ונתון שזה $0.88T_2$:

(הטמפרטורה ההתחלתית מצטמצמת - לא צריך לדעת אותה.)

בכל דקה נשאר כ-97.892% מהטמפרטורה, ולכן היא יורדת ב-$1-0.97892=0.02108$, כלומר בכ-2.108%.

טעות נפוצה: לחלק את 12% ב-6 ולענות 2%. ירידה באחוז קבוע היא כפל חוזר, לא חיסור של כמות קבועה.

קודם מוצאים את הטמפרטורה ההתחלתית של ריבת השזיפים. $q^{12}=(q^6)^2=0.88^2=0.7744$:

(בדיקה: $38.74<45$, כמו שנתון בשאלה.)

משווים את הטמפרטורות של שתי הריבות באותו זמן $t$:

מעבירים את החזקות לאגף אחד ואת המספרים לאגף השני:

הטמפרטורות של שתי הריבות היו זהות כעבור כ-7.68 דקות (הערך המדויק 7.6755; עם ערכי הביניים המעוגלים שלמעלה מתקבל 7.67, וזו התשובה שבמפתח).

טעות נפוצה: לעגל את המנה של ריבת השזיפים ל-$0.98$ כבר בהתחלה. החזקה מגדילה את השגיאה, ומתקבל כ-7.91 דקות במקום 7.68.

בין שתי נקודות מקסימום של פונקציה רציפה חייבת להיות נקודת מינימום, ויש רק מינימום אחד. לכן הסדר משמאל לימין הוא: מקסימום, מינימום, מקסימום.

בנקודת מקסימום הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית, ובנקודת מינימום - משלילית לחיובית.

לכן סימני $f'(x)$ משמאל לימין הם: $+$, $-$, $+$, $-$ (שלוש נקודות חיתוך עם ציר ה-$x$).

בגרף I הגרף חיובי משמאל, יורד מתחת לציר, חוזר מעליו ובסוף שלילי - בדיוק הסימנים האלה. בגרף II הסימנים הפוכים ($-$, $+$, $-$, $+$), וזה מתאים למינימום, מקסימום, מינימום.

הגרף של $f'(x)$ הוא גרף I.

טעות נפוצה: לבחור את הגרף שנראה "כמו הפונקציה" או להתייחס לנקודות הקיצון של הגרף כאל נקודות הקיצון של $f$. בגרף הנגזרת מחפשים מעברי סימן בנקודות החיתוך עם ציר ה-$x$.

על ציר ה-$x$: $f(x)=0$. שבר שווה 0 כשהמונה 0 (המכנה $e^{x^2+3}$ חיובי תמיד ולא מתאפס):

$f(0)=0$, ולכן נקודת החיתוך היא $(0,0)$.

טעות נפוצה: לחפש פתרון גם ל-$e^{x^2+3}=0$. לפונקציה מעריכית אין אפסים.

פונקציה היא זוגית אם $f(-x)=f(x)$ לכל $x$ בתחום (והתחום כאן הוא כל המספרים, סימטרי סביב 0).

ולכן $f(x)$ זוגית, והגרף שלה סימטרי ביחס לציר ה-$y$.

טעות נפוצה: לבדוק רק מספר אחד (למשל $f(1)=f(-1)$) ולהסיק זוגיות. צריך להראות את השוויון לכל $x$.

גוזרים לפי כלל המנה. לפי כלל השרשרת $(e^{x^2+3})'=2x\cdot e^{x^2+3}$:

$f'(x)=0$ כשהמונה 0: $x=0$ או $x=\pm1$.

טבלת סימנים (המכנה חיובי, ולכן הסימן הוא של $28x(1-x^2)$):

נקודות הקיצון: $\max(-1,0.256)$, $\min(0,0)$, $\max(1,0.256)$ (מתאים לנתון ולגרף I).

טעות נפוצה: לגזור את $e^{x^2+3}$ בלי הגורם $2x$, ולקבל נגזרת שגויה עם נקודות קיצון אחרות.

מרכזים את מה שמצאנו:

•חיתוך יחיד עם הצירים: הראשית, שהיא גם נקודת המינימום.

- $f(x)\ge0$ לכל $x$ (מונה ומכנה אינם שליליים), ולכן הגרף כולו מעל ציר ה-$x$ או עליו.

•מקסימום ב-$(-1,0.256)$ וב-$(1,0.256)$; עלייה עד $-1$, ירידה עד 0, עלייה עד 1, ירידה אחרי 1.

•כש-$x\to\pm\infty$ המכנה $e^{x^2+3}$ גדל הרבה יותר מהר מ-$14x^2$, ולכן $f(x)\to0$: הישר $y=0$ הוא אסימפטוטה אופקית בשני הצדדים.

•הגרף סימטרי ביחס לציר ה-$y$ (סעיף ג).

הסקיצה: שתי גבעות שוות גובה משני צדי ציר ה-$y$, נוגעות בציר ה-$x$ בראשית ויורדות לאט אל ציר ה-$x$ בקצוות בלי לחתוך אותו.

טעות נפוצה: לסרטט את הגרף חותך את ציר ה-$x$ או יורד מתחתיו בקצוות. $f(x)$ חיובית לכל $x\ne0$ ורק מתקרבת ל-0.

גרף $f'(x)$ חותך את ציר ה-$x$ ב-$x=-1,0,1$, ומחוץ ל-$[-1,1]$ הוא רק מתקרב לציר. לכן השטח הסגור נמצא בתחום $-1\le x\le1$, בשני חלקים:

ב-$-1<x<0$ הנגזרת שלילית (החלק מתחת לציר), וב-$0<x<1$ חיובית.

הפונקציה $f(x)$ היא פונקציה קדומה של $f'(x)$, ולכן $\int_a^bf'(x)\,dx=f(b)-f(a)$:

השטח הוא $\frac{28}{e^4}\approx0.513$ יחידות שטח.

טעות נפוצה: לחשב $\int_{-1}^{1}f'(x)\,dx=f(1)-f(-1)=0$ בלי לפצל לפי הסימן. החלק שמתחת לציר נספר בסימן מינוס ומבטל את החלק שמעליו.

הביטוי $\ln x$ מוגדר רק למספרים חיוביים, ושאר הביטוי ($ax$) מוגדר לכל $x$.

תחום ההגדרה: $x>0$.

טעות נפוצה: לכתוב $x\ge0$. $\ln0$ אינו מוגדר.

$f(x)=0$: מכפלה שווה 0 כשאחד הגורמים 0, ו-$a\ne0$:

$x=0$ - לא בתחום ההגדרה, נפסל.

נקודת החיתוך: $(e^2,0)$.

טעות נפוצה: לכתוב גם את $(0,0)$. הנקודה $x=0$ אינה בתחום ההגדרה.

שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת בה. גוזרים לפי כלל המכפלה:

טעות נפוצה: לגזור רק את $\ln x$ ולשכוח את כלל המכפלה, ולקבל $f'(x)=-a$.

$f'(x)=5(1-\ln x)=0\quad\Rightarrow\quad\ln x=1\quad\Rightarrow\quad x=e$.

סימן הנגזרת: ל-$0<x<e$, $\ln x<1$ ולכן $f'(x)>0$ (עולה); ל-$x>e$, $f'(x)<0$ (יורדת).

מעבר מעלייה לירידה - מקסימום. $f(e)=5e(2-1)=5e\approx13.59$.

נקודת הקיצון: $\max(e,5e)$.

טעות נפוצה: להציב $x=e$ בנגזרת במקום בפונקציה כדי למצוא את שיעור ה-$y$.

תחום ההגדרה $x>0$: הראשית אינה על הגרף, ולכן נשארים הגרפים עם עיגול ריק בראשית - II ו-IV.

ל-$f$ יש מקסימום (ג(1)): בגרף IV יש מינימום, ולכן נשאר גרף II.

בדיקה: גרף II חותך את ציר ה-$x$ אחרי המקסימום, כמו $f$ שחותכת אותו ב-$x=e^2$ (א(2)).

הגרף של $f(x)$ הוא גרף II.

טעות נפוצה: לבחור בגרף I כי גם בו יש מקסימום. בגרף I הנקודה בראשית מלאה והגרף לא חותך את ציר ה-$x$.

$g'(x)=-2f'(x)$, ולכן $g'$ מתאפסת באותה נקודה, $x=e$, והסימנים שלה הפוכים לאלה של $f'$.

$f$ עוברת מעלייה לירידה ב-$x=e$, ולכן $g$ עוברת מירידה לעלייה - מינימום.

נקודת הקיצון: $\min(e,17.817)$.

טעות נפוצה: להשאיר את סוג הקיצון "מקסימום" כמו ב-$f$. הכפל ב-$-2$ הופך את הגרף, ומקסימום הופך למינימום.

בנקודת חיתוך $f(x)=g(x)$:

הערך הגדול ביותר של $f$ הוא ערך המקסימום $5e\approx13.59$ (מקסימום יחיד: לפניו עולה ואחריו יורדת).

$13.59<15$, ולכן אין $x$ שבו $f(x)=15$, והגרפים אינם נחתכים.

טעות נפוצה: לפתור את $f(x)=g(x)$ ישירות עם $\ln$ ולהיתקע. מעבר ל-$f(x)=15$ והשוואה לערך המקסימום פותרים בלי משוואה לוגריתמית.