מתכונת במתמטיקה 571 - מתכונת 16 ברמת בגרות

תהי $ABCD$ מקבילית חסומה במעגל.

במקבילית זוויות נגדיות שוות: $\sphericalangle A=\sphericalangle C$.

במרובע חסום זוויות נגדיות משלימות: $\sphericalangle A+\sphericalangle C=180^\circ$.

לכן $2\sphericalangle A=180^\circ$, כלומר $\sphericalangle A=90^\circ$. מקבילית שיש בה זווית ישרה היא מלבן.

טעות נפוצה: להראות שמלבן ניתן לחסום במעגל (סכום זוויות נגדיות $90^\circ+90^\circ=180^\circ$) - זה המשפט ההפוך, ולא מה שנדרש.

בסיס: עבור $n=1$: $1+5=6$, מתחלק ב-6.

הנחה: $k^3+5k$ מתחלק ב-6 עבור $k$ טבעי כלשהו.

צעד:

$k^3+5k$ מתחלק ב-6 לפי ההנחה; $k(k+1)$ מכפלה של שני מספרים עוקבים ולכן זוגית, ו-$3k(k+1)$ מתחלק ב-6; וגם 6 מתחלק ב-6. לכן הסכום מתחלק ב-6.

לפי עקרון האינדוקציה הטענה נכונה לכל $n$ טבעי.

(דרך אחרת: $n^3+5n=(n^3-n)+6n=(n-1)n(n+1)+6n$.)

טעות נפוצה: לפתוח $(k+1)^3=k^3+1$ ולקבל בצעד $\left(k^3+5k\right)+6$ - הצעד נראה "קל" אבל הפיתוח שגוי, ולכן ההוכחה אינה תקפה.

$f(-x)=-f(x)$ לכל $x$.

I. $h(-x)=(-x)\cdot f(-x)=(-x)\cdot\left(-f(x)\right)=x\cdot f(x)=h(x)$ - זוגית. (אי-זוגית רק אם $h\equiv0$, ואז $f(x)=0$ לכל $x\neq0$, וגם $f(0)=0$ - כלומר $f$ קבועה, סתירה.)

II. $k(-x)=(-x)^2\cdot f(-x)=x^2\cdot\left(-f(x)\right)=-k(x)$ - אי-זוגית. (מאותה סיבה היא אינה גם זוגית.)

III. $g(-x)=f(-x)+x^2=-f(x)+x^2$.

אילו $g$ זוגית: $-f(x)+x^2=f(x)+x^2$, כלומר $f\equiv0$ - סתירה. אילו $g$ אי-זוגית: $-f(x)+x^2=-f(x)-x^2$, כלומר $x^2=0$ לכל $x$ - סתירה. לכן $g$ לא זוגית ולא אי-זוגית.

טעות נפוצה: ב-II להסיק "זוגית" כי $x^2$ זוגית - אבל מכפלה של פונקציה זוגית בפונקציה אי-זוגית היא אי-זוגית.

$x^2+a>0$ לכל $x$, ולכן $f$ מוגדרת לכל $x$ ואין לה אסימפטוטות אנכיות - זה פוסל את סרטוט ד.

$\sqrt{x^2}=|x|$: כאשר $x\to\infty$, $f(x)\to1$, וכאשר $x\to-\infty$, $f(x)\to-1$. זה פוסל את סרטוט ג (שבו הגרף שואף ל-1 משמאל ול-$-1$ מימין).

$f'>0$ עבור $x<a$ ו-$f'<0$ עבור $x>a$: יש מקסימום ב-$x=a>0$, ו-$f(a)=\sqrt{\frac{a+1}{a}}>1$ - הגרף עולה מעל האסימפטוטה $y=1$ ויורד אליה. זה פוסל את סרטוט א (פונקציה עולה בלי קיצון), ונשאר סרטוט ב.

טעות נפוצה: לבדוק רק את התחום ואת הגבולות $\pm1$ ולבחור בסרטוט א - אבל לפונקציה יש מקסימום, ולכן היא אינה עולה בכל התחום.

עבור $n\ge2$: $a_n=S_n-S_{n-1}$.

טעות נפוצה: לשכוח שהמינוס שלפני $k(n-1)^2$ חל על כל הסוגריים, לכתוב $S_{n-1}=pn-p-kn^2+2kn+k$ ולקבל $a_n=p-k-2kn$.

הנוסחה $a_n=S_n-S_{n-1}$ נכונה רק עבור $n\ge2$, ולכן בודקים את $n=1$ בנפרד.

$a_1=S_1=p\cdot1-k\cdot1^2=p-k$.

הצבת $n=1$ בנוסחה: $p+k-2k\cdot1=p-k$. אותו ערך, ולכן הנוסחה נכונה לכל $n$ טבעי.

טעות נפוצה: לחשב את $a_1$ כ-$S_1-S_0$ ולטעון ש"$S_0$ לא מוגדר ולכן הנוסחה לא נכונה ב-$n=1$". האיבר הראשון הוא פשוט $S_1$, ויש להשוות אותו לנוסחה.

לכל $n$ טבעי:

ההפרש קבוע, ולכן הסדרה חשבונית עם $d=-2k$ (סדרה יורדת, כי $k>0$).

טעות נפוצה: לחשב $a_n-a_{n+1}$ במקום $a_{n+1}-a_n$ ולקבל $d=2k$.

עם $k=1$: $d=-2k=-2$.

המנה של $c_n$ היא $\frac1d=-\frac12$.

$\left|-\frac12\right|=\frac12<1$, ולכן הסדרה ההנדסית האינסופית $c_n$ מתכנסת.

טעות נפוצה: לבלבל בין המנות ולקחת עבור $c_n$ את $q=d=-2$, ולהסיק שהסדרה אינה מתכנסת.

$a_1=p-k=4-1=3$, ולכן $b_1=c_1=3$.

סכום $m$ איברים של $b_n$ ($q=-2$):

סכום כל איברי $c_n$ ($q=-\frac12$):

היחס:

חזקה של $-2$ שלילית רק כאשר המעריך אי-זוגי, ו-$2^7=128$. לכן $m=7$.

טעות נפוצה: לכתוב במכנה של $S^{(c)}$ את $1-\frac12$ (לשכוח את הסימן של $q$), לקבל $S^{(c)}=6$ ואז $(-2)^m=-386$ - ולהסיק שאין $m$ מתאים.

$c_1=3$ והמנה $q=-\frac12$ שלילית, ולכן סימני האיברים מתחלפים: $3,\ -\frac32,\ \frac34,\ -\frac38,\ \dots$

$c_2<c_1$ אבל $c_3>c_2$. הסדרה אינה עולה ואינה יורדת.

טעות נפוצה: לקבוע שהסדרה יורדת כי $q<1$ - כשהמנה שלילית הסדרה מתחלפת סימן ואינה מונוטונית.

נסמן: $D$ - העובד בסניף הדרומי, $\bar D$ - בסניף הצפוני, $R$ - מגיע ברכב פרטי.

כל עובדי הסניף הצפוני מגיעים ברכב פרטי: $P(R\mid\bar D)=1$.

בסניף הדרומי יש עובדים שאינם מגיעים ברכב פרטי: $P(R\mid D)<1$.

אילו $D$ ו-$R$ היו בלתי תלויים, ההסתברות להגיע ברכב פרטי הייתה זהה בשני הסניפים - אבל $P(R\mid D)<1=P(R\mid\bar D)$.

בלשון הטבלה: $P(\bar R\cap\bar D)=0$ בעוד $P(\bar R)\cdot P(\bar D)>0$.

תשובה: לא ייתכן - המאורעות תלויים.

טעות נפוצה: לענות "ייתכן, אם אחוז המגיעים ברכב בסניף הדרומי יהיה מתאים" - בסניף הצפוני האחוז הוא 100%, ובדרומי הוא קטן מ-100%, ולכן הם לעולם לא שווים.

כל מי שאינו מגיע ברכב פרטי עובד בסניף הדרומי (התא של הסניף הצפוני הוא 0), ולכן:

החברה גדולה, ולכן ארבע הבחירות הן ניסויים בלתי תלויים עם $p=0.15$. נוסחת ברנולי, בדיוק 2 מתוך 4:

טעות נפוצה: לשכוח את המקדם $\binom42=6$ ולקבל $0.15^2\cdot0.85^2\approx0.0163$.

במרובע החסום $ABDE$ סכום הזוויות הנגדיות הוא $180^\circ$: $\angle ABD+\angle AED=180^\circ$.

$\angle DEC$ צמודה ל-$\angle AED$, ולכן $\angle DEC=180^\circ-\angle AED=\angle ABC$.

$\angle C$ משותפת לשני המשולשים, ולכן לפי ז.ז: $\triangle ABC\sim\triangle DEC$ ($A\leftrightarrow D$, $B\leftrightarrow E$).

טעות נפוצה: להסיק $\angle CED=\angle CAB$ מתוך "$DE\parallel AB$" שנראה בסרטוט - התאמה $A\leftrightarrow E$ שגויה; הזווית ב-$E$ שווה לזווית ב-$B$.

מהדמיון: $\frac{EC}{BC}=\frac{DC}{AC}$, כלומר $EC\cdot AC=DC\cdot BC$.

נסמן $EC=3k$, $AE=13k$, ולכן $AC=16k$. מ-$BD=2DC$: $DC=\frac{BC}{3}$.

טעות נפוצה: לכתוב $DC=\frac{BC}{2}$ (כאילו $D$ אמצע $BC$): $BC^2=96k^2$, ומקבלים $\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt6}{4}\approx0.61$.

יחס הדמיון: $\frac{EC}{BC}=\frac{3k}{12k}=\frac14$ (בדיקה: $\frac{DC}{AC}=\frac{4k}{16k}=\frac14$).

טעות נפוצה: לקחת את יחס השטחים כ-$\frac14$ בלי להעלות בריבוע: $S_{ABC}=4S$, ומקבלים $S_{ABDE}=3S$.

$\angle ODE=90^\circ$ (רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה), $\angle OCE=90^\circ$ (הקטע ממרכז המעגל לאמצע מיתר מאונך למיתר).

$AC=\frac{AB}{2}=\frac{R\sqrt2}{2}$. במשולש ישר הזווית $OCA$:

$\angle DOC=2\alpha+45^\circ$, ומסכום הזוויות במרובע: $\angle DEC=360^\circ-180^\circ-(2\alpha+45^\circ)=135^\circ-2\alpha$.

טעות נפוצה: לזהות ש-$R\sqrt2$ הוא מיתר של זווית מרכזית $90^\circ$ ולהציב $\angle AOC=90^\circ$ (הזווית $AOB$ ולא מחציתה), ולקבל $\angle DOC=2\alpha+90^\circ$ ו-$\angle DEC=90^\circ-2\alpha$.

במשולש שווה-השוקיים $DOA$: $DA=2R\sin\alpha$, וזוויות הבסיס $\angle ODA=\angle OAD=90^\circ-\alpha$.

$\angle ADE=90^\circ-(90^\circ-\alpha)=\alpha$ (זווית בין משיק למיתר).

במשולש $OCA$: $\angle OAC=90^\circ-45^\circ=45^\circ$.

$B$, $A$, $E$ על ישר אחד: $\angle DAE=180^\circ-(90^\circ-\alpha)-45^\circ=45^\circ+\alpha$, ולכן $\angle DEA=180^\circ-\alpha-(45^\circ+\alpha)=135^\circ-2\alpha$.

משפט הסינוסים במשולש $DAE$:

טעות נפוצה: להשתמש בזווית $\angle DAB=135^\circ-\alpha$ (הזווית שבתוך המעגל) במקום בזווית הצמודה לה $\angle DAE$, ולקבל $\angle DEA=45^\circ$ ו-$DE=\frac{2R\sin\alpha\cdot\sin(135^\circ-\alpha)}{\sin45^\circ}$.

במשולש $AOD$ הצלע $DA$ נמצאת מול $\angle DOA=2\alpha$. משפט הסינוסים עם רדיוס המעגל החוסם:

$\alpha\approx36.87^\circ$, ומתקיים $\alpha\le67.5^\circ$.

טעות נפוצה: לכתוב $\frac{R}{\sin2\alpha}=\frac54R$ (לזווג את $OA$ עם הזווית $2\alpha$), כלומר $\sin2\alpha=0.8$, ולקבל $\alpha\approx26.57^\circ$.

$\angle ODE+\angle OCE=180^\circ$, ולכן המרובע $DOCE$ בר-חסימה, ו-$OE$ (שעליו נשענת הזווית הישרה $ODE$) הוא קוטר המעגל החוסם: $r=\frac{OE}{2}$.

$\cos\alpha=0.8$, $\sin\alpha=0.6$, ולכן $\sin2\alpha=0.96$ ו-$\cos2\alpha=0.28$:

$OE^2=R^2+DE^2=\frac{961+1764}{961}R^2=\frac{2725}{961}R^2$.

טעות נפוצה: לחשב את יחס הרדיוסים במקום יחס השטחים: $\frac{r}{R}=\frac{OE}{2R}\approx0.84$.

משלימים את $f$ בזוגיות: אפסים $x=\pm4$, $x=\pm\frac32$; מינימום $\left(\pm\frac52,-2\right)$; מקסימום $(0,3)$; $f(\pm6)=4$.

אסימפטוטות אנכיות של $\frac1f$ - איפה ש-$f=0$: $x=\pm4$, $x=\pm\frac32$.

מונוטוניות הפוכה ל-$f$ בכל קטע שבו $f\neq0$.

ב-$x=\pm\frac52$: מינימום שלילי של $f$ ($-2$) - מקסימום של $\frac1f$: $\left(\pm\frac52,-\frac12\right)$.

ב-$x=0$: מקסימום חיובי ($3$) - מינימום של $\frac1f$: $\left(0,\frac13\right)$.

מהלך: ב-$(-6,-4)$ $\frac1f$ עולה מ-$\frac14$ (ליד $x=-6$) אל $+\infty$; ב-$\left(-4,-\frac52\right)$ עולה מ-$-\infty$ אל $-\frac12$; ב-$\left(-\frac52,-\frac32\right)$ יורדת מ-$-\frac12$ אל $-\infty$; ב-$\left(-\frac32,0\right)$ יורדת מ-$+\infty$ אל $\frac13$; וסימטרית ל-$x>0$.

התחום חסום, ולכן אין אסימפטוטה אופקית.

טעות נפוצה: לשמור על סוג הקיצון של $f$ ולכתוב מינימום ב-$\left(\pm\frac52,-\frac12\right)$ ומקסימום ב-$\left(0,\frac13\right)$ - $\frac1f$ הופכת את כיוון המונוטוניות בכל קטע שבו $f\neq0$.

משלימים את $f$ לתחום $0<x<6$ בעזרת הזוגיות, ואחר כך משקפים ביחס לציר ה-$x$.

$g'$ זוגית. אפסים $x=\pm4$, $x=\pm\frac32$; מקסימום $\left(\pm\frac52,2\right)$; מינימום $(0,-3)$; ליד $x=\pm6$: $g'\to-4$.

$g'<0$ ב-$(-6,-4)$, $\left(-\frac32,\frac32\right)$, $(4,6)$; $g'>0$ ב-$\left(-4,-\frac32\right)$, $\left(\frac32,4\right)$.

טעות נפוצה: לשקף ביחס לציר ה-$y$ במקום ביחס לציר ה-$x$ - שיקוף כזה של פונקציה זוגית מחזיר את $f$ עצמה, עם מינימום $\left(\pm\frac52,-2\right)$ ומקסימום $(0,3)$.

$g'=-f$ מתאפסת ומחליפה סימן ב-$x=\pm4$, $x=\pm\frac32$.

$x=-4$: $g'$ משלילית לחיובית - מינימום. $x=-\frac32$: מחיובית לשלילית - מקסימום.