מתכונת במתמטיקה 571 - מתכונת 14 ברמת בגרות

$a_1=\cos\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=\cos\frac{5\pi}{6}=-\frac{\sqrt3}{2}$

$a_2=\cos\left(\pi+\frac{\pi}{3}\right)=-\cos\frac{\pi}{3}=-\frac12$

$a_3=\cos\left(\frac{3\pi}{2}+\frac{\pi}{3}\right)=\cos\frac{11\pi}{6}=\frac{\sqrt3}{2}$

$a_4=\cos\left(2\pi+\frac{\pi}{3}\right)=\cos\frac{\pi}{3}=\frac12$

טעות נפוצה: לחשב את $a_1$ כ-$\cos\frac{\pi}{2}+\cos\frac{\pi}{3}=0+\frac12=\frac12$ - קוסינוס של סכום אינו סכום הקוסינוסים.

הוספת 4 ל-$n$ מוסיפה $2\pi$ לזווית, ולכן הסדרה מחזורית עם מחזור 4: $a_{n+4}=a_n$.

סכום מחזור אחד: $-\frac{\sqrt3}{2}-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}+\frac12=0$.

$2022=4\cdot505+2$: 505 מחזורים שלמים (סכומם 0), ועוד שני איברים $a_{2021}=a_1$ ו-$a_{2022}=a_2$.

טעות נפוצה: לחשוב שהמחזור הוא 2 (כמו ב-$\cos(n\pi)$) ולכן ש-2022 זוגי נותן סכום $0$ - הזווית גדלה ב-$\frac{\pi}{2}$ בכל צעד, והמחזור הוא 4.

גרף ב הוא היחיד עם אסימפטוטה אופקית שאינה ציר ה-$x$. משמאל לאסימפטוטה האנכית הוא עולה ומימינה יורד.

לכן אם $f$ הוא גרף ב, $f'$ חיובית משמאל ושלילית מימין - זה גרף ג.

גרף ג עולה בשני הענפים (משמאל מ-0 אל $+\infty$, מימין מ-$-\infty$ אל 0), ולכן הנגזרת שלו חיובית בכל התחום - זה גרף א.

השרשרת עקבית: גרף ב עולה איפה שגרף ג חיובי ויורד איפה שגרף ג שלילי, וגרף ג עולה בשני ענפיו בהתאם לכך שגרף א חיובי בכל התחום. לכן $f$=ב, $f'$=ג, $f''$=א.

טעות נפוצה: לבחור את גרף א כ-$f$ (כי גם הוא עולה משמאל ויורד מימין), ולהסיק $f'$=ג ו-$f''$=ב - אבל אז $f''$ הייתה הנגזרת של גרף ג, שעולה בשני ענפיו, כלומר חיובית בכל התחום, וגרף ב שלילי רחוק מהאסימפטוטה.

$a_1=2+1=3=b_1$.

$b_2=2b_1-1+1=6$ ($n=1$), ו-$a_2=4+2=6$. שווים.

$b_3=2b_2-2+1=11$, $b_4=2b_3-3+1=20$, ו-$a_4=16+4=20$. שווים.

טעות נפוצה: לחשב $b_2=2b_1-2+1=5$ (להציב $n=2$ במקום $n=1$) ולהסיק ש-$a_2\neq b_2$ - $b_2$ מתקבל מכלל הנסיגה עם $n=1$.

מוכיחים באינדוקציה ש-$b_n=2^n+n$.

בסיס: $b_1=3=2^1+1$.

הנחה: $b_k=2^k+k$.

צעד:

וזה בדיוק $a_{k+1}=2^{k+1}+(k+1)$.

לפי עקרון האינדוקציה $b_n=a_n$ לכל $n$ טבעי.

טעות נפוצה: לפתוח $2\left(2^k+k\right)=4^k+2k$ ולקבל בצעד $4^k+k+1$, ומכאן שהסדרות אינן זהות - $2\cdot2^k=2^{k+1}$.

התחום של $g$ זהה לתחום של $f$ (סימטרי).

$g(-x)=2-f(-x)=2-f(x)=g(x)$.

לכן $g$ זוגית (שיקוף ביחס לציר ה-$x$ והזזה אנכית שומרים על סימטריה סביב ציר ה-$y$).

טעות נפוצה: לחשוב שהסימן השלילי לפני $f$ הופך אותה לאי-זוגית ולענות "$g$ אי-זוגית" - אי-זוגיות דורשת $g(-x)=-g(x)$, ואילו כאן $g(-x)=g(x)$.

$h(-x)=(-x)\cdot f(-x)=-x\cdot f(x)=-h(x)$, כלומר $h$ אי-זוגית.

פונקציה אי-זוגית היא גם זוגית רק אם היא אפס בכל התחום. דוגמה נגדית: $f(x)=1$ (זוגית), $h(x)=x$, ו-$h(-1)=-1\neq1=h(1)$.

לכן $h$ אינה בהכרח זוגית.

טעות נפוצה: לנמק "מכפלה של פונקציות זוגיות היא זוגית" ולענות ש-$h$ זוגית - הגורם $x$ הוא פונקציה אי-זוגית, ומכפלה של זוגית באי-זוגית היא אי-זוגית.

התחום של $k$: כל $x$ בתחום של $f$ שבו $f(x)\neq0$. אם $f(x)\neq0$ אז גם $f(-x)=f(x)\neq0$, ולכן התחום סימטרי.

$k(-x)=\frac{1}{f(-x)}=\frac{1}{f(x)}=k(x)$.

לכן $k$ זוגית.

טעות נפוצה: לטעון ש-$k$ לא זוגית כי "ייתכן ש-$f$ מתאפסת ואז $k$ לא מוגדרת" - נקודות האפס של $f$ באות בזוגות סימטריים, ולכן התחום של $k$ נשאר סימטרי.

הסדרה יורדת, ולכן לכל $n$: $a_{n+1}-a_n<0$.

$a_{n+1}-a_n=a_n(q-1)$, ו-$q-1<0$ כי $0<q<1$.

המכפלה $a_n(q-1)$ שלילית רק אם $a_n>0$. לכן כל איברי הסדרה חיוביים.

טעות נפוצה: להסיק "הסדרה יורדת, ולכן איבריה שליליים" - סדרה הנדסית עם $0<q<1$ ואיברים שליליים דווקא עולה (למשל $-8,-4,-2,\ldots$).

$a_n=a_1q^{n-1}$ ו-$b_n=b_1q^{n-1}$, ולכן:

$c_n\neq0$, ולכן $3b_1-2a_1\neq0$, ו-$\frac{c_{n+1}}{c_n}=\frac{(3b_1-2a_1)q^n}{(3b_1-2a_1)q^{n-1}}=q$ לכל $n$.

המנה קבועה: $c_n$ סדרה הנדסית עם $c_1=3b_1-2a_1$ ומנה $q$.

טעות נפוצה: לחשוב שהמנות של $3b_n$ ושל $2a_n$ הן $3q$ ו-$2q$ (להכפיל גם את המנה), ולהסיק בטעות ש-$c_n$, הפרש של שתי סדרות עם מנות שונות, אינה הנדסית. הכפלה של כל האיברים במספר משנה רק את האיבר הראשון.

לסדרות $b_n$ ו-$c_n$ אותה מנה $q$, $0<q<1$, ולכן:

מ-$c_1=3b_1-2a_1$: $8=12-2a_1$, ולכן $a_1=2$ (חיובי, כמו שמצאנו בסעיף א).

טעות נפוצה: לשכוח את המקדם של $a_n$ ולכתוב $c_1=3b_1-a_1$ - מקבלים $a_1=4$.

תת-הסדרות במקומות האי-זוגיים והזוגיים הן הנדסיות עם מנה $q^2$, ואיבריהן הראשונים $a_1$ ו-$a_1q$:

עם $a_1=2$: $\frac2{1+q}=1.5$, ולכן $1+q=\frac43$ ו-$q=\frac13$.

טעות נפוצה: לקרוא "גדול ב-1.5" כ"גדול פי 1.5" - מקבלים $\frac{S_{odd}}{S_{even}}=\frac1q=1.5$ ו-$q=\frac23$. הנתון הוא הפרש בין הסכומים, לא יחס.

נסמן ב-$B$ את מספר הבנים. מנגנים: $0.3B$, ולכן מספר הבנות $0.3aB$.

טעות נפוצה: לחלק במספר הבנים בלבד ולקבל $0.3a$.

מאי-התלות: $P(\text{מנגן})=P(\text{מנגן}\mid\text{בן})=0.3$ (הנתון "30% מהבנים מנגנים").

טעות נפוצה: לחשב את ההסתברות לבן שמנגן, $0.3\cdot\frac{10}{3a+10}=\frac{3}{3a+10}$, במקום ההסתברות לתלמיד/ה מנגן/ת.

מסעיף א, עבור $a=5$: $P(\text{בת})=\frac{15}{25}=\frac35$, $P(\text{בן})=\frac25$.

מאי-התלות: $P(\text{בת}\mid\text{מנגן})=P(\text{בת})=\frac35>\frac25$. סביר יותר שזו בת.

טעות נפוצה: לבלבל בין $P(\text{בת}\mid\text{מנגן})$ ל-$P(\text{מנגן}\mid\text{בת})$ ולהסיק "30% מכל קבוצה מנגנים, ולכן הסיכויים שווים".

ברנולי עם $n=5$, "לפחות 4" = 4 או 5:

טעות נפוצה: לקחת $p=0.3$ (ההסתברות שבן מנגן) ולקבל $5\cdot0.3^4\cdot0.7+0.3^5\approx0.0308$.

היקף הריבוע $4x$, והיקף המעגל $k-4x$. שני החלקים חיוביים: $4x>0$ ו-$k-4x>0$.

לכן $0<x<\frac k4$.

טעות נפוצה: לכתוב $0<x<k$ - הריבוע צורך $4x$ מהחוט.

$r=\frac{k-4x}{2\pi}$, ולכן שטח העיגול $\frac{(k-4x)^2}{4\pi}$:

$S'=0$: $\pi x=k-4x$, ולכן $x=\frac{k}{4+\pi}\approx0.14k$.

פרבולה עם מקדם $x^2$ חיובי - מינימום, והנקודה בתוך התחום ($0.14<0.25$).

טעות נפוצה: לשכוח את הנגזרת הפנימית $-4$ ולקבל $2x-\frac{k-4x}{2\pi}=0$, כלומר $x=\frac{k}{4+4\pi}\approx0.06k$.

במינימום $S'=0$: $2x=\frac{2(k-4x)}{\pi}$, ולכן $\frac{k-4x}{2\pi}=\frac{x}{2}$, כלומר רדיוס המעגל $r=\frac x2$.

ריבוע חסום במעגל כאשר האלכסון שלו הוא קוטר: רדיוס המעגל החוסם הוא חצי אלכסון, $\frac{\sqrt2x}{2}=\frac{x}{\sqrt2}$.

$\frac x2<\frac{x}{\sqrt2}$, ולכן אי אפשר לחסום את הריבוע במעגל (המעגל קטן מדי).

(רדיוס $\frac x2$ מתאים בדיוק למעגל החסום בריבוע.)

טעות נפוצה: להשוות את $r=\frac x2$ לחצי הצלע ולענות "אפשר לחסום" - חצי הצלע הוא רדיוס המעגל החסום בריבוע; לריבוע החסום במעגל צריך חצי אלכסון.

$MB$ ו-$MC$ משיקים למעגל ב-$B$ וב-$C$, ולכן הם מאונכים לרדיוסים: $\sphericalangle OBM=\sphericalangle OCM=90^\circ$.

אלה זוויות נגדיות במרובע $OBMC$, וסכומן $180^\circ$ - לכן אפשר לחסום אותו במעגל.

טעות נפוצה: לקחת את $BC$ (הקטע בין קודקודי הזוויות הישרות) כקוטר המעגל החוסם - הזוויות הישרות נשענות על $OM$, והוא הקוטר.

$MB=MC$ (משיקים מאותה נקודה) ו-$OB=OC$, ולכן $OM$ הוא האנך האמצעי של $BC$: $\sphericalangle MNC=90^\circ$.

$CF\perp BD$ ו-$M$ על $BD$, ולכן $\sphericalangle MFC=90^\circ$.

$N$ ו-$F$ רואות את הקטע $MC$ בזווית ישרה (ונמצאות באותו צד שלו), ולכן ארבע הנקודות על המעגל שקוטרו $MC$.

טעות נפוצה: לקחת את $NF$ כקוטר המעגל - הזוויות הישרות ב-$N$ וב-$F$ נשענות על $MC$, ולכן $MC$ הוא הקוטר.

זוויות: המשיק ב-$B$ מאונך לקוטר $AB$, ולכן במשולש $ABD$: $\sphericalangle BAD=90^\circ-\alpha$. זו זווית היקפית על הקשת $BC$, ולכן $\sphericalangle BOC=2(90^\circ-\alpha)=180^\circ-2\alpha$. $OM$ חוצה אותה (המשולשים $OBM$, $OCM$ חופפים), ולכן $\sphericalangle BOM=90^\circ-\alpha$ ו-$\sphericalangle OMB=\alpha$.

$d_1$: $\sphericalangle OBM=90^\circ$ נשענת על $OM$, ולכן $OM$ קוטר. במשולש $OBM$:

$d_2$: לפי א(2) הקוטר הוא $MC=MB$, ובמשולש $OBM$:

$d_3$: במשולש $CMD$ הצלע $MC$ נמצאת מול הזווית $\sphericalangle MDC=\alpha$. משפט הסינוסים המורחב:

טעות נפוצה: להתייחס ל-$\alpha$ כאל הזווית ההיקפית על $BC$ ולקחת $\sphericalangle BOC=2\alpha$, ומכאן $\sphericalangle BOM=\alpha$ ו-$d_1=\frac{R}{\cos\alpha}$.

$\cos\alpha=\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$, ולכן $\cos^2\alpha=\sin\alpha$. מציבים $\cos^2\alpha=1-\sin^2\alpha$:

$\frac{-1-\sqrt5}{2}<-1$ נפסל. $\alpha$ זווית חדה במשולש $ABD$, ולכן:

טעות נפוצה: לעבור מ-$\cos\alpha=\tan\alpha$ ל-$\cos\alpha=\sin\alpha$ (לשכוח את המכנה $\cos\alpha$) ולקבל $\alpha=45^\circ$.

המכנה מתאפס ב-$x=a$. אם $a\neq-2$ המונה שם $a+2\neq0$ - אסימפטוטה אנכית $x=a$.

אם $a=-2$: $f(x)=\frac{x+2}{(x+2)^4}=\frac1{(x+2)^3}$, ושוב $x=-2=a$ אסימפטוטה. בכל מקרה: $x=a$.

מעלת המונה קטנה ממעלת המכנה, ולכן אסימפטוטה אופקית $y=0$.

טעות נפוצה: להוסיף אסימפטוטה אנכית $x=-2$ (איפה שהמונה מתאפס) - שם הגרף חותך את ציר ה-$x$.

(החזקה זוגית, ולכן $(-a)^4=a^4>0$ - נקודת החיתוך תמיד מעל ציר ה-$x$.)

טעות נפוצה: להציב $y=0$ במקום $x=0$ - כלומר למצוא את החיתוך עם ציר ה-$x$ - ולענות $(-2,0)$.

$f'=0$ כאשר $x=-\frac{a+8}3$. עבור $a=-2$ זו הנקודה $x=-2=a$ - אין קיצון.

משמאל לאסימפטוטה: $-\frac{a+8}3<a$, כלומר $-a-8<3a$, $a>-2$.

סוג: משמאל לאסימפטוטה ($x<a$) המכנה $(x-a)^5$ שלילי. המונה $-3x-a-8$ חיובי עבור $x<-\frac{a+8}3$ ושלילי בין הנקודה לאסימפטוטה.

לכן $f'<0$ ואחר כך $f'>0$: הפונקציה יורדת ואז עולה - מינימום.

טעות נפוצה: להתייחס למכנה כחיובי (כמו בחזקה זוגית) ולקבוע את הסוג רק לפי המונה - ומקבלים 'מקסימום'.

$a=1$: האסימפטוטה $x=1$ היחידה מימין לציר ה-$y$: גרף 2 (IV).

$a=-2$: $f(x)=\frac1{(x+2)^3}$ - אין קיצון, משמאל לאסימפטוטה $f<0$ ומימינה $f>0$: גרף 4 (II).