מתכונת במתמטיקה 571 - מתכונת 7 ברמת בגרות

שלב הבסיס ($n=1$): אגף שמאל $1^2=1$, ואגף ימין $\frac{1\cdot1\cdot3}{3}=1$. הטענה נכונה.

הנחת האינדוקציה: נניח שעבור $n$ טבעי כלשהו מתקיים $1^2+3^2+\ldots+(2n-1)^2=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$.

שלב הצעד: האיבר הבא בטור הוא $(2(n+1)-1)^2=(2n+1)^2$. צריך להראות ש-

לפי ההנחה, אגף שמאל שווה ל-$\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}+(2n+1)^2$. מוציאים את הגורם המשותף $(2n+1)$:

מפרקים: $2n^2+5n+3=(n+1)(2n+3)$, ולכן הסכום שווה ל-$\frac{(n+1)(2n+1)(2n+3)}{3}$ - בדיוק מה שנדרש.

לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל $n$ טבעי.

טעות נפוצה: לכתוב שהאיבר הבא הוא $(2n)^2$ או $(n+1)^2$ (להוסיף 1 לבסיס במקום להציב $n+1$ בביטוי $2n-1$); עבור $n=1$ מתקבל אז $1+4=5$ במקום $1+9=10$.

במרובע $AFHE$: $\angle AFH=90^\circ$ (כי $CF$ גובה) ו-$\angle AEH=90^\circ$ (כי $BE$ גובה). אלה זוויות נגדיות, וסכומן $180^\circ$ - לכן אפשר לחסום את $AFHE$ במעגל.

במרובע $BCEF$: $\angle BEC=90^\circ$ ו-$\angle BFC=90^\circ$. שתי הזוויות נשענות על אותה צלע $BC$, והקודקודים $E$ ו-$F$ נמצאים באותו צד שלה. נקודה שממנה רואים את $BC$ בזווית ישרה נמצאת על המעגל שקוטרו $BC$, ולכן $B$, $C$, $E$, $F$ על מעגל אחד.

טעות נפוצה: לחפש גם במרובע $BCEF$ זוג זוויות נגדיות ישרות, כמו ב-$AFHE$ - אין כאלה ($\angle BFE$ ו-$\angle BCE$ אינן ישרות); הנימוק כאן הוא שתי זוויות ישרות הנשענות על אותה צלע $BC$.

במעגל החוסם את $AFHE$: הזווית ההיקפית $\angle AFH=90^\circ$ נשענת על קוטר, ולכן $AH=8$ קוטר, והרדיוס 4.

במעגל החוסם את $BCEF$: הזווית $\angle BEC=90^\circ$ נשענת על $BC$, ולכן $BC=12$ קוטר, והרדיוס 6.

סכום השטחים:

טעות נפוצה: להציב את הקטרים כרדיוסים בנוסחה $\pi r^2$ ולקבל $\pi(8^2+12^2)=208\pi$.

השורש נמצא במכנה, ולכן הביטוי שבתוכו חייב להיות חיובי ממש:

פרבולה "מחייכת" שאפסיה $-2$ ו-$4$ חיובית מחוץ לקטע שבין האפסים.

תחום ההגדרה: $x<-2$ או $x>4$.

טעות נפוצה: לקחת את התחום שבין האפסים, $-2<x<4$ - שם הביטוי שבתוך השורש שלילי.

אסימפטוטות אנכיות: בקצוות התחום המכנה שואף ל-0. ב-$x=4$ המונה $2\cdot4+1=9\neq0$, וב-$x=-2$ המונה $-3\neq0$. לכן $x=4$ ו-$x=-2$ אסימפטוטות אנכיות.

אסימפטוטות אופקיות: מחלקים מונה ומכנה ב-$|x|=\sqrt{x^2}$:

כאשר $x\to\infty$: $\frac{2x+1}{|x|}\to2$, ולכן $f(x)\to2+1=3$.

כאשר $x\to-\infty$: $\frac{2x+1}{|x|}\to-2$, ולכן $f(x)\to-2+1=-1$.

האסימפטוטות האופקיות: $y=3$ ו-$y=-1$.

הישרים $x=-2$, $x=4$, $y=-1$, $y=3$ כולאים מלבן שאורכו $4-(-2)=6$ ורוחבו $3-(-1)=4$.

השטח: $6\cdot4=24$.

טעות נפוצה: לכתוב $\sqrt{x^2}=x$ ולקבל אסימפטוטה אופקית אחת, $y=3$; אז סוגרים את המלבן עם ציר ה-$x$ ומקבלים שטח $6\cdot3=18$.

נגזרת:

$x^2-2x+9=(x-1)^2+8>0$ לכל $x$. לכן עבור $a>0$: $f'(x)<0$, והפונקציה יורדת בכל אחד משלושת הקטעים. רק בגרפים ד ו-ה שלושת הענפים יורדים (בגרף ב הענף השמאלי עולה).

האפס היחיד של $f$ הוא $x=1$ - מימין לציר ה-$y$; ובנוסף $f(0)=\frac{-a}{-9}=\frac a9>0$.

בגרף ד הענף האמצעי חותך את ציר ה-$x$ משמאל לראשית (ושם $f(0)<0$), ובגרף ה - מימין לראשית. לכן עבור $a>0$ מתאים גרף ה.

טעות נפוצה: לבחור בגרף ד, מתוך פתרון שגוי של $x-1=0$ כ-$x=-1$ - האפס הוא $x=1$, מימין לציר ה-$y$.

עבור $a<0$: $-a>0$, ולכן $f'(x)=\frac{-a(x^2-2x+9)}{(x^2-9)^2}>0$ - הפונקציה עולה בכל אחד משלושת הקטעים. הגרפים שבהם שלושת הענפים עולים: א ו-ג.

האפס עדיין $x=1$ (מימין לציר ה-$y$), ו-$f(0)=\frac a9<0$.

בגרף א הענף האמצעי חותך את ציר ה-$x$ משמאל לראשית, ובגרף ג - מימין לראשית. לכן עבור $a<0$ מתאים גרף ג (שיקוף של גרף ה סביב ציר ה-$x$).

טעות נפוצה: לבחור בגרף א, כי הוא "עולה ועובר מעל הראשית" - אבל ב-$x=0$ צריך להתקיים $f(0)=\frac a9<0$, כלומר הגרף עובר מתחת לראשית.

$a_n=2q^{n-1}$, ולכן $b_n=2q^{n-1}\cdot2q^{n}=4q^{2n-1}$.

המנה קבועה, ולכן B הנדסית שמנתה $q^2$ (ו-$b_1=4q$).

טעות נפוצה: לצמצם את $a_{n+1}$ המשותף ל-$b_n$ ול-$b_{n+1}$ ולהשאיר $\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}$ במקום $\frac{a_{n+2}}{a_n}$, ולקבל מנה $q$.

I. $b_n=4q^{2n-1}$: החזקה $2n-1$ אי-זוגית ו-$q<0$, ולכן $q^{2n-1}<0$ וכל איברי B שליליים. נכונה.

II. B שלילית עם מנה $0<q^2<1$: הערך המוחלט של האיברים קטן, כלומר הם מתקרבים ל-0 מלמטה. למשל $b_2-b_1=4q(q^2-1)>0$. הסדרה עולה. נכונה.

III. האיברים במקומות האי-זוגיים: $2,\ 2q^2,\ 2q^4,\ldots$ - חיוביים עם מנה $q^2<1$, ולכן הסדרה יורדת. לא נכונה.

טעות נפוצה: לקבוע בטענה II ש-B יורדת ״כי המנה קטנה מ-1״ - עבור איברים שליליים מנה בין 0 ל-1 נותנת סדרה עולה.

$b_1=4q$ והמנה $q^2<1$:

$q=2$ או $q=-\frac12$. לפי הנתון $-1<q<0$, ולכן $q=-\frac12$.

טעות נפוצה: לא לבדוק את הפתרונות מול התחום ולענות $q=2$ - בעבורו הסדרה B אינה מתכנסת כלל.

$c_n=\frac{a_n}{a_n a_{n+1}}=\frac{1}{a_{n+1}}=\frac{1}{2\left(-\frac12\right)^{n}}=\frac12(-2)^{n}$.

C הנדסית עם מנה $-2$, ו-$c_2=\frac12\cdot4=2$. בסכום $c_2+\ldots+c_m$ יש $m-1$ איברים:

$-128=(-2)^7$, ולכן $m-1=7$, $m=8$.

טעות נפוצה: לספור $m-2$ איברים, להגיע ל-$(-2)^{m-2}=-128$ ולענות $m=9$.

הבחירה מבין תלמידי המגמה: הסתברות 0.6 שמשתתף ו-0.4 שאינו משתתף, ובחירות בלתי תלויות.

המשלים: כל הארבעה משתתפים או כל הארבעה אינם משתתפים:

טעות נפוצה: לכפול את שני המקרים של המשלים במקום לחבר אותם, $1-0.6^4\cdot0.4^4$, ולקבל $\approx0.9967$.

נסמן: M - לומד במגמה, R - משתתף בחוג.

$\frac15$ מהתלמידים שאינם במגמה משתתפים, ולכן $P(\bar R\mid\bar M)=\frac45$.

$P(M)=0.3$: 30% מהתלמידים לומדים במגמה.

טעות נפוצה: לפרש את $\frac15$ כ-20% מכל התלמידים ($P(\bar M\cap R)=0.2$), לקבל $P(\bar M)=0.76$, ולענות 24%.

$P(M\cap\bar R)=P(M)\cdot P(\bar R\mid M)=0.3\cdot0.4=0.12$.

מתוך 200 תלמידים: $200\cdot0.12=24$.

טעות נפוצה: לקחת 40% מכל התלמידים במקום 40% מתלמידי המגמה, ולענות 80.

התלמידים שאינם משתתפים בחוג: 24 מהמגמה (סעיף ג) ו-$200\cdot0.56=112$ שאינם במגמה - 136 בסך הכול.

ללא החזרה:

טעות נפוצה: לכפול ב-3 "כי התלמיד שאינו במגמה יכול להיות בכל מקום" ולקבל $\approx0.0754$ - הסדר כאן נתון.

ידוע שהראשון לומד במגמה, ולכן נותרו 135 תלמידים: 23 מהמגמה ו-112 שאינם.

צריך שבדיוק אחד מהשניים הבאים יהיה מהמגמה (השני או השלישי):

טעות נפוצה: לחשב רק את הסדר "השני מהמגמה, השלישי לא" ולקבל $\approx0.142$.

המשולש ישר זווית ושווה שוקיים, ולכן $\angle ABC=\angle ACB=45^\circ$.

$\angle AEB$ ו-$\angle ACB$ זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת $AB$, ולכן $\angle AEB=45^\circ$.

$\angle BEC$ ו-$\angle BAC$ נשענות על אותה קשת $BC$, ולכן $\angle BEC=90^\circ$ (ו-$BC$ קוטר).

במרובע החסום $ABCE$: $\angle AEC=180^\circ-\angle ABC=135^\circ$, ולכן $\angle CED=180^\circ-135^\circ=45^\circ$.

טעות נפוצה: לכתוב שזוויות נגדיות במרובע חסום שוות, $\angle AEC=\angle ABC=45^\circ$, ולקבל $\angle CED=135^\circ$.

$\angle AEB=\angle CED=45^\circ$ (סעיף א).

$\angle ECD$ היא זווית חיצונית של המרובע החסום $ABCE$ בקודקוד $C$, ולכן $\angle ECD=\angle BAE$.

(זווית חיצונית של מרובע חסום שווה לזווית הפנימית שמולה: למשל $\angle ECD+\angle BCE=180^\circ$ וגם $\angle BAE+\angle BCE=180^\circ$.)

לכן $\Delta AEB\sim\Delta CED$ (ז.ז.), בהתאמה $A\leftrightarrow C$, $E\leftrightarrow E$, $B\leftrightarrow D$.

טעות נפוצה: להשתמש ב-$\angle BEC=90^\circ$ כזווית השנייה, כאילו היא מתאימה לזווית במשולש $CED$ - אבל $\angle BEC$ אינה זווית של אף אחד משני המשולשים.

מהדמיון, לפי ההתאמה $A\leftrightarrow C$, $E\leftrightarrow E$, $B\leftrightarrow D$:

$AB=AC$ (שוקיים), ולכן $\frac{AE}{CE}=\frac{AC}{CD}$.

טעות נפוצה: לכתוב $\frac{AE}{CE}=\frac{ED}{EB}$ (היחס ההפוך) - ההתאמה היא $A\leftrightarrow C$, ולכן $AE$ מתאימה ל-$CE$ ו-$EB$ מתאימה ל-$ED$.

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון: $\left(\frac{AB}{CD}\right)^2=2$, ולכן $\frac{AB}{CD}=\sqrt2$.

נסמן $AB=AC=a$. אז $BC=a\sqrt2$ ו-$CD=\frac{a}{\sqrt2}$.

$\Delta DEC\sim\Delta DBA$: הזווית $\angle D$ משותפת, ו-$\angle DEC=\angle DBA$ (זווית חיצונית של המרובע החסום $ABCE$ בקודקוד $E$). יחס הדמיון $\frac{DC}{DA}$, ולכן:

הגובה $AM$ לבסיס $BC$ הוא גם תיכון: $MC=AM=\frac{a}{\sqrt2}$, ו-$MD=\frac{a}{\sqrt2}+\frac{a}{\sqrt2}=a\sqrt2$.

טעות נפוצה: להתאים את $BD$ ל-$CD$ ולענות $\left(\frac{BD}{CD}\right)^2=3^2=9$ - בדמיון $\Delta DBA\sim\Delta DEC$ הצלע $DB$ מתאימה ל-$DE$, ולא ל-$DC$.

נסמן ב-$R_1$ וב-$R_2$ את רדיוסי המעגלים החוסמים את המשולשים $ABD$ ו-$ACD$.

$B$, $C$, $D$ על ישר אחד, ולכן לשני המשולשים אותה זווית בקודקוד $D$.

במשולש $ABD$ מול הזווית $D$ נמצאת הצלע $AB$, ובמשולש $ACD$ - הצלע $AC$. לפי משפט הסינוסים המורחב:

$AB=AC$ ו-$\angle ADB=\angle ADC$, ולכן $R_1=R_2$.

(העובדה ש-$AD\perp AB$ אינה נחוצה להוכחה - היא נכונה לכל נקודה $D$ על המשך הבסיס.)

טעות נפוצה: לקחת במשולש $ACD$ את הזווית $\angle CAD$ במקום הזווית שמול $AC$, ולקבל $R_2=\frac{AC}{2\sin(90^\circ-2\alpha)}=\frac{R\cos\alpha}{\cos2\alpha}$ - ולהסיק בטעות שהרדיוסים שונים.

זוויות הבסיס: $\angle ABC=\angle ACB=90^\circ-\alpha$, ולכן $\angle ACD=180^\circ-(90^\circ-\alpha)=90^\circ+\alpha$.

$\angle BAD=90^\circ$, ולכן $\angle CAD=90^\circ-2\alpha$.

במשולש $ACD$: $\angle ADC=180^\circ-(90^\circ+\alpha)-(90^\circ-2\alpha)=\alpha$.

$AC$ במשולש החסום נמצאת מול הזווית $B$: $AC=2R\sin(90^\circ-\alpha)=2R\cos\alpha$.

משפט הסינוסים במשולש $ACD$:

השטח לפי שתי צלעות והזווית שביניהן, עם $\sin(90^\circ+\alpha)=\cos\alpha$:

טעות נפוצה: לכתוב $\sin(90^\circ+\alpha)=\sin\alpha$ ולקבל $S_{ACD}=2R^2\cos^2\alpha\cos2\alpha$ - הזווית $90^\circ+\alpha$ משלימה ל-$180^\circ$ את $90^\circ-\alpha$, והסינוס שלה הוא $\cos\alpha$.

(השתמשנו ב-$2\sin^2\alpha=1-\cos2\alpha$.)

תחום הזווית: $\angle CAD=90^\circ-2\alpha>0^\circ$, ולכן $0^\circ<2\alpha<90^\circ$ ו-$0<\cos2\alpha<1$.

$m=1$: $\cos2\alpha=1-\cos2\alpha$, כלומר $\cos2\alpha=\frac12$, ומכאן $2\alpha=60^\circ$ - בתוך התחום.

לכן ייתכן: כאשר $\alpha=30^\circ$. אז $\angle BAC=60^\circ$ וזוויות הבסיס $60^\circ$ - המשולש $ABC$ שווה-צלעות.

טעות נפוצה: להחליף את $2\sin^2\alpha$ ב-$1+\cos2\alpha$ (סימן הפוך), לקבל $m=\frac{\cos2\alpha}{1+\cos2\alpha}<1$ ולענות "לא ייתכן".

לפי ג(1):

בתחום $0^\circ<2\alpha<90^\circ$: $2\alpha\approx78.46^\circ$.

$\angle BAC\approx78.46^\circ$, וזוויות הבסיס $\frac{180^\circ-78.46^\circ}{2}\approx50.77^\circ$.

טעות נפוצה: לשכוח את הגורם 2 שבמכנה ולפתור $\frac{\cos2\alpha}{\sin^2\alpha}=0.25$; מקבלים $\cos2\alpha=\frac19$, זווית ראש $83.62^\circ$ וזוויות בסיס $48.19^\circ$.