בגרות במתמטיקה 472 - קיץ 2022 מועד ב'

מכפלה סקלרית מחשבים לפי ההגדרה: מכפלת האורכים כפול הקוסינוס של הזווית בין הווקטורים. כל שלושת הווקטורים יוצאים מ-$A$, ולכן הזווית ביניהם היא הזווית בקודקוד $A$ בפאה המתאימה.

$\underline u$ ו-$\underline v$ הם $AB$ ו-$AC$, והזווית ביניהם נתונה: $\angle BAC=45^\circ$.

$\underline u$ ו-$\underline w$ הם $AB$ ו-$AD$, צלעות במשולש שווה הצלעות $ABD$, ולכן $\angle BAD=60^\circ$.

באותו אופן $\angle CAD=60^\circ$ במשולש שווה הצלעות $ACD$:

טעות נפוצה: להניח שגם הזווית $BAC$ היא $60^\circ$ כי "כל הצלעות שוות 6". הפאה $ABC$ אינה שוות צלעות - הזווית בה נתונה, $45^\circ$.

וקטור בין שני קודקודים כותבים כמסלול דרך $A$: חוזרים מנקודת ההתחלה ל-$A$, וממנו יוצאים לנקודת הסיום.

טעות נפוצה: לכתוב $\overrightarrow{CD}=\underline v-\underline w$ (סוף פחות התחלה בסדר הפוך). $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}$: הנקודה שהחץ מגיע אליה פחות הנקודה שהוא יוצא ממנה.

$E$ אמצע $CD$, ולכן $\overrightarrow{CE}=\frac12\overrightarrow{CD}$:

היחס $BF:FD=1:2$ אומר שהמקצוע $BD$ מחולק ל-3 חלקים שווים ו-$BF$ הוא אחד מהם, כלומר $\overrightarrow{BF}=\frac13\overrightarrow{BD}$:

טעות נפוצה: לתרגם את היחס $1:2$ ל-$\overrightarrow{BF}=\frac12\overrightarrow{BD}$. היחס הוא בין שני החלקים, ולכן $BF$ הוא שליש מכל המקצוע ולא חצי.

שני וקטורים מאונכים אם ורק אם המכפלה הסקלרית שלהם היא 0.

(1) לפי ב(1) ו-ב(2), ובעזרת הנוסחה המקוצרת $(\underline a-\underline b)\cdot(\underline a+\underline b)=\underline a^2-\underline b^2$:

הטענה נכונה.

(2) פותחים לפי חוק הפילוג ומציבים את המכפלות מסעיף א:

הטענה אינה נכונה.

(3) ישר מאונך למישור רק אם הוא מאונך לכל ישר במישור. $AF$ נמצא במישור $EAF$, ולפי (2) $\overrightarrow{CD}$ אינו מאונך לו, ולכן $\overrightarrow{CD}$ אינו מאונך למישור. הטענה אינה נכונה.

טעות נפוצה: לקבוע ש-(3) נכונה כי $\overrightarrow{CD}$ מאונך ל-$\overrightarrow{AE}$. ניצבות לישר אחד במישור לא מספיקה; כדי להוכיח ניצבות למישור צריך שני ישרים לא מקבילים, ומספיק ישר אחד לא מאונך כדי להפריך.

במנה צריך לבדוק רק שהמכנה אינו 0.

המכנה הוא $e^x$, ו-$e^x>0$ לכל $x$ - הוא אף פעם לא מתאפס.

לכן הפונקציה מוגדרת לכל $x$.

טעות נפוצה: לכתוב $x\neq0$ כי "יש $x$ במכנה". המשתנה נמצא במעריך, ו-$e^0=1\neq0$.

חיתוך עם ציר ה-$x$: $f(x)=0$. מנה מתאפסת כשהמונה מתאפס (המכנה $e^x$ לעולם אינו 0):

הנקודה: $(0,0)$.

טעות נפוצה: להציב $x=0$, לכתוב $f(0)=\frac00$ ולהסיק שאין נקודת חיתוך. $e^0=1$, ולכן $f(0)=\frac01=0$.

גוזרים לפי כלל המנה, $\left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$, עם $(e^x)'=e^x$:

משווים ל-0. המכנה חיובי, ולכן הסימן נקבע לפי המונה:

טבלת סימנים של $x(2-x)$: שלילי ל-$x<0$, חיובי ל-$0<x<2$, שלילי ל-$x>2$.

ב-$x=0$ הנגזרת עוברת משלילית לחיובית - מינימום: $f(0)=0$.

ב-$x=2$ הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית - מקסימום: $f(2)=\frac4{e^2}$.

טעות נפוצה: לטעות בסדר במונה של כלל המנה ($uv'-u'v$) ולקבל $\frac{x^2-2x}{e^x}$ - אז סוגי הקיצון מתהפכים.

לפי טבלת הסימנים של $f'(x)$ מסעיף ג:

$f'(x)>0$ עבור $0<x<2$ - שם הפונקציה עולה.

$f'(x)<0$ עבור $x<0$ ועבור $x>2$ - שם הפונקציה יורדת.

טעות נפוצה: לכתוב את תחומי העלייה והירידה לפי ערכי $y$ של נקודות הקיצון ($0<y<\frac4{e^2}$). התחומים הם תמיד ערכי $x$.

מרכזים את מה שמצאנו: הפונקציה מוגדרת לכל $x$, חותכת את הצירים רק ב-$(0,0)$, מינימום ב-$(0,0)$ ומקסימום ב-$\left(2,\frac4{e^2}\right)\approx(2,0.54)$.

התנהגות בקצוות: כש-$x\to\infty$ המכנה $e^x$ גדל הרבה יותר מהר מ-$x^2$, ולכן $f(x)\to0$ - הגרף מתקרב לציר ה-$x$ מלמעלה ($f\ge0$). כש-$x\to-\infty$, $x^2\to\infty$ ו-$e^x\to0$, ולכן $f(x)\to\infty$.

הסקיצה: יורד משמאל מגובה רב אל הראשית, עולה עד המקסימום ב-$x=2$, ואחריו יורד ומתקרב לציר ה-$x$ בלי לחצות אותו.

טעות נפוצה: לסרטט את הגרף חוצה את ציר ה-$x$ אחרי המקסימום. $x^2\ge0$ ו-$e^x>0$, ולכן $f(x)\ge0$ בכל מקום.

הכפלה ב-$-2$ פועלת על ערכי $y$ בלבד: כל נקודה $(x,y)$ של $f$ עוברת ל-$(x,-2y)$.

המינוס משקף את הגרף ביחס לציר ה-$x$, והגורם 2 מותח אותו אנכית פי 2.

נקודות הקיצון מתחלפות בסוגן: המינימום $(0,0)$ של $f$ נשאר $(0,0)$ והופך למקסימום של $g$; המקסימום $\left(2,\frac4{e^2}\right)$ הופך למינימום $\left(2,-\frac8{e^2}\right)$.

גרף $g$ נמצא כולו מתחת לציר ה-$x$ (או עליו בראשית), עולה משמאל מ-$-\infty$ אל הראשית, יורד אל המינימום ושוב מתקרב לציר ה-$x$ מלמטה.

טעות נפוצה: להזיז את שיעור ה-$x$ של הקיצון (למשל ל-$x=1$ או $x=4$). כפל של הפונקציה במספר לא משנה את ערכי ה-$x$, רק את ערכי ה-$y$.

גבולות השטח: הגרפים נפגשים כש-$f(x)=g(x)$, כלומר $f(x)=-2f(x)$, $3f(x)=0$, $x=0$. לכן השטח הוא בין $x=0$ ל-$x=3$ (וכך גם $S$: $f$ פוגשת את ציר ה-$x$ ב-$x=0$).

בתחום הזה $f(x)\ge0\ge g(x)$, ולכן $f$ היא הפונקציה העליונה:

אפשר לראות זאת גם בלי אינטגרל: השטח מעל ציר ה-$x$ (עד $f$) הוא $S$, והשטח מתחת לציר (עד $g$) הוא שיקוף של $S$ שנמתח פי 2, כלומר $2S$. ביחד $3S$.

טעות נפוצה: לחשב $\int_0^3(f-g)dx$ כ-$\int_0^3(f-2f)dx=-S$ - לשכוח שמחסרים את $g=-2f$, כלומר מוסיפים $2f$.

$\ln x$ מוגדר רק למספרים חיוביים. הפרמטר $a$ והעלאה בריבוע לא מוסיפים הגבלה.

לכן תחום ההגדרה: $x>0$.

טעות נפוצה: לכתוב $x\ge0$ או $x\neq0$. $\ln 0$ אינו מוגדר, וגם $\ln$ של מספר שלילי.

גוזרים בכלל השרשרת: הנגזרת של $(\ln x)^2$ היא $2\ln x\cdot(\ln x)'=2\ln x\cdot\frac1x$. הנגזרת של הקבוע $a$ היא 0.

ב-$x>0$ המכנה חיובי, ולכן $f'(x)=0$ כש-$\ln x=0$, כלומר $x=1$.

ל-$0<x<1$: $\ln x<0$ ולכן $f'<0$. ל-$x>1$: $\ln x>0$ ולכן $f'>0$. הנגזרת עוברת משלילית לחיובית - מינימום.

$f(1)=a+(\ln1)^2=a$. נקודת המינימום: $(1,a)$.

טעות נפוצה: לגזור את $(\ln x)^2$ כאילו היה $\ln\left(x^2\right)$ ולקבל $\frac2x$ - נגזרת שאינה מתאפסת, ומכאן "אין קיצון".

בכל התחום $x>0$ מתקיים $\frac1x>0$, ולכן $g$ עולה בכל תחום ההגדרה שלה ואין לה תחום ירידה.

טעות נפוצה: לכתוב "ירידה ב-$x<0$" כי שם $\frac1x<0$. $x<0$ אינו בתחום ההגדרה.

$f$: יש לה נקודת מינימום אחת $(1,a)$, ו-$a>0$ - המינימום מעל ציר ה-$x$. גרפים III ו-IV הם בעלי מינימום, אבל ב-III המינימום על ציר ה-$x$ (ערך 0). לכן $f$ - גרף IV.

$g$: עולה בכל תחום ההגדרה (סעיף ג) ואין לה קיצון. הגרף היחיד שעולה כל הזמן הוא I (גרף II יורד). לכן $g$ - גרף I.

טעות נפוצה: לבחור את גרף III ל-$f$. הוא מתאים ל-$a=0$, אבל נתון $a>0$ - נקודת המינימום $(1,a)$ מעל הציר.

בנקודת חיתוך ערכי הפונקציות שווים: $f(e)=g(e)$.

$\ln e=1$, ולכן:

טעות נפוצה: להציב $\ln e=e$ ולקבל $a+e^2=1+e$. $\ln e=1$, כי $e^1=e$.

עם $a=1$: $f(x)=1+(\ln x)^2$. משווים:

$\ln x=1$ נותן $x=e$ (הנקודה הידועה). $\ln x=0$ נותן $x=1$.

$g(1)=1+0=1$. הנקודה האחרת: $(1,1)$.

טעות נפוצה: לחלק את המשוואה ב-$\ln x$ ולאבד את הפתרון $\ln x=0$. מוציאים גורם משותף במקום לחלק.

נסמן $t=\ln x$: $t(t-1)<0$ - פרבולה צוחקת שמתחת לציר בין השורשים, כלומר $0<t<1$.

(בדיקה בגרפים: בין שתי נקודות החיתוך גרף $g$ מעל גרף $f$.)

טעות נפוצה: לענות $x<1$ או $x>e$ - התחום שבו $f>g$. מכפלה שלילית מתקבלת בין השורשים.

נקודת קיצון של $f$ נמצאת היכן שהנגזרת מתאפסת ומחליפה סימן - כאן ב-$x=c$.

לפי הגרף: משמאל ל-$c$ גרף $f'$ מעל ציר ה-$x$ ($f'>0$, $f$ עולה), ומימין ל-$c$ מתחתיו ($f'<0$, $f$ יורדת).

פונקציה שעולה ואחר כך יורדת - בנקודה $x=c$ יש לה מקסימום.

טעות נפוצה: לקבוע "מינימום" כי גרף הנגזרת יורד ב-$c$. סוג הקיצון של $f$ נקבע לפי הסימן של $f'$ משני הצדדים, לא לפי העלייה או הירידה של גרף $f'$.

$\ln$ מוגדר רק לביטוי חיובי:

הפרבולה $4x-x^2$ בוכה ושורשיה $0$ ו-$4$; היא חיובית בין השורשים.

תחום ההגדרה: $0<x<4$.

טעות נפוצה: לפתור $x(4-x)>0$ כ"$x>0$ או $x>4$" ולקבל את התחום מחוץ לשורשים. בפרבולה בוכה הערכים החיוביים הם בין השורשים.

חיתוך עם ציר ה-$x$: $f(x)=0$. $\ln A=0$ כש-$A=1$:

$x\approx0.27$ ו-$x\approx3.73$ - שניהם בתחום $0<x<4$. הנקודות: $(0.27,0)$, $(3.73,0)$.

חיתוך עם ציר ה-$y$: צריך $x=0$, אבל $0$ אינו בתחום ההגדרה - אין חיתוך.

טעות נפוצה: לפתור $4x-x^2=0$ (כאילו $\ln A=0$ כש-$A=0$) ולקבל $x=0$ ו-$x=4$, שאינם אפילו בתחום.

נגזרת של $\ln(u(x))$ היא $\frac{u'(x)}{u(x)}$:

בתחום ההגדרה המכנה חיובי, ולכן $f'(x)=0$ כש-$4-2x=0$, $x=2$.

$f(2)=\ln(8-4)=\ln4$. נקודת הקיצון (מקסימום, לפי סעיף א): $(2,\ln4)$.

$c$ הוא המקום שבו גרף $f'$ חותך את ציר ה-$x$, כלומר שיעור ה-$x$ של נקודת הקיצון: $c=2$.

טעות נפוצה: לגזור $\ln\left(4x-x^2\right)$ ל-$\frac1{4x-x^2}$ ולשכוח את הנגזרת הפנימית $4-2x$ - אז הנגזרת אף פעם לא מתאפסת.

בקצוות התחום הביטוי $4x-x^2$ שואף ל-0 מלמעלה, ולכן $\ln\left(4x-x^2\right)\to-\infty$: הישרים $x=0$ ו-$x=4$ הם אסימפטוטות אנכיות.

מרכזים: עולה מ-$-\infty$ ליד $x=0$, חוצה את ציר ה-$x$ ב-$x\approx0.27$, מגיעה למקסימום $(2,\ln4)\approx(2,1.39)$, חוצה שוב ב-$x\approx3.73$ ויורדת ל-$-\infty$ ליד $x=4$.

טעות נפוצה: לסרטט את הגרף מתחיל מהראשית. $x=0$ אינו בתחום, ושם הגרף יורד לאינסוף שלילי.

מכפלה חיובית כששני הגורמים באותו סימן. בונים טבלת סימנים לשניהם.

סימן $f$ (מהסקיצה): שלילית ב-$0<x<2-\sqrt3$, חיובית ב-$2-\sqrt3<x<2+\sqrt3$, שלילית ב-$2+\sqrt3<x<4$.

סימן $f'$ (סעיף א): חיובית ב-$0<x<2$, שלילית ב-$2<x<4$.

שניהם חיוביים: $2-\sqrt3<x<2$.

שניהם שליליים: $2+\sqrt3<x<4$.

לכן $g(x)>0$ ב-$2-\sqrt3<x<2$ וב-$2+\sqrt3<x<4$.

טעות נפוצה: לבדוק רק את סימן $f'$ (או רק של $f$) ולשכוח את הגורם השני; למשל ב-$x=0.1$: $f'>0$ אבל $f<0$, ולכן שם $g<0$.