מתכונת במתמטיקה 571 - מתכונת 15 ברמת בגרות

שלב הבסיס ($n=1$): אגף שמאל $\frac{3}{1\cdot2\cdot2}=\frac34$, אגף ימין $1-\frac{1}{2\cdot2}=\frac34$. שווים.

הנחת האינדוקציה: נניח שעבור $n=k$ מתקיים $\frac{3}{1\cdot2\cdot2}+\ldots+\frac{k+2}{k(k+1)\cdot2^k}=1-\frac{1}{(k+1)\cdot2^k}$.

שלב הצעד: נוכיח עבור $n=k+1$. האיבר הבא בסכום הוא $\frac{(k+1)+2}{(k+1)(k+2)\cdot2^{k+1}}=\frac{k+3}{(k+1)(k+2)\cdot2^{k+1}}$, ולכן לפי ההנחה:

מביאים למכנה משותף $(k+1)(k+2)\cdot2^{k+1}$ (מרחיבים את השבר הראשון ב-$2(k+2)$):

מאחר ש-$k+2=(k+1)+1$, זו בדיוק הטענה עבור $n=k+1$. לפי עקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל $n$ טבעי.

טעות נפוצה: להוסיף בצעד את האיבר $\frac{k+3}{(k+1)(k+2)\cdot2^k}$ (לשכוח להגדיל את המעריך של 2) - מקבלים $1+\frac{1}{(k+1)(k+2)\cdot2^k}$, ומסיקים בטעות שהצעד נכשל.

$AD\parallel BC$, ולכן $\angle DBC=\angle ADB=\alpha$ (זוויות מתחלפות).

במשולש ABD ($\angle BAD=90^\circ$, BD יתר): AD הניצב שליד $\alpha$, ולכן $AD=BD\cdot\cos\alpha$.

במשולש BDC ($\angle BDC=90^\circ$, BC יתר): CD הניצב שמול הזווית $\angle DBC=\alpha$ ו-BD הניצב שלידה, ולכן $CD=BD\cdot\tan\alpha$.

נתון $CD=1.5\cdot AD$:

$\alpha$ זווית חדה, ולכן $\sin\alpha>0$: $\sin\alpha=\frac{\sqrt{10}-1}{3}\approx0.7208$, ו-$\alpha\approx46.12^\circ$.

טעות נפוצה: לחשוב ש-BD הוא היתר גם במשולש BDC ולכתוב $CD=BD\cdot\sin\alpha$; אז $BD\sin\alpha=1.5\,BD\cos\alpha$, כלומר $\tan\alpha=1.5$, ומקבלים $\alpha\approx56.31^\circ$ - אבל במשולש BDC היתר הוא BC, מול הזווית הישרה שב-D.

AB מאונך לשני הבסיסים, ולכן הוא גובה הטרפז: $h=AB=6$.

במשולש ABD: $AB=BD\cdot\sin\alpha$, ולכן $BD=\frac{6}{\sin\alpha}\approx\frac{6}{0.7208}\approx8.325$.

$\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}\approx0.6932$.

הבסיס הקטן: $AD=BD\cdot\cos\alpha\approx8.325\cdot0.6932\approx5.770$.

הבסיס הגדול הוא היתר BC במשולש BDC: $\cos\alpha=\frac{BD}{BC}$, ולכן $BC=\frac{BD}{\cos\alpha}\approx\frac{8.325}{0.6932}\approx12.009$.

טעות נפוצה: לכתוב גם במשולש BDC $BC=BD\cdot\cos\alpha$ (כאילו BD הוא היתר), כלומר $BC=AD\approx5.770$, ולקבל $S\approx34.62$.

נקודות האפס: ל-$f$ - $x=-2$, $x=0$ ו-$x=1$; ל-$g$ - $x=-1$, $x=0$ ו-$x=2$. בגרף של $f$ האפס השלילי רחוק מהראשית יותר מהאפס החיובי, ובגרף של $g$ - להפך.

ליד $x=0$ (שורש מריבוי $n$): כאשר $n$ זוגי $x^n\ge0$ ואינו מחליף סימן - הגרף נוגע בציר בראשית (קיצון). כאשר $n$ אי-זוגי ($n\ge3$) $x^n$ מחליף סימן אבל הנגזרת מתאפסת - הגרף חוצה את הציר בראשית ונעשה שם אופקי (נקודת פיתול).

באינסוף: המעלה היא $n+2$ והמקדם המוביל 1. כאשר $n$ זוגי המעלה זוגית ושני הקצוות שואפים ל-$+\infty$; כאשר $n$ אי-זוגי המעלה אי-זוגית - משמאל $-\infty$ ומימין $+\infty$.

גרף I: שני הקצוות למעלה, נוגע בראשית, האפס השלילי קרוב לראשית והחיובי רחוק - $g(x)$, $n$ זוגי.

גרף II: מתחיל ב-$-\infty$, שטוח בראשית וחוצה בה את הציר, האפס השלילי רחוק מהראשית - $f(x)$, $n$ אי-זוגי.

גרף III: מתחיל ב-$-\infty$, שטוח בראשית וחוצה בה את הציר, האפס החיובי רחוק מהראשית - $g(x)$, $n$ אי-זוגי.

גרף IV: שני הקצוות למעלה, נוגע בראשית, האפס השלילי רחוק מהראשית - $f(x)$, $n$ זוגי.

טעות נפוצה: לקרוא את האפסים של $(x-1)(x+2)$ בסימן הפוך ($x=-1$ ו-$x=2$), וכך להחליף בין $f$ ל-$g$ - למשל לשייך את גרף I ל-$f(x)$ עם $n$ זוגי.

עבור $n=2$: $g(x)=x^2(x+1)(x-2)=x^2(x^2-x-2)=x^4-x^3-2x^2$, ואפסיה $x=-1$, $x=0$ ו-$x=2$ (גרף I).

בקטע $-1\le x\le2$: $x^2\ge0$ ו-$(x+1)(x-2)\le0$, ולכן $g(x)\le0$ - הגרף מתחת לציר, ובראשית הוא רק נוגע בציר. השטח הוא מ-$-1$ עד 2, ושווה למינוס האינטגרל:

טעות נפוצה: לחשוב שהשטח נגמר בנקודת ההשקה $x=0$ ולחשב רק מ-0 עד 2 - מקבלים $\frac{44}{15}\approx2.93$, בלי החלק שבין $x=-1$ ל-$x=0$.

לפי המשפט היסודי $g'(x)=f(x)$: $g$ עולה כאשר $f>0$ ויורדת כאשר $f<0$.

לפי הסרטוט, בתחום $x\ge0$: $f<0$ ב-$0\le x<1$; $f>0$ ב-$1<x<3$; $f<0$ ב-$3<x<4.5$ וב-$4.5<x<6$ (ב-$x=4.5$ הגרף רק נוגע בציר); $f>0$ ב-$x>6$.

$x=1$: $g'$ עוברת משלילית לחיובית - מינימום.

$x=3$: $g'$ עוברת מחיובית לשלילית - מקסימום.

$x=4.5$: $f$ נוגעת בציר ואינה מחליפה סימן - $g$ ממשיכה לרדת, אין קיצון.

$x=6$: $g'$ עוברת משלילית לחיובית - מינימום.

$x=0$ הוא קצה התחום, ומיד אחריו $g$ יורדת - מקסימום בקצה ($g(0)=0$).

טעות נפוצה: לסמן גם את $x=4.5$ כנקודת קיצון של $g$ (כי $f(4.5)=0$) - שם $g'$ מתאפסת בלי להחליף סימן, וזו נקודת פיתול של $g$, לא קיצון.

השטח $S$ הוא השטח בתחום $0\le x\le1$, שם $f<0$. נסמן ב-$S_2$ את השטח בתחום $1\le x\le3$ (שם $f\ge0$), וב-$S_3$ את השטח בתחום $3\le x\le6$ (שם $f\le0$).

האינטגרל סופר שטח שמתחת לציר בסימן שלילי:

השטח הכולל הוא סכום השטחים (כולם חיוביים):

טעות נפוצה: לענות שהשטח הוא $|g(6)|=2S$ - האינטגרל מ-0 עד 6 מקזז בין השטח שמעל הציר לשטחים שמתחתיו במקום לחבר אותם.

$a_{n+1}=S_{n+1}-S_n=5n-1$ לכל $n\ge1$ - זו נוסחה לאיברים מהשני והלאה.

מחליפים $n$ ב-$n-1$: $a_n=5(n-1)-1=5n-6$ לכל $n\ge2$.

האיבר הראשון: $a_1=S_1=-1$, וגם $5\cdot1-6=-1$. לכן $a_n=5n-6$ לכל $n\ge1$.

ההפרש קבוע - הסדרה חשבונית עם $a_1=-1$, $d=5$ (האיברים: $-1,4,9,\dots$).

טעות נפוצה: לכתוב $S_{n+1}-S_n=a_n$ ולקבל $a_n=5n-1$, ומכאן $a_1=4$ - בסתירה לנתון $S_1=-1$.

המונה של כל מחובר: $b_{k+1}-b_k=a_k$. המכנה: $a_k-a_{k+1}=-d=-5$.

לכן כל מחובר שווה $-\frac{a_k}{5}$, והסכום הוא $-\frac{S_{24}}{5}$:

טעות נפוצה: לכתוב את המכנה כ-$d=5$ (כאילו הוא $a_{k+1}-a_k$) ולקבל $+271.2$.

נסמן את מספר הרופאים ב-$D$. מספר האחיות והאחים $4D$, וסך המשתתפים $5D$.

רופאים שקיבלו חיסון: $0.75D$. הרופאים הם $\frac38$ מהמחוסנים, ולכן אם $V$ מספר המחוסנים:

אחיות ואחים שקיבלו חיסון: $2D-0.75D=1.25D$. שלא קיבלו: $4D-1.25D=2.75D$.

טעות נפוצה: לקרוא את $\frac58$ כחלק של המחוסנים מתוך האחיות והאחים: $\frac58\cdot4D=2.5D$ מחוסנים, $1.5D$ לא מחוסנים, והסתברות $\frac{1.5D}{5D}=0.3$.

ההסתברות שמשתתף אקראי קיבל חיסון: $\frac{2D}{5D}=0.4$. בית החולים גדול מאוד, ולכן אלה 5 ניסויי ברנולי עם $p=0.4$.

טעות נפוצה: לחשב רק את $P(3)=0.2304$ ולשכוח את המקרים של 4 ו-5 מחוסנים.

$P(\text{לפחות אחד})=1-0.6^5=1-0.07776=0.92224$.

"לפחות 3" מוכל ב"לפחות אחד", ולכן החיתוך הוא "לפחות 3":

טעות נפוצה: לחשב את המשלים עם ההסתברות של מחוסן, $1-0.4^5=0.98976$, ולקבל $\frac{0.31744}{0.98976}\approx0.3207$.

בדיוק 3 מחוסנים והאחרון מחוסן: מבין 4 הראשונים בדיוק 2 מחוסנים, $\binom42=6$ סידורים.

בסך הכול יש $\binom53=10$ סידורים של 3 מחוסנים ב-5 מקומות, וכולם שווי הסתברות ($0.4^3\cdot0.6^2$ כל אחד):

טעות נפוצה: להתעלם מהתנאי ולענות 0.4 - ההסתברות שמשתתף אקראי מחוסן. בהינתן ש-3 מתוך 5 מחוסנים, לכל מקום סיכוי $\frac35$.

הנקודות D, A, B, E על המעגל השמאלי, ולכן המרובע DABE חסום, ו-$\angle DEB+\angle DAB=180^\circ$ (זוויות נגדיות).

C, A, D על ישר אחד, ולכן $\angle CAB=180^\circ-\angle DAB$ (זוויות צמודות).

מכאן $\angle DEB=\angle CAB$.

טעות נפוצה: לטעון ש-$\angle DEB=\angle DAB$ כי שתיהן נשענות על הקשת DB - הנקודות E ו-A נמצאות משני צדי המיתר DB, ולכן הזוויות משלימות ל-$180^\circ$.

במעגל הימני הנקודות A, C, F, B מסודרות כך שהמרובע ACFB חסום (F על הקשת BC שאינה מכילה את A), ולכן $\angle CFB+\angle CAB=180^\circ$, כלומר $\angle CFB=180^\circ-\angle CAB$.

G, F, C על ישר אחד: $\angle GFB=180^\circ-\angle CFB=\angle CAB$.

G, E, D על ישר אחד: $\angle GEB=180^\circ-\angle DEB=180^\circ-\angle CAB$ (סעיף א).

E ו-F קודקודים נגדיים במרובע GEBF, ולכן הוא בר חסימה.

טעות נפוצה: לכתוב $\angle CFB=\angle CAB$ כזוויות היקפיות על הקשת CB - הנקודות A ו-F נמצאות משני צדי המיתר BC, ולכן הזוויות משלימות ולא שוות.

במעגל הימני, למיתרים שווים מתאימות זוויות היקפיות שוות. $AB=BF$, ולכן הזוויות ההיקפיות שהנקודה C רואה בהן אותם שוות:

A על CD, B על CE ו-F על CG, ולכן $\angle ACB=\angle DCE$ ו-$\angle BCF=\angle ECG$.

כלומר CE חוצה את הזווית GCD במשולש GCD, ו-E על הצלע GD. לפי משפט חוצה הזווית:

טעות נפוצה: להסיק מ-$AB=BF$ ש-CB חוצה את הזווית ACF וליישם את משפט חוצה הזווית במשולש ACF - הצלע שמול C במשולש הזה היא AF, והקטעים GE ו-DE לא מופיעים בו.

CF קוטר במעגל הימני, ולכן הזווית ההיקפית $\angle CBF$ הנשענת עליו ישרה. E, B, C על ישר אחד, ולכן גם $\angle EBF=90^\circ$.

המרובע GEBF חסום (סעיף ב), ולכן $\angle EGF=180^\circ-\angle EBF=90^\circ$. כלומר במשולש GDC: $\angle DGC=90^\circ$, והיתר הוא CD.

נסמן $EG=y$. לפי סעיף ג: $\frac{CG}{20}=\frac{y}{10}$, כלומר $CG=2y$, ו-$GD=y+10$.

$y=6$ (האורך חיובי). $EG=6$, $CG=12$.

טעות נפוצה: לשים את הזווית הישרה ב-D (כמו במצבים דומים) ולכתוב $CG^2=CD^2+GD^2$, ואז $3y^2-20y-500=0$, $EG=\frac{50}3$ ו-$CG=\frac{100}3$.

המשולש ABD חסום במעגל שרדיוסו $R$, והצלע BD נמצאת מול הזווית $\angle DAB=\alpha$.

לפי משפט הסינוסים המורחב:

טעות נפוצה: להשתמש בזווית המרכזית שנשענת על BD במקום בזווית ההיקפית, ולכתוב $BD=2R\sin2\alpha$.

במרובע חסום $\angle BCD=180^\circ-\alpha$, ו-$\cos(180^\circ-\alpha)=-\cos\alpha$.

מכפלת הצלעות: $BC\cdot CD=R^2\sqrt2\cdot\sqrt{2-\sqrt3}=R^2\sqrt{4-2\sqrt3}=R^2\sqrt{(\sqrt3-1)^2}=(\sqrt3-1)R^2$.

משפט הקוסינוסים במשולש BCD:

מציבים $BD=2R\sin\alpha$ ומחלקים ב-$R^2$:

אגף שמאל מתפרק: $(2\cos\alpha-1)(2\cos\alpha+\sqrt3)=0$ (בדיקה: $4\cos^2\alpha+2\sqrt3\cos\alpha-2\cos\alpha-\sqrt3$).

$\cos\alpha=\frac12$, כלומר $\alpha=60^\circ$; או $\cos\alpha=-\frac{\sqrt3}{2}$, כלומר $\alpha=150^\circ$ - נפסל, כי $\alpha$ חדה.

טעות נפוצה: לכתוב $\cos(180^\circ-\alpha)=\cos\alpha$, לקבל $4\cos^2\alpha-2(\sqrt3-1)\cos\alpha-\sqrt3=0$, כלומר $(2\cos\alpha+1)(2\cos\alpha-\sqrt3)=0$, ולענות $\alpha=30^\circ$.

BD חוצה את הזווית ABC, ולכן $\angle ABD=\angle CBD$.

במשולש BCD (חסום במעגל שרדיוסו $R$) הצלע CD נמצאת מול הזווית CBD:

זה $\sin15^\circ$: $\sin15^\circ=\sin(45^\circ-30^\circ)=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}$, ו-$\left(\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\right)^2=\frac{8-2\sqrt{12}}{16}=\frac{2-\sqrt3}{4}$.

$\angle CBD<\angle CBD+\angle BDC=\alpha=60^\circ$, ולכן $\angle CBD=15^\circ$ (ולא $165^\circ$).

לכן $\angle ABD=15^\circ$.

טעות נפוצה: להשתמש בצלע BC: $\sin\angle BDC=\frac{R\sqrt2}{2R}=\frac{\sqrt2}{2}$, ולענות $\angle ABD=45^\circ$ - זו הזווית שמול BC, לא הזווית CBD.

במשולש ABD: $\angle BAD=60^\circ$, $\angle ABD=15^\circ$, ולכן $\angle ADB=180^\circ-60^\circ-15^\circ=105^\circ$.

לפי משפט הסינוסים $AB=2R\sin105^\circ=2R\sin75^\circ=2R\cos15^\circ$.

הגובה מ-A ל-BD: $h_1=AB\sin\angle ABD=2R\cos15^\circ\sin15^\circ$. לפי זהות הזווית הכפולה $2\sin15^\circ\cos15^\circ=\sin30^\circ$, ולכן:

המשולש BOD שווה-שוקיים, והזווית המרכזית $\angle BOD=2\alpha=120^\circ$. הגובה מ-O חוצה אותה:

(כלומר A ו-O נמצאות באותו מרחק מ-BD ובאותו צד שלו: $AO\parallel BD$.)

טעות נפוצה: להציב במשפט הסינוסים את הזווית שליד A במקום הזווית שמול AB, כלומר $AB=2R\sin60^\circ=R\sqrt3$, ולקבל $\frac{h_1}{h_2}=\frac{3\sqrt2-\sqrt6}{2}\approx0.897$.